精品解析：湖北省部分地区2025-2026学年上学期九年级数学12月质量监测卷

2025年12月九年级上学期质量抽检 （本试卷共6页，26题，考试用时120分钟，全卷满分120分） 注意事项： 1．答题前，先将自已的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡上交． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若在实数范围内有意义，则可以为（ ） A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，需使被开方数非负，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴ ， ∴ ， ∴ 选项中只有满足条件． 故选：A． 2. 如图，在△ABC中，AC=3，BC＝4，AB＝5,则tanB的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：∵AC=3，BC=4，AB=5， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠C=90°， ∴tanB=， 故选A. 3. 若反比例函数的图象位于一、三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数图象位于一、三象限时，比例系数大于零计算即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于一、三象限， ∴， ∴， 故选：A． 4. 用配方法解方程，配方后的方程，则（ ） A. 10 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的关键是添加一次项系数一半的平方通过配方法将原方程转化为完全平方形式，从而求出a的值． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， ∴ ． 故选：D． 5. 如图，，是人字梯的两条支撑腿，梯子中间的横档，，互相平行．已知，，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理应用，根据平行线分线段成比例定理，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6. 如图，已知，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定方法，判定两个三角形相似的一般方法有：两对角对应相等；一对角对应相等，角的两边对应成比例；三对边对应成比例． 根据相似三角形的不同判定方法，逐一判断即得． 【详解】如图，已知，添加下列条件 A、，能判定； B、，能判定； C、，不能判定； D、，能判定． 故选：C． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若两个相似三角形对应中线的比是，则它们的面积比是 B. 对于反比例函数，函数值随的增大而增大 C. 二次函数的顶点坐标是 D. 是最简二次根式 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题，判断每个选项的真假：A利用相似三角形的性质；B考虑反比例函数的单调性；C根据二次函数顶点式判断顶点坐标；D检查最简二次根式的定义． 【详解】A、 相似三角形的对应中线比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应中线的比是，则它们的面积比是，故选项为真命题，符合题意； B、反比例函数，在各自象限内随增大而增大，但整体定义域上不单调，故选项为假命题，不符合题意； C、二次函数的顶点坐标为，故选项为假命题，不符合题意； D、，不是最简二次根式，故选项为假命题，不符合题意． 故选：A． 8. 如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔．小华在海岸线上的点测得灯塔在北偏东的方向上；小华继续沿着正东方向走了海里到达点处，此时测得灯塔在北偏东的方向上．那么灯塔到海岸线的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形——方位角问题、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．正确作出辅助线构造直角三角形，并灵活应用等腰三角形的性质及方位角的定义是解答本题的关键．根据三角形内角和定理证出，由此得到，进而构造，并运用的正弦值即可求得灯塔到海岸线的距离． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点． 由题意，易知，，． 由三角形的内角和等于，得． ∴． ∴是等腰三角形． ∴海里． ∵， ∴． 在中，，海里，， ∴(海里)． ∴灯塔到海岸线的距离为海里． 故选：C． 9. 在第十五届全运会女子10米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹呈抛物线状，重心相对于水面的竖直高度（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系如下表所示： 0 0.3 0.6 0.9 1.5 1.8 … 10 10.75 11.25 11.55 11.55 11.25 … 下列结论正确的是（ ） A. 运动员的重心相对于水面的最大高度是 B. 运动轨迹路线的对称轴是直线 C. 运动员的重心相对于水面的高度是时，时间为 D. 当时，运动员入水 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，从表格获取信息． 由表格可得，与时的重心相对于水面的竖直高度一样，即可求解对称轴，即可判断B；由于抛物线开口向下，则最大高度大于，即可判断A；再由抛物线的对称性判断C、D即可． 【详解】解：由表格可得，与时的重心相对于水面的竖直高度一样， ∴对称轴为直线，故B正确； 由于抛物线开口向下， ∴最大高度大于，故A错误， ∵抛物线的对称轴为直线，由表格可得时，， 根据对称性可得，当时，运动员的重心相对水面的高度也是， 故运动员的重心相对水面的高度是时，时间为或，故C错误； ∵对称轴为直线， ∴当和时的一样，均为， 故时，运动员未入水，故D错误， 故选：B． 10. 如果二次函数的系数，，满足，那么我们把这种函数称为“潇湘”函数，对于“潇湘”函数，下列说法中正确的个数有（ ） ①该“潇湘”函数必过定点； ②若关于的函数是“潇湘”函数，则； ③若该“潇湘”函数的图象与轴有且只有一个交点时，则； ④若该“潇湘”函数的图象与轴的两个交点坐标为，，则； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根与系数的关系，利用“潇湘”函数的定义结合二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根与系数的关系，逐一判断即可． 【详解】解：当时，， ∵二次函数的系数，，满足， ∴该“潇湘”函数必过定点，故①正确； 由“潇湘”函数定义得，，解得或，故②错误； ∵该“潇湘”函数的图象与轴有且只有一个交点， ∴，而，即， ∴，即， ∴，故③正确； 当时， 由一元二次方程根与系数的关系得到，， 由得， ∴， 由得， ∴，故④正确， ∴正确的有①③④， 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 一元二次方程的根是_______． 【答案】，##， 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： ， 或， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 12. 化简的结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，先计算每个平方根的值，再相乘即可. 【详解】解：原式. ， 故答案为 . 13. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到．若点的坐标是，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标等知识点，解题关键是掌握位似图形的性质． 根据位似图形的性质，结合、分别在二､四象限，可知点的横､纵坐标等于点A的横､纵坐标分别乘以，以此求解即可． 【详解】解：因为以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到， 、分别在二､四象限， 所以点的横､纵坐标等于点A的横､纵坐标分别乘以， 因为点坐标是， 所以点A的横为，纵坐标为， 所以A的坐标是， 故答案为：． 14. 已知，化简：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，先去根号，得到绝对值后，再结合的取值范围确定化简后每个绝对值的值，最后进行有理数运算． 【详解】， ， ，， ∴原式． 故答案为：． 15. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零，由此列出方程求解． 【详解】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根， ∴判别式 ， 解得 ， 故答案为：． 16. 如图，是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式及二次函数的性质．利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，． 故答案为：． 17. 《九章算术》中记载“今有勾6步，股14步，问勾中容方几何？”（注：“勾”“股”为直角三角形的两条直角边）．如图，中，，，，内接正方形（在上，在上，在上），则正方形的边长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，证明，然后利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，是直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： ∴正方形的边长为， 故答案为：． 18. 如图，点在反比例函数的图像上，作，边在轴上，点为斜边的中点，直线交轴于点，则的面积为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义及相似三角形的判定与性质．先根据反比例函数系数k的几何意义求得，然后证明，可得相似三角形对应线段的比，即可计算出．根据三角形面积公式求得的面积为6． 【详解】解：∵点A是反比例函数位于第三象限的图像上一点，轴于点B， ∴，即， ∴， ∵为的斜边上的中线， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴，即． ∴ 故答案为：6． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了非零数的零次幂、特殊角的三角函数、负整数指数幂以及二次根式的化简等内容，解决本题的关键是牢记相关计算公式等． 先根据非零数的零次幂、特殊角的三角函数、负整数指数幂、二次根式化简，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解： 20. 已知，是关于的一元二次方程的两个不同的解，其中，请求出和的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 由一元二次方程根与系数的关系得到，，，再代入即可求解． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得到，， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将点代入反比例函数解析式计算即可得出结果； （2）先求出点的坐标，再结合函数图象即可得解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入反比例函数可得：， ∴， 由函数图象可得，关于的不等式的解集为或． 22. 2025年湖南省足球联赛正在火热进行，球迷们都穿着主队球服应援球队．商家销售某主队球服，每件进价为60元，销售价为100元时，每天可售出40件；经市场调查发现若每件降价1元，每天可多售出2件． （1）在让利于顾客的情况下，每件球服降价多少元时，商家每天能盈利1750元？ （2）当每件球服降价多少元时，商家每天盈利最大？并求出盈利最大值． 【答案】（1）5或15 （2）当每件球服降价10元时，商家每天盈利最大，最大盈利为1800元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）设降价x元，根据盈利公式列出一元二次方程求解； （2）设盈利为元，将盈利表示为二次函数，再根据二次函数的性质求解最值即可． 【小问1详解】 解：设每件球服降价x元， 由题意得， 整理得， 或 ∴降价5元或15元； 【小问2详解】 解：设盈利为元，由题意得 ∴ ∵， ∴当时，取得最大值， 最大值（元） ∴当降价10元时，最大盈利为1800元． 23. 如图，在中，的平分线交于点，点为线段的中点，，． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵点为线段的中点，，， ∴， ∴． （2）8 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，，则，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定． （2）由是角平分线可得，由（1）可知，则，所以，过点作，则，可得， 得，即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，，过点作， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， 过点作，则， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质，角平分线的定义与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上的判定与性质是解题的关键． 24. 某校九年级数学活动小组开展了“古塔高度的测量”项目式学习，形成了如下报告． 活动背景 文峰塔（俗称镇龙塔）坐落于湖南省境内，承载着深厚的历史文化底蕴与科学实践价值，其精湛的建造技艺与独特的风水文化象征（如“青云得路”“文光射斗”等门额题刻）体现了古人对自然与人文和谐统一的追求． 活动主题 测算文峰塔的高度 测量工具 无人机，测角仪，计算器等 测量数据 1．小山坡的坡比为； 2．从点到点上升的高度为3米； 3．处测得塔顶的仰角为； 4．无人机从地面沿竖直方向飞行到达点处； 5．在处测得塔角的俯角为，测得坡底处的俯角为．（点，在同一水平线上） 测量示意图 任务1 （1）求的距离；（结果精确到1米） 任务2 （2）求文峰塔的高度．（结果精确到0.1米） 参考数据 ，，，， 【答案】(1) 的长为；(2) 的长为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，三角函数，矩形的判定与性质，坡度，掌握知识点是解题的关键． （1）过点P作于点F，先推导出，，，求出，则，即可解答． （2）过点A作于点C，于点M，推导出四边形为矩形，得到，继而推导出，求出，，再由，求出，则，即可解答． 【详解】解：过点P作于点F，如图 由题意及图，得 ， ， ， ∴， ∴． 答：的长为． （2）过点A作于点C，于点M，如图， 有， ∴四边形为矩形， ∴， ∵小山坡的坡比为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：的长为． 25. 如图1，点为的角平分线上一点，以为顶点的角的两边分别与射线，交于，两点，如果绕点旋转时始终满足，我们就把叫做的互智角． （1）若，是的互智角，求的度数； （2）若（），，是的互智角，连接，用含的式子分别表示的度数和的面积； （3）如图2，是函数（）图象上的一个动点，过点的直线分别交轴和轴于，两点，且满足，请求出的互智角的顶点的坐标． 【答案】（1）的度数为 （2）； （3）点的坐标为； 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题目，考查了角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、新定义以及运用、三角形面积的计算,掌握知识点是解题的关键． （1）证明，得到，则，即可解答． （2）由是的互智角，得出，证出，得出对应角相等，即可得出；过点作于，由三角形的面积公式得出：，即可得出； （3）设点， 分类讨论：①当点B在y轴的正半轴，且时，②当点B在y轴的正半轴，且时，③当点B在y轴的负半轴时，逐项分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵点为的角平分线上一点，， ∴， ∵是的互智角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：的度数为． 【小问2详解】 是的互智角， ， ， 为的平分线上一点， ， ， ， ， 即； 过点作于，连接；如图所示 则， ， ； 【小问3详解】 ①当点B在y轴的正半轴，且时，如图 设点，过点作于， 则，， ， ， ， ， ， ，， ∴， 是的互智角， ∴， 过点P作轴于点D，如图， 有， ，平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 点的坐标为； ②当点B在y轴的正半轴，且时，如图 ∴， 与矛盾，不符合题意，舍去． ③当点B在y轴的负半轴时，如图 ∴， 与矛盾，不符合题意，舍去． 综上所述，点的坐标为． 26. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线表达式； （2）点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴交直线于点，求的周长最大值及此时点的坐标； （3）设，（）为抛物线上两点，在中的最大值为，最小值为．若存在某个，使得，请求出的取值范围． 【答案】（1） （2）的周长最大值为， （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解函数解析式，二次函数的图象与性质，线段最值问题等知识点． （1）由待定系数法求解即可； （2）先求出直线，然后证明出为等腰直角三角形，，则，那么的周长，设，则，则，那么当时，有最大值，故当取到最大值时，的周长最大值； （3）可得抛物线对称轴为直线，开口向下，顶点为，然后分三种情况：①当点在对称轴左侧时，，即；②当点在对称轴右侧时，；③当点在对称轴左侧，点N在对称轴右侧时，利用二次函数的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． ∴将点，代入， 则， 解得， ∴抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：设直线， ∴将点，代入得，， 解得， ∴直线， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∵轴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴的周长， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴当取到最大值时，的周长最大值； 【小问3详解】 解：， ∴抛物线对称轴为直线，开口向下，顶点为， ①当点在对称轴左侧时，，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 要使，则，结合， ∴的取值范围是； ②当点在对称轴右侧时，， ∴， ∵，， ∴ ∴， 要使，则，结合， ∴的取值范围是； ③当点在对称轴左侧，点N在对称轴右侧时， 当时，取得最大值为4，故， ∵， ∴， 令，解得或 ∴抛物线与轴交点为，，即时，， ∴在范围内，则， 结合，故的取值范围是， 综上所述：的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月九年级上学期质量抽检 （本试卷共6页，26题，考试用时120分钟，全卷满分120分） 注意事项： 1．答题前，先将自已的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡上交． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若在实数范围内有意义，则可以为（ ） A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029 2. 如图，在△ABC中，AC=3，BC＝4，AB＝5,则tanB的值是（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象位于一、三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，配方后的方程，则（ ） A. 10 B. 14 C. 16 D. 18 5. 如图，，是人字梯的两条支撑腿，梯子中间的横档，，互相平行．已知，，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若两个相似三角形对应中线的比是，则它们的面积比是 B. 对于反比例函数，函数值随的增大而增大 C. 二次函数的顶点坐标是 D. 是最简二次根式 8. 如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔．小华在海岸线上的点测得灯塔在北偏东的方向上；小华继续沿着正东方向走了海里到达点处，此时测得灯塔在北偏东的方向上．那么灯塔到海岸线的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 9. 在第十五届全运会女子10米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹呈抛物线状，重心相对于水面的竖直高度（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系如下表所示： 0 0.3 0.6 0.9 1.5 1.8 … 10 10.75 11.25 11.55 11.55 11.25 … 下列结论正确的是（ ） A. 运动员的重心相对于水面的最大高度是 B. 运动轨迹路线的对称轴是直线 C. 运动员的重心相对于水面的高度是时，时间为 D. 当时，运动员入水 10. 如果二次函数的系数，，满足，那么我们把这种函数称为“潇湘”函数，对于“潇湘”函数，下列说法中正确的个数有（ ） ①该“潇湘”函数必过定点； ②若关于的函数是“潇湘”函数，则； ③若该“潇湘”函数的图象与轴有且只有一个交点时，则； ④若该“潇湘”函数的图象与轴的两个交点坐标为，，则； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 一元二次方程的根是_______． 12. 化简的结果为_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到．若点的坐标是，则点的坐标是_____． 14. 已知，化简：_____． 15. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是___________． 16. 如图，是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是_____． 17. 《九章算术》中记载“今有勾6步，股14步，问勾中容方几何？”（注：“勾”“股”为直角三角形的两条直角边）．如图，中，，，，内接正方形（在上，在上，在上），则正方形的边长为_____． 18. 如图，点在反比例函数的图像上，作，边在轴上，点为斜边的中点，直线交轴于点，则的面积为_____． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19. 计算：． 20. 已知，是关于的一元二次方程的两个不同的解，其中，请求出和的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于的不等式的解集． 22. 2025年湖南省足球联赛正在火热进行，球迷们都穿着主队球服应援球队．商家销售某主队球服，每件进价为60元，销售价为100元时，每天可售出40件；经市场调查发现若每件降价1元，每天可多售出2件． （1）在让利于顾客的情况下，每件球服降价多少元时，商家每天能盈利1750元？ （2）当每件球服降价多少元时，商家每天盈利最大？并求出盈利最大值． 23. 如图，在中，的平分线交于点，点为线段的中点，，． （1）求证：； （2）若，求的面积． 24. 某校九年级数学活动小组开展了“古塔高度的测量”项目式学习，形成了如下报告． 活动背景 文峰塔（俗称镇龙塔）坐落于湖南省境内，承载着深厚的历史文化底蕴与科学实践价值，其精湛的建造技艺与独特的风水文化象征（如“青云得路”“文光射斗”等门额题刻）体现了古人对自然与人文和谐统一的追求． 活动主题 测算文峰塔的高度 测量工具 无人机，测角仪，计算器等 测量数据 1．小山坡的坡比为； 2．从点到点上升的高度为3米； 3．处测得塔顶的仰角为； 4．无人机从地面沿竖直方向飞行到达点处； 5．在处测得塔角的俯角为，测得坡底处的俯角为．（点，在同一水平线上） 测量示意图 任务1 （1）求的距离；（结果精确到1米） 任务2 （2）求文峰塔的高度．（结果精确到0.1米） 参考数据 ，，，， 25. 如图1，点为的角平分线上一点，以为顶点的角的两边分别与射线，交于，两点，如果绕点旋转时始终满足，我们就把叫做的互智角． （1）若，是的互智角，求的度数； （2）若（），，是的互智角，连接，用含的式子分别表示的度数和的面积； （3）如图2，是函数（）图象上的一个动点，过点的直线分别交轴和轴于，两点，且满足，请求出的互智角的顶点的坐标． 26. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线表达式； （2）点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴交直线于点，求的周长最大值及此时点的坐标； （3）设，（）为抛物线上两点，在中的最大值为，最小值为．若存在某个，使得，请求出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $