专题16.3 平行线（平行的判定与性质）（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

本讲义聚焦平行线的判定与性质核心知识点，系统梳理同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的判定定理，及两直线平行时同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的性质定理，通过区分“由角证线”与“由线证角”的逻辑方向，结合几何语言规范和即学即练构建基础，以角平分线、拐角模型为拓展支架，形成完整学习脉络。 资料以核心素养为引领，通过“定义-几何语言-模型总结”设计，培养几何直观（图形观察）、推理意识（规范推理）和模型意识（如拐角模型辅助线）。课中助力教师授课逻辑清晰，课后学生可借分层题型与模型归纳查漏补缺，深化判定与性质的综合运用能力。

专题16.3平行线（平行线的判定与性质） 教学目标 1.掌握平行线的 3 个判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，能准确用符号语言表述并用于判定两直线平行。 2.掌握平行线的 3 个性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，能准确用符号语言表述并用于求角、简单推理。 3.能区分 “由角证线（判定）” 和 “由线证角（性质）”，并综合运用判定与性质解决简单几何计算与证明题。 教学重难点 1.重点 平行线的3个判定定理与3个性质定理的内容理解、符号语言表达及应用,以及规范书写简单的几何推理过程； 2.难点 区分平行线的判定与性质，避免混淆 “由角证线” 和 “由线证角” 的逻辑方向，尤其在复杂图形中灵活选用. 知识点01 平行线的判定与性质1 1.两条直线平行的判定公理： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简称：同位角相等，两直线平行. 2.平行线的性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简称：两直线平行，同位角相等. 几何语言表述： 判定： ∵∠1=∠5 ∴a//b (同位角相等，两直线平行) 性质： ∵a//b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 补充：垂直于同一条直线的两直线平行. 几何语言： ∵a⊥b，a⊥c ∴b//c 【即学即练】 1. 下列说法中正确的是（　　） A．同一平面内，两条不垂直的直线一定互相平行 B．内错角相等 C．点到直线的线段最短 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质及邻补角、对顶角的知识，解决本题的关键是注意结合定义及定理判断． 根据对顶角定义，邻补角定义，两条直线的位置关系，平行线的性质逐一进行判断即可． 【详解】A、在同一平面内，两条直线不一定互相平行，也可能相交，故此选项不正确； B、两直线平行，内错角相等，本题缺少“平行”的条件，故内错角不一定相等； C、点到直线的垂线度最短，故此选项不正确； D、对顶角相等，故此选项正确； 故选：D． 2. 如图，已知于D，于F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，证明BD//EF即可； （2）根据两直线平行同位角相等的性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ∵，， ∴∠BDC=∠EFC=90 ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行同位角相等）， ∴． 知识点02 平行线的判定与性质2 平行线的判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简称：内错角相等，两直线平行. 平行线的性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简称：两直线平行，内错角相等. 几何语言表述： 判定： ∵∠3=∠5 ∴a//b (内错角相等，两直线平行) 性质： ∵a//b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 【即学即练】 1. 如图，与相交于点，，点，分别在和上，． 求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等） ∵， ∴（两直线平行，同位角相等） ； 知识点03 平行线的判定与性质3 平行线的判定定理3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简称：同旁内角互补，两直线平行. 平行线的性质定理3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简称：两直线平行，内错角相等. 几何语言表述： 判定： ∵∠2+∠5= ∴a//b (同旁内角互补，两直线平行) 性质： ∵a//b ∴∠2+∠5=（两直线平行，同旁内角互补） 【即学即练】 如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有 （填序号）；能判定的条件有 （填序号）． 【答案】 ①③④ ② 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键． 【详解】①， （同旁内角互补，两直线平行）． ②， （内错角相等，两直线平行） ③， （内错角相等，两直线平行） ④， （同位角相等，两直线平行） 综上，能判定的条件有①③④；能判定的条件有②． 故答案为：①③④；②． 知识点04 平行线的判定与性质的比较 图形 判定 性质 同位角相等，两直线平行 ∵∠1=∠2,∴a//b 两直线平行，同位角相等 ∵a//b∴∠1=∠2 内错角相等，两直线平行 ∵∠3=∠2,∴a//b 两直线平行，内错角相等 ∵a//b∴∠3=∠2 同旁内角互补，两直线平行 ∵∠4+∠2=,∴a//b 两直线平行，同旁内角互补 ∵a//b∴∠4+∠2 【即学即练】 1. 如图，已知直线a，b，c被d所截，且，．试说明：． 解：因为（已知） （___________） 所以___________=___________（等量代换） 所以______________________（___________） 又因为（已知） 所以______________________（___________） 【答案】对顶角相等，2，3，a，c，同位角相等，两直线平行，b，c，平行于同一直线的两条直线互相平行 【分析】根据对顶角相等得到，从而得到，再根据平行线的判定定理得到，从而根据平行线的推论证得． 【详解】解：因为（已知） （对顶角相等） 所以2=3（等量代换） 所以ac（同位角相等，两直线平行） 又因为（已知） 所以bc（平行于同一直线的两条直线互相平行） 【点睛】此题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是熟练掌握性质定理． 知识点05 平行线相关的几何模型 1.平行线中“三线八角角平分线”的模型 模型 文字命题 符号语言 两直线平行 同位角的平行线平行 条件：AB//CD, ME平分∠QMB， NF平分∠QND 结论：ME//NF 两直线平行 内错角的平行线平行 条件：AB//CD, ME平分∠AMN， NF平分∠QND 结论：ME//NF 两直线平行 同旁内角的角平分线互相垂直 条件：AB//CD, ME平分∠BMN， NF平分∠QND 结论：ME//NF 【即学即练】 1. 求证：两直线平行，同位角的平行线平行 如图，已知AB//CD,ME平分∠QMB，NF平分∠QND 求证：ME//NF 证明：∵AB//CD ∴∠QMB=∠QND(两直线平行，同位角相等) ∵ME平分∠QMB，NF平分∠QND ∴∠1=∠QMB，∠2=∠QND ∴∠1=∠2 ∴ME//NF(同位角相等，两直线平行) 2.平行线中“角平分线+平行”的模型 内角平分线 外角平分线 模型 符号语言 条件：BD平分∠ABC DE//BC 结论：∠1=∠3 条件：CE平分∠ACF DE//BC 结论：∠1=∠3 【即学即练】 1. 如图，在△ABC中，CE平分三角形的一个外角∠ACF，D为AC上一点且DE//BC， 求证：∠1=∠3 证明：∵CE平分∠ACF ∴∠1=∠2 ∵DE//BC ∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等） ∴∠1=∠3 3平行线中“内拐、外拐”的模型 平行的拐角模型很多，名称很复杂概括起来实则就两种：内拐和外拐. 内拐 AB//CD ⇒∠BOD=∠B+∠D AB//CD ⇒∠BOD+∠B+∠D=360 外拐 AB//CD ⇒∠BOD=∠D-∠B AB//CD ⇒∠BOD=∠B-∠D 共性 过拐点作平行，利用平行公理的推论及平行线的判定与性质证明 【即学即练】 1. 如图，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，作，根据平行线的性质求出，，进而可求出的度数． 【详解】解：如图，作 ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 题型01 平行线判定与性质相关命题的辨析 【典例1】在下列说法中，正确的个数有（   ） ①同位角相等；②对顶角相等；③同旁内角不一定互补；④两条不相交的直线叫做平行线． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线及对顶角的知识，掌握其定义及性质是解决此题的关键． 根据平行线的定义及性质可以判定①③④；根据对顶角的性质可以判断②． 【详解】解：对于①，只有当两直线平行时，同位角才相等，说法错误； 对于②，根据对顶角的性质，对顶角相等，说法正确； 对于③，只有当两直线平行时，同旁内角才互补，故同旁内角不一定互补，说法正确； 对于④，根据平行线的定义，平行线是在同一个平面上定义的，故④错误； 正确说法的有②③． 故选：C． 【变式1】下列命题正确的是（   ） A．相等的两个角是内错角 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同旁内角互补 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握对顶角的性质、平行线的判定及性质、平行公理、垂直公理等知识是解答此题的关键，逐一分析各选项的正确性：A选项忽略了对顶角以外的等角情况；B选项未限定“直线外一点”，导致命题不严谨；C选项缺少两直线平行的前提条件；D选项符合平面几何中垂线的唯一性，即可作答． 【详解】解：A、相等的角不一定是内错角，例如对顶角相等，故该选项不符合题意； B、平行公理要求“过直线外一点”才有且仅有一条平行线，而选项未排除点在直线上的情况，故该选项不符合题意； C、同旁内角互补需满足两直线平行，否则不成立，故该选项不符合题意； D、根据平面几何性质，过一点（无论是否在直线上）有且仅有一条垂线，故该选项符合题意； 故选：D 【变式2】已知，，是三条直线，下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线以及垂线的有关性质，熟练掌握它们的基本性质是解题的关键． 根据平行线以及垂直的有关性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，，则，由平行线的性质可得，故该选项正确，符合题意； B、若在同一平面内，，，则，故该选项错误，不符合题意； C、若，，则，故该选项错误，不符合题意； D、若，，则，故该选项错误，不符合题意． 故选：A． 【变式3】下列说法中，正确的是（    ） A．相等的角是内错角 B．在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交和垂直三种 C．如果直线，那么 D．过直线外一点作该直线的垂线，垂线段的长度就是这个点到这条直线的距离 【答案】D 【分析】本题考查几何基本概念，包括内错角、平面内直线的位置关系、平行线的传递性及点到直线的距离，根据以上知识逐一分析各选项的正确性，即可求解． 【详解】解：A：相等的角不一定是内错角．例如对顶角相等，但并非内错角，故A错误． B：在同一平面内，两条直线的位置关系仅有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，而非独立分类，故B错误． C：若直线且，根据平行线的传递性，应有，而非垂直，故C错误． D：直线外一点到直线的垂线段的长度即为点到直线的距离，符合定义，故D正确． 故选：D． 【变式4】下列四个说法中，正确的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，如果有两个角互补，那么这两条直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．两直线相交形成的四个角相等，则这两条直线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，对顶角定义，角的计算，逐一判断各选项，可得到结果． 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，不符合题意； B．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，故原说法错误，不符合题意； C．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原说法错误，不符合题意； D．两直线相交形成的四个角相等，则每个角都是，这两条直线互相垂直，故原说法正确，符合题意， 故选：D． 题型02 与同位角相关的题型 【典例1】如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)∠____=∠_____（已知）， （    ）． 【答案】(1)，，同位角相等，两直线平行 (2)∠1，∠C，同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是做题的关键． （ 【详解】（1）解：， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：，，同位角相等，两直线平行． （2）解：∵∠1=∠C， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【变式1】将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，若∠1=50，则∠4=________. 【答案】40 【分析】本题主要考查了平行线的性质、余角的性质等知识点．根据行线的性质和余角的性质逐个判断即可解答． 【详解】解：根据两直线平行，同位角相等，可得， ∵三角板的顶角是直角， ∴， ∴， ∴∠4=90-∠1=40 【变式2】如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，本题逐个分析每个选项，结合平行线的判定定理，判断条件是否能推出． 【详解】解：A、，无法判定，不符合题意； B、，无法判定，不符合题意； C、，无法判定，不符合题意； D、∵， ∴， ∴(同位角相等，两直线平行)，符合题意． 故选：D． 【变式3】如图，，试证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，根据邻补角求出的度数，得到，根据同位角相等，两直线平行，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4】如图，，与互为补角．求证：，AG//EC 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角的性质：同角的补角相等，平行线的判定等知识；熟悉这些知识是关键；由题意得，再由平行线的判定即可证明． 【详解】证明：(1)∵，与互为补角， ∴， ∴． (2)∵(已知)， 又∵（平角的定义）， ∴， ∴AG//EC． 题型03 与内错角相关的题型 【典例1】张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下： 甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行； 乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行； 丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行； 对三位同学的答案判断正确的是 ． 【答案】乙、丙 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：， 若添加，则，即同旁内角不互补，所以不能判断，则甲的答案错误； 若添加，则，根据同位角相等，两直线平行，可得，则乙的答案正确； 若添加，则，根据内错角相等，两直线平行，可得，则丙的答案正确． 故答案为：乙、丙 【变式1】如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判定，即可求解． 【详解】解：因为，所以（内错角相等，两直线平行．），故D符合题意； A、B、C选项都无法判断． 故选：D． 【变式2】如图所示，如果，则：．上述结论中一定正确的是 ． 【答案】① 【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：， ， 故①正确；而②③错误． 故答案为：① 【变式3】如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握内错角/同位角相等则两直线平行，两直线平行则内错角/同位角相等是解题的关键． 先利用同角的补角相等推出，得到；再结合，通过平行线性质和等量代换，得到，从而得到；最后利用平行线的性质，证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4】补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握好平行线的判定定理的解题关键． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型04 与同旁内角相关的题型 【典例1】如图，下列条件中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答本题的关键． 根据平行线的判定知识逐项判断即可． 【详解】解：A、，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； B、，则（同旁内角互补，两直线平行），故不符合题意； C、，则，不能证明，故符合题意； D、，而，故，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； 故选：C． 【变式1】如图，下列推论及所注理由正确的是（　　） A．∵，∴（两直线平行，同位角相等） B．∵，∴（两直线平行，内错角相等） C．∵，∴（对顶角相等） D．∵，∴（同旁内角互补，两直线平行） 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．根据平行线的判定与性质逐一进行判断推理即可． 【详解】解：A、∵，∴（同位角相等，两直线平行），原说理错误，本选项不符合题意； B、∵，∴（内错角相等，两直线平行），原说理错误，本选项不符合题意； C、由，只是对顶角相等，不能推出，原说法错误，本选项不符合题意； D、∵，∴（同旁内角互补，两直线平行），本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同旁内角互补、内错角相等、同位角相等时，对应的两直线平行是解题的关键． 逐个分析每个条件，结合平行线的判定规则，判断能否推出． 【详解】解：①，（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； ②，（内错角相等，两直线平行），无法判定，不符合题意； ③，（内错角相等，两直线平行），符合题意； ④，（同位角相等，两直线平行），符合题意． 综上所述，能判定的条件有3个， 故选：C． 【变式3】完成推理填空： 如图，已知，．将证明的过程填写完整． 证明： ∵， ∴（ ）． ∴（ ）． 又∵， ∴（ ）． ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线判定与性质，根据同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，两直线平行内错角相等等定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【变式4】已知：如图，，．直线AD与BE平行吗？直线AB与DC平行吗？请说明理由（在横线上填空）． 解：直线AD与BE平行，直线AB与DC____________． 理由：因为（已知）， 所以AD________BE（________________________）， 所以（________________________）． 又因为（已知）， 所以________________（等量代换）， 所以AB________DC（________________________）． 【答案】见解析 【分析】先通过与∠B的位置关系判定与平行，再利用平行线的内错角相等性质得到，结合已知进行等量代换，得到与的位置关系，进而判定与平行． 【详解】解：直线AD与BE平行，直线AB与DC平行 理由：因为（已知）， 所以（同旁内角互补两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）, 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 题型05 平行线判定与性质的综合 【典例1】先判定后性质的综合 如图,∠1=∠2,∠3=50°,∠ABC等于多少度? 【详解】：∵∠1=∠2 ∴a//b ∴∠ABC=∠ 3=50. 【变式1】先性质后判定的综合 如图已知直线a//b,∠1=∠3,那么直线c与d平行吗?为什么? （1） 【解析】；∵a//b ∴∠1=∠2 ∵∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∴c//d 【变式2】判定与性质的灵活运用 如图，直线和直线被直线所截，，求证：． 证明：， ______ ， ____________． 即______． ______ 【答案】两直线平行，内错角相等 内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【详解】证明：， 两直线平行，内错角相等． ， ． 即． （内错角相等，两直线平行． 【变式3】如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据，即可得到结果． 【详解】证明：∵， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 【变式4】如图，点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，连接CE并延长至点M，，． (1)试说明：． (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，，求的度数． 【答案】(1)说明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）观察和的位置关系，利用同位角相等的条件判定CE与GF平行； （2）由推出角相等，结合证明，进而得到与的数量关系； （3）利用平行线的性质求出相关角的度数，通过角的和计算的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型06 与平行线相关的几何模型 【典例1】如图，点P在上，已知，，请说明的理由． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据两直线平行，内错角相等得，则，即，运用内错角相等，两直线平行得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 【变式1】如图，在三角形中，平分交边于点E，点D在边上，连接，且． (1)尺规作图：过点A作交的延长线于点F； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图---作一个角等于已知角，平行线的判定，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的作图方法，平行线的判定定理． （1）根据作一个角等于已知角的方法作出，再由平行线的判定即可得到； （2）先根据角平分线以及已知证明，则，再由即可得到． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，能正确作出辅助线是解此题的关键． 过C作，求出，根据平行线的性质得出，，即可求出答案． 【详解】解：如图，过C作直线， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式3】探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由题意可知，，根据平行线的性质可得，，由此即可求解出的度数． 【详解】解：由题意可知：，， 而，， ， ， ． 故选：D． 【变式4】【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【答案】（1），理由见解析；（2）；【分析】本题主要考查了旋转的定义、平行线的性质、三角形外角的性质、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）如图，过E点作，根据平行线的性质、角的和差以及等量代换即可解答； （2）如图：延长相交于点P，过P作，易得则、，由垂直的定义可得，然后根据角的和差以及平行线的性质即可解答； 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过E点作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图：延长相交于点P，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 一、单选题 1．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据在同一平面内，两条直线的位置关系判断即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是相交或平行，相交包含垂直． 故选C． 【点睛】本题考查在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系，理解两直线的位置关系是解题关键． 2．如图，直线AB与CD相交于点E，EF平分∠CEB，．若∠F=70°，则∠3=（    ） A．70° B．40° C．50° D．30° 【答案】B 【分析】先利用角平分线的定义和平角的定义计算出∠2，根据平行线得性质得到∠F的度数． 【详解】∵EF平分∠CEB ∴∠1=∠2 ∵ ∴∠F=∠2=70° ∵∠1+∠2+∠3=180° ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 3．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，利用平行线的性质求角的度数，先求出的度数，再利用平行线的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 由题意可得， ∵，， ∴， 故选：B． 4．如图，下列能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法对各选项进行判断．熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：A. ，不能判定，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，不能判定，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，根据同位角相等两直线平行，能判定，故该选项正确，符合题意；     D. ，不能判定，故该选项不正确，不符合题意；     故选：C． 5．下列说法中，是平行线性质的是（   ） ①两直线平行，同旁内角互补； ②同位角相等，两直线平行； ③内错角相等，两直线平行； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． A．① B．②③ C．④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质与判定进行分析即可：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；反之，也成立，可判断①，②，③，根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行可判断④． 【详解】解∶ ①两直线平行，同旁内角互补 ，是性质，符合题意； ②同位角相等，两直线平行，是判定定理，不符合题意； ③内错角相等，两直线平行，是判定定理，不符合题意； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，是判定定理，不符合题意． 故选∶ A． 6．如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分别任选其中两个条件作为已知，然后结合平行线的判定与性质，证明剩余一个条件是否成立即可． 【详解】解：如图所示： （1）当①∠1=∠2，则∠3=∠2，故DBEC，则∠D=∠4； 当②∠C=∠D，故∠4=∠C，则DFAC，可得：∠A=∠F， 即①②可证得③； （2）当①∠1=∠2，则∠3=∠2，故DB∥EC，则∠D=∠4， 当③∠A=∠F，故DFAC，则∠4=∠C，故可得：∠C=∠D， 即①③可证得②； （3）当③∠A=∠F，故DFAC，则∠4=∠C， 当②∠C=∠D，则∠4=∠D，故DBEC，则∠2=∠3，可得：∠1=∠2， 即②③可证得①. 故正确的有3个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，正确掌握并熟练运用平行线的判定与性质是解题关键． 二、填空题 7．如图，直线l与直线a，b分别相交，且，，则 °． 【答案】 【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图 ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等，是解题的关键． 8．如图，填写一个能使的条件： ． 【答案】或或 【分析】根据平行线的判定方法，利用同位角相等，同旁内角互补，两直线平行解决问题即可． 【详解】解：当或或时，． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 9．如图，若，则 ．    【答案】 【分析】观察与，是直线、直线被第三条直线所截得到的同旁内角，根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】∵， ∴ (同旁内角互补，两直线平行) 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是准确识别同旁内角、同位角、内错角的位置． 10．如图所示，直线a与直线b互相平行，则的值是________． 【答案】20 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角的性质； 根据两直线平行，同位角相等，可得，根据邻补角定义，可得，解得x，y的值，进而即可求解． 【详解】解：∵直线a与直线b互相平行， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：20 三、解答题 11．已知：如图，，、分别平分与，且．求证：． 证明：， ．（    ） 又∵、分别平分与， ，．（    ） ∵∠______＝∠______．（    ） ∵，（    ） ∴∠2＝______．（等量代换） ∴______//______．（    ） 【答案】等式的性质；角平分线的定义；1；2；等量代换；已知；3； ； ；内错角相等，两直线平行 【分析】由，、分别平分与，可得∠1＝∠2，又由，得到，从而得到． 【详解】证明：， ，（ 等式的性质   ） 又∵、分别平分与， ，，（角平分线的定义   ） ∵∠1＝∠2，（ 等量代换 ） ∵，（ 已知 ） ∴（等量代换） ∴ ．（内错角相等，两直线平行   ） 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 12．推理填空：如图，已知，∠BGC=∠F，求证：∠B+∠F=180°． ∵=___________（已知）； ∴（　　）， ∵=___________（已知）； ∴（　　）， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴（　　） 【答案】；同位角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】根据得，根据得，可得，即可得． 【详解】证明：∵（已知）； ∴（同位角相等，两直线平行）， ∵（已知）； ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补） 故答案为： ；同位角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握理解题意，掌握平行线的判定与性质． 13．如图，在中，于点，是上一点． (1)若，，求证：； (2)若，吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂直的定义，解题的关键是掌握以上知识点 （1）根据题意得到，进而证明； （2）根据题意，进而得到，进而证明． 【详解】（1）证明：∵ ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵ ∴，即， ∵， ∴， ∴． 14．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若DG平分∠CDB，，求∠A的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，结合，可得，从而可得结论； （2）先证明，再证明，再利用平行线的性质证明即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵DG平分∠CDB， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质得到角与角之间的关系是解本题的关键. 15．如图，，试说明． 解：过C点作的平行线． 则___________，（___________） 又因为，（___________） 所以（等量减等量差相等） 所以______________________（　　） 所以（　　　　） 【答案】；两直线平行，内错角相等；已知；；；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行的传递性，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据平行线的性质与判定，平行的传递性一一填空即可． 【详解】解：过C点作的平行线． 则，（两直线平行，内错角相等） 又因为，（已知） 所以（等量减等量差相等） 所以（内错角相等，两直线平行） 所以．（平行于同一直线的两直线平行） 故答案为：；两直线平行，内错角相等；已知；；；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行． 16.中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键； 先根据平行线的判定和性质证明，再根据平行线的性质结合邻补角的定义即可证明． 【详解】证明：如图，延长交于点， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴， 又∵， ∴, ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16.3平行线（平行线的判定与性质） 教学目标 1.掌握平行线的 3 个判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，能准确用符号语言表述并用于判定两直线平行。 2.掌握平行线的 3 个性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，能准确用符号语言表述并用于求角、简单推理。 3.能区分 “由角证线（判定）” 和 “由线证角（性质）”，并综合运用判定与性质解决简单几何计算与证明题。 教学重难点 1.重点 平行线的3个判定定理与3个性质定理的内容理解、符号语言表达及应用,以及规范书写简单的几何推理过程； 2.难点 区分平行线的判定与性质，避免混淆 “由角证线” 和 “由线证角” 的逻辑方向，尤其在复杂图形中灵活选用. 知识点01 平行线的判定与性质1 1.两条直线平行的判定公理： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线______. 简称：___________________________. 2.平行线的性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角______. 简称：___________________________. 几何语言表述： 判定： ∵∠1=∠5 ∴______. (同位角相等，两直线平行) 性质： ∵______. ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 补充：垂直于同一条直线的两直线______.. 几何语言： ∵a⊥b，a⊥c ∴______. 【即学即练】 1. 下列说法中正确的是（　　） A．同一平面内，两条不垂直的直线一定互相平行 B．内错角相等 C．点到直线的线段最短 D．对顶角相等 2. 如图，已知于D，于F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 知识点02 平行线的判定与性质2 平行线的判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简称：___________________________. 平行线的性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.______. 简称：___________________________. 几何语言表述： 判定： ∵∠3=∠5 ∴______. (内错角相等，两直线平行) 性质： ∵______. ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 【即学即练】 1. 如图，与相交于点，，点，分别在和上，． 求证：； 知识点03 平行线的判定与性质3 平行线的判定定理3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线______.. 简称：___________________________. 平行线的性质定理3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角______.. 简称：___________________________. 几何语言表述： 判定： ∵∠2+∠5= ∴______. (同旁内角互补，两直线平行) 性质： ∵______. ∴∠2+∠5=（两直线平行，同旁内角互补） 【即学即练】 如图，现给出下列条件：①；②；③；④；能判定的条件有 （填序号）；能判定的条件有 （填序号）． 知识点04 平行线的判定与性质的比较 图形 判定 性质 同位角相等，两直线平行 ∵__________, ∴a//b 两直线平行，同位角相等 ∵a//b∴__________, 内错角相等，两直线平行 ∵__________,∴a//b 两直线平行，内错角相等 ∵a//b∴__________, 同旁内角互补，两直线平行 ∵__________, ∴a//b 两直线平行，同旁内角互补 ∵a//b∴__________, 【即学即练】 1. 如图，已知直线a，b，c被d所截，且，．试说明：． 解：因为（已知） （___________） 所以___________=___________（等量代换） 所以______________________（___________） 又因为（已知） 所以______________________（___________） 知识点05 平行线相关的几何模型 1.平行线中“三线八角角平分线”的模型 模型 文字命题 符号语言 两直线平行 同位角的平行线平行 条件：AB//CD, ME平分∠QMB， NF平分∠QND 结论：ME//NF 两直线平行 内错角的平行线平行 条件：AB//CD, ME平分∠AMN， NF平分∠QND 结论：ME//NF 两直线平行 同旁内角的角平分线互相垂直 条件：AB//CD, ME平分∠BMN， NF平分∠QND 结论：ME//NF 【即学即练】 1. 求证：两直线平行，同位角的平行线平行 如图，已知AB//CD,ME平分∠QMB，NF平分∠QND 求证：ME//NF 2.平行线中“角平分线+平行”的模型 内角平分线 外角平分线 模型 符号语言 条件：BD平分∠ABC DE//BC 结论：∠1=∠3 条件：CE平分∠ACF DE//BC 结论：∠1=∠3 【即学即练】 1. 如图，在△ABC中，CE平分三角形的一个外角∠ACF，D为AC上一点且DE//BC， 求证：∠1=∠3 3.平行线中“内拐、外拐”的模型 平行的拐角模型很多，名称很复杂概括起来实则就两种：内拐和外拐. 内拐 AB//CD ⇒∠BOD=∠B+∠D AB//CD ⇒∠BOD+∠B+∠D=360 外拐 AB//CD ⇒∠BOD=∠D-∠B AB//CD ⇒∠BOD=∠B-∠D 共性 过拐点作平行，利用平行公理的推论及平行线的判定与性质证明 【即学即练】 1. 如图，，，，求的度数． 题型01 平行线判定与性质相关命题的辨析 【典例1】在下列说法中，正确的个数有（   ） ①同位角相等；②对顶角相等；③同旁内角不一定互补；④两条不相交的直线叫做平行线． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】下列命题正确的是（   ） A．相等的两个角是内错角 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同旁内角互补 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式2】已知，，是三条直线，下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式3】下列说法中，正确的是（    ） A．相等的角是内错角 B．在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交和垂直三种 C．如果直线，那么 D．过直线外一点作该直线的垂线，垂线段的长度就是这个点到这条直线的距离 【变式4】下列四个说法中，正确的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，如果有两个角互补，那么这两条直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．两直线相交形成的四个角相等，则这两条直线互相垂直 题型02 与同位角相关的题型 【典例1】如图，填空： (1)（已知）， ________________（   ）． (2)∠____=∠_____（已知）， （    ）． 【变式1】将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，若∠1=50，则∠4=________. 【变式2】如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，，试证明． 【变式4】如图，，与互为补角．求证：，AG//EC 题型03 与内错角相关的题型 【典例1】张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下： 甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行； 乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行； 丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行； 对三位同学的答案判断正确的是 ． 【变式1】如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，如果，则：．上述结论中一定正确的是 ． 【变式3】如图，，，求证：． 【变式4】补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 题型04 与同旁内角相关的题型 【典例1】如图，下列条件中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，下列推论及所注理由正确的是（　　） A．∵，∴（两直线平行，同位角相等） B．∵，∴（两直线平行，内错角相等） C．∵，∴（对顶角相等） D．∵，∴（同旁内角互补，两直线平行） 【变式2】如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】完成推理填空： 如图，已知，．将证明的过程填写完整． 证明： ∵， ∴（ ）． ∴（ ）． 又∵， ∴（ ）． ∴（ ）． ∴（ ）． 【变式4】已知：如图，，．直线AD与BE平行吗？直线AB与DC平行吗？请说明理由（在横线上填空）． 解：直线AD与BE平行，直线AB与DC____________． 理由：因为（已知）， 所以AD________BE（________________________）， 所以（________________________）． 又因为（已知）， 所以________________（等量代换）， 所以AB________DC（________________________）． 题型05 平行线判定与性质的综合 【典例1】先判定后性质 如图,∠1=∠2,∠3=50°,∠ABC等于多少度? 【变式1】先性质后判定 如图已知直线a//b,∠1=∠3,那么直线c与d平行吗?为什么? 【变式2】判定与性质的灵活运用 如图，直线和直线被直线所截，，求证：． 证明：， ______ ， ____________． 即______． ______ 【变式3】如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 【变式4】如图，点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，连接CE并延长至点M，，． (1)试说明：． (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，，求的度数． 题型06 与平行线相关的几何模型 【典例1】如图，点P在上，已知，，请说明的理由． 【变式1】如图，在三角形中，平分交边于点E，点D在边上，连接，且． (1)尺规作图：过点A作交的延长线于点F； (2)求证：． 【变式2】将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3】探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4】【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 一、单选题 1．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对 2．如图，直线AB与CD相交于点E，EF平分∠CEB，．若∠F=70°，则∠3=（    ） A．70° B．40° C．50° D．30° 3．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．如图，下列能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法中，是平行线性质的是（   ） ①两直线平行，同旁内角互补； ②同位角相等，两直线平行； ③内错角相等，两直线平行； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． A．① B．②③ C．④ D．①④ 6．如图，从①，②，③三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 7．如图，直线l与直线a，b分别相交，且，，则 °． 8．如图，填写一个能使的条件： ． 9．如图，若，则 ．    10．如图所示，直线a与直线b互相平行，则的值是________． 三、解答题 11．已知：如图，，、分别平分与，且．求证：． 证明：， ．（    ） 又∵、分别平分与， ，．（    ） ∵∠______＝∠______．（    ） ∵，（    ） ∴∠2＝______．（等量代换） ∴______//______．（    ） 12．推理填空：如图，已知，∠BGC=∠F，求证：∠B+∠F=180°． ∵=___________（已知）； ∴（　　）， ∵=___________（已知）； ∴（　　）， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴（　　） 13．如图，在中，于点，是上一点． (1)若，，求证：； (2)若，吗？为什么？ 14．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若DG平分∠CDB，，求∠A的度数． 15．如图，，试说明． 解：过C点作的平行线． 则___________，（___________） 又因为，（___________） 所以（等量减等量差相等） 所以______________________（　　） 所以（　　　　） 16.中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，且．求证：． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $