专项复习一：计算（第三单元 圆柱和圆锥）导图+技巧点拨+十二大题型讲练+优选题拔尖练 共44题-人教版数学六年级下册专项培优讲练

专项复习一 计算（圆柱和圆锥） 【原卷版】 知识点一：圆柱的侧面展开图 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点二：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点三：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点四：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点五：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 题型一：圆柱的展开图 【典例精讲】（21-22六年级下·云南楚雄·期末）如图所示的是一个圆柱的平面展开图，根据图中数据计算圆柱的表面积。 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）根据图中信息回答问题。 (1)圆柱的表面积＝圆柱的( )＋( )个底面的面积，圆柱侧面展开图的长等于圆柱的( )，宽等于圆柱的( )，圆柱的侧面积＝( )×( )。 (2)该圆柱的侧面积是( )cm2，底面积之和是( )cm2，圆柱的表面积是( )cm2。 题型二：圆柱的侧面积 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）将一个圆柱的侧面沿高剪开，展开后得到一个正方形，正方形的边长是15.7cm。这个圆柱的表面积是（    ）cm2。 A．31.4 B．39.25 C．246.49 D．285.74 【变式训练】（24-25六年级下·河南濮阳·期中）制作一个这样的烟囱拐角需要多少铁皮？（结果保留两位小数） 题型三：圆柱的表面积 【典例精讲】（24-25六年级下·河南南阳·期中）如图，这个圆柱的表面积是多少平方分米？ 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）计算下面图形的表面积。（单位：cm） 题型四：组合体的表面积(圆柱） 【典例精讲】（24-25六年级下·湖南永州·期末）计算下面图形的表面积。（单位：厘米）（π取3.14） 【变式训练】（24-25六年级下·河南郑州·期中）计算下面图形的表面积。 题型五：圆柱的体积 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）计算下面圆柱的体积。 【变式训练】（24-25六年级下·广西桂林·期末）求下面图形的体积。（单位：cm） 题型六：圆柱的容积 【典例精讲】（24-25六年级下·湖南张家界·期末）瓶子的底面内直径为8厘米，请计算出瓶子的容积（瓶壁厚度忽略不计）。     【变式训练】刘师傅用如图所示的铁皮做了一个水桶，这个水桶的容积是多少升？ 题型七：立体图形的切拼（圆柱） 【典例精讲】（24-25六年级下·江西南昌·期中）计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【变式训练】（23-24六年级下·河南安阳·期末）求下面图形的体积。（单位：厘米） 题型八：圆锥的体积 【典例精讲】（24-25六年级下·山东济宁·期中）求体积。 【变式训练】（23-24六年级下·浙江台州·期末）如图是由一个圆柱体和一个圆锥体组成的零件，求它的体积。 题型九：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（24-25六年级下·浙江杭州·期末）图形计算。 求下图的体积。（单位：cm） 【变式训练】（2025·浙江宁波·小升初真题）从一个正方体中挖去一个最大的圆锥，请计算剩余部分的体积（单位：分米，π取3.14） 题型十：圆锥的体积（容积) 【典例精讲】（24-25六年级下·湖北黄石·期末）如图，一个圆锥的高是3厘米，沿着它的高平均切成两部分，表面积增加12平方厘米，原来圆锥的底面直径是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【变式训练】（24-25六年级下·湖北荆州·期中）如图，一个圆锥的底面直径是4cm，沿底面直径切成两半后，表面积增加了，原来圆锥的体积是 cm3。 题型十一：立体图形的切拼(圆锥） 【典例精讲】（2025·河北石家庄·小升初真题）计算下面图形的体积。 题型十二：组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（24-25六年级下·广东汕头·期末）计算这个物体的体积。（已知圆锥的体积是9.42立方分米） 【变式训练】（24-25六年级下·河北邯郸·期中）求阴影部分的体积。（单位：厘米） 1．（24-25六年级下·黑龙江鸡西·期中）一个圆锥的体积是24cm3，底面积是8cm2，高是（    ）cm。 A．3 B．6 C．9 D．12 2．（24-25六年级下·河北承德·期中）如图所示，这个圆锥的高（    ）。 A．小于8cm B．等于8cm C．大于8cm D．不能确定 3．（24-25六年级下·河北石家庄·期中）圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2025·河北保定·小升初模拟）一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，且体积比是1∶6，已知圆柱的高是4.2厘米，则圆锥的高是（    ）厘米。 A．2.1 B．1.4 C．8.4 D．0.7 5．（2025·湖南永州·小升初模拟）一个圆柱的底面直径是4分米，高5分米，它的体积是( )立方分米，与它等底等高圆锥的体积是( )立方分米。 6．（2025·河北石家庄·小升初真题）一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差12立方厘米，圆柱体积是( )立方厘米。 7．（25-26六年级·全国·随堂练习）计算下面圆柱的体积。 8．（25-26六年级·全国·随堂练习）求下面圆锥的体积。 （1）    （2） 9．（24-25六年级下·江西赣州·期中）求体积。 10．（25-26六年级·全国·随堂练习）求下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 11．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图是一个底面半径为3厘米的圆柱木块被削去一半后的形状，请你计算出它的体积。 12．（25-26六年级·全国·随堂练习）计算下面圆柱的表面积。 13．（2025·四川遂宁·小升初真题）求下面图形的体积。 14．（2025·河北唐山·小升初真题）计算下面立体图形的体积。（单位：厘米） 15．（24-25六年级下·江西九江·期末）计算①、②号图形的面积及③号图形的体积。（单位：cm） 16．（24-25六年级下·河南南阳·期末）求下面半圆柱的表面积和体积。 17．（24-25六年级下·河北保定·期中）计算下面图形的表面积。 18．（2025·浙江温州·小升初真题）将图中的平面图形绕CD旋转一周，请你算一算平面图形所扫过的空间大小。（π取3.14，单位：厘米） 19．（22-23六年级下·河南三门峡·期中）已知半圆柱的底面直径是10厘米，求下面图形的体积和表面积。 20．（21-22六年级下·四川广安·期末）如图是从正方体中挖去一个圆柱后的剩余部分，请计算它的体积和表面积。（单位：cm） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项复习一 计算（圆柱和圆锥） 【解析版】 知识点一：圆柱的侧面展开图 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点二：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点三：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点四：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点五：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 题型一：圆柱的展开图 【典例精讲】（21-22六年级下·云南楚雄·期末）如图所示的是一个圆柱的平面展开图，根据图中数据计算圆柱的表面积。 【答案】125.6cm2 【思路引导】从图中可知，圆柱的底面直径是4cm，圆柱的高是（12－4）cm；根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。 【完整解答】3.14×4×（12－4）＋3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×4×8＋3.14×4×2 ＝100.48＋25.12 ＝125.6（cm2） 圆柱的表面积是125.6cm2。 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）根据图中信息回答问题。 (1)圆柱的表面积＝圆柱的( )＋( )个底面的面积，圆柱侧面展开图的长等于圆柱的( )，宽等于圆柱的( )，圆柱的侧面积＝( )×( )。 (2)该圆柱的侧面积是( )cm2，底面积之和是( )cm2，圆柱的表面积是( )cm2。 【答案】(1) 侧面积 2 底面周长 高 底面周长 高 (2) 75.36 25.12 100.48 【思路引导】（1）根据圆柱的侧面展开图可知，圆柱的表面积等于侧面的长方形和两个底面圆的面积和。圆柱的侧面展开会得到一个长方形，长方形的长与圆柱的底面周长完全重合，宽就是圆柱的高来进行解答。 （2）根据（1）中侧面积公式，圆的面积公式：分别求出侧面积和底面积，再根据（1）中表面积公式，代入数据进行求解即可。 【完整解答】（1）圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋2个底面的面积，圆柱侧面展开图的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，长方形的面积＝长×宽，那么圆柱的侧面积＝底面周长×高。 （2） 该圆柱的侧面积是，底面积之和是，圆柱的表面积是。 题型二：圆柱的侧面积 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）将一个圆柱的侧面沿高剪开，展开后得到一个正方形，正方形的边长是15.7cm。这个圆柱的表面积是（    ）cm2。 A．31.4 B．39.25 C．246.49 D．285.74 【答案】D 【思路引导】根据题意，这个圆柱体沿高剪开后是一个正方形，则说明这个圆柱体的底面周长等于高等于正方形的边长15.7cm，据此可以求出底面圆的半径，底面圆的半径＝底面圆的周长÷2÷，再根据公式圆的面积＝求出底面圆的面积乘2（有上下两个底面），再加侧面面积，侧面面积＝底面周长×高，据此即可求解。 【完整解答】 （厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 故答案为：D 【考点再现】圆柱体沿高展开后是一个正方形，那么就意味着这个圆柱体的底面周长与高相等，以此算出底面半径即可解答此类题。 【变式训练】（24-25六年级下·河南濮阳·期中）制作一个这样的烟囱拐角需要多少铁皮？（结果保留两位小数） 【答案】1.13平方米 【思路引导】烟囱拐角的铁皮面积是圆柱侧面积，由两段圆柱侧面积组成。根据圆柱侧面积公式S＝Ch（C是底面周长，h是圆柱高），分别计算两段侧面积再相加，据此解答。 【完整解答】底面周长：C＝πd＝3.14×0.2＝0.628（米） 第一段侧面积（高0.8米）：0.628×0.8＝0.5024（平方米） 第二段侧面积（高1米）：0.628×1＝0.628（平方米） 总侧面积：0.5024＋0.628＝1.1304≈1.13（平方米） 答：制作一个这样的烟囱拐角需要1.13平方米铁皮。 题型三：圆柱的表面积 【典例精讲】（24-25六年级下·河南南阳·期中）如图，这个圆柱的表面积是多少平方分米？ 【答案】25.12平方分米 【思路引导】观察可知，已知圆柱的底面直径是2分米，高是3分米，根据，圆柱的侧面积公式，圆的面积公式，代入数据计算即可。 【完整解答】 （平方分米） 答：这个圆柱的表面积是25.12平方分米。 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【答案】151.62平方厘米 【思路引导】所给图形是一个半圆柱，它的表面积是一个圆柱的表面积的一半加一个长方形的面积。根据，，圆的周长，圆的面积，长方形的面积＝长宽，代入数据解答即可。 【完整解答】长方形的面积：（平方厘米） 圆柱的侧面积：（平方厘米） 圆柱的表面积：                                                   （平方厘米） 所给图形的表面积：                                                               （平方厘米） 所以该图形的表面积151.62平方厘米。                            题型四：组合体的表面积(圆柱） 【典例精讲】（24-25六年级下·湖南永州·期末）计算下面图形的表面积。（单位：厘米）（π取3.14） 【答案】188.4平方厘米 【思路引导】圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，本题中的立体图形中，可将上面小圆柱的上底面放在下底面重合处，这样，整个立体图形的表面积＝大圆柱的表面积＋小圆柱的侧面积。 【完整解答】3.14×32×2＋3.14×3×2×5＋3.14×2×2×3 ＝3.14×9×2＋9.42×10＋6.28×6 ＝56.52＋94.2＋37.68 ＝188.4（平方厘米） 所以这个图形的表面积是188.4平方厘米。 【变式训练】（24-25六年级下·河南郑州·期中）计算下面图形的表面积。 【答案】270.72cm2 【思路引导】由图可知，该图形有5个面，包括两个相同的圆，半径为6cm；两个相同的长方形，长10cm，宽6cm；一个圆柱的侧面，底面半径是6cm，高是10厘米。 根据圆的面积公式计算出圆的面积，再除以4乘2计算出两个圆的面积； 根据“长方形面积＝长×宽”计算出长方形的面积，再乘2计算出两个长方形的面积； 根据圆柱的侧面积S侧＝2πrh计算出圆柱的侧面积，再除以4计算出圆柱的侧面积； 最后将三部分相加即可。 【完整解答】3.14×62÷4×2 ＝3.14×36÷4×2 ＝113.04÷4×2 ＝28.26×2 ＝56.52（cm2） 10×6×2 ＝60×2 ＝120（cm2） 2×3.14×6×10÷4 ＝6.28×6×10÷4 ＝37.68×10÷4 ＝376.8÷4 ＝94.2（cm2） 56.52＋120＋94.2 ＝176.52＋94.2 ＝270.72（cm2） 所以该图形的表面积是270.72cm2。 题型五：圆柱的体积 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）计算下面圆柱的体积。 【答案】282.6立方厘米 【思路引导】由图可知，圆柱底面半径r=3，高h=10，根据圆柱体积公式，取π= 3.14，求出体积即可。 【完整解答】 （立方厘米） 圆柱的体积为282.6立方厘米。 【变式训练】（24-25六年级下·广西桂林·期末）求下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】7822.5cm3 【思路引导】该图形可看作一个长方体挖去一个半圆柱得到的，因此体积＝长方体体积－圆柱体积÷2。长方体的长为30cm，宽为20cm，高为15cm，长方体体积公式为：体积＝长×宽×高，把数据代入计算得出长方体的体积。 圆柱的底面直径为10cm，则半径为10÷2＝5cm，高就是长方体的长30cm。圆柱体积公式为：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入计算后再除以2得出半圆柱体积。然后用长方体体积减半圆柱体积即可。 【完整解答】30×20×15＝9000（cm3） 10÷2＝5（cm） 3.14×52×30÷2 ＝3.14×25×30÷2 ＝78.5×30÷2 ＝2355÷2 ＝1177.5（cm3） 9000－1177.5＝7822.5（cm3） 该图形的体积是7822.5cm3。 题型六：圆柱的容积 【典例精讲】（24-25六年级下·湖南张家界·期末）瓶子的底面内直径为8厘米，请计算出瓶子的容积（瓶壁厚度忽略不计）。     【答案】1256立方厘米 【思路引导】左图中液体的容积与右图中液体的容积相等，把右图中空气柱部分接到左图中液体上面，就能形成一个底面直径是8厘米，高是（5＋20）厘米的圆柱，根据圆柱的容积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【完整解答】3.14×（8÷2）2×（5＋20） ＝3.14×42×25 ＝3.14×16×25 ＝50.24×25 ＝1256（立方厘米） 瓶子的容积是1256立方厘米。 【变式训练】刘师傅用如图所示的铁皮做了一个水桶，这个水桶的容积是多少升？ 【答案】42.39升 【思路引导】根据题图可知，圆柱的底面和侧面的长相接，即底面的周长为9.42分米，根据“r＝c÷π÷2”即可求出底面的半径，再根据求出圆柱的体积即可。 【完整解答】9.42÷3.14÷2 ＝3÷2 ＝1.5（分米）； 3.14×1.5²×（1.5×2×2） ＝7.065×6 ＝42.39（立方分米） 42.39立方分米＝42.39升 题型七：立体图形的切拼（圆柱） 【典例精讲】（24-25六年级下·江西南昌·期中）计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】表面积533.8cm2；体积665.68cm3 【思路引导】图形的表面积就是大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积，根据圆的周长公式、、圆的面积公式、，图形的体积就是大圆柱的体积加上小圆柱的体积，根据半径＝直径÷2、圆柱的体积公式，据此代入数据计算即可。 【完整解答】表面积： （cm2） （cm2） （cm2） 体积： （cm3） 【变式训练】（23-24六年级下·河南安阳·期末）求下面图形的体积。（单位：厘米） 【答案】66180立方厘米 【思路引导】由图可知，该图形的体积可由一个长70厘米，宽30厘米，高36厘米的长方体体积减去一个底面直径为20厘米，高为30厘米的圆柱体体积。根据及圆柱的体积公式代入数据解答。 【完整解答】 （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 题型八：圆锥的体积 【典例精讲】（24-25六年级下·山东济宁·期中）求体积。 【答案】25.12dm3 【思路引导】观察图形可知，该图形是由圆柱和圆锥组成，且等底等高。在等底等高的圆柱和圆锥中，圆锥体积是圆柱体积的。圆柱的底面半径为1dm，高为6dm，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入计算即可得出圆柱的体积，然后把圆柱体积乘得出圆锥体积，最后把圆柱和圆锥体积相加即可得出组合图形的体积。 【完整解答】3.14×12×6 ＝3.14×1×6 ＝18.84（dm3） 18.84×＝6.28（dm3） 18.84＋6.28＝25.12（dm3） 该图形的体积是25.12dm3。 【变式训练】（23-24六年级下·浙江台州·期末）如图是由一个圆柱体和一个圆锥体组成的零件，求它的体积。 【答案】50.24cm3 【思路引导】如图，圆柱、圆锥的底面半径相等都是2cm，圆柱、圆锥的高相等都是3cm，圆柱的体积公式是，据此可以求出圆柱的体积。等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一，据此圆锥体积可求，组合图形的体积是两部分体积之和，据此解答。 【完整解答】 （cm3） 它的体积是50.24cm3。 题型九：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（24-25六年级下·浙江杭州·期末）图形计算。 求下图的体积。（单位：cm） 【答案】169.56cm3 【思路引导】观察图形可知，该图形由一个圆锥和一个圆柱组成，且等底。已知底面直径为6cm，那么半径为6÷2＝3cm，圆锥的高为6cm，圆柱的高为4cm。根据圆锥体积公式V＝πr2h，圆柱体积公式V＝πr2h，把数据分别代入公式计算后再相加，即可得出该图形的体积。 【完整解答】6÷2＝3（cm） ×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝56.52（cm3） 3.14×32×4 ＝3.14×9×4 ＝113.04（cm3） 56.52＋113.04＝169.56（cm3） 该图形的体积是169.56cm3。 【变式训练】（2025·浙江宁波·小升初真题）从一个正方体中挖去一个最大的圆锥，请计算剩余部分的体积（单位：分米，π取3.14） 【答案】159.48立方分米 【思路引导】正方体的体积公式为V＝a×a×a（a为正方体的棱长），已知正方体的棱长为6分米，所以正方体的体积为：6×6×6＝216（立方分米）。要在正方体中挖去一个最大的圆锥，这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，即圆锥的底面直径为6分米，高为6分米。圆锥的底面半径为6÷2＝3分米。圆锥的体积公式为V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），所以圆锥的体积为：×3.14×32×6＝56.52（立方分米）。剩余部分的体积等于正方体的体积减去圆锥的体积，用216减56.52计算即可。 【完整解答】6×6×6＝216（立方分米） ×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝3.14×3×6 ＝9.42×6 ＝56.52（立方分米） 216－56.52＝159.48（立方分米） 剩余部分的体积是159.48立方分米。 题型十：圆锥的体积（容积) 【典例精讲】（24-25六年级下·湖北黄石·期末）如图，一个圆锥的高是3厘米，沿着它的高平均切成两部分，表面积增加12平方厘米，原来圆锥的底面直径是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 4 12.56 【思路引导】由题意可知：增加的面积即两个以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形的面积，那么一个三角形的面积为12÷2＝6平方厘米，三角形面积公式为：面积＝底×高÷2，则底＝面积×2÷高，已知高为3厘米，则底为6×2÷3＝4厘米（即圆锥的直径），所以圆锥的半径为4÷2＝2厘米，根据圆锥体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把半径2厘米，高3厘米代入公式计算即可。 【完整解答】12÷2×2÷3＝4（厘米） 4÷2＝2（厘米） 3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝3.14×4 ＝12.56（立方厘米） 原来圆锥的底面直径是4厘米，体积是12.56立方厘米。 【变式训练】（24-25六年级下·湖北荆州·期中）如图，一个圆锥的底面直径是4cm，沿底面直径切成两半后，表面积增加了，原来圆锥的体积是 cm3。 【答案】12.56 【思路引导】观察可知，增加的是两个一样的三角形的面积之和，这两个三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，用12除以2得到一个三角形的面积，再根据的逆运算，可得圆锥的高，最后根据圆锥的体积公式，代入数据计算即可。 【完整解答】（cm） （cm3） 如图，一个圆锥的底面直径是4cm，沿底面直径切成两半后，表面积增加了，原来圆锥的体积是12.56cm3。 题型十一：立体图形的切拼(圆锥） 【典例精讲】（2025·河北石家庄·小升初真题）计算下面图形的体积。 【答案】5024cm3 【思路引导】先分别计算圆柱的体积和圆锥的体积，再用圆柱体积减去圆锥体积得到该图形的体积。由图可知圆柱和圆锥的底面直径都是20cm，则半径为20÷2＝10cm，圆锥的高为12cm，圆柱的高为12＋8＝20cm。圆柱的体积公式为：V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），圆锥的体积公式为：V＝πr2h（r为底面半径，h为圆锥的高），把数据分别代入计算后，再用圆柱的体积减圆锥的体积即可。 【完整解答】20÷2＝10（cm） 12＋8＝20（cm） 3.14×102×20 ＝3.14×100×20 ＝314×20 ＝6280（cm3） ×3.14×102×12 ＝×3.14×100×12 ＝1256（cm3） 6280－1256＝5024（cm3） 该图形的体积是5024cm3。 题型十二：组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典例精讲】（24-25六年级下·广东汕头·期末）计算这个物体的体积。（已知圆锥的体积是9.42立方分米） 【答案】56.52立方分米 【思路引导】已知圆锥的体积是9.42立方分米，高是6分米，根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的底面积S＝3V÷h； 从图中可知，圆柱和圆锥等底，根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出圆柱的体积，再加上圆锥的体积，即是这个物体的体积。 【完整解答】底面积： 9.42×3÷6 ＝28.26÷6 ＝4.71（平方分米） 圆柱的体积： 4.71×10＝47.1（立方分米） 物体的体积：47.1＋9.42＝56.52（立方分米） 所以，物体的体积是56.52立方分米。 【变式训练】（24-25六年级下·河北邯郸·期中）求阴影部分的体积。（单位：厘米） 【答案】401.92立方厘米 【思路引导】观察图形可知，阴影部分的体积＝圆柱体积－圆锥体积，根据圆柱的体积V＝πr2h，圆锥的体积V＝πr2h，代入数据计算即可求解。 【完整解答】3.14×42×10－3.14×42×6× ＝3.14×16×10－3.14×16×6× ＝502.4－100.48 ＝401.92（立方厘米） 阴影部分的体积是401.92立方厘米。 1．（24-25六年级下·黑龙江鸡西·期中）一个圆锥的体积是24cm3，底面积是8cm2，高是（    ）cm。 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【思路引导】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，可知圆锥的高＝体积×3÷底面积，据此列式计算。 【完整解答】24×3÷8＝9（cm） 一个圆锥的体积是24cm3，底面积是8cm2，高是9cm。 故答案为：C 2．（24-25六年级下·河北承德·期中）如图所示，这个圆锥的高（    ）。 A．小于8cm B．等于8cm C．大于8cm D．不能确定 【答案】A 【思路引导】由圆锥的高、底面半径和8cm边围成的直角三角形，其8cm的边为直角三角形的斜边，圆锥的高看作直角三角形的一条直角边，圆锥的底面半径看作直角三角形的另一条直角边，直角三角形的三条边斜边最长，据此解答。 【完整解答】如图所示，这个圆锥的高小于8cm。 故答案为：A 3．（24-25六年级下·河北石家庄·期中）圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【思路引导】根据圆柱的体积公式V＝πr2h以及积的变化规律可知，圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，体积扩大到原来的22倍。 积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。 【完整解答】2×2＝4 圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，体积扩大到原来的4倍。 故答案为：B 4．（2025·河北保定·小升初模拟）一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，且体积比是1∶6，已知圆柱的高是4.2厘米，则圆锥的高是（    ）厘米。 A．2.1 B．1.4 C．8.4 D．0.7 【答案】A 【思路引导】根据圆柱的体积＝底面积×高，可推出高＝圆柱的体积÷底面积；根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，可推出高＝圆锥的体积×3÷底面积；把底面积看成S，把圆锥的体积看作1，则圆柱的体积为6，那么圆柱的高为6÷S＝，圆锥的高为1×3÷S＝3÷S＝，圆柱与圆锥高的比为：∶＝2∶1，即圆柱的高是圆锥的2倍，已知圆柱的高是4.2厘米，则圆锥的高为4.2÷2，据此解答。 【完整解答】由分析可知：把底面积看成S，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积为6份。 圆柱的高为：6÷S＝ 圆锥的高为：1×3÷S ＝3÷S ＝ 圆柱与圆锥高的比为：∶ ＝（×S）∶（×S） ＝6∶3 ＝（6÷3）∶（3÷3） ＝2∶1 4.2÷2＝2.1（厘米） 所以圆锥的高是2.1厘米。 故答案为：A 5．（2025·湖南永州·小升初模拟）一个圆柱的底面直径是4分米，高5分米，它的体积是( )立方分米，与它等底等高圆锥的体积是( )立方分米。 【答案】 62.8 / 【思路引导】用圆柱的底面直径除以2求出圆柱的底面半径，根据圆柱的体积＝，代入数据求出圆柱的体积，与它等底等高圆锥的体积是圆柱的体积的，根据求一个数的几分之几是多少，用圆柱的体积乘解答。 【完整解答】4÷2＝2（分米） 3.14××5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方分米） 62.8×＝（立方分米） 所以一个圆柱的底面直径是4分米，高5分米，它的体积是62.8立方分米，与它等底等高圆锥的体积是立方分米。 6．（2025·河北石家庄·小升初真题）一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差12立方厘米，圆柱体积是( )立方厘米。 【答案】18 【思路引导】等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，设圆锥的体积是x立方厘米，则圆柱的体积是3x立方厘米，圆柱与圆锥的体积相差12立方厘米，列方程：3x－x＝12，解方程，即可解答。 【完整解答】解：设圆锥的体积是x立方厘米，则圆柱的体积是3x立方厘米。 3x－x＝12 2x＝12 x＝12÷2 x＝6 圆柱：6×3＝18（立方厘米） 一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差12立方厘米，圆柱体积是18立方厘米。 7．（25-26六年级·全国·随堂练习）计算下面圆柱的体积。 【答案】125.6dm3 【思路引导】根据圆柱体的体积=底面积×高，列式计算即可。 【完整解答】（dm3） 所以圆柱的体积是125.6dm3。 8．（25-26六年级·全国·随堂练习）求下面圆锥的体积。 （1）    （2） 【答案】（1）（2） 【思路引导】（1）圆锥体积＝×底面积×高，根据题目中的数据代入即可得到答案； （2）圆锥体积＝，根据题目中的数据代入公式即可得到答案。 【完整解答】（1） （） 该圆锥的体积是10.8m3。 （2） （） 该圆锥的体积是75.36dm3。 9．（24-25六年级下·江西赣州·期中）求体积。 【答案】3.925dm3 【思路引导】观察图形可知，图形是一个底面直径为2dm，高为2.5dm的圆柱的一半，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出整个圆柱的体积，再除以2，即是图形的体积。 【完整解答】3.14×（2÷2）2×2.5÷2 ＝3.14×12×2.5÷2 ＝3.14×1×2.5÷2 ＝3.925（dm3） 图形的体积是3.925dm3。 10．（25-26六年级·全国·随堂练习）求下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】表面积：725.2cm2；体积：1256cm3 【思路引导】这个图形的表面积＝圆柱侧面积÷2＋一个圆柱底面积＋长方形的面积，其中圆柱的侧面积公式、圆柱的底面积公式、长方形的面积公式，代入数据计算即可； 这个图形的体积＝圆柱体积÷2，其中圆柱的体积公式，代入数据计算即可。 【完整解答】半径：（cm） 表面积： （cm2） 体积： （cm3） 答：表面积是725.2cm2，体积是1256cm3。 11．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图是一个底面半径为3厘米的圆柱木块被削去一半后的形状，请你计算出它的体积。 【答案】169.56立方厘米 【思路引导】可以把这个组合形体看成两部分，上面是圆柱的一半（底面半径为3厘米，高为2厘米的圆柱），下面是圆柱（底面半径为3厘米，高为5厘米的圆柱），再根据圆柱体积公式V＝Sh，它们的体积之和即是这个物体的体积。 【完整解答】7﹣5＝2（ 厘米） 3.14×3²×2÷2 ＝3.14×9×2÷2 ＝28.26×2÷2 ＝56.52÷2 ＝28.26（立方厘米） 3.14×3²×5 ＝3.14×9×5 ＝28.26×5 ＝141.3（立方厘米） 28.26＋141.3＝169.56（立方厘米） 所以它的体积是169.56立方厘米。 12．（25-26六年级·全国·随堂练习）计算下面圆柱的表面积。 【答案】 【思路引导】利用“圆柱的表面积＝底面积×2＋底面周长×高”，结合图中数据计算即可。 【完整解答】 圆柱的表面积为。 13．（2025·四川遂宁·小升初真题）求下面图形的体积。 【答案】125.6 cm3 【思路引导】结合图示可知，图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，利用圆柱的体积V＝πr2h，圆锥的体积V＝πr2h，结合图中数据计算即可。 【完整解答】3.14×22×8＋×3.14×22×6 ＝3.14×4×8＋×3.14×4×6 ＝100.48＋25.12 ＝125.6（cm3） 故图形的体积是125.6 cm3。 14．（2025·河北唐山·小升初真题）计算下面立体图形的体积。（单位：厘米） 【答案】100.48立方厘米 【思路引导】立体图形由圆柱和圆锥组成，，，代入数据分别计算出体积，最后相加就是图中立体图形的体积。据此解答。 【完整解答】4÷2＝2（厘米） 3.14×22×6＋3.14×22×6× ＝3.14×4×6＋3.14×4×6× ＝12.56×6＋12.56×6× ＝75.36＋25.12 ＝100.48（立方厘米） 立体图形的体积是100.48立方厘米。 15．（24-25六年级下·江西九江·期末）计算①、②号图形的面积及③号图形的体积。（单位：cm） 【答案】①：2400cm2；②：41.12cm2；③：94.2cm3 【思路引导】①号图形是直角三角形，根据直角三角形面积公式S＝ab÷2（其中a、b为直角边），已知两条直角边分别为60cm和80cm，把数据代入公式计算即可。 ②号图形由一个正方形和一个半圆组成。正方形的边长为4cm，根据正方形面积公式S＝a×a（其中a为边长），半圆的直径为8cm，则半径为8÷2＝4cm，根据半圆的面积公式：S＝πr2÷2（π取3.14，r是半径），把数据代入公式计算后再与正方形面积相加即可。 ③号图形是圆锥，根据圆锥体积公式V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），已知底面直径为6cm，则半径为6÷2＝3cm，高为10cm，把数据代入公式计算即可。 【完整解答】①号图形：60×80÷2＝2400（cm2） ②号图形：4×4＝16（cm2） 8÷2＝4（cm） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（cm2） 16＋25.12＝41.12（cm2） ③号图形：6÷2＝3（cm） ×3.14×32×10 ＝×3.14×9×10 ＝3×3.14×10 ＝9.42×10 ＝94.2（cm3） ①号图形面积为2400cm2；②号图形面积为41.12cm2；③号图形体积为94.2cm3。 16．（24-25六年级下·河南南阳·期末）求下面半圆柱的表面积和体积。 【答案】表面积为218.16cm2；体积为125.6cm3 【思路引导】半圆柱的表面积＝圆的面积＋长方形切面的面积＋圆柱侧面积的一半，根据圆的面积公式：S＝πr2​，切面就是长方形，依据长方形面积公式：S＝ab，圆柱侧面积公式：S＝2πrh​，代入数据计算即可。 体积为圆柱体积的一半，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据计算即可。 【完整解答】4÷2＝2（cm） 3.14×22＋20×4＋3.14×4×20÷2 ＝3.14×4＋80＋12.56×20÷2 ＝12.56＋80＋251.2÷2 ＝92.56＋125.6 ＝218.16（cm2） 3.14×22×20÷2 ＝3.14×4×20÷2 ＝12.56×20÷2 ＝251.2÷2 ＝125.6（cm3） 半圆柱的表面积是218.16cm2，体积是125.6cm3。 17．（24-25六年级下·河北保定·期中）计算下面图形的表面积。 【答案】1336.52cm2 【思路引导】这个图形是一个长方体中间挖去了一个圆柱，所以实际表面积为长方体表面积减去两个圆柱底面积，再加上圆柱侧面积。 已知长方体长20cm、宽6cm、高20cm，根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”计算出长方体的表面积； 已知圆柱的底面直径是6cm，计算出底面半径为6÷2＝3cm，根据圆的面积公式计算出圆柱的底面积，再乘2计算出两个圆柱底面积； 已知圆柱的底面直径是6cm，高是长方体的宽6cm，根据圆柱的侧面积公式S＝πdh计算出圆柱的侧面积； 最后用长方体表面积减去两个圆柱底面积，再加上圆柱侧面积即为该图形的表面积。 【完整解答】（20×6＋20×20＋6×20）×2 ＝（120＋400＋120）×2 ＝（520＋120）×2 ＝640×2 ＝1280（cm2） 2×3.14×（6÷2）2 ＝2×3.14×32 ＝2×3.14×9 ＝6.28×9 ＝56.52（cm2） 3.14×6×6 ＝18.84×6 ＝113.04（cm2） 1280－56.52＋113.04 ＝1223.48＋113.04 ＝1336.52（cm2） 所以该图形的表面积是1336.52cm2。 18．（2025·浙江温州·小升初真题）将图中的平面图形绕CD旋转一周，请你算一算平面图形所扫过的空间大小。（π取3.14，单位：厘米） 【答案】502.4立方厘米 【思路引导】这个平面图形绕CD旋转一周后，会形成“圆柱＋圆锥”的组合立体图形： 下方的长方形（CD为宽）旋转成圆柱，圆柱的底面半径＝AD＝4厘米，高＝8厘米； 上方的三角形旋转成圆锥，圆锥的底面半径＝4厘米，高＝6厘米。 需分别计算圆柱和圆锥的体积，再求和得到扫过的空间大小（圆柱体积＋圆锥体积）。 （） （） 【完整解答】圆柱体积公式： （立方厘米） 圆锥的体积： （立方厘米） （立方厘米） 【考点再现】解决“平面图形绕轴旋转成立体图形”的问题，核心是先判断旋转后的立体图形组成（如本题长方形转圆柱、三角形转圆锥），再分别利用对应立体图形的体积公式计算，最后求和/差。解题时需结合“旋转轴”确定立体图形的底面半径和高，是连接平面与立体的关键。 19．（22-23六年级下·河南三门峡·期中）已知半圆柱的底面直径是10厘米，求下面图形的体积和表面积。 【答案】7822.5立方厘米；2792.5平方厘米 【思路引导】“”“”，图形的体积＝长方体的体积－半圆柱的体积；“”“”，先用长方体5个面的面积减去圆柱底面圆的面积，计算出图形前面、后面、左面、右面、下面5个面的面积，再用两个小长方形的面积加上半圆柱的侧面积，计算出图形上面的面积，最后相加求和，据此解答。 【完整解答】体积：30×20×15－3.14×（10÷2）2×30÷2 ＝30×20×15－3.14×25×30÷2 ＝600×15－78.5×30÷2 ＝9000－2355÷2 ＝9000－1177.5 ＝7822.5（立方厘米） 表面积：20×30＋（20×15＋30×15）×2－3.14×（10÷2）2 ＝20×30＋（300＋450）×2－3.14×25 ＝20×30＋750×2－3.14×25 ＝600＋1500－78.5 ＝2100－78.5 ＝2021.5（平方厘米） （20－10）×30＋3.14×10×30÷2 ＝10×30＋3.14×10×30÷2 ＝300＋31.4×30÷2 ＝300＋942÷2 ＝300＋471 ＝771（平方厘米） 2021.5＋771＝2792.5（平方厘米） 答：图形的体积是7822.5立方厘米，表面积是2792.5平方厘米。 20．（21-22六年级下·四川广安·期末）如图是从正方体中挖去一个圆柱后的剩余部分，请计算它的体积和表面积。（单位：cm） 【答案】体积937.2cm3；表面积：662.8cm2 【思路引导】图形的体积＝正方体的体积－圆柱的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可； 把圆柱的下底面向上平移到上底面，补给正方体的上面，这样正方体的表面积是6个面的面积之和，圆柱只需计算侧面积；图形的表面积＝正方体的表面积＋圆柱的侧面积；根据正方体的表面积公式S＝6a2，圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，代入数据计算即可。 【完整解答】体积： 10×10×10－3.14×（4÷2）2×5 ＝100×10－3.14×20 ＝1000－62.8 ＝937.2（cm3） 表面积： 10×10×6＋3.14×4×5 ＝100×6＋3.14×20 ＝600＋62.8 ＝662.8（cm2） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $