专题03整式的乘除题型突破讲义（3）(常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题03整式的乘除题型突破讲义（3） 一.重点内容 1.平方差公式 公式表达式：(a+b)(a−b)=a2−b2。 核心特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，结果等于相同项的平方减去相反项的平方。 基础应用：直接套用公式进行整式乘法计算，以及简单的代数式求值。 2.完全平方公式 公式表达式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a−b)2=a2−2ab+b2。 核心特征：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。 基础应用：直接展开完全平方式，以及结合整式加减进行计算。 3.单项式除以单项式 运算法则：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 基础应用：熟练计算如 12x3y2÷3xy、−25a2b3÷5ab 这类基础题型。 4.多项式除以单项式 运算法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 基础应用：例如计算 (6x2y−4xy2+2xy)÷2xy，掌握 “分项相除，再求和” 的步骤。 二.难点内容 1.公式逆用与变形：完全平方公式的变式（如 a2+b2=(a+b)2−2ab）、平方差公式逆用（a2−b2=(a+b)(a−b)）的灵活运用。 2.公式结构辨析：区分平方差与完全平方公式，避免出现 (a+b)2=a2+b2 这类漏项、混淆公式的错误；处理含负号、系数的复杂代数式套用问题。 3.混合运算顺序与符号：先乘方再乘法最后加减，去括号时注意符号变化。 4.单项式除法细节把控：系数的符号与整除性、同底数幂除法法则的准确应用、被除式中单独字母的保留。 5.多项式除法防漏防错：分项相除时的符号处理，避免漏掉常数项或系数为 1或者−1 的项。 6.乘除混合:与乘法公式结合时，先化简再计算，遵循 “同级运算从左到右” 的顺序。 基础 过关题 1.运用平方差公式进行运算 2.完全平方公式的运算应用 3.整式乘法混合运算 4.多项式乘多项式:化简求值 5.单项式除以单项式计算 6.整式四则混合运算 能力 提升题 7.平方差公式与几何图形 8.完全平方公式的几何应用 9.多项式除以多项式运算 10.整式的混合运算 拓展 拔高题 11.完全平方公式变形求值 12.完全平方公式系数求解 【题型1.平方差公式的运算应用】 1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的值是（     ） A． B． C． D． 3．发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 4．若 ，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型2.完全平方公式的运算应用】 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 6．若是完全平方式，则 ． 7．已知直角三角形两直角边的长度分别为，已知，则该三角形的面积是 ． 8．如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……．按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多的小正方形的个数为（    ） A． B． C． D． 解答题 9．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，都是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，，则________． (2)如果是一个完全平方式，求t的值． (3)若m满足，求的值． 【题型3.整式乘法混合运算】 10．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 11．如图，四边形ABED是梯形，，，，，连接，，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 12．已知，，，若的值与的取值无关，则的值为 ． 13．若，则 ． 解答题 14．计算： (1)； (2)； (3)． 【题型4.多项式乘多项式:化简求值】 15．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D．6 16．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 17．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 18．已知，求得的值为 ． 解答题 19．若，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【题型5.单项式除以单项式计算】 20．若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 21．一个长方形的面积是，长是，则它的宽是 ． 22．如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为 ． 23．在同一路线上有四个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘轻骑，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的在12时追上乘轻骑的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇时是16时．开摩托车的遇到乘轻骑的是17时，并在18时追上了骑自行车的，则骑自行车的（    ）遇见乘轻骑的． A． B． C． D． 【题型6.整式四则混合运算】 24．现定义一种运算“△”，对于任意有理数a、b，都有，例如：．由此可知等于（   ） A．9 B． C． D． 25．在长方形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①，②两种方式放置(图①,②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，图①中阴影部分的面积表示为，图②中阴影部分的面积表示为，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是（　　） A． B． C． D． 26．图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁前掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形ABCD和OPDQ分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的面积为 ． 27．一个三位数除以它的各位数字之和，商的最大值是 ． 解答题 28．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【题型7.平方差公式与几何图形】 29．如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法：①；②；③；④．其中正确的表示方法有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 30．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： 以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 （填序号） 31．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 = ． 32．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 解答题 33．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【题型8.完全平方公式的几何应用】 34．如图，将四个长为a、宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（    ） A． B． C． D． 35．有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图，它表示了．观察图，请你写出三个代数式、、之间的等量关系是 ． 36．如图，用四个完全一样的长、宽分别为的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．若，，判断以下关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 37．如图，两个边长分别为和的正方形如图（1）放置，其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图（1）中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图（2）），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则 ． 解答题 38．等积法是学习数学的一种重要的思想方法．用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题；这就是等积法的思想． . (1)如图1是由边长分别为，的正方形和长为，宽为的长方形拼成的大长方形，由图1，可得等式：________； (2)①如图2是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为________； ②已知，，求代数式的值． 【题型9.多项式除以单项式运算】 39．化简： ． 40．如果，那么（    ） A． B． C． D． 41．如图是一个运算程序，若输入的m为，输出的x为，则p为 ． 42．当时，代数式的值是（ ） A． B． C． D． 解答题 43．先化简，再求值：，其中． 【题型10.整式的混合运算】 44．四个数排列成．我们称之为“二阶行列式”．规定它的运算法则为．若，则 ． 45．有4张完全一样的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形．若要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度（　　） A． B． C． D． 46．已知，，则 ． 47．如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，，，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则与满足的关系为（　　） A． B． C． D． 解答题 48．求下列代数式的值： (1)．其中，． (2)．其中，，． 【题型11.完全平方公式变形求值】 49．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 50．已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 51．若，，则 ．如果，那么 ． 52．若，，，，则 ． 【题型12.完全平方公式系数求解】 53．若 是完全平方式，则k的值是（    ） A．3 B． C． D． 54．若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ） A． B． C．16 D． 55．如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 ． 56．若给多项式添加一项形成三项式且为完全平方式，则添加的一项是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03整式的乘除题型突破讲义（3） 一.重点内容 1.平方差公式 公式表达式：(a+b)(a−b)=a2−b2。 核心特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，结果等于相同项的平方减去相反项的平方。 基础应用：直接套用公式进行整式乘法计算，以及简单的代数式求值。 2.完全平方公式 公式表达式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a−b)2=a2−2ab+b2。 核心特征：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。 基础应用：直接展开完全平方式，以及结合整式加减进行计算。 3.单项式除以单项式 运算法则：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 基础应用：熟练计算如 12x3y2÷3xy、−25a2b3÷5ab 这类基础题型。 4.多项式除以单项式 运算法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 基础应用：例如计算 (6x2y−4xy2+2xy)÷2xy，掌握 “分项相除，再求和” 的步骤。 二.难点内容 1.公式逆用与变形：完全平方公式的变式（如 a2+b2=(a+b)2−2ab）、平方差公式逆用（a2−b2=(a+b)(a−b)）的灵活运用。 2.公式结构辨析：区分平方差与完全平方公式，避免出现 (a+b)2=a2+b2 这类漏项、混淆公式的错误；处理含负号、系数的复杂代数式套用问题。 3.混合运算顺序与符号：先乘方再乘法最后加减，去括号时注意符号变化。 4.单项式除法细节把控：系数的符号与整除性、同底数幂除法法则的准确应用、被除式中单独字母的保留。 5.多项式除法防漏防错：分项相除时的符号处理，避免漏掉常数项或系数为 1或者−1 的项。 6.乘除混合:与乘法公式结合时，先化简再计算，遵循 “同级运算从左到右” 的顺序。 基础 过关题 1.运用平方差公式进行运算 2.完全平方公式的运算应用 3.整式乘法混合运算 4.多项式乘多项式:化简求值 5.单项式除以单项式计算 6.整式四则混合运算 能力 提升题 7.平方差公式与几何图形 8.完全平方公式的几何应用 9.多项式除以多项式运算 10.整式的混合运算 拓展 拔高题 11.完全平方公式变形求值 12.完全平方公式系数求解 【题型1.平方差公式的运算应用】 1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，正确识别平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式中的两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数即可求解． 【详解】解：∵ 平方差公式的形式为， 选项A: ，相同项x，相反项a 和，故选项A符合公式； 选项B: ，没有相同项，故选项B不符合公式； 选项C: ，相同项，相反项和x，故选项C符合公式； 选项D: ，相同项m，相反项b 和，故选项D符合公式． 故选择B． 2．计算的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．利用平方差公式将式子变形，然后计算求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：B． 3．发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答． 【详解】解：，，，，，，，， 观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6； ... ． 由规律可得的个位数字是6， ∴的结果的个位数字是6． 故答案为：6． 4．若 ，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运用，利用平方差公式可得，进而可得，再根据完全平方公式的变形运算即可求解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：． 【题型2.完全平方公式的运算应用】 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，牢记并灵活运用完全平方公式是解答本题的关键． 直接运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 6．若是完全平方式，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式的运用．掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据完全平方公式即可求解． 【详解】解： ， 解得或， 故答案为：或． 7．已知直角三角形两直角边的长度分别为，已知，则该三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查利用完全平方公式求直角三角形的面积，熟练掌握及运用完全平方公式是做题的关键．通过已知条件 和 ，利用公式 求出 ，再代入面积公式求解． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 三角形的面积为：． 故答案为：． 8．如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……．按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多的小正方形的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形类的规律探究，完全平方公式等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，则第个正方形需个小正方形，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，拼第1个正方形需个小正方形， 拼第2个正方形需个小正方形， 拼第3个正方形需个小正方形， …… ∴可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形， ∴第个正方形需个小正方形， ∴， 故选：C． 解答题 9．所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，都是完全平方式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)已知，，则________． (2)如果是一个完全平方式，求t的值． (3)若m满足，求的值． 【答案】(1)2 (2)t的值为7或-9 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，要熟练掌握、、间的关系． （1）根据公式进行变形即可求得答案； （2）利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值； （3）根据公式进行变形，将和看作整体代入即可求得答案． 【详解】（1）解：， ． ， ， 解得：． 故答案为：． （2）解：是一个完全平方式， 即是一个完全平方式， 或， 解得或， 即的值为或． （3）解：， 而， ， ， ． 【题型3.整式乘法混合运算】 10．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．根据定义列出式子，然后根据整式的运算规则进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 故选：C． 11．如图，四边形ABED是梯形，，，，，连接，，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查整式的乘法运算，熟练掌握整式的乘法运算是解题的关键； 根据题意，表示出阴影部分的面积，即可求解； 【详解】解：， ，， ； ， ； 故选：B 12．已知，，，若的值与的取值无关，则的值为 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，熟练掌握代数式求值是关键． 首先根据多项式乘多项式的方法，求出的值是多少，然后用它加上，求出的值是多少，最后根据的值与的取值无关，可得的系数是0，据此求出的值． 【详解】解：，，， ， 的值与的取值无关， ， 故答案为：0． 13．若，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了整体思想，整式混合运算，整体代入到代数式中求值是解题的关键．根据条件得：，用整式乘法运算法则，求出，然后变形求出结果即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ． 故答案为：． 解答题 14．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)500000 (2) (3) 【分析】本题主要考查幂的运算、单项式乘多项式以及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）利用积的乘方逆运算化简计算； （2）通过单项式乘多项式、积的乘方及合并同类项求解； （3）借助多项式乘多项式与合并同类项得出结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型4.多项式乘多项式:化简求值】 15．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘以多项式．先利用多项式乘以多项式化简，将，代入即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式， 故选：A． 16．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故选：B． 17．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的表达式，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 18．已知，求得的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再把所求式子利用乘法公式去括号并合并同类项化简，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 解答题 19．若，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)3 (2)10 (3)4 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值、多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算多项式乘以多项式可得，再将代入计算即可得； （2）利用完全平方公式可得，代入计算即可得； （3）利用完全平方公式可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴ ． （3）解：∵，， ∴ ． 【题型5.单项式除以单项式计算】 20．若表示一个单项式，且，则表示的单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了单项式除以单项式，利用单项式与单项式除法，把它们的系数，相同字母分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，进而得出即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：． 21．一个长方形的面积是，长是，则它的宽是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式的运算，掌握多项式除以单项式，需将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加是解题的关键． 根据长方形面积公式，宽等于面积除以长，将多项式除以单项式求解． 【详解】解：宽 = = = ． 故答案为： ． 22．如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为，则图2中纸盒底部长方形的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是先求出纸盒底部长方形的宽. 根据长方体纸盒的容积等于底面积乘以高，底面积等于底面长方形的长与宽的乘积可以先求出宽，再计算纸盒底部长方形的周长即可. 【详解】解：根据题意，得该纸盒的容积为， ∴纸盒底部长方形的宽为， ∴纸盒底部长方形的周长为， 故答案为：. 23．在同一路线上有四个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘轻骑，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的在12时追上乘轻骑的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇时是16时．开摩托车的遇到乘轻骑的是17时，并在18时追上了骑自行车的，则骑自行车的（    ）遇见乘轻骑的． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减与除法的应用，正确列出代数式是解题关键．设汽车速度为，摩托车速度为，轻骑速度为，自行车速度为，根据题意可得12时，汽车与轻骑位置相同；此时，与骑自行车的距离为，与摩托车的距离为，再根据开摩托车的遇到乘轻骑的是17时可得，根据摩托车在18时追上了骑自行车的可得，则可得，然后根据自行车与轻骑相遇时间为，代入化简计算即可得． 【详解】解：设汽车速度为，摩托车速度为，轻骑速度为，自行车速度为， ∵坐汽车的在12时追上乘轻骑的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇时是16时， ∴12时，汽车与轻骑位置相同；此时，与骑自行车的距离为，与摩托车的距离为， ∵开摩托车的遇到乘轻骑的是17时， ∴， ∴， ∵摩托车在18时追上了骑自行车的， ∴， ∴， ∴自行车与轻骑相遇时间为 ， 小时小时分， 12时经过3小时分的时间为， 即骑自行车的遇见乘轻骑的， 故选：A． 【题型6.整式四则混合运算】 24．现定义一种运算“△”，对于任意有理数a、b，都有，例如：．由此可知等于（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据新定义并结合整式的混合运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵现定义一种运算“△”，对于任意有理数a、b，都有， ∴， 故选：C． 25．在长方形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①，②两种方式放置(图①,②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，图①中阴影部分的面积表示为，图②中阴影部分的面积表示为，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算． 设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：设，则， 故选：A． 26．图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁前掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形ABCD和OPDQ分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的面积为 ． 【答案】100 【分析】本题考查了正方形面积的计算以及代数式的化简与求值，解题的关键是根据图形中阴影部分的构成列出面积关系式，再结合已知条件联立求解． 由图2阴影面积列出方程，化简得；由图3阴影面积为；将上述结果代入大正方形面积公式，计算得100． 【详解】根据图2所示的阴影部分面积为60可得： ， 展开化简：， ， ，则． 根据图3所示的阴影部分面积为60可得：． ∴大正方形面积：． 故答案为：100． 27．一个三位数除以它的各位数字之和，商的最大值是 ． 【答案】100 【分析】根据题意，得，分析解答即可． 本题考查了三位数的结构，数字之和与商的关系，整式的混合运算，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 时，商最大，为100， 故答案为：100． 解答题 28．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先计算括号内的整式运算，再由多项式除以单项式的运算法则化简，最后将代入化简后的代数式，根据有理数混合运算法则计算即可得到答案； （2）先去括号，再合并同类项即可得到化简结果，最后将代入化简后的代数式，根据有理数混合运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值，涉及整式加减乘除运算法则、去括号法则、有理数加减乘法运算及有理数乘方运算等知识，熟练掌握整式的混合运算法则、有理数混合运算法则是解决问题的关键． 【题型7.平方差公式与几何图形】 29．如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法：①；②；③；④．其中正确的表示方法有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【分析】此题主要考查平方差公式、多项式乘法的几何背景，掌握组合图形的拼接方法与面积的计算方法是解决问题的关键． 利用割补的方法将原图形进行转化，结合面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图①，图①中，大正方形面积为，小正方形面积为，所以整个图形的面积为； 如图②，一个长方形的面积是，另一个长方形的面积是，所以整个图形的面积为； 如图③，在图③中，拼成一个长方形，长为，宽为，则面积为． 综上所述：“L”形的图形的面积为①；②；③；共3种方法正确． 故选：B． 30．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： 以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式以及等面积法是解题的关键． 用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可． 【详解】解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③． 31．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 = ． 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式的应用以及通过图形面积关系求解差值，解题的关键是明确与两个正方形面积的关系，再结合已知条件计算． 根据图形可知为边长为m的正方形面积减去重叠部分面积，为边长为n的正方形面积减去重叠部分面积，故等于两个正方形面积之差；利用平方差公式结合已知和计算差值． 【详解】解：由图形可知，，． 则． 根据平方差公式 已知 所以． 故答案为：． 32．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，正方形的面积，三角形的面积，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则阴影部分的面积的底为，高之和为， 所以阴影部分的面积为，即． 因为大正方形的面积为， 所以，即小正方形的面积为． 故选：D． 解答题 33．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①，②，③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 【题型8.完全平方公式的几何应用】 34．如图，将四个长为a、宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘法公式的几何意义，熟练掌握乘法公式的几何意义是解题的关键； 根据面积公式分别用加法和减法表示即可列出等式. 【详解】解：， 即． 故选：D. 35．有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图，它表示了．观察图，请你写出三个代数式、、之间的等量关系是 ． 【答案】，， 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，正确表示出各图形的面积是关键．大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，可得出三个代数式、、之间的等量关系；依此即可求解． 【详解】解：观察图②可知，代数式、、之间的等量关系式：；；． 故答案为：；；． 36．如图，用四个完全一样的长、宽分别为的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．若，，判断以下关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】利用大正方形的边长长方形的长长方形的宽，小正方形的边长长方形的长长方形的宽，大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积，完全平方公式，进而判定即可． 【详解】解：由图形可得：①大正方形的边长长方形的长长方形的宽，故，正确； ②小正方形的边长长方形的长长方形的宽，故，正确； ③大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积，故，错误； ④根据①知， 根据②知，则，正确； ⑤，错误． 所以正确的有①②④，共有个． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点有：完全平方公式如、 、平方差公式如，以及通过图形(由长方形围成的大、小正方形)分析边长关系，进而结合公式进行代数运算与等式推导的数形结合思想． 37．如图，两个边长分别为和的正方形如图（1）放置，其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图（1）中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图（2）），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了整式的加减的应用，利用完全平方公式进行求解，根据图形之间的关系进行推导计算是解题关键． 先根据图形表示出，然后再利用完全平方公式进行化简代入求值即可． 【详解】解：，， ∴， 将，代入上式得， 原式， 故答案为：45． 解答题 38．等积法是学习数学的一种重要的思想方法．用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题；这就是等积法的思想． . (1)如图1是由边长分别为，的正方形和长为，宽为的长方形拼成的大长方形，由图1，可得等式：________； (2)①如图2是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为________； ②已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，多项式的乘法，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． (1)图是由一个边长为的正方形、一个边长为的正方形和三个长为，宽为的长方形组成，所以面积为； (2)①图2是由三个边长分别为、、的正方形、两个长和宽分别为、的长方形，两个长和宽分别为、的长方形，两个长和宽分别为、的长方形组成，所以等式为；②将①的等式变形为，代入数值即可 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①当把图形看作是边长为的正方形时，面积为， 把图形看作个正方形和个长方形拼成时，面积为， ∴ 故答案为：； ②因为， 所以 所以 【题型9.多项式除以单项式运算】 39．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式，同底数幂的除法．根据题意利用同底数幂相除底数不变，指数相减即可得到本题答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 40．如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式除以单项式． 由题意可知，进而计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 41．如图是一个运算程序，若输入的m为，输出的x为，则p为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，根据题意列出除法算式，掌握多项式除以单项式的法则是解决问题的关键． 根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 42．当时，代数式的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查求代数式的值，多项式除以单项式，属于基础题，注意先化简再代入求值．首先进行除法运算将代数式化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 将代入，得： 原式． 故选：B． 解答题 43．先化简，再求值：，其中． 【答案】；8 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，准确熟练地运用乘法公式进行计算是解题的关键． 根据平方差公式与多项式除以单项式进行计算，然后将字母的值代入即可求解． 【详解】解：， 当时，原式． 【题型10.整式的混合运算】 44．四个数排列成．我们称之为“二阶行列式”．规定它的运算法则为．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，涉及了完全平方公式，多项式乘法，解一元一次方程等知识，正确弄清新定义的运算规则是解题的关键． 按规定的运算可得关于x的方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 化简得， 解得． 故答案为∶ ． 45．有4张完全一样的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形．若要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用，准确用代数式表示阴影部分的面积是关键．设长方形纸片的长为a，宽为b，表示出阴影部分的面积为，再计算即可得到答案． 【详解】解：设长方形纸片的长为a，宽为b，由图可得，阴影部分的面积为 ∴要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度， 故选：D 46．已知，，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式． 将代入得，求出，，求出． 【详解】解：将代入得： ， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 47．如图，有三张边长分别为，，的正方形纸片，，，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则与满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含，，的代数式表示出、和、是解题关键． 用含，，的代数式表示出图1、图2中阴影部分的周长和面积，可得、，代入进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：长方形的长为，宽为， 则，， ， ， ，， ， ，解得：， 与满足的关系为． 故选：D． 解答题 48．求下列代数式的值： (1)．其中，． (2)．其中，，． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的运算法则是做题的关键． （1）先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简结果，再把代入计算即可； （2）先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简结果，再把，代入计算即可． 【详解】（1）解： 当时，原式． （2）解： 当，时，原式． 【题型11.完全平方公式变形求值】 49．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，代数式求值． 由完全平方公式，可得，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ． 故选：D． 50．已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 通过换元法简化表达式，利用已知条件求解目标代数式的值． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 展开得：， 即， 移项：， 两边除以2：， 又∵， ∴． 故选：C． 51．若，，则 ．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用完全平方公式逆用将变形为，然后代入求解即可；根据幂的乘方运算法则和同底数幂的除法法则将变形为，变形为，从而得到的值，再将变形为，整体代入求解即可． 【详解】解：，， ， ，， ， ． 故答案为：；． 52．若，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．先根据完全平方公式求出，，再根据平方差公式求的值． 【详解】，， ， ，， ， ，， ， 故答案为：． 【题型12.完全平方公式系数求解】 53．若 是完全平方式，则k的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式． 根据完全平方式的定义，将表达式与标准形式比较系数求解． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴可设为， 比较系数得：， ∴， 又， ∴． 故选：D． 54．若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ） A． B． C．16 D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键； 根据完全平方式得出，即可求解． 【详解】解：∵ 是一个完全平方式， ∴可设为 ， ∴， 解得：． 故选：D． 55．如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式，根据是某个整式的平方，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵是某个整式的平方， ∴， ∴， ∴或； 故答案为：或． 56．若给多项式添加一项形成三项式且为完全平方式，则添加的一项是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：．根据，即可判断出添加的单项式． 【详解】解：①， 添加的单项式可以是． ②， 添加的单项式可以是． ③， 添加的单项式可以是． 故答案为：或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $