第10讲 一次函数（10知识点+10考点+过关检测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

寒假预习第10讲 一次函数 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：一次函数的概念（重点） 1.一次函数的概念 一般地，解析式形如的函数叫做一次函数. 结构特征:①的系数:②的次数是1;③常数是任意实数;④等式右边是形如kx＋b的关于x的一次式. 2.一次函数x的取值范围 一次函数的x取值范围是一切实数（或指定的部分实数). 【特别注意】 （1）当一个函数以解析式表示时，如果对函数x的取值范围未加说明，那么x的取值范围由这个函数的解析式确定；否则，应指明x的取值范围. （2）一次函数的x的取值范围还要使实际问题有意义，如当自变量表示线段的长度、行驶的速度、时间时都不能是负数. 3.一次函数与正比例函数的关系 正比例函数是一次函数的特例. 当时,解析式就成为是常数,且),这时是的正比例函数. 【注意】（1）对于一次函数为常数，且),自变量的系数不等于0 ,且自变量的次数1，而可以是任意实数. （2）当一次函数中的时,被称为正比例函数.显然，正比例函数是一次函数的特殊情形，故正比例函数一定是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 【补充】正比例函数与一次函数的关系（集合关系图示） 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ （1）         （2）                 （3） （4）          （5）    （6） 【解题方法总结】 判断一个函数的类型，应该经过恒等变形(不改变自变量的取值范围)以后再分析、判断. 知识点2：用待定系数法确定一次函数解析式 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤 (1)设:设含有待定系数的一次函数解析式为; (2)列:将变量的已知对应值代人上述函数解析式中,列出以待定系数为未知数的方程(组); (3)解:解方程(组),得到待定系数的值; (4)写:将求出的待定系数代回所设的函数解析式中,写出所求函数的解析式 【巧记】步骤简记为设、列、解、写. 已知y是x的一次函数，且当时，；当时，． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，求函数y的值； （3）当时，求自变量x的取值范围． 知识点3：常值函数 一般地,我们把函数叫做常值函数. 【重要提醒】 常值函数也反映了一个变化过程，只是在自变量变化时，函数值取同一个常数. 如,无论自变量的值怎样变化, 函数的值总为-5. 如果是常值函数，则= ． 【方法技巧】 构建方程确定常值函数 此法是确定常值函数的常用方法,根据常值函数的定义,即常值函数中含自变量的项的系数为0,从而建立关于待定字母的方程求解. 知识点4：一次函数的图像 1. 一次函数的图像 一般地,一次函数是常数,且）的图像是一条直线. 【特别提醒】一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这条直线的表达式. 2. 一次函数的图像的画法 （1）描点法：通过“列表、描点、连线”获得. （2）两点法:一般先确定图像上两个点，再经过这两个点画直线, 通常我们选取直线与两坐标轴的交点,即点与. 【依据】两点确定一条直线. 【答疑解惑】两交点点与怎么来的？ 当时，点是直线与轴的交点. 当时,, 是直线与轴的交点. 【提示】(1)为了描点更方便、更准确,通常取横、纵坐标都是整数的两点.(2)有时也可以取点和. 3. 直线的截距 一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，简称直线的截距. 一般地，直线与轴的交点坐标是, 直线的截距是. 【易错易混】 "截距" 不是 "截得的距离"，而是指直线与轴交点的纵坐标,它可以是正数、零或负数.如直线 的截距是. 直线在y轴上的截距 ． 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点． (1)求的面积； (2)直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【方法技巧总结】 构建方程求直线与坐标轴的交点坐标 此法是求直线与坐标轴交点坐标的常用方法，定水平距离和铅锤高，在轴上的点的距离为,铅锤高即,求交点坐标一般可联立2条直线方程解析式，后面我们在讲一次函数与二元一次方程组专题会具体介绍. 【易错提醒】求直线与两坐标轴围成的三角形的面积时，两直角边长是直线与坐标轴交点的不为的横、纵坐标的绝对值.一定不要忘记加绝对值，分类讨论错误往往是同学们忽略了绝对值，导致漏解！解三角形面积时，一定要有带绝对值的好习惯！ 知识点5：一次函数图像的平移（难点） 1. 直线表达式 （）中 、 的作用 是直线在 轴上的截距，截距 相同的直线都经过同一点 . 决定了直线相对于 轴正方向的倾斜程度， 称为直线的斜率. 2. 一次函数的平移 一次函数 （）的图像是将正比例函数 （）的图像沿 轴平移 个单位长度得到的： 若 ，则向上平移 个单位； 若 ，则向下平移 个单位. 【方法总结】直线 平移时， 的值不变。向上平移时，在表达式末尾加上平移的单位长度；向下平移时，在表达式末尾减去平移的单位长度，即“上加下减”。 知识点6：两条直线的的位置关系（难点） 1.相交关系 （1）已知两直线和, 当时, 两直线相交. （2）一般地, 直线都经过点，即这些直线相交于同一个点. 【易混易错提醒】 (1) 在坐标平面上, 截距相同的直线都相交, 交点坐标为. (2) 在坐标平面上, 的值不同, 则直线相对于轴正方向的倾㸯程度不同. 常数称为直线的斜率, 关于斜率的确切定义和几何意义将在高中数学中学习. 【拓展】 (1) 直线与相交; (2) 直线相交于轴上一点. 2. 平行关系 (1) 直线与直线 的位置关系: 的 取值 的取值 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 【特别注意】 （1）直线何下平移个单位得到直线.反过来,直线向上平移个单位得到直线. （2）直线向上平移个单位得到直线.反过来，直线向下平䇋个单位得到直线. (2) 直线与的位置关系: (1)直线与平行； (2)直线与重合. 把函数的图象向上平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数解析式为 ，这两图象的位置关系是 ． 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象的位置关系为 ． 知识点7：一次函数与一元一次方程的关系（重点） 1.数的角度:因为任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式, 所以解一元一次方程相当于在某个一次函数的函数值为0时, 求自变量的值. 2.形的角度:一次函数的图像与轴的交点的横坐标是一元一次方程的根. 知识点8：一次函数与一元一次不等式的关系（重点） 1.一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个一元一次不等式都可变形为或是常数,且, 所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数的函数值大于（大于等于）0或小于（小于等于）0时，求自变量的取值范围. 2.利用函数图像解一元一次不等式 从图像上看, 一元一次不等式（或）的解集是在一次函数的图像上位于轴上方（或下方）的所有点的横坐标的取值范围. 如下图，已知一次函数，观察图象回答下列问题：当 时，． 一次函数的图像如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点9：一次函数的性质（难点） 1.一次函数的性质 k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 2.常数k,b的符号与直线 y=kx＋b(k≠0)的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 常数k,b的符号 k＞0,b＞0 k＞0,b＜0 k＞0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 常数k,b的符号 k＜0,b＞0 k＜0,b＜0 k＜0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 【特别提醒】 根据k,b的符号，可以画出函数的大致图象，知道函数图象所经过的象限.反之，根据一次函数的图象，也可推出k,b的符号(或取值范围). 知识点10：一次函数图象上点的坐标特征（重点） 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 下列四个选项中，符合直线的性质的选项是（    ） A．经过第一、三、四象限 B．随的增大而增大 C．函数图象必经过点 D．与轴交于点 题型一．一次函数的定义 例1．下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列四个函数中属于一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列函数中为一次函数的是（　　） A． B．是常数） C． D． 【变式3】下列关系式中，不是的一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式4】如果函数是一次函数，那么的值是（　　） A．1 B．2 C． D． 【变式5】若是关于的一次函数，则的值为 　 　． 题型二．一次函数的图象 例2．正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式2】一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】当，函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 题型三．一次函数的性质 例3．一次函数的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【变式1】一次函数的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】已知函数，其中常数、，那么这个函数的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】已知函数，当时，函数有最大值为，则的值为（　　） A．1 B． C．或1 D．或或1 题型四．一次函数图象与系数的关系 例4．若一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．随的增大而增大 D．当时， 【变式1】已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】要使函数的图象经过、轴的正半轴，则与的取值范围应为（　　） A．， B． C． D． 【变式3】一次函数的图象在轴上的截距是（　　） A．1 B． C． D． 【变式4】在平面直角坐标系中，已知点，，直线与线段有交点，则的取值范围为（　　） A．或 B．且 C． D． 题型五．一次函数图象上点的坐标特征 例5．对于函数，下列说法不正确的是（　　） A．图象过点 B．图象不经过第四象限 C．随的增大而增大 D．图象与坐标轴围成三角形的面积为4 【变式1】已知一次函数，，其中的图象经过点，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】一次函数上有两点，，则，的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【变式3】已知，，，，，三点均在直线，为常数，，上，且，则下列判断正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型六．一次函数图象与几何变换 例6．将的图象沿轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象相应的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 【变式1】若要把直线的图象变为直线的图象，则平移正确的是（　　） A．向上平移8个单位 B．向上平移10个单位 C．向下平移8个单位 D．向下平移10个单位 【变式2】如图，把△放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为、，将△沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（　　） A．80 B．88 C．96 D．100 【变式3】一次函数的图象向上平移3个单位，平移后图象与轴的交点为　　 ． 题型七．待定系数法求一次函数解析式 例7．已知与成正比例，当时，． （1）求出与的函数关系式； （2）设点在这个函数的图象上，求的值． 【变式1】如图，直线过点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）若点是轴上的一点，当△的面积为6时，求点的坐标． 【变式2】一次函数，都是常数，且的图象经过，两点． （1）求函数解析式； （2）若，求的取值范围． 【变式3】如图，直线与直线相交于点，交轴于点，交轴负半轴于点，且． （1）求直线和的解析式； （2）若是直线上一点，且的面积是9，求点的坐标． 【变式4】已知点、在直线上，和函数的图象交于点． （1）求直线的表达式． （2）若点的横坐标为1，求△的面积． 题型八．一次函数与一元一次方程 例8．如图，一次函数的图象交轴于点，则关于的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，则关于的方程的解是 　　． 【变式2】已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 　　 ． 【变式3】若一次函数为常数）的图象经过点，则方程的解为 ． 【变式4】已知关于的方程有无数个解，那么直线与坐标轴围成的三角形的面积为　 　 ． 题型九．一次函数与一元一次不等式 例9．如图，一次函数的图象经过点，则一元一次不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式1】若点、在直线图象上，则（　　） A． B． C． D．不能确定 【变式2】已知直线的解析式为，直线的解析式为，在直线上，在直线上．下列说法正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式3】如图，直线经过和两点，则不等式的解集为 ． 【变式4】如图，已知一次函数与图象的交点坐标为，现有下列四个结论：①；；②方程的解是；③；④若，则；其中正确的结论是 　 　 （填写序号）． 题型十．两条直线相交或平行问题 例10．如果直线与直线相交于轴上，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】经过点且平行于的直线不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】一次函数与平行，且经过点，则表达式为：　 　． 【变式3】直线与直线平行，与直线相交于点，则直线的解析式为　 　 ． 1．下列函数中，表示是的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．正比例函数的图像是一、三象限角的平分线，则一次函数的图像大致是（   ） A． B．   C．   D．   3．一次函数的图像在y轴上的截距是（    ） A．1 B． C． D． 4．下列说法正确的是（   ） A．方程的解可以看成直线与轴交点的纵坐标 B．方程的解可以看成直线与轴交点的横坐标 C．方程的解可以看成直线与轴交点的纵坐标 D．方程的解可以看成直线与轴交点的横坐标 5．若一次函数（k，b是常数）的图象不经过第三象限，则一次函数的图象（    ） A．经过二、三、四象限 B．不经过第一象限 C．经过一、二、四象限 D．不经过第三象限 6．已知函数的图象经过点，，则比较，的大小为 ．（填“”，“”，“”） 7．正比例函数的图象经过原点和第一、三象限，则直线经过第 象限． 8．一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是 ． 9．将直线向上平移，使之经过点，则平移后的函数图象是原函数图象向上平移 个单位长度得到的． 10．甲、乙、丙三个同学对一个一次函数图像的特征有如下的描述． 甲：随的增大而增大． 乙：图像经过点 丙：图像不经过第四象限 请根据他们的描述，写出一个符合条件的函数表达式 ． 11．已知函数，其中与成正比例，与成正比例，当时，，当时，， (1)求与之间的函数表达式 (2)当时，求的值 12．已知一次函数 (1)若函数图象在轴上的截距为，求的值 (2)若函数图象不经过第二象限，求的取值范围． 13．已知直线． (1)k为何值时，直线过原点； (2)k为何值时，y随x的增大而减小； (3)k为何值时，直线与直线平行． 14．已知关于的一次函数． (1)若随的增大而减小，求的取值范围； (2)若函数图象经过第一、二、三象限，求的取值范围； (3)若函数图象与轴的交点在原点上方，求的取值范围． 15．如图，一次函数的函数图象与轴，轴分别交于点，． (1)若点为第三象限内一个动点，请问的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由？ (2)在（1）的条件下，试用含的代数式表示四边形的面积；若的面积是，求的值． 16．如图在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，． (1)求的面积． (2)C为延长线上的一点，连接，以和为直角边作等腰直角三角形，若，求直线的解析式 (3)点E在坐标平面内，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出符合条件的点E的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $定义：解析式形如y=kx十b(、b是常数，且k卡0)的函数。 x的系数k≠0。 心的次数是1。 知识点1：一次函数的概念 结构特征： 常数b是任意实数。 等式右边是形如kx十b的关于x的一次式。 当b=0时，y=k是正比例函数。 与正比例函数的关系： 正比例函数是一次函数的特例。 设：设解析式为y=kx十b(k卡0)。 列：将已知，点坐标代入，列方程或方程组。 知识点2：用待定系数法确定一次函数解析式 步骤 解：解方程求k和b。 写：写出解析式。 定义：函数y=C(C为常数)。 知识点3：常值函数 特点：自变量变化时，函数值恒为常数。 图像形状：直线。 两点法：取与坐标轴交点(0，b)和（-无，0)。 知识点4：一次函数的图像 画法： 平移法：由正比例函数y=kx平移得到。 截距：直线与y轴交点的纵坐标b。 k决定斜率（倾斜程度）。 k和b的作用： b是截距。 知识点5：一次函数图像的平移 一次函数 b>0:向上平移。 由y=kx沿y轴平移b个单位： b<0:向下平移。 平移规则： 口决：“上加下减”。 当1丰k2时，两直线相交。 相交关系： 战距相同的直线交于(0，b)。 知识点6：两条直线的位置关系 当1=k2且b1≠b2时，两直线平行。 平行关系： 当k1=2且b1=b2时，两直线重合。 数的角度：解方程kx十b=0相当于求函数y=kx十b值为0时的自变量x。 知识点7：一次函数与一元一次方程的关系 形的角度：方程的解是图像与x轴交点的横坐标。 数的角度：解不等式相当于求西数值大于或小于0时无的范围。 知识点8：一次函数与一元一次不等式的关系 形的角度：不等式的解集对应图像在x轴上方或下方的区域。 k>0:y随E增大而增大（递增）。 单调性： 知识点9：一次函数的性质 k<0:y随x增大而减小（递减）。 图像经过的象限： 取决于k和b的符号（如k>0,b>0时过一、二、三象限）。 与x轴交点：（-，0)。 关键点： 知识点10：一次函数图象上点的坐标特征 与y轴交点：(0，b)。 特征：图像上任意点坐标满足解析式y=kx十b。 寒假预习第10讲 一次函数 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：一次函数的概念（重点） 1.一次函数的概念 一般地，解析式形如的函数叫做一次函数. 结构特征:①的系数:②的次数是1;③常数是任意实数;④等式右边是形如kx＋b的关于x的一次式. 2.一次函数x的取值范围 一次函数的x取值范围是一切实数（或指定的部分实数). 【特别注意】 （1）当一个函数以解析式表示时，如果对函数x的取值范围未加说明，那么x的取值范围由这个函数的解析式确定；否则，应指明x的取值范围. （2）一次函数的x的取值范围还要使实际问题有意义，如当自变量表示线段的长度、行驶的速度、时间时都不能是负数. 3.一次函数与正比例函数的关系 正比例函数是一次函数的特例. 当时,解析式就成为是常数,且),这时是的正比例函数. 【注意】（1）对于一次函数为常数，且),自变量的系数不等于0 ,且自变量的次数1，而可以是任意实数. （2）当一次函数中的时,被称为正比例函数.显然，正比例函数是一次函数的特殊情形，故正比例函数一定是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 【补充】正比例函数与一次函数的关系（集合关系图示） 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ （1）         （2）                 （3） （4）          （5）    （6） 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）是一次函数，（2）是正比例函数 【分析】首先对各选项中的函数关系式进行化简整理，结合一次函数的定义进行分析并作出判断；然后再对整理好的解析式根据正比例函数的定义进行分析判断． 【详解】(1)，∵，，∴ 此函数是一次函数； (2)，∵，，∴ 此函数是一次函数，也是正比例函数； (3) ，∵，，∴ 此函数是一次函数； (4)，∵，，∴ 此函数是一次函数； (5)，∵，，∴ 此函数是一次函数； (6)由得：，它与一次函数的形式不符，此函数不是一次函数． 【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的定义，掌握相关函数的定义是解题的关键． 【解题方法总结】 判断一个函数的类型，应该经过恒等变形(不改变自变量的取值范围)以后再分析、判断. 知识点2：用待定系数法确定一次函数解析式 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤 (1)设:设含有待定系数的一次函数解析式为; (2)列:将变量的已知对应值代人上述函数解析式中,列出以待定系数为未知数的方程(组); (3)解:解方程(组),得到待定系数的值; (4)写:将求出的待定系数代回所设的函数解析式中,写出所求函数的解析式 【巧记】步骤简记为设、列、解、写. 已知y是x的一次函数，且当时，；当时，． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，求函数y的值； （3）当时，求自变量x的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）设，根据点的坐标利用待定系数法求解即可； （2）将代入一次函数解析式，即可求解； （3）根据的值，可知随的增大而减小，分别求出和对应的的取值，即可求解． 【详解】解：（1）设，将点，代入得： ，解得 函数解析式为 （2）将代入得， （3）∵ ∴随的增大而减小 将和代入得， 解得， ∴当时， 自变量x的取值范围为 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及求函数解析式的值，一次函数的性质，关键是计算出一次函数的解析式． 知识点3：常值函数 一般地,我们把函数叫做常值函数. 【重要提醒】 常值函数也反映了一个变化过程，只是在自变量变化时，函数值取同一个常数. 如,无论自变量的值怎样变化, 函数的值总为-5. 如果是常值函数，则= ． 【答案】0 【分析】根据常值函数的定义可得自变量x的系数为0. 【详解】解：∵是常值函数， ∴k=0. 故答案为0. 【点睛】本题主要考查常值函数的定义，不论x取何值，y都是一个常数，即y=b，其中b是常数. 【方法技巧】 构建方程确定常值函数 此法是确定常值函数的常用方法,根据常值函数的定义,即常值函数中含自变量的项的系数为0,从而建立关于待定字母的方程求解. 知识点4：一次函数的图像 1. 一次函数的图像 一般地,一次函数是常数,且）的图像是一条直线. 【特别提醒】一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这条直线的表达式. 2. 一次函数的图像的画法 （1）描点法：通过“列表、描点、连线”获得. （2）两点法:一般先确定图像上两个点，再经过这两个点画直线, 通常我们选取直线与两坐标轴的交点,即点与. 【依据】两点确定一条直线. 【答疑解惑】两交点点与怎么来的？ 当时，点是直线与轴的交点. 当时,, 是直线与轴的交点. 【提示】(1)为了描点更方便、更准确,通常取横、纵坐标都是整数的两点.(2)有时也可以取点和. 3. 直线的截距 一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，简称直线的截距. 一般地，直线与轴的交点坐标是, 直线的截距是. 【易错易混】 "截距" 不是 "截得的距离"，而是指直线与轴交点的纵坐标,它可以是正数、零或负数.如直线 的截距是. 直线在y轴上的截距 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像与x轴、y轴交点，解题的关键是掌握一次函数的性质． 当时，求出y的值，即可． 【详解】解：当时，， 则直线在y轴上的截距为， 故答案为：． 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点． (1)求的面积； (2)直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)16 (2)或 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，两直线的交点，坐标与图形．熟练掌握直线与坐标轴的交点，两直线的交点，坐标与图形是解题的关键． （1）当时，可求；当时，可求，则，计算求解即可； （2）联立，可求，则，由，可得，可求，进而可求点坐标． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为16； （2）解：联立， 解得，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴点坐标为或． 【方法技巧总结】 构建方程求直线与坐标轴的交点坐标 此法是求直线与坐标轴交点坐标的常用方法，定水平距离和铅锤高，在轴上的点的距离为,铅锤高即,求交点坐标一般可联立2条直线方程解析式，后面我们在讲一次函数与二元一次方程组专题会具体介绍. 【易错提醒】求直线与两坐标轴围成的三角形的面积时，两直角边长是直线与坐标轴交点的不为的横、纵坐标的绝对值.一定不要忘记加绝对值，分类讨论错误往往是同学们忽略了绝对值，导致漏解！解三角形面积时，一定要有带绝对值的好习惯！ 知识点5：一次函数图像的平移（难点） 1. 直线表达式 （）中 、 的作用 是直线在 轴上的截距，截距 相同的直线都经过同一点 . 决定了直线相对于 轴正方向的倾斜程度， 称为直线的斜率. 2. 一次函数的平移 一次函数 （）的图像是将正比例函数 （）的图像沿 轴平移 个单位长度得到的： 若 ，则向上平移 个单位； 若 ，则向下平移 个单位. 【方法总结】直线 平移时， 的值不变。向上平移时，在表达式末尾加上平移的单位长度；向下平移时，在表达式末尾减去平移的单位长度，即“上加下减”。 知识点6：两条直线的的位置关系（难点） 1.相交关系 （1）已知两直线和, 当时, 两直线相交. （2）一般地, 直线都经过点，即这些直线相交于同一个点. 【易混易错提醒】 (1) 在坐标平面上, 截距相同的直线都相交, 交点坐标为. (2) 在坐标平面上, 的值不同, 则直线相对于轴正方向的倾㸯程度不同. 常数称为直线的斜率, 关于斜率的确切定义和几何意义将在高中数学中学习. 【拓展】 (1) 直线与相交; (2) 直线相交于轴上一点. 2. 平行关系 (1) 直线与直线 的位置关系: 的 取值 的取值 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 【特别注意】 （1）直线何下平移个单位得到直线.反过来,直线向上平移个单位得到直线. （2）直线向上平移个单位得到直线.反过来，直线向下平䇋个单位得到直线. (2) 直线与的位置关系: (1)直线与平行； (2)直线与重合. 把函数的图象向上平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数解析式为 ，这两图象的位置关系是 ． 【答案】 平行 【分析】根据一次函数的平移方法“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解∶将函数的图象向上平移3个单位长度后， ∴得到的新图象对应的函数解析式为． 由平移的性质知∶ 两图象的位置关系是平行． 故答案为∶ ，平行． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移，熟练掌握平移方式是解题关键． 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象的位置关系为 ． 【答案】平行 【分析】若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同，反之亦可． 【详解】解：∵一次函数与中，k的值相同，都为-6，而b的值不同， ∴两条直线互相平行． 故答案为：平行． 【点睛】本题考查了两直线平行问题，明确两直线平行，则自变量系数相同，即k值相同是关键． 知识点7：一次函数与一元一次方程的关系（重点） 1.数的角度:因为任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式, 所以解一元一次方程相当于在某个一次函数的函数值为0时, 求自变量的值. 2.形的角度:一次函数的图像与轴的交点的横坐标是一元一次方程的根. 知识点8：一次函数与一元一次不等式的关系（重点） 1.一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个一元一次不等式都可变形为或是常数,且, 所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数的函数值大于（大于等于）0或小于（小于等于）0时，求自变量的取值范围. 2.利用函数图像解一元一次不等式 从图像上看, 一元一次不等式（或）的解集是在一次函数的图像上位于轴上方（或下方）的所有点的横坐标的取值范围. 如下图，已知一次函数，观察图象回答下列问题：当 时，． 【答案】 【分析】本题考查从图像获取信息的能力，根据一次函数得出函数位于y轴下方时x的取值范围求解即可．理解题意并合理利用图像是关键． 【详解】解：根据图像可知：当时，， 故答案为：． 一次函数的图像如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数图象的性质与解不等式的综合，根据一次函数图象与坐标轴的交点，图象的性质即可求解． 【详解】解：一次函数的图象与x轴的交点横坐标为， ∴当时，x的取值范围是， 故选：D． 知识点9：一次函数的性质（难点） 1.一次函数的性质 k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 2.常数k,b的符号与直线 y=kx＋b(k≠0)的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 常数k,b的符号 k＞0,b＞0 k＞0,b＜0 k＞0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 常数k,b的符号 k＜0,b＞0 k＜0,b＜0 k＜0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 【特别提醒】 根据k,b的符号，可以画出函数的大致图象，知道函数图象所经过的象限.反之，根据一次函数的图象，也可推出k,b的符号(或取值范围). 知识点10：一次函数图象上点的坐标特征（重点） 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 下列四个选项中，符合直线的性质的选项是（    ） A．经过第一、三、四象限 B．随的增大而增大 C．函数图象必经过点 D．与轴交于点 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质即可判断A、B；求出当时的函数值即可判断C、D． 【详解】解：∵直线解析式为，，， ∴直线经过第一、二、四选项，y随x增大而减小，故A、B不符合题意； 当时，，即函数经过点，故C符合题意； 当时，，即直线与轴交于点，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数的性质，一次函数与y轴的交点，熟知一次函数的相关知识是是解题的关键． 题型一．一次函数的定义 例1．下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数和正比例函数的定义逐项判断即可求解． 【解答】解：、，不是一次函数，不符合题意； 、是一次函数但不是正比例函数，符合题意； 、是正比例函数，不符合题意； 、中的次数为2，不是一次函数，不符合题意， 故选：． 【变式1】下列四个函数中属于一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义即可求解． 【解答】解：、是反比例函数，不是一次函数，故不符合题意； 、是一次函数，故符合题意； 、是二次函数，不是一次函数，故不符合题意； 、不是一次函数，故不符合题意； 故选：． 【变式2】下列函数中为一次函数的是（　　） A． B．是常数） C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义解答即可． 【解答】解：、在中，不是整式，不是一次函数，不符合题意； 、当时，是常数）不是一次函数，不符合题意； 、是一次函数，符合题意； 、不是一次函数，不符合题意． 故选：． 【变式3】下列关系式中，不是的一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】一般地，形如的函数叫做一次函数，据此进行判断即可． 【解答】解：根据一次函数的定义逐项分析判断如下： ．，是一次函数，不符合题意； ．，是一次函数，不符合题意； ．，不是一次函数，符合题意； ．，是一次函数，不符合题意； 故选：． 【变式4】如果函数是一次函数，那么的值是（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义可知：且，从而可求得的值． 【解答】解：是一次函数， 且， 解得． 故选：． 【变式5】若是关于的一次函数，则的值为 　 　． 【分析】根据一次函数的定义条件：次数最高项是一次项，且一次项系数不等于0即可求解． 【解答】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为：． 【变式5】要使是关于的一次函数，则　0　． 【分析】根据一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1，即可得出的值． 【解答】解：根据一次函数的定义可得：，， 由，解得：或2， 又，， ． 故答案为：0． 题型二．一次函数的图象 例2．正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据正比例函数的函数值随的增大而增大判断出的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：正比例函数的函数值随的增大而增大， ， ， 一次函数的图象经过一、二、三象限， 故选：． 【变式1】已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象和性质求解． 【解答】解：由图象得：，， 故选：． 【变式2】一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】根据一次函数的、的符号判定该一次函数所经过的象限即可． 【解答】解：一次函数的，， 一次函数图象经过第一、三、四象限， 即一次函数图象不经过第二象限． 故选：． 【变式3】当，函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据、的取值范围判定0函数与所经过的象限，从而得到正确的答案． 【解答】解：，， 函数的图象经过第一、二、四象限，函数的图象经过第一、三、四象限，观察图象，只有选项符合题意． 故选：． 题型三．一次函数的性质 例3．一次函数的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】 【分析】根据一次函数的性质即可判断该一次函数的图象的位置． 【解答】解：，， 经过一、三、四， 故选：． 【变式1】一次函数的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】根据、的符号判断即可． 【解答】解：由条件可知一次函数中随的增大而增大，且与轴交于正半轴， 一次函数的图象经过第一象限、第二象限、第三象限， 图象不经过第四象限， 故选：． 【变式2】已知函数，其中常数、，那么这个函数的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】根据函数，其中常数、判断出函数的图象所经过的象限即可． 【解答】解：函数中、， 函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：． 【变式3】已知函数，当时，函数有最大值为，则的值为（　　） A．1 B． C．或1 D．或或1 【答案】 【分析】根据题意，利用分类讨论的方法，可以求得的值． 【解答】解：函数，当时，函数有最大值为， 当时，，此时时，取得最大值，即，得（不合题意，舍去）； 当时，时，取得最大值，此时，得（不合题意，舍去）； 当时，，此时时，取得最大值，即，得； 由上可得，的值为1， 故选：． 题型四．一次函数图象与系数的关系 例4．若一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．随的增大而增大 D．当时， 【答案】 【分析】根据一次函数的图象和一次函数的性质，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由图象可得， 、一次函数图象过第一、二、四象限， ，原说法错误，不符合题意； 、令，则，原说法错误，不符合题意； 、由函数图象可知，随的增大而减小，原说法错误，不符合题意； 、由函数图象可知，当时，，正确，符合题意， 故选：． 【变式1】已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】在一次函数中，当，时，一次函数经过第一、二、三象限，当，时，一次函数经过第一、三、四象限，当，时，一次函数经过第一、二、四象限，当，时，一次函数经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【解答】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ， 故选：． 【变式2】要使函数的图象经过、轴的正半轴，则与的取值范围应为（　　） A．， B． C． D． 【答案】 【分析】函数的图象经过、轴的正半轴，则应有，求解不等式即可． 【解答】解：由条件可知一次函数过一、二、四象限， ， 解得，． 故选：． 【变式3】一次函数的图象在轴上的截距是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】 【分析】依据题意，令，则，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，一次函数为， 令，则． 一次函数的图象在轴上的截距是． 故选：． 【变式4】在平面直角坐标系中，已知点，，直线与线段有交点，则的取值范围为（　　） A．或 B．且 C． D． 【答案】 【分析】由直线解析式可得直线过定点，然后分别将，，代入一次函数求，进而求解． 【解答】解：， 直线过定点， 直线与线段有交点， 当直线过时，则，解得； 当直线过时，则，解得， 直线与线段有交点，的取值范围为或． 故选：． 题型五．一次函数图象上点的坐标特征 例5．对于函数，下列说法不正确的是（　　） A．图象过点 B．图象不经过第四象限 C．随的增大而增大 D．图象与坐标轴围成三角形的面积为4 【答案】 【分析】根据所给一次函数解析式，结合一次函数的性质进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为一次函数的解析式为， 则当时，， 所以图象过点， 故选项不符合题意； 因为，， 所以函数图象经过第一、三、四象限， 故选项符合题意； 因为， 所以随的增大而增大， 故选项不符合题意； 由得，； 当时，， 所以图象与坐标轴围成三角形的面积为， 故选项不符合题意． 故选：． 【变式1】已知一次函数，，其中的图象经过点，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】 【分析】利用函数图象上点的特征和一次函数的性质得到，，逐项判断即可． 【解答】解：已知一次函数，，其中的图象经过点， ， 即， 故， ，， 令，则， 因为， 所以， 解得； 令，则， 因为， 所以， 解得； 当时，， ， 所以． 当时， ， ， 所以； 当时，，， 所以； 、若，则，由上述分析可知， 当时，，， 所以，该选项正确； 、若，则，当时，， 当或时，， 所以该选项错误； 、若，则，由上述分析可知，当或时，，所以该选项错误； 、若，则，由上述分析可知，当时，，所以该选项错误． 故选：． 【变式2】一次函数上有两点，，则，的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】 【分析】对于一次函数为常数，，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，据此求解即可． 【解答】解：在一次函数中，， 随增大而增大， 点，在一次函数的图象上，且， ， 故选：． 【变式3】已知，，，，，三点均在直线，为常数，，上，且，则下列判断正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】 【分析】由题意可知直线经过第一、三、四象限，且随值的增大而增大，时，，时，的取值可正可负可零，结合选项判断即可． 【解答】解：，， 直线经过第一、三、四象限，且随值的增大而增大， 若，则，， ，或都可能， 故不符合题意； 若，则于同号，则，或，， 当，时，，但是和的正负性不确定； 当，时，或都可能，此时但是的正负性不确定； 故不符合题意； 若，则，，，则，， ， 故符合题意； 若，则，，，则，，的正负性不确定， 故不符合题意； 故选：． 题型六．一次函数图象与几何变换 例6．将的图象沿轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象相应的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，图象向上平移2个单位长度，则平移后的图象相应的函数表达式是． 故选：． 【变式1】若要把直线的图象变为直线的图象，则平移正确的是（　　） A．向上平移8个单位 B．向上平移10个单位 C．向下平移8个单位 D．向下平移10个单位 【答案】 【分析】依据题意，根据“左加右减，上加下减”的平移规律，即可判断得解． 【解答】解：由题意，设直线向右平移个单位或向下平移个单位可得直线，即， 或即为， 或． 或． 直线向右平移个单位或向下平移10个单位可得直线，故正确，、、错误． 故选：． 【变式2】如图，把△放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为、，将△沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（　　） A．80 B．88 C．96 D．100 【答案】 【分析】根据题意结合勾股定理得出的长，进而得出平移后点的横坐标，求出平移的距离，进而得出线段扫过的面积． 【解答】解：点、的坐标分别为、， ， ，， ， 点纵坐标为：8， 将△沿轴向右平移，当点落在直线上时， 时，， 解得：， 即点向右平移个单位， 线段扫过的面积为：． 故选：． 【变式3】一次函数的图象向上平移3个单位，平移后图象与轴的交点为　　 ． 【分析】根据“上加下减”的平移法则，求出平移后的一次函数解析式，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 一次函数的图象向上平移3个单位后，所得一次函数的解析式为， 将代入得， ， 所以平移后图象与轴的交点为． 故答案为：． 题型七．待定系数法求一次函数解析式 例7．已知与成正比例，当时，． （1）求出与的函数关系式； （2）设点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）设，再由当时，，求出的值即可； （2）将代入函数解析式即可得出答案． 【解答】解：（1）设， 由条件可得， ， ，即； （2）由条件可得， ． 【变式1】如图，直线过点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）若点是轴上的一点，当△的面积为6时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或． 【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式； （2）设，先利用直线的解析式确定，再根据三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点的坐标． 【解答】解：（1）设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为； （2）设， 当时，， ， △的面积为6， ， 解得或， 点的坐标为或． 【变式2】一次函数，都是常数，且的图象经过，两点． （1）求函数解析式； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）把点、点坐标分别代入中得到关于、的方程组，然后解方程组即可； （2）先分别计算自变量为和2所对应的函数值，然后根据一次函数的性质得到的取值范围． 【解答】解：（1）把，的坐标分别代入得， 解得， 所以函数解析式为； （2）当时，， 当时．， 所以的取值范围是． 【变式3】如图，直线与直线相交于点，交轴于点，交轴负半轴于点，且． （1）求直线和的解析式； （2）若是直线上一点，且的面积是9，求点的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为，直线的解析式为； （2）或． 【分析】（1）点代入直线即可求得，得到直线的解析式为，进一步求得，由，求得，然后利用待定系数法即可求解； （2）利用三角形面积求得点的横坐标，代入即可求得纵坐标． 【解答】解：（1）点代入直线得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， ， 将点，代入得，， 解得． 直线的解析式为； （2）设点到轴的距离为， ， ， 当时，， 当时，， 或． 【变式4】已知点、在直线上，和函数的图象交于点． （1）求直线的表达式． （2）若点的横坐标为1，求△的面积． 【分析】（1）由于点、在直线上，可用待定系数法确定直线的表达式； （2）根据两直线的解析式求得、的坐标，然后根据求得即可． 【解答】解：（1），在直线上， 代入得：， 解得：， 直线． （2）在直线上，且点的横坐标为1， ， ， 点在上， 代入得：， 解得：， ， 与轴交于点， ， 解得， 即点， ， ． 题型八．一次函数与一元一次方程 例8．如图，一次函数的图象交轴于点，则关于的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】一次函数与轴交点的横坐标的意义：在一次函数中，当时，就得到方程，而一次函数的图象与轴交点的坐标为，此时的值就是方程的值． 【解答】解：已知一次函数的图象交轴于点，也就是当时，， 方程的解就是使中时的值， 关于的方程的解为． 故选：． 【变式1】如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，则关于的方程的解是 　　． 【答案】． 【分析】利用正比例函数求得点坐标，然后确定方程的解． 【解答】解：设点坐标为， 将代入中， ， ， 即点坐标为， 关于的方程的解是， 故答案为：． 【变式2】已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 　　 ． 【答案】． 【分析】利用时，函数值为0，，从而得到关于的方程的解． 【解答】解：一次函数的图象经过点， 即时，， 关于的方程的解为． 故答案为：． 【变式3】若一次函数为常数）的图象经过点，则方程的解为 ． 【答案】． 【分析】把点代入一次函数，求出的值，然后解方程即可． 【解答】解：一次函数为常数）的图象经过点， ，解得， 方程为， 解得． 故答案为：． 【变式4】已知关于的方程有无数个解，那么直线与坐标轴围成的三角形的面积为　 　 ． 【答案】． 【分析】先根据关于的方程有无数个解求出的值，进而得出直线的解析式，再求出此直线与坐标轴的交点，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：关于的方程可化为， 此方程有无数个解， ，解得， 直线的解析式为， 此直线与坐标轴的交点分别为，，， 直线与坐标轴围成的三角形面积． 故答案为：． 题型九．一次函数与一元一次不等式 例9．如图，一次函数的图象经过点，则一元一次不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先利用图象过，确定函数值，再考虑函数的增减性利用不等式求解集即可． 【解答】解：由条件可知时，， 又由图象知，一次函数随的增大而增大， 关于的不等式的解集是． 故选：． 【变式1】若点、在直线图象上，则（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】 【分析】根据一次函数的性质确定其增减性，然后根据横坐标的大小确定纵坐标的大小即可． 【解答】解：直线中， 随着的增大而减小， 、在直线图象上且， ， 故选：． 【变式2】已知直线的解析式为，直线的解析式为，在直线上，在直线上．下列说法正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】 【分析】由两直线的解析式变形得到直线和直线交于点，结合图象即可判断． 【解答】解：，， 直线和直线交于点， 若，，则直线在直线的上方，如图1， 则．故正确，错误； 若时，如图2， 则，则，，则．故、错误． 故选：． 【变式3】如图，直线经过和两点，则不等式的解集为 ． 【答案】． 【分析】可以从函数图象的角度去分析，就是确定的解集就是确定直线在直线上方且在直线下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【解答】解：由图象可知不等式的解集为． 故答案为：． 【变式4】如图，已知一次函数与图象的交点坐标为，现有下列四个结论：①；；②方程的解是；③；④若，则；其中正确的结论是 　 　 （填写序号）． 【答案】②④． 【分析】直接利用一次函数的性质对①进行判断；利用一次函数与的图象的交点坐标为得到时，，从而可对②进行判断；结合函数图象，当时，，所以，从而可对③进行判断；先把代入中求出，则一次函数的解析式为，接着求出一次函数与轴的交点坐标为，，然后结合函数图象，写出在轴下方且直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【解答】解：一次函数的图象经过第一、三象限， ， 一次函数经过第一、三象限，与轴的交点在轴的负半轴上， ，， ，所以①错误； 一次函数与图象的交点坐标为， 时，， 即方程的解是，所以②正确； 当时，，即， 即，所以③错误； 把代入得， 解得， 一次函数的解析式为， 一次函数与轴的交点坐标为，， 当时，，所以④正确． 故答案为：②④． 题型十．两条直线相交或平行问题 例10．如果直线与直线相交于轴上，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】求出直线与轴的交点坐标，再代入到直线中，进行求解即可． 【解答】解：当时，解得：， 直线与轴的交点坐标为， 直线与直线相交于轴上， 把代入，得：， 解得：； 故选：． 【变式1】经过点且平行于的直线不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】依据题意，由所求直线平行于，则可设所求直线为，结合所求直线过，从而，可得所求直线为，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，所求直线平行于， 可设所求直线为． 又所求直线过， ． ． 所求直线为． 该直线经过第二、三、四象限． 经过点且平行于的直线不经过第一象限． 故选：． 【变式2】一次函数与平行，且经过点，则表达式为：　 　． 【分析】根据一次函数与平行，可求得的值，再把点代入即可求得一次函数的解析式． 【解答】解：一次函数与平行， ， 又函数经过点 ，解得： 函数的表达式为． 【变式3】直线与直线平行，与直线相交于点，则直线的解析式为　 　 ． 【答案】． 【分析】求一次函数的解析式，由两直线平行可得，再由直线与直线相交于点得出，即可得解． 【解答】解：直线与直线平行， ， 由题意可得：， 直线的解析式为． 故答案为：． 1．下列函数中，表示是的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据一次函数的概念进行解答即可． 【详解】解：A、，当时，不是一次函数，故本选项不符合题意； B、自变量次数不为，不是一次函数，故本选项不符合题意； C、，的次数不为，不是一次函数，故本选项不符合题意； D、，符合一次函数的定义，是一次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数的概念，熟练掌握一次函数的概念是解题的关键，注意：形如的函数，叫一次函数． 2．正比例函数的图像是一、三象限角的平分线，则一次函数的图像大致是（   ） A． B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图像：一次函数、为常数，图像分布与k，b得关系是解题的关键． 【详解】∵正比例函数的图像是一、三象限角的平分线， ∴， ∴一次函数的图像一定经过第一，第三象限； ∵与y轴的交点为，且， ∴交点位于y轴的正半轴上， ∴A选项错误； ∴B选项正确； ∴C选项错误； ∴D选项错误． 故选B． 3．一次函数的图像在y轴上的截距是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与轴的交点坐标，掌握截距的定义是解题的关键． 根据一次函数的一般形式，其中为轴上的截距，将题目中的函数整理为标准形式，即可直接读出截距． 【详解】解：将函数整理为，可知常数项为，即轴上的截距是 故选：B． 4．下列说法正确的是（   ） A．方程的解可以看成直线与轴交点的纵坐标 B．方程的解可以看成直线与轴交点的横坐标 C．方程的解可以看成直线与轴交点的纵坐标 D．方程的解可以看成直线与轴交点的横坐标 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 根据一次函数与一元一次方程的关系即可得出结论． 【详解】解：∵方程的解是函数的图象与轴交点的横坐标， ∴方程的解可以看成直线与轴交点的横坐标； ∵方程可转化为：， ∴的解也可以看成直线与轴交点的横坐标； 故选：B． 5．若一次函数（k，b是常数）的图象不经过第三象限，则一次函数的图象（    ） A．经过二、三、四象限 B．不经过第一象限 C．经过一、二、四象限 D．不经过第三象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图像的分布，熟练掌握图像分布与ｋ，ｂ的关系是解题的关键． 根据图象不经过第三象限，确定，，从而确定，进而求解即可 【详解】∵一次函数的的图象不经过第三象限， ∴，， ∴ ∴一次函数的图象不经过第一象限． 故选：B． 6．已知函数的图象经过点，，则比较，的大小为 ．（填“”，“”，“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据解析式可得增减性，再由增减性即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∵函数的图象经过点，，且， ∴， 故答案为：． 7．正比例函数的图象经过原点和第一、三象限，则直线经过第 象限． 【答案】一，二，四 【分析】本题考查判断直线经过的象限，根据正比例函数的图象经过原点和第一、三象限，得到，再根据直线的解析式，判断直线经过的象限即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过原点和第一、三象限， ∴， ∴，， ∴直线过第一，二，四象限； 故答案为：一，二，四 8．一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质．解题时，利用了一次函数图象的性质．首先得到一次函数的增减性，然后结合自变量的取值范围得到函数值的取值范围即可． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴随着的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴函数值的取值范围为， 故答案为：． 9．将直线向上平移，使之经过点，则平移后的函数图象是原函数图象向上平移 个单位长度得到的． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，求一次函数解析式，设将直线向上平移m个单位后得到的直线经过点，则平移后的直线解析式为，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设将直线向上平移m个单位后得到的直线经过点， ∴平移后的直线解析式为， ∴， ∴， 故答案为：3． 10．甲、乙、丙三个同学对一个一次函数图像的特征有如下的描述． 甲：随的增大而增大． 乙：图像经过点 丙：图像不经过第四象限 请根据他们的描述，写出一个符合条件的函数表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一次函数的性质，数形结合是解题的关键，属于开放型的题型．设一次函数解析式为，根据函数的性质得出，从而确定一次函数解析式，本题答案不唯一． 【详解】解：设一次函数解析式为， 随的增大而增大， ， ∵函数的图象经过点， ∴， ∵函数的图象不经过第四象限， ∴， 当取时，则，故一次函数表达式为：， ∴满足上述性质的一个函数表达式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 11．已知函数，其中与成正比例，与成正比例，当时，，当时，， (1)求与之间的函数表达式 (2)当时，求的值 【答案】(1) (2)26 【分析】本题考查了用待定系数法求出正比例函数的解析式的应用，注意利用正比例函数的定义设出函数关系式． （1）设，得出，代入得出方程组，求出方程组的解即可； （2）把代入函数解析式，即可得出答案． 【详解】（1）解：设， 则， 把和代入得：， 解得：， ， ∴y与之间的函数表达式是； （2）解：把代入得：． 12．已知一次函数 (1)若函数图象在轴上的截距为，求的值 (2)若函数图象不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系；时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． （1）根据图象在轴上的截距为，列出方程解方程即可； （2）根据图象不在第二象限，，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：函数的图象在轴上的截距为-3， ， 解得； （2）函数的图象不过第二象限， 由①得，， 由②得，， 所以，． 13．已知直线． (1)k为何值时，直线过原点； (2)k为何值时，y随x的增大而减小； (3)k为何值时，直线与直线平行． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数的性质及两条直线相交问题， （1）根据一次函数性质，当直线过原点时，则，求出结论即可； （2）根据一次函数性质y随x的增大而减小时，则，求出结论即可； （3）根据两直线平行时，则k的值相等，求出结论即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过原点， ∴ 解得：； （2）解：∵一次函数中y随x的增大而减小 ∴ ∴； （3）解：∵一次函数的图象平行于直线， ∴， ∴． 14．已知关于的一次函数． (1)若随的增大而减小，求的取值范围； (2)若函数图象经过第一、二、三象限，求的取值范围； (3)若函数图象与轴的交点在原点上方，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)且． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （）根据一次函数的图象与性质即可求解； （）根据一次函数的图象与性质即可求解； （）根据一次函数的图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：∵随的增大而减小， ∴， ∴； （2）解：∵函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴； （3）解：∵函数图象与轴的交点在原点上方， ∴， ∴， ∵关于的函数是一次函数， ∴，即， ∴的取值范围是且． 15．如图，一次函数的函数图象与轴，轴分别交于点，． (1)若点为第三象限内一个动点，请问的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由？ (2)在（1）的条件下，试用含的代数式表示四边形的面积；若的面积是，求的值． 【答案】(1)不变，面积是1 (2)， 【分析】本题考查了一次函数与几何图形，一次函数与坐标轴交点问题； （1）求出、点的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论； （2）由，即可得出四边形的面积，再由的面积是可得出的值． 【详解】（1）解：不变，理由是： 一次函数的图象与轴、轴分别交于、， 当时，，当时， 则点、的坐标分别为、， ∴ ∵点为第三象限内一个动点， ∴． （2）解：∵, , ∴ 解得． 16．如图在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，． (1)求的面积． (2)C为延长线上的一点，连接，以和为直角边作等腰直角三角形，若，求直线的解析式 (3)点E在坐标平面内，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出符合条件的点E的坐标． 【答案】(1)6 (2) (3)或或 【分析】（1）由，求出，得，由，得，得，即得； （2）过点D作轴于F，证明，得，得，得，即可求出直线的解析式为； （3）当为边时，由，，， 得，，得，，，，得，，当为对角线时，由,，得． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 由图知， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 如图，过点D作轴于F， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴． （3）解：如图， ∵以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为边时，， 由（2）知，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 当为对角线时，互相平分， ∵,， ∴． ∴点E的坐标为f或或． 【点睛】本题考查了一次函数与三角形综合，熟练掌握一次函数的图象和性质，三角形面积公式，用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，分类讨论的思想，是解题关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $