精品解析：内蒙古呼和浩特市农业大学附属中学2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末学情监测 八年级数学 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号正确填涂在答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上作答一律无效．考试结束后，请将答题卡交回． 3．本试卷满分100分，考试时长90分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式，，，，，中，是分式的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果分母中含有字母则是分式，如果分母中不含有字母则不是分式． 【详解】解：，，三个式子分母中含有字母，因此是分式． 式子，，，分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． 故选C． 【点睛】本题考查分式的定义，注意π不是字母，是常数． 2. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据0.0000004用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据0.0000004用科学记数法表示为， 故选：A． 3. 如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（ ）对 A. 5 B. 3 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定与性质可知，平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对面积相等的平行四边形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是对角线， ∴，，． ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∵是平行四边形的对角线， ∴， ∵是平行四边形的对角线， ∴． ∴， 即， ∴， 同理可得：． 即：，，． 故选：B． 【点睛】本题考查了数图形中平行四边形的个数，利用平行四边形的判定与性质求解，利用平行四边形性质和判定证明，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的乘法，二次根式的加法，二次根式的减法，根据运算法则逐项分析即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相减，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 5. 在中，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算各选项判断是否能构成直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，，，∴，故是直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴设， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴设，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故不是直角三角形，符合题意； D、∵，且， ∴，即， ∴， 故是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】一个四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形；一个四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；一个四边形有一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；一个四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形． 【详解】解：A、，， 四边形的对角线互相平分，是平行四边形； B、，， 四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形， 则不能判断四边形是平行四边形； C、，， 四边形的两组对边分别平行，是平行四边形； D、，， 四边形的两组对边分别相等，是平行四边形． 7. 实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质、完全平方公式等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，再利用完全平方公式和二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：由数轴可知，， 则 ， 故选：C． 8. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. －1 C. 或0 D. 0或－1 【答案】C 【解析】 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．本题考查了分式方程无解的条件，是需要熟记的内容． 【详解】解：方程去分母得，， ． 如果原分式方程无解，那么分两种情况： ①当时，方程无解，所以分式方程无解； ②，解方程，得， 当分母即时原分式方程无解． 由，得． 经检验，符合题意， 故当或时，分式方程无解． 故选：C 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若式子有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】且##且 【解析】 【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可． 【详解】∵式子有意义， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 10. 已知，，，用“”连接、、：______． 【答案】a＜c＜b 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：∵a=-32=-9，b＝（）−2=9，c＝（）0=1， ∴a＜c＜b． 故答案为：a＜c＜b． 【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键． 11. 如图，在中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，连接，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、作图-基本作图以及线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由勾股定理求出，再由线段垂直平分线的性质得，设，则，然后在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：，，， ， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即线段的长为， 故答案为： 12. 如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边，根据三角形中位线的性质，得出，计算，，根据“两直线平行，内错角相等”、角平分线的定义，推出，根据等角对等边，得出的长，最后根据计算得出答案即可，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴，，点是的中点， 又∵的角平分线交于点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，台阶阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是______． 【答案】 【解析】 【分析】将阶梯的表面展开，形成一个矩形；根据勾股定理求解即可； 【详解】解：如图，阶梯的表面展开，形成一个矩形； ∵台阶阶梯每一层高，宽，长 ∴ （） 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用；将蚂蚁行进过程中的多个平面展开形成一个矩形是解题的关键． 14. 已知，在□ABCD中，，点F为AD的中点，过点C作，垂足为点E，以下结论中，正确的是______． ①CF是的角平分线；②连接BF，则；③若，则；④连接EF，则． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①由平行四边形的性质证出∠DFC=∠FCB，则可得判断①正确； ②连接BF，延长BF交CD的延长线于点G，利用ASA证明△ABF≌△DGF，由等腰三角形的性质得出BF=FG，AB=DG，证出BC=CG，由等腰三角形的性质得出∠BFC=90°，则可判断②； ③由直角三角形的性质及平行四边形的面积可得出③正确； ④分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF(ASA)，得对应线段之间关系进而得出④正确． 【详解】解：①∵F是AD的中点， ∴AF=FD， ∵在中，AD=2AB， ∴AF=FD=CD， ∴∠DFC=∠DCF， ∴， ∴∠DFC=∠FCB， ∴∠DCF=∠BCF， ∴CF是的角平分线，故①正确，符合题意； ②连接BF，延长BF交CD的延长线于点G，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴∠A=∠FDG， 又∵AF=DF，∠AFB=∠DFG， ∴， ∴BF=FG，AB=DG， ∵AB=CD， ∴CD=DG， ∴CG=2CD， ∵BC=AD=2CD， ∴BC=CG， ∴CF⊥BG， ∴，故②不符合题意； ③∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D=60°， ∵CE⊥AB， ∴BE=CD=AB， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④如图：延长EF交CD延长线于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴∠A=∠MDF， ∵F是AD的中点， ∴AF=FD， 在△AEF和△DFM中， ， ∴△AEF≌△DMF(ASA)， ∴FE=MF，∠AEF=∠M， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠ECD=90°， ∵FM=EF， ∴,故④正确，符合题意， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（共7小题，共58分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算零指数幂、算术平方根、乘方、二次根式的乘法，再计算加减即可得出结果； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. （1）化简： （2）先化简：，其中，且为整数，请选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简计算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据分式混合运算法则进行化简计算即可； （2）先根据分式混合运算法则进行化简计算，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 分式有意义，需满足且， 且， 又，且为整数， 可取或， 当时，原式． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． （1）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：去分母可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； 【小问2详解】 解：将原方程整理可得， 去分母可得：， 去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得， 检验，当时，， ∴原分式方程无解． 18. 已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE． （1）求证：△AFD≌△CEB． （2）求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】（1）证明：∵DF∥BE， ∴∠DFE=∠BEF． 又∵AF=CE，DF=BE， ∴△AFD≌△CEB（SAS）． （2）证明：由（1）知△AFD≌△CEB， ∴∠DAC=∠BCA，AD=BC， ∴AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 【解析】 【分析】（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB． （2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD//BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键． 19. 根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根；任务二：；任务三：方案①购买258根长管子，2130根短管子；方案②购买267根长管子，2115根短管子 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于m的方程，解方程即可； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据a必须能被3整除，得出，261，264，267，四种情况分别检验，从而得出购买方案． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 由题意得： 解得：， 则，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根； 任务二：5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ， 解得：， 经检验是原方程的根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 由题意得：， 解得：， 根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根可得： 解得：， 必须能被3整除， ，261，264，267， 设可制作甲模型X个，乙模型Y个， 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 由于甲、乙模型只能取整数，则有材料剩余，不符合题意，舍去； 当时，， 此时， 解得：，； 费用为：（元）， 符合题意； 综上所述，有以下两种采购方案： 方案①：采购长管258根，短管2130根； 方案②：采购长管267根，短管2115根． 20. 如图，在四边形中，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使和，分别需经过多少时间？为什么？ 【答案】分别需经过；或． ①设经过，， 此时四边形成为平行四边形， ∵， ∴， 解得， ∴当s时，且PQ=CD ②设经过，， 如图所示，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F，当CF=EQ时，四边形PQCD为梯形（腰相等）或平行四边形， ∵， ∴四边形ABFD是矩形， ∴AD=BF， ∵AD=24cm，BC=26cm， ∴（cm）， 当四边形PQCD为梯形（腰相等）时，， ∴， 解得， ∴当s时，PQ=CD， 当四边形为平行四边形或梯形（腰相等），为平行四边形时有s，PQ=CD， 综上所述，当s时，；当s或s时，PQ=CD． 【解析】 【分析】①设经过，，根据平行四边形的性质进行解答即可得，②设经过，，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F，当CF=EQ时，四边形PQCD为梯形（腰相等）或平行四边形，分情况解答即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用平行四边形的性质． 21. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）①如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有，和的式子表示三者之间的等量关系）； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） （2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； （3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示） 则：______ 【答案】（1）①； ②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即， 化简得：． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即， 化简得：． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即， 化简得：． （2）①3；② （3） 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，以直角三角形三边为边长的图形面积，勾股定理的证明方法等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）①根据勾股定理求解； ②在图1中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得：．在图2中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即可得：．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得：． （2）①根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足的有3个； ②根据半圆面积和勾股定理即可得结论：； （3）由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，，从而可得，，，于是可得． 【小问1详解】 ①解：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么， 故答案为：． ② 略 【小问2详解】 ①解：三个图形中面积关系满足的有3个； 故答案为：3； ②解：结论：． 理由：以为直径的半圆面积为， 以为直径的半圆面积为， 以为直径的半圆面积为， 三角形的面积为， ∴， ∴， 由（1）的结论可知：， ∴； 【小问3详解】 解：如图9， 正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m， 由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末学情监测 八年级数学 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号正确填涂在答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上作答一律无效．考试结束后，请将答题卡交回． 3．本试卷满分100分，考试时长90分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式，，，，，中，是分式的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据0.0000004用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（ ）对 A. 5 B. 3 C. 2 D. 4 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 6. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. －1 C. 或0 D. 0或－1 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若式子有意义，则x的取值范围是_______． 10. 已知，，，用“”连接、、：______． 11. 如图，在中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，连接，则线段的长为______． 12. 如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，，则的长为_______． 13. 如图，台阶阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是______． 14. 已知，在□ABCD中，，点F为AD的中点，过点C作，垂足为点E，以下结论中，正确的是______． ①CF是的角平分线；②连接BF，则；③若，则；④连接EF，则． 三、解答题（共7小题，共58分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. （1）化简： （2）先化简：，其中，且为整数，请选择一个你喜欢的数代入求值． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE． （1）求证：△AFD≌△CEB． （2）求证：四边形ABCD是平行四边形． 19. 根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1：7与1：9． 素材二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：m元/根，长管子售价：2m元/根 2．6月起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得! 素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求m的值． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案． 20. 如图，在四边形中，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使和，分别需经过多少时间？为什么？ 21. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）①如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有，和的式子表示三者之间的等量关系）； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） （2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； （3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示） 则：______ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $