单元培优讲义：专题06 正比例和反比例（考点梳理+例题讲解+考点练习）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

2025-2026学年六年级下册数学苏教版单元培优讲义 专题06 正比例和反比例 考点梳理 1 考点一、正比例的意义及辨识 1 考点二、正比例图象的认识 2 考点三、正比例的应用 2 考点四、反比例的意义及辨识 3 考点五、反比例的应用 3 例题讲解 4 题型一、正比例的意义及辨识 4 题型二、正比例图象的认识 4 题型三、正比例的应用 6 题型四、反比例的意义及辨识 8 题型五、反比例的应用 8 考点练习 10 练习一、正比例的意义及辨识 10 练习二、正比例图象的认识 12 练习三、正比例的应用 16 练习四、反比例的意义及辨识 19 练习五、反比例的应用 22 考点梳理 考点一、正比例的意义及辨识 1.相关联的量铺垫：两种量中，若一种量的变化会引发另一种量随之变化，则这两种量被称为相关联的量，这是判断正比例关系的前提条件。 2.正比例核心定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若这两种量中相对应的两个数的比值（商）始终为固定定值，则这两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 3.关键特征： (1)两种量必须是相关联的量； (2)变化方向完全一致：一种量扩大（或缩小），另一种量也随之同步扩大（或缩小）； (3)相对应的两个数的比值始终保持固定不变。 4.字母表达式：若用 和 表示两种相关联的量， 表示它们的固定比值，则正比例关系可表示为 （ 为定值，且 、 均不为0）。 5.辨识步骤： (1)第一步：判断两种量是否为相关联的量，若一种量变化时另一种量无变化，则直接判定不成正比例； (2)第二步：观察两种量的变化方向是否一致； (3)第三步：计算多组相对应数值的比值，确认是否始终为固定定值，若是则成正比例，否则不成。 考点二、正比例图象的认识 1.绘制方法： (1) 确定轴对应量：以其中一种量的数值为横轴刻度，另一种量的对应数值为纵轴刻度； (2) 描点：根据每组相对应的数值，在坐标系中精准找到对应位置描点； (3) 连线：将所有描出的点依次连接成一条平滑的线。 2.图象核心特征：正比例关系的图象是一条经过原点（0,0）的直线，因为当 时，根据 可推得 ，符合正比例的比值规律。 3.图象实际作用： (1)直观呈现两种量“同扩同缩”的同步变化趋势，清晰反映正比例关系的规律； (2)可通过图象直接读取一种量对应的另一种量的准确数值； (3)能根据已知量的数值，在图象上估算出对应的未知量数值。 考点三、正比例的应用 1.应用核心依据：成正比例的两种量，相对应的比值始终为固定定值（ ），利用这一不变的等量关系可建立计算逻辑解决问题。 2.基本应用思路： (1)先判断题目中两种相关联的量是否满足正比例关系的三个特征； (2)若成正比例，确定固定不变的比值 ； (3)结合已知的一组对应数值，根据比值一定的规律，计算出未知量的数值。 3.常见应用场景：速度一定时，路程与时间成正比例；单价一定时，总价与数量成正比例；工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比例；比例尺一定时，图上距离与实际距离成正比例等。 4.应用注意事项：必须先确认两种量的正比例关系成立，即比值始终不变，若题目中存在比值变化的情况，则不能用正比例关系解决问题。 考点四、反比例的意义及辨识 1.相关联的量铺垫：同样以“一种量变化，另一种量随之变化”的相关联的量为前提。 2.反比例核心定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若这两种量中相对应的两个数的乘积始终为固定定值，则这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 3.关键特征： (1)两种量必须是相关联的量； (2)变化方向完全相反：一种量扩大（或缩小），另一种量随之同步缩小（或扩大）； (3)相对应的两个数的乘积始终保持固定不变。 4.字母表达式：若用 和 表示两种相关联的量， 表示它们的固定乘积，则反比例关系可表示为 （ 为定值，且 、 均不为0）。 5.辨识步骤： (1)第一步：判断两种量是否为相关联的量，若变化互不影响，则直接判定不成反比例； (2)第二步：观察两种量的变化方向是否相反； (3)第三步：计算多组相对应数值的乘积，确认是否始终为固定定值，若是则成反比例，否则不成。 6.与正比例的辨识区分：核心差异在于“比值一定”还是“乘积一定”，以及变化方向是“同向”还是“反向”，可通过这两个维度快速区分两种比例关系。 考点五、反比例的应用 1.应用核心依据：成反比例的两种量，相对应的乘积始终为固定定值（ ），利用这一不变的等量关系可建立计算逻辑解决问题。 2.基本应用思路： (1)先判断题目中两种相关联的量是否满足反比例关系的三个特征； (2)若成反比例，确定固定不变的乘积 ； (3)结合已知的一组对应数值，根据乘积一定的规律，计算出未知量的数值。 3.常见应用场景：总价一定时，单价与数量成反比例；工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例；路程一定时，速度与时间成反比例；圆柱体积一定时，底面积与高成反比例等。 4.应用注意事项：要确保两种量的乘积始终保持不变，若题目中存在乘积变化的情况，则不能用反比例关系解决问题，需重新分析数量逻辑。 例题讲解 题型一、正比例的意义及辨识 【例题1】下面各选项中两种量成正比例关系的是（    ）。 A．速度一定，所行的路程和时间 B．互为倒数的两个数 C．三角形的面积一定，它的底和高 D．百米赛跑的平均速度和时间 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】A．路程÷时间＝速度（一定），所行的路程和时间成正比例； B．乘积是1的两个数互为倒数，互为倒数的两个数成反比例； C．底×高÷2＝三角形面积（一定），底和高成反比例； D．平均速度×时间＝百米（一定），平均速度和时间成反比例。 两种量成正比例关系的是速度一定，所行的路程和时间。 故答案为：A 【练习1】如果7a＝6b（a、b均不为0），那么a∶b＝( )∶( )，a和b成( )比例。 【答案】 6 7 正 【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可求得a与b的比；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】如果7a＝6b，那a∶b＝6∶7；a∶b＝6∶7＝（一定），a和b的比值一定，所以a和b成正比例。 题型二、正比例图象的认识 【例题2】如图表示的是一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系。这辆汽车行驶的路程与时间的比值是( )，它们成( )比例。 【答案】 60 正 【分析】根据比和除法的关系，比的前项相当于被除数，比的后项相当于除数，统计图可知，用行驶的路程÷行驶的时间，即可求出这辆汽车行驶的路程与时间的比值，也就是这辆车的速度；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】60÷1＝60（千米/时） 120÷2＝60（千米/时） 180÷3＝60（千米/时） 240÷4＝60（千米/时） 300÷5＝60（千米/时） 这辆汽车行驶的路程与时间的比值是60； 60∶1＝120∶2＝180∶3＝240∶4＝300∶5＝60（一定），这辆汽车行驶的路程与时间成正比例。 这辆汽车行驶的路程与时间的比值是60，它们成正比例。 【练习2】如图是一个水龙头打开后的出水量情况。 (1)这个水龙头打开30分钟，出水量是( )升；出水量是9升时，水龙头打开了( )分钟。 (2)这个水龙头的出水量和打开的时间成( )比例。 【答案】(1) 6 45 (2)正 【分析】（1）观察图像，横坐标表示时间（分钟），纵坐标表示出水量（升），当水龙头打开30分钟时，在横坐标上找到30对应的出水量； 当出水量是9升时，我们可以根据数据计算出每分钟的出水量，用总的出水量除以每分钟的出水量计算出对应时间； （2）判断两个相关联的量成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】（1）①观察图像，当时间为30分钟时，对应纵轴上的出水量是6升，所以这个水龙头打开30分钟，出水量是6升； ②由图像可知，出水量和时间的关系是均匀变化的，60分钟出水量是12升，则每分钟出水量为12÷60＝0.2升，当出水量是9升时，打开时间为9÷0.2＝45分钟，所以出水量是9升时，水龙头打开了45分钟。 （2）从图像可看出，出水量÷时间＝每分钟出水量（一定），比如2÷10＝0.2，4÷20＝0.2等，即出水量和打开时间的比值一定，所以这个水龙头的出水量和打开的时间成正比例。 题型三、正比例的应用 【例题3】一个弹簧的长度与所挂物质的质量之间的关系如下表所示。表格中，如果所挂物体的质量是8千克，那么弹簧的长度是( )厘米，如果弹簧的长度是21.6厘米，那么所挂物体的重量是( )千克。 弹簧的长度cm 13.6 14.4 16.8 x 21.6 所挂物体的质量kg 2 3 6 8 y 【答案】 18.4 12 【分析】用14.4厘米减去13.6厘米，计算出弹簧增加的长度，再除以这两个长度所对应的质量差，即可计算出每增加1千克，弹簧伸长了多少。再算出弹簧的原长即可。 【详解】（14.4－13.6）÷（3－2） ＝0.8÷1 ＝0.8（厘米） 13.6－0.8×2 ＝13.6－1.6 ＝12（厘米） 12＋8×0.8 ＝12＋6.4 ＝18.4（厘米） （21.6－12）÷0.8 ＝9.6÷0.8 ＝12（千克） 如果所挂物体的质量是8千克，那么弹簧的长度是18.4厘米，如果弹簧的长度是21.6厘米，那么所挂物体的重量是12千克。 【练习3】张师傅加工一批零件，加工的时间与加工零件的个数如下表： 加工个数 240 288 384 480 576 … 加工小时数 5 6 8 10 12 … （1）加工零件个数与加工时间成什么比例？为什么？ （2）如果每天加工8小时，5天可加工多少个零件？ 【答案】（1）正比例，原因见详解 （2）1920个 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 （2）根据8小时可以加工384个零件，即每天加工384个，再乘天数即可。 【详解】240÷5＝48（个） 288÷6＝48（个） 384÷8＝48（个） 480÷10＝48（个） 576÷12＝48（个） …… 240÷5＝288÷6＝384÷8＝480÷10＝576÷12＝48（一定），即加工个数和加工小时数的比值一定，所以加工零件个数与加工时间成正比例。 答：加工零件与加工时间成正比例。 （2）384×5＝1920（个） 答：5天可加工1920个。 题型四、反比例的意义及辨识 【例题4】下面各组量中，成反比例关系的是（    ）。 A．圆的半径和周长 B．路程一定，行驶的速度和时间 C．小涵的年龄和身高 D．看一本书，已经看的页数和未看的页数 【答案】B 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系；除此之外不成比例关系，据此分析。 【详解】A．圆的周长÷半径＝2×圆周率（一定），圆的半径和周长成正比例关系； B．速度×时间＝路程，路程一定，行驶的速度和时间成反比例关系； C．小涵的年龄和身高不是相关联的量，不成比例关系； D．已经看的页数＋未看的页数＝总页数，看一本书，已经看的页数和未看的页数不成比例关系。 成反比例关系的是路程一定，行驶的速度和时间。 故答案为：B 【练习4】如果＝y（x、y均不为0），则x与y成( )比例；＝y，则x与y成( )比例。 【答案】 反 正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】如果＝y（x、y均不为0），则xy＝9，乘积一定，说明x和y成反比例；如果＝y，则x÷y＝9，比值一定，说明x和y成正比例。 【点睛】本题考查了正比例、反比例的意义和辨识，掌握相关判别方法是解答本题的关键。 题型五、反比例的应用 【例题5】给一间办公室铺地砖，每块地砖的面积与所需的地砖数量如表。 每块地砖的面积/平方厘米 300 400 600 800 所需地砖的数量/块 3200 2400 1600 1200 （1）所需地砖的数量与每块地砖的面积成正比例关系还是反比例关系？为什么？ （2）如果使用面积为1500平方厘米的地砖，那么铺完这间办公室需要多少块地砖？ 【答案】（1）成反比例关系；理由见详解；（2）640块 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此解答。 （2）用这间办公室的总面积除以每块地砖的面积，据此解答。 【详解】（1）成反比例关系，理由如下： 因为300×3200＝400×2400＝600×1600＝800×1200＝960000，也就是每块地砖的面积×所需地砖的数量＝这间办公室的总面积，总面积是一定，乘积一定，因此所需地砖的数量与每块地砖的面积成反比例关系。 答：成反比例关系，理由是每块地砖的面积×所需地砖的数量＝办公室的总面积（一定）。 （2）300×3200÷1500 ＝960000÷1500 ＝640（块） 答：铺完这间办公室需要640块地砖。 【练习5】如图，张明在数学实践课中，利用硬纸条做了一个平衡支架开展数学实验。如果在支架左侧第4个孔挂3颗珠，右侧第2个孔应挂( )颗珠，支架才能保持平衡。 【答案】6 【分析】根据题意可知，支架平衡时，左侧的孔数×挂的珠子数量＝右侧的孔数×挂的珠子数量，据此列反比例解答。 【详解】解：设右侧第2个孔应挂x颗珠，支架才能保持平衡。 2x＝3×4 2x＝12 x＝12÷2 x＝6 所以右侧第2个孔应挂6颗珠，支架才能保持平衡。 考点练习 练习一、正比例的意义及辨识 1．下面各选项中的两种相关联的量，成正比例关系的是（    ）。 A．圆的面积和它的半径。 B．一本书的总页数一定，已看的页数和剩下的页数。 C．比例尺一定，图上距离和实际距离。 D．铺地面积一定，每块砖的面积和用砖的块数。 【答案】C 【分析】判断两种量是否成正比例，需看它们的比值是否一定。 【详解】A．圆的面积＝πr2，面积与半径的平方成正比，与半径不成正比例，此选项错误。 B．总页数＝已看页数＋剩余页数，和为定值，不成比例，此选项错误。 C．比例尺＝图上距离÷实际距离，比值一定，成正比例，此选项正确。 D． 铺地面积＝每块砖面积×块数，乘积一定，成反比例，此选项错误。 故答案为：C 2．两个相关联的量和，如果，那么＝( )，由此可知和成( )比例关系。 【答案】 7 正 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果这两种量的比值或商一定，这两种量就是成正比例关系的量，据此将的两边同时÷，即可确定和的比例关系。 【详解】两个相关联的量和，如果，等式两边同时除以，（一定），比值一定，由此可知和成正比例关系。 3．一辆汽车从甲地开往乙地，前2小时行驶了160千米，照这样的速度，剩下的路程还要行驶3小时，剩下的路程为( )千米。根据题中的数量关系，路程和( )是两种相关联的量，这两种量成( )比例。 【答案】 240 时间 正 【分析】根据速度＝路程÷时间，用160÷2列式求出汽车的速度，根据路程＝速度×时间，用汽车的速度乘3，求出剩下的路程； 在汽车行驶过程中，随着时间的变化，路程也随之变化，所以路程和时间是两种相关联的量； 判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】160÷2×3 ＝80×3 ＝240（千米） 根据分析可知：路程和时间是两种相关联的量。 路程÷时间＝80（千米/小时），速度一定，所以路程和速度成正比例。 4．某工厂加工零件的情况如下表。 加工时间/时 1 2 3 4 5 … 加工零件总数/个 20 40 60 80 100 … （1）写出几组对应的加工零件总数与加工时间的比，再比较比值的大小。 （2）这个比值表示什么？加工时间与加工零件总数成正比例吗？为什么？ 【答案】（1）20∶1，40∶2，60∶3，80∶4，100∶5， （2）这个比值表示加工效率。 加工时间与加工零件总数成正比例。 理由：加工零件总数与加工时间的比值一定。 【分析】（1）根据比值的定义求比值，用加工零件总数除以加工时间即可求出对应比值； 三组比值均为20，比值相等。 （2）比值为20，表示每小时加工零件的个数（即工作效率）； 加工零件总数随加工时间的变化而变化，且加工零件总数与加工时间的比值（每小时加工零件个数）始终为20（一定），根据正比例的定义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，所以加工时间与加工零件总数成正比例。 【详解】（1）比值分别为，比值为； ，比值为； ，比值为。 ，比值为； ，比值为； 各比值相等。 （2）比值表示每小时加工零件的个数，即工作效率； 加工零件总数与加工时间的比值一定，加工时间与加工零件总数成正比例。 练习二、正比例图象的认识 1．下面各组中，两个量的比例关系可以用如图所示的是（    ）。 A．平行四边形的底和高。 B．已知xy＝10，x与y。 C．看一本书，已看的页数和未看的页数。 D．圆锥的高不变，它的体积和底面积。 【答案】D 【分析】从图上可知，这两种量是成正比例关系的。判断两种相关联的量是成正比例还是成反比例，就看这两种量是对应的商一定还是乘积一定，如果是商一定，就成正比例；如果是乘积一定，就成反比例。 【详解】A．平行四边形的面积＝底×高。所以平行四边形的面积一定，底和高成反比例。 B．已知xy＝10，x与y的乘积一定，所以x和y成反比例。 C．看一本书，已看的页数和未看的页数的和一定，所以已看的页数和未看的页数不成比例。 D．圆锥的高＝体积×3÷底面积，所以圆锥的高一定时，体积和底面积成正比例。 两个量的比例关系可以用如图所示的是圆锥的高不变，它的体积和底面积。 故答案为：D 2．下图表示一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成( )比例关系。照这个速度，该汽车5.5小时行驶( )千米。 【答案】 正 550 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 从图中可知，这辆汽车每小时行100千米，根据“路程＝速度×时间”，求出该汽车5.5小时行驶的路程。 【详解】＝＝＝＝＝100（一定） 比值一定，那么这辆汽车行驶的时间和路程成正比例关系。 5.5×100＝550（千米） 填空如下： 这辆汽车行驶的时间与路程成（正）比例关系。照这个速度，该汽车5.5小时行驶（550）千米。 3．如图，表示一辆汽车从A地到B地匀速行驶的耗油量与路程之间关系，它行驶路程与耗油量成( )比例。油箱中还有10升油，要保证油箱中至少有2升油，照这样计算，最多还可以行驶( )千米就需要加油了。 【答案】 正 80 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果比值一定，则成正比例；如果乘积一定，则成反比例。据此判断； 油箱中现有的油的升数减去剩下的2升，即10－2＝8升，由图可知，1升有汽车可以行驶10千米，用8×10列式即可求解。 【详解】10∶1＝10 20∶2＝10 30∶3＝10 …… 所以行驶路程与耗油量的比值一定，所以行驶路程与耗油量成正比例。 （10－2）×（20÷2） ＝8×10 ＝80（千米） 最多还可以行驶80千米。 4．下面的图象表示的是小明的实验结果，反映杯中水的体积与高度的关系。 (1)不计算，根据图象判断，如果杯中水的高度是5厘米，那么水的体积是( )立方厘米；如果杯中水的体积是275立方厘米，那么水的高度是( )厘米。 (2)从图象发现，杯中水的体积和高度成( )比例。 【答案】(1) 125 11 (2)正 【分析】（1）先从图象的横轴上找到高度5厘米，再找到对应的纵轴上表示的水的体积； 先从图象的纵轴上找到水的体积275厘米，再找到对应的横轴上表示的水的高度。 （2）正比例关系的图象是一条经过原点的直线，据此解答。 【详解】（1）不计算，根据图象判断，如果杯中水的高度是5厘米，那么水的体积是（125）立方厘米；如果杯中水的体积是275立方厘米，那么水的高度是（11）厘米。 （2）从图象发现，杯中水的体积和高度成（正）比例。 5．如图的图像表示一幅地图的图上距离和实际距离的关系。 （1）这幅地图的图上距离和实际距离成（    ）比例。 （2）在这幅地图上，量得两地的图上距离是13厘米。两地的实际距离是多少米？ 【答案】（1）正 （2）520米 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 （2）由图可知，图上1厘米表示实际距离40米，图上距离是13厘米，则实际距离就是13个40米，用40×13列式解答即可。 【详解】（1）1∶40＝ 2∶80＝（2÷2）∶（80÷2）＝ 3∶120＝（3÷3）∶（120÷3）＝ …… 图上距离∶实际距离＝（一定），比值一定，所以图上距离和实际距离成正比例。 （2）40×13＝520（米） 答：两地的实际距离是520米。 练习三、正比例的应用 1．小宇坐爸爸开的车去上海旅游，他每过10分钟看一次里程表上的读数，结果记录如下表。 时间 9：10 9：20 9：30 9：40 9：50 … 里程表读数/km 31220 31235 31250 ？ 31280 … (1)这辆车行驶的路程和时间( )正比例。（填“成”或“不成”） (2)照这样的速度，9：40时里程表上的读数应是( )km。 (3)如果9：50时他们离上海还有45km，照这样的速度，他们到达上海的时间是( )。 【答案】(1)成 (2)31265 (3)10：20 【分析】（1）判断路程与时间的比例关系两种量成正比例的核心条件是“相对应的两个数的比值（商）一定”。这里的“比值”对应行程问题中的速度（速度＝路程÷时间）。观察表格中相邻时间（每10分钟）的里程表读数差：9：10−9：20，10分钟行驶了（km），速度为（km/分钟）；9：20−9：30，10分钟同样行驶15km，速度仍为1.5km/分钟。可见速度（比值）始终不变，因此路程和时间成正比例。 （2）先通过前两段数据确定速度恒定为1.5km/分钟，每10分钟行驶15km。9：30到9：40间隔10分钟，需在9：30的读数基础上，加上10分钟行驶的路程。 （3）根据“时间＝路程÷速度”，先求出行驶剩余路程所需的时间，再在9：50的基础上累加该时间，得到到达时刻。 【详解】（1）因每10分钟行驶路程固定，速度不变，路程与时间的比值一定，故成正比例。 （2）9：30读数31250km，加10分钟路程15km，得31265km。 （3）（分）， 所以他们到达上海的时间是10：20。 2．笑笑沿着直尺的方向将橡皮筋拉直（如图）。如果点的位置固定不变，将橡皮筋拉长，使点的位置在处，那么点的位置在( )处。 【答案】12 【分析】根据题意可知，前后的长度与前后的长度成正比例关系，点原来在12厘米处，后来点的位置在16厘米处，点原来在9厘米处，依此设点的位置在厘米处，列比例即可求解。 【详解】设点的位置在厘米处，根据题意得： ，即此时点的位置在12厘米处。 3．邢氏刺绣是河北省级非物质文化遗产。某同学在尝试刺绣时需要购买一种丝线，丝线长度和应付金额如下表。 长度/m 1 2 3 4 5 … 应付金额/元 24 48 72 96 120 … (1)判断这种丝线的长度和应付金额是否成正比例，并说明理由。 (2)300元可以买多少米这种丝线？购买35m这种丝线需要多少元？ 【答案】(1)丝线的长度和应付金额成正比例。理由：丝线的长度和应付金额的比值一定。 (2) 300元可以买12.5米这种丝线。购买35m这种丝线需要840元。 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。根据正比例定义解答。 先算出1米丝线价钱，再根据总价÷单价＝数量、单价×数量＝总价这两个数量关系来解答。 【详解】丝线长度与应付金额是两个相关联的量，应付金额随着购买丝线长度的变化而变化，、、、、，应付金额：丝线长度＝每米丝线价钱（一定）所以丝线的长度和应付金额成正比例。 答：丝线的长度和应付金额成正比例。理由：丝线的长度和应付金额的比值一定。 （元/米）（米）（元） 答：300元可以买12.5米这种丝线。购买35m这种丝线需要840元。 4．一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品的情况记录。 时间 3 6 9 12 … 产品数量/个 51 102 153 204 … （1）生产产品的时间和产品数量成（    ）比例关系。 （2）照这样计算，16分钟生产多少个产品？（用比例知识解答） 【答案】（1）正 （2）272个 【分析】（1）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （2）因为生产产品的时间和产品数量成正比例关系，即产品数量∶生产产品的时间＝每分钟生产产品的数量（一定），据此列出正比例方程，并求解。 【详解】（1）＝＝＝＝…＝17（一定） 生产产品的时间和产品数量成（正）比例关系。 （2）解：设16分钟生产个产品。 ∶16＝51∶3 3＝16×51 3＝816 ＝816÷3 ＝272 答：16分钟生产272个产品。 5．一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品情况的记录。 时间/分 3 6 9 12 … 产品数量/个 51 102 153 204 … （1）生产产品的时间和产品数量成（    ）比例。 （2）照这样计算，45分钟生产产品多少个？ 【答案】（1）正； （2）765个。 【分析】两个相关联的量，若两个量的比值一定，两个量成正比例关系；若两个量的乘积一定，两个量成反比例关系，据此判断即可。 【详解】（1）51∶3＝102∶6＝153∶9＝204∶12＝17 生产产品的时间和产品数量成正比例。 （2）17×45＝765（个） 答：45分钟生产产品765个。 【点睛】根据正比例的判断方法，解答此题即可。 练习四、反比例的意义及辨识 1．下列几组相关联的量中，成反比例关系的是（    ）。 A．比例尺一定，图上距离与实际距离 B．利率一定，存款的本金与利息 C．分子一定，分母和分数值 D．圆柱体体积一定，底面半径和高 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】A．图上距离∶实际距离＝比例尺（一定），比值一定，所以比例尺一定，图上距离与实际距离成正比例关系； B．利息＝本金×利率，利息∶本金＝利率（一定），比值一定，所以利率一定，存款的本金与利息成正比例关系； C．分母×分数值＝分子（一定），乘积一定，所以分子一定，分母和分数值成反比例关系； D．圆柱的体积公式为V＝h，圆柱的体积一定，与h的乘积一定，而不是底面半径和高h的乘积一定，所以圆柱体体积一定，底面半径和高不成反比例关系。 所以成反比例关系的是分子一定，分母和分数值。 故答案为：C 2．下列各式中，（a、b均不为0）a和b成反比例的是（    ）。 A．＝ B．＝ C．a＝b D．10a－＝0 【答案】D 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【详解】A．由可得，a∶b＝9∶＝9÷＝9×4＝36（一定），比值一定，则a和b成正比例； B．由可得，a∶b＝∶＝÷＝×4＝（一定），比值一定，则a和b成正比例； C．由a＝b可得，a∶b＝1（一定），比值一定，则a和b成正比例； D．由可得，10a＝，则ab＝（一定），乘积一定，则a和b成反比例。 故答案为：D 3．长方形的面积一定，长和宽成( )比例；正方形周长和边长成( )比例。 【答案】 反 正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。据此解答。 【详解】因为长方形的长×宽＝面积（一定），所以长方形的长与宽成反比例； 因为正方形的周长÷边长＝4（一定），所以正方形的周长和边长成正比例。 4．如表，如果a和b成正比例，那么☆表示的数是( )；如果a和b成反比例，那么☆表示的数是( )。 a 3 ☆ b 18 30 【答案】 5 1.8 【分析】根据正比例的意义：正比例是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量相的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。 反比例的意义：指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。据此解答即可。 【详解】正比例：3∶18＝☆∶30 18☆＝3×30 18☆＝90 18☆÷18＝90÷18 ☆＝5 反比例：3×18＝☆×30 54＝30☆ 30☆÷30＝54÷30 ☆＝1.8 如果a和b成正比例，那么☆表示的数是5；如果a和b成反比例，那么☆表示的数是1.8。 【点睛】本题主要考查正比例关系以及反比例关系。关键是要识别题中二者是乘法还是除法来判断正比例、反比例关系。 5．食品加工厂把一批酱油进行灌装，下表给出了几种不同的灌装方案。 方案 一 二 三 每瓶容量/升 0.25 0.5 1.00 数量/瓶 600 300 150 (1)这批酱油总量是( )升。 (2)( )一定，每瓶容量和灌装的瓶数成( )比例。 (3)如果把这些酱油装进100个瓶子中，每个瓶子要装( )升。 【答案】(1)150 (2) 酱油的总量 反 (3)1.5 【分析】（1）根据“总量＝每瓶容量×数量”，任选一种方案计算总量； （2）总量固定时，每瓶容量与瓶数的乘积一定，成反比例； （3）总量不变，用总量除以100瓶即可求解。 【详解】（1）0.25×600＝150（升） 所以这批酱油总量是150升。 （2）酱油的总量一定，每瓶容量和灌装的瓶数成反比例。 （3）150÷100＝1.5（升） 所以每个瓶子要装1.5升。 练习五、反比例的应用 1．一根长20厘米的硬纸条，先确定纸条的中心点，再在中心点两侧每隔2厘米打一个小孔，并把纸条的中心点固定在支架上（如图）。如果在支架右侧第4个孔挂3个同样大小的珠，那么支架左侧应该挂（    ）个这样的珠才平衡。（在方框里画一画） 【答案】4；画图见详解 【分析】要使硬纸条平衡，左右两侧“孔的个数（距离中心点的段数）×珠子个数”的乘积需相等，根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就成反比例关系。所以孔的个数与珠子个数成反比例关系。 已知在中心点两侧每隔2厘米打一个小孔，说明每个孔之间的距离是相等的。观察图可知，右侧在第4个孔上挂了3个珠，左侧距离中心点有3段（对应第3个孔）。设左侧挂x个珠，根据反比例关系，列方程为3x＝3×4，然后解方程即可。 【详解】解：设支架左侧应该挂x个这样的珠才平衡。 3x＝3×4 3x＝12 x＝12÷3 x＝4 所以支架左侧应该挂4个这样的珠才平衡。 如图： 2．王丽要用计算机打一份稿件，她的打字速度和所用时间如下表。 打字速度/（字/分） 50 75 90 45 125 所用时间/分 90 60 50 100 36 表中的两个量是否成比例？成什么比例？为什么？ 【答案】成；成反比例；见详解 【分析】 判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。根据长方形的面积公式和圆周长公式求解即可。 【详解】 50×90＝4500（字） 75×60＝4500（字） 90×50＝4500（字） 45×100＝4500（字） 125×36＝4500（字） 由分析可得：表中的两个量成比例，成反比例；因为她的打字速度和所用时间是两种相关联的量，打字时间随着打字速度的变化而变化，且这两种量的乘积一定，所以打字速度和打字时间成反比例。 3．丽丽在图书馆借阅了一本《名人传记》，如果每天看20页，18天能全部看完。根据图书馆的借阅规定，丽丽想在规定期限内准时归还，而不用交延时服务费，她每天至少要看多少页？（用比例知识解） 图书馆规定 1.借阅期限：12天 2.超过12天的，从第13天起，每天每本收取0.5元延时服务费。 【答案】30页 【分析】根据书的总页数一定，所以每天看的页数与需要的天数成反比例关系；设丽丽每天至少要看x页，因为借阅期限为12天，可得比例式：12x＝20×18。据此解答。 【详解】解：设丽丽每天至少要看x页。 12x＝20×18 12x＝360 12x÷12＝360÷12 x＝30 答：丽丽每天至少要看30页。 4．给一间房屋的地面铺方砖，每块方砖的数据与所需数量如下，请将下表补充完整。 每块方砖的边长/米 0.2 0.3 0.4 0.6 … 每块方砖的面积/平方米 0.04 0.36 … 所需方砖的数量/块 360 40 … （1）每块方砖的（    ）与所需方砖的数量成（    ）比例。 （2）如果每块方砖的面积是0.05平方米，铺这间房屋的地面需多少块方砖？ （3）铺这间房屋的地面用了500块方砖，你知道这样的方砖每块面积是多少吗？ 【答案】（1）填表见详解；面积；反 （2）288块 （3）0.0288平方米 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，成反比例。根据方砖面积＝边长×边长，房屋面积＝每块方砖的面积×所需方砖的数量，计算填表即可。 （2）房屋面积不变，根据房屋面积÷每块方砖的面积＝所需方砖的数量，代入数据计算即可。 （3）房屋面积不变，根据房屋面积÷所需方砖的数量＝每块方砖的面积，代入数据计算即可。 【详解】（1）（1）0.04×360＝0.36×40＝14.4（平方米） 因为每块方砖的面积×所需方砖的数量＝铺地面积（一定），铺地面积即这间房屋的面积，所以每块方砖的面积与所需方砖的数量成反比例。 0.3×0.3＝0.09（平方米）   14.4÷0.09＝160（块） 0.4×0.4＝0.16（平方米）   14.4÷0.16＝90（块） 每块方砖的边长/米 0.2 0.3 0.4 0.6 … 每块方砖的面积/平方米 0.04 0.09 0.16 0.36 … 所需方砖的数量/块 360 160 90 40 … （2）14.4÷0.05＝288（块） 答：铺这间房屋的地面需288块方砖。 （3）14.4÷500＝0.0288（平方米） 答：这样的方砖每块面积是0.0288平方米。 5．从春蕾小学到某研学基地，不同的交通工具的速度和行驶所需时间如下。 车辆 小客车 中巴车 小轿车 大巴车 平均速度（千米/时） 80 75 90 60 时间（时） 1.5 1.6 2 （1）如果用s表示学校到研学基地的路程，用v表示车辆的平均速度，t表示驶完全程所需的时间。v与t成什么比例关系？写出这个关系式。 （2）春蕾小学部分师生准备下周一早上8：00从学校开车去该研学基地，想在当天上午9：40前到达，开车的平均速度不能低于多少千米/时？ 【答案】（1）反比例；s＝vt或者vt＝120   （2）72千米/时 【分析】（1）根据“速度×时间＝路程”可知，路程一定时，速度与时间成反比例关系，据此用字母表示出这个关系式。 （2）根据题意，从早上8：00开车出发，当天上午9：40前到达，用到达时刻减去出发时刻，求出开车的时间；根据速度×时间＝路程（一定），则车辆的平均速度和行驶时间成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】（1）80×1.5＝75×1.6＝90×＝60×2＝120（一定） 乘积一定，则车辆的平均速度与时间成反比例关系。 答：v与t成反比例关系，关系式：s＝vt或者vt＝120。 （2）9时40分－8时＝1小时40分 1小时40分＝小时 解：设开车的平均速度不能低于千米/时。 ＝80×1.5 ＝120 ＝120÷ ＝120× ＝72 答：开车的平均速度不能低于72千米/时。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学苏教版单元培优讲义 专题06 正比例和反比例 考点梳理 1 考点一、正比例的意义及辨识 1 考点二、正比例图象的认识 2 考点三、正比例的应用 2 考点四、反比例的意义及辨识 3 考点五、反比例的应用 3 例题讲解 4 题型一、正比例的意义及辨识 4 题型二、正比例图象的认识 4 题型三、正比例的应用 4 题型四、反比例的意义及辨识 5 题型五、反比例的应用 5 考点练习 6 练习一、正比例的意义及辨识 6 练习二、正比例图象的认识 7 练习三、正比例的应用 9 练习四、反比例的意义及辨识 10 练习五、反比例的应用 11 考点梳理 考点一、正比例的意义及辨识 1.相关联的量铺垫：两种量中，若一种量的变化会引发另一种量随之变化，则这两种量被称为相关联的量，这是判断正比例关系的前提条件。 2.正比例核心定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若这两种量中相对应的两个数的比值（商）始终为固定定值，则这两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 3.关键特征： (1)两种量必须是相关联的量； (2)变化方向完全一致：一种量扩大（或缩小），另一种量也随之同步扩大（或缩小）； (3)相对应的两个数的比值始终保持固定不变。 4.字母表达式：若用 和 表示两种相关联的量， 表示它们的固定比值，则正比例关系可表示为 （ 为定值，且 、 均不为0）。 5.辨识步骤： (1)第一步：判断两种量是否为相关联的量，若一种量变化时另一种量无变化，则直接判定不成正比例； (2)第二步：观察两种量的变化方向是否一致； (3)第三步：计算多组相对应数值的比值，确认是否始终为固定定值，若是则成正比例，否则不成。 考点二、正比例图象的认识 1.绘制方法： (1) 确定轴对应量：以其中一种量的数值为横轴刻度，另一种量的对应数值为纵轴刻度； (2) 描点：根据每组相对应的数值，在坐标系中精准找到对应位置描点； (3) 连线：将所有描出的点依次连接成一条平滑的线。 2.图象核心特征：正比例关系的图象是一条经过原点（0,0）的直线，因为当 时，根据 可推得 ，符合正比例的比值规律。 3.图象实际作用： (1)直观呈现两种量“同扩同缩”的同步变化趋势，清晰反映正比例关系的规律； (2)可通过图象直接读取一种量对应的另一种量的准确数值； (3)能根据已知量的数值，在图象上估算出对应的未知量数值。 考点三、正比例的应用 1.应用核心依据：成正比例的两种量，相对应的比值始终为固定定值（ ），利用这一不变的等量关系可建立计算逻辑解决问题。 2.基本应用思路： (1)先判断题目中两种相关联的量是否满足正比例关系的三个特征； (2)若成正比例，确定固定不变的比值 ； (3)结合已知的一组对应数值，根据比值一定的规律，计算出未知量的数值。 3.常见应用场景：速度一定时，路程与时间成正比例；单价一定时，总价与数量成正比例；工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比例；比例尺一定时，图上距离与实际距离成正比例等。 4.应用注意事项：必须先确认两种量的正比例关系成立，即比值始终不变，若题目中存在比值变化的情况，则不能用正比例关系解决问题。 考点四、反比例的意义及辨识 1.相关联的量铺垫：同样以“一种量变化，另一种量随之变化”的相关联的量为前提。 2.反比例核心定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若这两种量中相对应的两个数的乘积始终为固定定值，则这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 3.关键特征： (1)两种量必须是相关联的量； (2)变化方向完全相反：一种量扩大（或缩小），另一种量随之同步缩小（或扩大）； (3)相对应的两个数的乘积始终保持固定不变。 4.字母表达式：若用 和 表示两种相关联的量， 表示它们的固定乘积，则反比例关系可表示为 （ 为定值，且 、 均不为0）。 5.辨识步骤： (1)第一步：判断两种量是否为相关联的量，若变化互不影响，则直接判定不成反比例； (2)第二步：观察两种量的变化方向是否相反； (3)第三步：计算多组相对应数值的乘积，确认是否始终为固定定值，若是则成反比例，否则不成。 6.与正比例的辨识区分：核心差异在于“比值一定”还是“乘积一定”，以及变化方向是“同向”还是“反向”，可通过这两个维度快速区分两种比例关系。 考点五、反比例的应用 1.应用核心依据：成反比例的两种量，相对应的乘积始终为固定定值（ ），利用这一不变的等量关系可建立计算逻辑解决问题。 2.基本应用思路： (1)先判断题目中两种相关联的量是否满足反比例关系的三个特征； (2)若成反比例，确定固定不变的乘积 ； (3)结合已知的一组对应数值，根据乘积一定的规律，计算出未知量的数值。 3.常见应用场景：总价一定时，单价与数量成反比例；工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例；路程一定时，速度与时间成反比例；圆柱体积一定时，底面积与高成反比例等。 4.应用注意事项：要确保两种量的乘积始终保持不变，若题目中存在乘积变化的情况，则不能用反比例关系解决问题，需重新分析数量逻辑。 例题讲解 题型一、正比例的意义及辨识 【例题1】下面各选项中两种量成正比例关系的是（    ）。 A．速度一定，所行的路程和时间 B．互为倒数的两个数 C．三角形的面积一定，它的底和高 D．百米赛跑的平均速度和时间 【练习1】如果7a＝6b（a、b均不为0），那么a∶b＝( )∶( )，a和b成( )比例。 题型二、正比例图象的认识 【例题2】如图表示的是一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系。这辆汽车行驶的路程与时间的比值是( )，它们成( )比例。 【练习2】如图是一个水龙头打开后的出水量情况。 (1)这个水龙头打开30分钟，出水量是( )升；出水量是9升时，水龙头打开了( )分钟。 (2)这个水龙头的出水量和打开的时间成( )比例。 题型三、正比例的应用 【例题3】一个弹簧的长度与所挂物质的质量之间的关系如下表所示。表格中，如果所挂物体的质量是8千克，那么弹簧的长度是( )厘米，如果弹簧的长度是21.6厘米，那么所挂物体的重量是( )千克。 弹簧的长度cm 13.6 14.4 16.8 x 21.6 所挂物体的质量kg 2 3 6 8 y 【练习3】张师傅加工一批零件，加工的时间与加工零件的个数如下表： 加工个数 240 288 384 480 576 … 加工小时数 5 6 8 10 12 … （1）加工零件个数与加工时间成什么比例？为什么？ （2）如果每天加工8小时，5天可加工多少个零件？ 题型四、反比例的意义及辨识 【例题4】下面各组量中，成反比例关系的是（    ）。 A．圆的半径和周长 B．路程一定，行驶的速度和时间 C．小涵的年龄和身高 D．看一本书，已经看的页数和未看的页数 【练习4】如果＝y（x、y均不为0），则x与y成( )比例；＝y，则x与y成( )比例。 题型五、反比例的应用 【例题5】给一间办公室铺地砖，每块地砖的面积与所需的地砖数量如表。 每块地砖的面积/平方厘米 300 400 600 800 所需地砖的数量/块 3200 2400 1600 1200 （1）所需地砖的数量与每块地砖的面积成正比例关系还是反比例关系？为什么？ （2）如果使用面积为1500平方厘米的地砖，那么铺完这间办公室需要多少块地砖？ 【练习5】如图，张明在数学实践课中，利用硬纸条做了一个平衡支架开展数学实验。如果在支架左侧第4个孔挂3颗珠，右侧第2个孔应挂( )颗珠，支架才能保持平衡。 考点练习 练习一、正比例的意义及辨识 1．下面各选项中的两种相关联的量，成正比例关系的是（    ）。 A．圆的面积和它的半径。 B．一本书的总页数一定，已看的页数和剩下的页数。 C．比例尺一定，图上距离和实际距离。 D．铺地面积一定，每块砖的面积和用砖的块数。 2．两个相关联的量和，如果，那么＝( )，由此可知和成( )比例关系。 3．一辆汽车从甲地开往乙地，前2小时行驶了160千米，照这样的速度，剩下的路程还要行驶3小时，剩下的路程为( )千米。根据题中的数量关系，路程和( )是两种相关联的量，这两种量成( )比例。 4．某工厂加工零件的情况如下表。 加工时间/时 1 2 3 4 5 … 加工零件总数/个 20 40 60 80 100 … （1）写出几组对应的加工零件总数与加工时间的比，再比较比值的大小。 （2）这个比值表示什么？加工时间与加工零件总数成正比例吗？为什么？ 练习二、正比例图象的认识 1．下面各组中，两个量的比例关系可以用如图所示的是（    ）。 A．平行四边形的底和高。 B．已知xy＝10，x与y。 C．看一本书，已看的页数和未看的页数。 D．圆锥的高不变，它的体积和底面积。 2．下图表示一辆汽车在公路上行驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成( )比例关系。照这个速度，该汽车5.5小时行驶( )千米。 3．如图，表示一辆汽车从A地到B地匀速行驶的耗油量与路程之间关系，它行驶路程与耗油量成( )比例。油箱中还有10升油，要保证油箱中至少有2升油，照这样计算，最多还可以行驶( )千米就需要加油了。 4．下面的图象表示的是小明的实验结果，反映杯中水的体积与高度的关系。 (1)不计算，根据图象判断，如果杯中水的高度是5厘米，那么水的体积是( )立方厘米；如果杯中水的体积是275立方厘米，那么水的高度是( )厘米。 (2)从图象发现，杯中水的体积和高度成( )比例。 5．如图的图像表示一幅地图的图上距离和实际距离的关系。 （1）这幅地图的图上距离和实际距离成（    ）比例。 （2）在这幅地图上，量得两地的图上距离是13厘米。两地的实际距离是多少米？ 练习三、正比例的应用 1．小宇坐爸爸开的车去上海旅游，他每过10分钟看一次里程表上的读数，结果记录如下表。 时间 9：10 9：20 9：30 9：40 9：50 … 里程表读数/km 31220 31235 31250 ？ 31280 … (1)这辆车行驶的路程和时间( )正比例。（填“成”或“不成”） (2)照这样的速度，9：40时里程表上的读数应是( )km。 (3)如果9：50时他们离上海还有45km，照这样的速度，他们到达上海的时间是( )。 2．笑笑沿着直尺的方向将橡皮筋拉直（如图）。如果点的位置固定不变，将橡皮筋拉长，使点的位置在处，那么点的位置在( )处。 3．邢氏刺绣是河北省级非物质文化遗产。某同学在尝试刺绣时需要购买一种丝线，丝线长度和应付金额如下表。 长度/m 1 2 3 4 5 … 应付金额/元 24 48 72 96 120 … (1)判断这种丝线的长度和应付金额是否成正比例，并说明理由。 (2)300元可以买多少米这种丝线？购买35m这种丝线需要多少元？ 4．一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品的情况记录。 时间 3 6 9 12 … 产品数量/个 51 102 153 204 … （1）生产产品的时间和产品数量成（    ）比例关系。 （2）照这样计算，16分钟生产多少个产品？（用比例知识解答） 5．一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品情况的记录。 时间/分 3 6 9 12 … 产品数量/个 51 102 153 204 … （1）生产产品的时间和产品数量成（    ）比例。 （2）照这样计算，45分钟生产产品多少个？ 练习四、反比例的意义及辨识 1．下列几组相关联的量中，成反比例关系的是（    ）。 A．比例尺一定，图上距离与实际距离 B．利率一定，存款的本金与利息 C．分子一定，分母和分数值 D．圆柱体体积一定，底面半径和高 2．下列各式中，（a、b均不为0）a和b成反比例的是（    ）。 A．＝ B．＝ C．a＝b D．10a－＝0 3．长方形的面积一定，长和宽成( )比例；正方形周长和边长成( )比例。 4．如表，如果a和b成正比例，那么☆表示的数是( )；如果a和b成反比例，那么☆表示的数是( )。 a 3 ☆ b 18 30 5．食品加工厂把一批酱油进行灌装，下表给出了几种不同的灌装方案。 方案 一 二 三 每瓶容量/升 0.25 0.5 1.00 数量/瓶 600 300 150 (1)这批酱油总量是( )升。 (2)( )一定，每瓶容量和灌装的瓶数成( )比例。 (3)如果把这些酱油装进100个瓶子中，每个瓶子要装( )升。 练习五、反比例的应用 1．一根长20厘米的硬纸条，先确定纸条的中心点，再在中心点两侧每隔2厘米打一个小孔，并把纸条的中心点固定在支架上（如图）。如果在支架右侧第4个孔挂3个同样大小的珠，那么支架左侧应该挂（    ）个这样的珠才平衡。（在方框里画一画） 2．王丽要用计算机打一份稿件，她的打字速度和所用时间如下表。 打字速度/（字/分） 50 75 90 45 125 所用时间/分 90 60 50 100 36 表中的两个量是否成比例？成什么比例？为什么？ 3．丽丽在图书馆借阅了一本《名人传记》，如果每天看20页，18天能全部看完。根据图书馆的借阅规定，丽丽想在规定期限内准时归还，而不用交延时服务费，她每天至少要看多少页？（用比例知识解） 图书馆规定 1.借阅期限：12天 2.超过12天的，从第13天起，每天每本收取0.5元延时服务费。 4．给一间房屋的地面铺方砖，每块方砖的数据与所需数量如下，请将下表补充完整。 每块方砖的边长/米 0.2 0.3 0.4 0.6 … 每块方砖的面积/平方米 0.04 0.36 … 所需方砖的数量/块 360 40 … （1）每块方砖的（    ）与所需方砖的数量成（    ）比例。 （2）如果每块方砖的面积是0.05平方米，铺这间房屋的地面需多少块方砖？ （3）铺这间房屋的地面用了500块方砖，你知道这样的方砖每块面积是多少吗？ 5．从春蕾小学到某研学基地，不同的交通工具的速度和行驶所需时间如下。 车辆 小客车 中巴车 小轿车 大巴车 平均速度（千米/时） 80 75 90 60 时间（时） 1.5 1.6 2 （1）如果用s表示学校到研学基地的路程，用v表示车辆的平均速度，t表示驶完全程所需的时间。v与t成什么比例关系？写出这个关系式。 （2）春蕾小学部分师生准备下周一早上8：00从学校开车去该研学基地，想在当天上午9：40前到达，开车的平均速度不能低于多少千米/时？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $