单元培优讲义：面积的变化（考点梳理+例题讲解+考点练习）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

2025-2026学年六年级下册数学苏教版单元培优讲义 面积的变化 考点梳理 1 考点一、面积变化的核心规律 1 考点二、常见图形的规律验证 1 考点三、规律的实际应用场景 2 例题讲解 2 题型一、面积变化的规律 2 考点练习 2 练习一、面积变化的规律 2 考点梳理 考点一、面积变化的核心规律 1.基本比例关系 (1)若图形按 的比放大（ ， 为边长放大倍数），则放大后图形与原图形的对应边长比为 ，面积比为 ； (2)若图形按 的比缩小（ ， 为边长缩小倍数），则缩小后图形与原图形的对应边长比为 ，面积比为 。 2.字母化表述：设原图形某一对应边长为 ，面积为 ；缩放后对应边长为 （ 为放大倍数， 为缩小倍数），则缩放后面积 ，即面积的缩放倍数是边长缩放倍数的平方。 考点二、常见图形的规律验证 1.长方形/正方形：原长方形面积 ，若长和宽同时按 缩放，新面积 ，面积比为 ；正方形同理，边长按 缩放，面积比为 。 2.三角形/平行四边形/梯形：这类图形的面积依赖底和高的乘积，若底和高同时按 缩放，底与高的乘积变为原来的 倍，因此面积也变为原来的 倍，面积比为 。 3.圆：圆的面积公式为 ，若半径按 缩放，新半径为 ，新面积 ，面积比为 。 考点三、规律的实际应用场景 1.已知缩放比求面积：原图形面积乘 （放大）或除以 （缩小），直接得到缩放后的面积； 2.已知面积比求缩放比：将面积比开平方，可推导出对应边长的缩放比例； 3.比例尺与面积换算：比例尺是图上距离与实际距离的长度比，因此图上面积与实际面积的比为比例尺的平方（例如比例尺为 ，则图上面积:实际面积 ）； 4.图形缩放的反向推导：已知缩放后的面积，通过面积比的平方根求出边长缩放倍数，进而推导原图形的边长或面积。 例题讲解 题型一、面积变化的规律 【例题1】把一个长方形按3∶1的比放大后，小长方形与大长方形长的比是( )，面积的比是( )。 【练习1】下图中，图形B是把图形A按( )∶( )的比例缩小后得到的。图形A与图形B的面积比是( )∶( )。 考点练习 练习一、面积变化的规律 1．把一个三角形按4∶1的比放大，放大前与放大后三角形的面积比是( )。 2．如果一个正方形按5∶1的比放大，放大后的正方形面积与原正方形的面积之比是( )。 3．把一个三角形按( )的比放大，放大后的三角形与原来三角形对应底边的比是9∶1，对应高的比是( )，面积的比是( )。 4．把直径是2厘米的圆按2∶1的比放大，放大后圆的周长是( )厘米，放大后圆的面积与放大前圆的面积比是( )。 5．填空。 (1)上图中，图形B是把图形A按( )∶( )的比例缩小后可以得到的。 (2)图形A与图形B的面积比是( )∶( )。 6．把正方形按1∶4的比缩小后，正方形的边长是原来的( )；把一个长方形按3∶1的比放大后，原来长方形的面积是放大后长方形面积的( )。 7．一个长方形长15厘米，宽12厘米，把这个长方形按1∶3的比缩小，缩小后长方形的面积是( )平方厘米，缩小后与缩小前长方形的面积比是( )。 8．将一个正方形按3∶1的比放大，放大前正方形的边长与放大后正方形边长的比是( )，放大前正方形的周长与放大后正方形周长的比是( )，放大前正方形的面积与放大后正方形面积的比是( )。 9．按2∶3的比画出圆缩小后的图形，缩小后圆的面积与原来圆面积的比是（    ），周长的比是（    ）。 10．（1）先将三角形按放大，放大后的三角形与原三角形周长的比是（    ），面积的比是（    ）。 （2）把圆按缩小，缩小后的圆与原来圆的周长的比是（    ），面积的比是（    ）。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学苏教版单元培优讲义 面积的变化 考点梳理 1 考点一、面积变化的核心规律 1 考点二、常见图形的规律验证 1 考点三、规律的实际应用场景 2 例题讲解 2 题型一、面积变化的规律 2 考点练习 3 练习一、面积变化的规律 4 考点梳理 考点一、面积变化的核心规律 1.基本比例关系 (1)若图形按 的比放大（ ， 为边长放大倍数），则放大后图形与原图形的对应边长比为 ，面积比为 ； (2)若图形按 的比缩小（ ， 为边长缩小倍数），则缩小后图形与原图形的对应边长比为 ，面积比为 。 2.字母化表述：设原图形某一对应边长为 ，面积为 ；缩放后对应边长为 （ 为放大倍数， 为缩小倍数），则缩放后面积 ，即面积的缩放倍数是边长缩放倍数的平方。 考点二、常见图形的规律验证 1.长方形/正方形：原长方形面积 ，若长和宽同时按 缩放，新面积 ，面积比为 ；正方形同理，边长按 缩放，面积比为 。 2.三角形/平行四边形/梯形：这类图形的面积依赖底和高的乘积，若底和高同时按 缩放，底与高的乘积变为原来的 倍，因此面积也变为原来的 倍，面积比为 。 3.圆：圆的面积公式为 ，若半径按 缩放，新半径为 ，新面积 ，面积比为 。 考点三、规律的实际应用场景 1.已知缩放比求面积：原图形面积乘 （放大）或除以 （缩小），直接得到缩放后的面积； 2.已知面积比求缩放比：将面积比开平方，可推导出对应边长的缩放比例； 3.比例尺与面积换算：比例尺是图上距离与实际距离的长度比，因此图上面积与实际面积的比为比例尺的平方（例如比例尺为 ，则图上面积:实际面积 ）； 4.图形缩放的反向推导：已知缩放后的面积，通过面积比的平方根求出边长缩放倍数，进而推导原图形的边长或面积。 例题讲解 题型一、面积变化的规律 【例题1】把一个长方形按3∶1的比放大后，小长方形与大长方形长的比是( )，面积的比是( )。 【答案】 1∶3 1∶9 【分析】根据题意，把一个长方形那3∶1的比放大，即把长方形的长和宽都放大到原来的3倍，设原来长方形的长是a，宽是b，放大后的长是3a，宽是3b；在用小长方形的长∶大长方形的长，求出小长方形与大长方形的比；再根据长方形面积公式：面积＝长×宽，分别求出小长方形的面积和大长方形面积，再用小长方形面积∶大长方形面积，即可解答。 【详解】设小长方形的长为a，宽是b，则放大后的长方形的长是3a，宽是3b。 a∶3a ＝（a÷a）∶（3a÷a） ＝1∶3 （ab）∶（3a×3b） ＝（ab）∶（9ab） ＝（ab÷ab）∶（9ab÷ab） ＝1∶9 把一个长方形按3∶1的比放大后，小长方形与大长方形长的比是1∶3，面积的比是1∶9。 【练习1】下图中，图形B是把图形A按( )∶( )的比例缩小后得到的。图形A与图形B的面积比是( )∶( )。 【答案】 1 3 9 1 【分析】图形B和图形A形状相同，对应高的比为3∶9＝（3÷3）∶（9÷3）＝1∶3，对应底的比为4∶12＝（4÷4）∶（12÷4）＝1∶3。图形的缩放比例是指对应边的比例，所以图形B是把图形A按1∶3的比例缩小后得到的。 根据三角形面积公式S＝ah÷2（a表示底，h表示高）。图形A的面积为12×9÷2＝108÷2＝54（平方厘米）。图形B的面积为4×3÷2＝12÷2＝6（平方厘米）。SA∶SB＝54∶6，然后化简即可。 【详解】3∶9 ＝（3÷3）∶（9÷3） ＝1∶3 4∶12 ＝（4÷4）∶（12÷4） ＝1∶3 12×9÷2 ＝108÷2 ＝54（平方厘米） 4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（平方厘米） SA∶SB＝54∶6 54∶6 ＝（54÷6）∶（6÷6） ＝9∶1 图形B是把图形A按1∶3的比例缩小后得到的。图形A与图形B的面积比是9∶1。 考点练习 练习一、面积变化的规律 1．把一个三角形按4∶1的比放大，放大前与放大后三角形的面积比是( )。 【答案】1∶16/ 【分析】把一个三角形按4∶1的比放大，则三角形的底和高都扩大到原来的4倍。三角形的面积＝底×高÷2，根据积的变化规律，如果一个因数扩大到原来的几倍，另一个因数不变，那么积也扩大到原来的几倍，则三角形的面积扩大到原来的4×4＝16倍。据此解答。 【详解】通过分析可得： 4×4＝16，放大后三角形的面积是放大前的16倍，则放大前与放大后三角形的面积比是1∶16。 2．如果一个正方形按5∶1的比放大，放大后的正方形面积与原正方形的面积之比是( )。 【答案】25∶1 【分析】正方形按5∶1放大，正方形的每条边都放大到原来的5倍，假设原来正方形的边长为1，则放大后正方形边长为5；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长；代入数据，分别求出原来和放大后正方形的面积，再根据比的意义，进行解答。 【详解】假设原来正方形的边长为1，则放大后正方形边长为5。 （5×5）∶（1×1） ＝25∶1 如果一个正方形按5∶1的比放大，放大后的正方形面积与原正方形的面积之比是25∶1。 3．把一个三角形按( )的比放大，放大后的三角形与原来三角形对应底边的比是9∶1，对应高的比是( )，面积的比是( )。 【答案】 9∶1 9∶1 81∶1 【分析】图形放大或缩小的比是指对应边的比，所以若大、小三角形对应的底边的比是9∶1，则是按照9∶1放大的，则对应高的比也等于9∶1，面积的比则等于对应边的比的平方，据此即可解答问题。 【详解】92∶12＝81∶1 即把一个三角形按9∶1的比放大，放大后的三角形与原来三角形对应底边的比是9∶1，对应高的比是9∶1，面积的比是81∶1。 【点睛】本题是考查图形的放大与缩小的意义，图形放大或缩小的比是指放大或缩小后的图形与原图形的对应边的比，面积的比等于这个对应边的比的平方。 4．把直径是2厘米的圆按2∶1的比放大，放大后圆的周长是( )厘米，放大后圆的面积与放大前圆的面积比是( )。 【答案】 4π/12.56 4∶1 【分析】已知原来圆的直径是2厘米，按2∶1的比放大，意味着放大后圆的直径是原来的2倍。放大后的直径为2×2＝4厘米。圆的周长公式是：周长＝π×直径。把数据代入公式计算即可。放大后圆的周长为π×4＝4π厘米（如π取3.14则周长为12.56厘米） 圆的面积＝π×半径2，而半径＝直径÷2。原来的圆面积：半径为2÷2＝1厘米，则面积为π×12＝π（平方厘米）。放大后的圆面积：半径为4÷2＝2厘米，则面积为π×22＝4π（平方厘米）。然后进行相比即可。 【详解】2×2＝4（厘米） π×4＝4π（厘米）（如π取3.14则周长为12.56厘米） 2÷2＝1（厘米） 原来圆面积：π×12＝π（平方厘米） 放大后圆面积：π×22＝4π（平方厘米） 4π∶π＝4∶1 所以把直径是2厘米的圆按2∶1的比放大，放大后圆的周长是12.56厘米，放大后圆的面积与放大前圆的面积比是4∶1。 5．填空。 (1)上图中，图形B是把图形A按( )∶( )的比例缩小后可以得到的。 (2)图形A与图形B的面积比是( )∶( )。 【答案】(1) 1 3 (2) 9 1 【分析】（1）由题意可知，图形B是图形A缩小得到的，我们从图上已知两个三角形高，用小三角形的高比大三角形的高的最简比，即为图形B是把图形A按几比几的比例缩小后得到的； （2）由（1）可知，图形A是把图形B按3∶1的比例放大后得到的。根据面积的变化结论“如果把一个图形按n∶1的比放大，放大后与放大前图形的面积比是：∶1”即可解答。 【详解】（1）3：9＝（3÷3）∶（9÷3）＝1∶3 即图形B是把图形A按1∶3的比例缩小后可以得到的。 （2）根据已学结论“如果把一个图形按n∶1的比放大，放大后与放大前图形的面积比是：∶1”可知，图形A是把图形B按3∶1的比例放大后得到的，则图形A与图形B的面积比为∶1，即9∶1。 6．把正方形按1∶4的比缩小后，正方形的边长是原来的( )；把一个长方形按3∶1的比放大后，原来长方形的面积是放大后长方形面积的( )。 【答案】 【分析】（1）把图形按1∶n的比缩小，则图形的各边都缩小到原来的； （2）根据长方形的面积＝长×宽，以及积的变化规律，可知长方形按3∶1的比放大，则长方形的长、宽都扩大到原来的3倍，所以放大后长方形与原来的面积比是32∶12，据此求出原来长方形的面积是放大后长方形面积的几分之几。 【详解】（1）1∶4 ＝1÷4 ＝ 把正方形按1∶4的比缩小后，正方形的边长是原来的； （2）32∶12＝9∶1 1∶9 ＝1÷9 ＝ 把一个长方形按3∶1的比放大后，原来长方形的面积是放大后长方形面积的。 7．一个长方形长15厘米，宽12厘米，把这个长方形按1∶3的比缩小，缩小后长方形的面积是( )平方厘米，缩小后与缩小前长方形的面积比是( )。 【答案】 20 1∶9 【分析】这个长方形按1∶3的比缩小就是将长方形的长和宽均缩小到原来的，由此得出缩小后的长与宽，再代入长方形的面积公式：S＝ab计算即可求出缩小后的面积；将数据代入长方形的面积公式：S＝ab计算出原长方形的面积，写出缩小后与缩小前长方形的面积比化简即可。 【详解】15×＝5（厘米） 12×＝4（厘米） 缩小后的面积：5×4＝20（平方厘米） 缩小前的面积：15×12＝180（平方厘米） 缩小后的面积∶缩小前的面积＝20∶180＝1∶9 即缩小后长方形的面积是20平方厘米，缩小后与缩小前长方形的面积比是1∶9。 【点睛】本题主要考查图形的放大与缩小，“按1∶3的比缩小”求出缩小后的长与宽是解题的关键。 8．将一个正方形按3∶1的比放大，放大前正方形的边长与放大后正方形边长的比是( )，放大前正方形的周长与放大后正方形周长的比是( )，放大前正方形的面积与放大后正方形面积的比是( )。 【答案】 1∶3 1∶3 1∶9 【分析】假设原来正方形的边长为10厘米，正方形按3∶1的比放大，则正方形的边长扩大到原来的3倍，用原来的边长乘3即是扩大后的边长，用放大前正方形的边长与放大后正方形边长比，再进行化简；根据正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长，分别求出原来正方形的周长和面积和放大后正方形的周长和面积，然后根据比的意义，写出放大前正方形的周长与放大后正方形的周长比，放大前正方形的面积与放大后正方形的面积比，再化简比。 【详解】假设原来正方形的边长为10厘米，则放大后正方形的边长为10×3＝30（厘米） 10∶30＝（10÷10）∶（30÷10）＝1∶3 （10×4）∶（30×4） ＝40∶120 ＝（40÷40）∶（120÷40） ＝1∶3 （10×10）∶（30×30） ＝100∶900 ＝（100÷100）∶（900÷100） ＝1∶9 所以放大前正方形的边长与放大后正方形边长的比是1∶3，放大前正方形的周长与放大后正方形周长的比是1∶3，放大前正方形的面积与放大后正方形面积的比是1∶9。 9．按2∶3的比画出圆缩小后的图形，缩小后圆的面积与原来圆面积的比是（    ），周长的比是（    ）。 【答案】图见详解；4∶9；2∶3 【分析】由图可知原来圆的半径为3，按2∶3的比进行缩小，3×＝2，缩小后的圆的半径为2，据此画圆即可；根据圆的面积公式：，写出缩小后圆的面积与原来圆面积的比，再化简比即可；根据圆的周长公式：，写出缩小后圆的周长与原来圆的周长比，再化简比即可. 【详解】由图可知，原来圆的半径为3，按2∶3的比进行缩小后的圆的半径为2。作图如下图所示。 面积比为： 周长比为： 所以按2∶3的比画出圆缩小后的图形，缩小后圆的面积与原来圆面积的比是4∶9，周长的比是2∶3。 10．（1）先将三角形按放大，放大后的三角形与原三角形周长的比是（    ），面积的比是（    ）。 （2）把圆按缩小，缩小后的圆与原来圆的周长的比是（    ），面积的比是（    ）。 【答案】（1）3∶1；9∶1 （2）1∶2；1∶4 【分析】（1）按3∶1画出三角形放大后的图形．就是把已知的三角形的底与高分别放大到原来的3倍，再根据三角形周长公式：周长等于三边之和，放大后的三角形的周长是三边之和×2，据此求出放大后三角形周长与原来三角形周长的比；根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，求出放大后三角形的面积和原来的面积；再根据比的意义，求出放大后的三角形与原三角形面积的比。 （2）把圆按照1∶2缩小，就是把原来圆的半径缩小到原来的，据此画出缩小后的圆；再根据圆的周长公式、面积公式，分别求出放大后圆的周长，面积；原来圆的周长、面积，再根据比的意义，求出缩小后的圆与原图形周长的比、面积的比，据此解答。 【详解】（1）三角形的原来的底是2格，高是2格：现在的底：2×3＝6（格）；现在的高：2×3＝6（格）； 放大后三角形周长∶原来三角形周长＝3∶1 放大后三角形面积∶原来三角形面积＝（6×6÷2）∶（2×2÷2） ＝（36÷2）∶（4÷2） ＝18∶2 ＝（18÷2）∶（2÷2） ＝9∶1 先将三角形按3∶1放大，画出放大后的图形。放大后的三角形与原三角形周长的比是3∶1，面积的比是9∶1。 （2）圆的半径是4格，缩小后圆的半径是：4÷2＝2（格）。 缩小后的圆的周长∶原来圆的周长＝（3.14×2×2）∶（3.14×4×2） ＝（6.28×2）∶（12.56×2） ＝12.56∶25.12 ＝（12.56÷12.56）∶（25.12÷12.56） ＝1∶2 缩小后的圆的面积∶原来圆的面积＝（3.14×22）∶（3.14×42） ＝（3.14×4）∶（3.14×16） ＝12.56∶50.24 ＝（12.56÷12.56）∶（50.24÷12.56） ＝1∶4 把圆按缩小，缩小后的圆与原图形周长的比1∶2，面积的比是1∶4。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $