专题2.1 函数概念及定义域讲义-2026届高考数学一轮复习

专题02 函数与基本初等函数 专题2.1 函数概念及定义域 2.1.1 基础函数概念及定义域 知识点梳理 1.函数的定义：一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任意元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数.记作：，. 集合A叫做函数的定义域，记为D，集合叫做值域，记为C. （1）函数表示法：函数书写方式为，. （2）函数三要素：定义域、值域、对应关系. （3）同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 2.求解函数的定义域： （1）分式的分母不为零. （2）偶次方根的被开方数大于或等于零. （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1. （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零. （5）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 典型例题 例1.函数的定义域为 . 例2.在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是(　　) ①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝； ②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x； ③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25； ④A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2； ⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y； ⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0. A．①⑤⑥ B．②④⑤⑥ C．②③④ D．①②③⑤ 例3.下列各组函数： ①f(x)＝，g(x)＝x－1； ②f(x)＝，g(x)＝； ③f(x)＝·，g(x)＝； ④f(x)＝，g(x)＝x＋3； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示同一个函数的是________(填上所有正确的序号)． 例4.函数的定义域为 . 例5.若, 则的定义域为 . 随堂演练 1.已知四组函数： ①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1. 其中是同一个函数的是(　　) A．没有 B．仅有② C．②④ D．②③④ 2.(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是(　　) A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x 3.函数的定义域是 . 4.函数的定义域为 . 5.函数的定义域为 . 6.函数的定义域是 . 7.函数的定义域是 . 8.函数的定义域为 . 2.1.2 抽象函数的定义域 知识点梳理 已知f(x)的定义域求解的定义域，或已知的定义域求f(x)的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则f下，括号内的范围相同. 典型例题 例1.设函数, 则函数的定义域为 . 例2.若函数的定义域为,则函数的定义域为 . 随堂演练 1.若函数y＝f（2x+1）的定义域为[0，1]，则y＝f（x﹣1）的定义域为 ． 2.已知函数f（3x﹣1）的定义域为[1，+∞），则f（2x）+f（4﹣x）的定义域为 ． 3.已知函数f（x2﹣1）的定义域为[1，+∞），则f（x）的定义域为 ． 4.f（x）的定义域为[1，4]，则的定义域为 ． 5.设, 则的定义域为 ． 6.已知函数的值域为,则函数的定义域为 ． 7.已知函数，则y＝f（2x+1）的定义域为 ． 8.已知函数的定义域为,则函数的定义域为 ． 2.1.3 已知函数定义域求参数范围 知识点梳理 函数定义域是指自变量x的取值范围（或集合），使得函数表达式有意义（如分母不为0、偶次根式下非负、对数真数为正等）.当函数中含参数时，若已知函数的定义域，需通过定义域的限制条件反推参数的取值或取值范围，这类问题称为“已知函数定义域求参数”. 典型例题 例1.函数y的定义域为R，则实数k的取值范围为 ． 例2.函数f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是 ． 例3.若函数的定义域为，则的取值范围为 ． 随堂演练 1.若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是 ． 2.已知函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围 ． 3.函数的定义域为，则的取值范围为 ． 4.已知函数，若f（x）的定义域为R，则m的取值范围为 ． 5.已知函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 6.已知函数的定义域为，则的最小值为 ． 7.若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 8.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数与基本初等函数 专题2.1 函数概念及定义域 2.1.1 基础函数概念及定义域 知识点梳理 1.函数的定义：一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任意元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数.记作：，. 集合A叫做函数的定义域，记为D，集合叫做值域，记为C. （1）函数表示法：函数书写方式为，. （2）函数三要素：定义域、值域、对应关系. （3）同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 2.求解函数的定义域： （1）分式的分母不为零. （2）偶次方根的被开方数大于或等于零. （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1. （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零. （5）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 典型例题 例1.函数的定义域为 . 解：要使函数有意义,则,解得,即函数的定义域为. 例2.在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是(　　) ①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝； ②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x； ③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25； ④A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2； ⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y； ⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0. A．①⑤⑥ B．②④⑤⑥ C．②③④ D．①②③⑤ 解：①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．③在对应关系f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数．故答案选:D. 例3.下列各组函数： ①f(x)＝，g(x)＝x－1； ②f(x)＝，g(x)＝； ③f(x)＝·，g(x)＝； ④f(x)＝，g(x)＝x＋3； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示同一个函数的是________(填上所有正确的序号)． 解：①不是同一个函数，定义域不同，f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R. ②不是同一个函数，对应关系不同，f(x)＝，g(x)＝. ③是同一个函数，定义域、对应关系都相同． ④不是同一个函数，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R. ⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同． 故答案为：③⑤. 例4.函数的定义域为 . 解：要使函数有意义，需，解得，所以定义域为. 例5.若, 则的定义域为 . 解：，所以定义域为. 随堂演练 1.已知四组函数： ①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1. 其中是同一个函数的是(　　) A．没有 B．仅有② C．②④ D．②③④ 解：对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都相同．故选：C. 2.(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是(　　) A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x 解：根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确．故选：ABC. 3.函数的定义域是 . 解：要使函数有意义,则,解得：,即函数的定义域为. 4.函数的定义域为 . 解：由题意可得，解得，因此函数的定义域为. 5.函数的定义域为 . 解：由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件： ，解之得，即函数的定义域为. 6.函数的定义域是 . 解：试题分析：分母不等于零，对数真数大于零，所以，解得.故函数的定义域为. 7.函数的定义域是 . 解：由已知得,即，解得,故函数的定义域为. 8.函数的定义域为 . 解：由已知得，即或，解得或.故函数的定义域为. 2.1.2 抽象函数的定义域 知识点梳理 已知f(x)的定义域求解的定义域，或已知的定义域求f(x)的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则f下，括号内的范围相同. 典型例题 例1.设函数, 则函数的定义域为 . 解：要使函数有意义，则需， 则所求定义域为: . 例2.若函数的定义域为,则函数的定义域为 . 解：根据已知可得函数的定义域需满足：，解得：,即函数定义域为. 随堂演练 1.若函数y＝f（2x+1）的定义域为[0，1]，则y＝f（x﹣1）的定义域为 ． 解：∵y＝f（2x+1）的定义域为[0，1]，即x∈[0，1]，∴2x+1∈[1，3]，∴在函数y＝f（x﹣1）中，有1≤x﹣1≤3，解得2≤x≤4，∴y＝f（x﹣1）的定义域为[2，4]． 2.已知函数f（3x﹣1）的定义域为[1，+∞），则f（2x）+f（4﹣x）的定义域为 ． 解：∵f（3x﹣1）的定义域为[1，+∞），即x∈[1，+∞），∴3x﹣1∈[2，+∞）， 由题意，得，解得1≤x≤2，∴函数f（2x）+f（4﹣x）的定义域为[1，2]． 3.已知函数f（x2﹣1）的定义域为[1，+∞），则f（x）的定义域为 ． 解：∵f（x2﹣1）的定义域为[1，+∞），即x∈[1，+∞），∴x2﹣1∈[0，+∞）， ∴函数f（x）的定义域为[0，+∞）． 4.f（x）的定义域为[1，4]，则的定义域为 ． 解：f（x）的定义域为[1，4]，则有14，x2≤1，∴ 或， 则的定义域为[，1]∪[﹣1，]． 5.设, 则的定义域为 ． 解：要使函数有意义，则解得：,有意义，须确保两个式子都要有意义，则.则的定义域为. 6.已知函数的值域为,则函数的定义域为 ． 解：由值域为,得,所以,解得：， 即的定义域为,由得,故的定义域为. 7.已知函数，则y＝f（2x+1）的定义域为 ． 解：由f（x），得﹣x2+2x+3≥0，即x2﹣2x﹣3≤0，解得﹣1≤x≤3， 令﹣1≤2x+1≤3，解得﹣1≤x≤1，所以函数y＝f（2x+1）的定义域为[﹣1，1]． 8.已知函数的定义域为,则函数的定义域为 ． 解：由题意可知, 要使有意义,只需要 所以, 所以函数的定义域为. 2.1.3 已知函数定义域求参数范围 知识点梳理 函数定义域是指自变量x的取值范围（或集合），使得函数表达式有意义（如分母不为0、偶次根式下非负、对数真数为正等）.当函数中含参数时，若已知函数的定义域，需通过定义域的限制条件反推参数的取值或取值范围，这类问题称为“已知函数定义域求参数”. 典型例题 例1.函数y的定义域为R，则实数k的取值范围为 ． 解：函数y的定义域为R等价于kx2﹣2kx+4≥0恒成立， 当k＝0时，显然成立；当k≠0时，由Δ＝4k2﹣16k≤0，得0＜k≤4， 综上，实数k的取值范围为[0，4]． 故答案为：[0，4]． 例2.函数f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是 ． 解：由已知得ax2+4ax+3＝0无解，当a＝0时，3＝0，无解，满足； 当a≠0时，Δ＜0即16a2﹣12a＜0，解得0，综上，0，故答案为：[0，）． 例3.若函数的定义域为，则的取值范围为 ． 解：恒成立恒成立 随堂演练 1.若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是 ． 解：∵函数的定义域为R，∴不等式ax2﹣ax+3＞0在R上恒成立， 当a＝0时，不等式化为3＞0，显然恒成立，符合题意， 当a≠0时，则，解得0＜a＜12，综上所述，实数a的取值范围是[0，12）． 2.已知函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围 ． 解：f（x）， 当m+1＝0，即m＝﹣1时，x﹣2≥0不恒成立，不符合题意， 当m+1＜0时，二次函数开口向下，显然不符合题意， 当m+1＞0，即m＞﹣1时，由题意可知，Δ＝（﹣m）2﹣4（m+1）（m﹣1）≤0，解得m， 综上所述，m的取值范围为[）； 3.函数的定义域为，则的取值范围为 ． 解：由函数的定义域为，得对，恒成立. 当时，恒成立; 当时，，解得：. 综上所述的取值范围为.故选：C. 4.已知函数，若f（x）的定义域为R，则m的取值范围为 ． 解：因为f（x）的定义域为R，所以mx2﹣8x+m+6≥0对x∈R恒成立． 当m＝0时，﹣8x+6≥0不恒成立，不合题意． 当m≠0时，由题意可得， 解得m≥2．综上可知m的取值范固为[2，+∞）． 5.已知函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 解：由题意，不等式对任意的 恒成立。 当时，恒成立，即符合题意。 当时，则，解得：.综上， 的取值范围是 . 6.已知函数的定义域为，则的最小值为 ． 解：由题可知，且，即，所以，当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为4. 7.若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 解：函数的定义域为，可知的解集为， 若，则不等式恒成立，满足题意； 若，则，解得. 综上可知，实数的取值范围是. 8.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 解：函数 的定义域为,得恒成立. 当时, 恒成立;当时, , 得,综上, 实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $