单元培优讲义：专题02 圆柱和圆锥（考点梳理+例题讲解+考点练习）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

2025-2026学年六年级下册数学苏教版单元培优讲义 专题02 圆柱和圆锥 考点梳理 1 考点一、圆柱和圆锥的认识及特征 2 考点二、圆柱的展开图和侧面积 2 考点三、圆柱的表面积 3 考点四、圆柱的体积 3 考点五、圆柱的容积 3 考点六、圆柱与圆锥体积的关系 3 考点七、圆锥的体积（容积） 4 考点八、组合体的表面积和体积 4 考点九、立体图形的切拼 5 考点十、不规则物体的体积算法 5 例题讲解 5 题型一、圆柱和圆锥的认识及特征 5 题型二、圆柱的展开图和侧面积 6 题型三、圆柱的表面积 6 题型四、圆柱的体积 6 题型五、圆柱的容积 7 题型六、圆柱与圆锥体积的关系 8 题型七、圆锥的体积（容积） 8 题型八、组合体的表面积和体积 8 题型九、立体图形的切拼 9 题型十、不规则物体的体积算法 9 考点练习 10 练习一、圆柱和圆锥的认识及特征 10 练习二、圆柱的展开图和侧面积 11 练习三、圆柱的表面积 12 练习四、圆柱的体积 13 练习五、圆柱的容积 14 练习六、圆柱与圆锥体积的关系 15 练习七、圆锥的体积（容积） 15 练习八、组合体的表面积和体积 17 练习九、立体图形的切拼 18 练习十、不规则物体的体积算法 19 考点梳理 考点一、圆柱和圆锥的认识及特征 1. 圆柱的核心特征 (1)组成结构：由两个完全相同的圆形底面和一个曲面侧面围成的立体图形。 (2)底面性质：两个底面是大小相等的圆，互相平行；两底面圆心的连线与底面垂直。 (3)侧面性质：光滑的曲面，无棱边，可通过展开转化为平面图形。 (4)高的定义：两个底面之间的垂直距离，圆柱有无数条高，且所有高的长度相等；测量时可通过直尺垂直底面，或直接测量两底面圆心的距离。 2. 圆锥的核心特征 (1)组成结构：由一个圆形底面、一个曲面侧面和一个顶点围成的立体图形。 (2)底面性质：单个圆形，底面圆心到侧面各点的距离不相等（因侧面为曲面）。 (3)侧面性质：光滑的曲面，展开后为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长。 (4)高的定义：从圆锥顶点到底面圆心的垂直距离，圆锥只有1条高；测量时需将底面平放于平板，用直尺垂直平板测量顶点到平板的距离。 考点二、圆柱的展开图和侧面积 1. 圆柱的展开图类型 (1)沿高剪开：侧面展开为长方形（或正方形）。长方形的长等于圆柱底面的周长（ ），宽等于圆柱的高；若底面周长与高相等，展开图为正方形。 (2)斜着剪开：侧面展开为平行四边形，平行四边形的底等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，其面积与长方形展开图的面积相等。 2. 圆柱的侧面积 (1)公式推导：侧面积本质是侧面展开图的面积，即“底面周长×高”。 (2)计算公式： （其中 为底面周长， 为底面直径， 为底面半径， 为圆柱的高）。 考点三、圆柱的表面积 1. 表面积的定义：圆柱所有面的面积总和，由一个侧面积和两个底面积组成。 2. 计算公式及推导 (1)底面积：单个底面为圆形，面积 ，两个底面积总和为 。 (2)表面积公式： 。 3. 实际应用提示：需结合具体场景判断计算的面：如通风管、烟囱仅计算侧面积；无盖水桶需计算侧面积加一个底面积。 考点四、圆柱的体积 1. 体积的定义：圆柱所占空间的大小。 2. 公式推导：通过“切拼转化法”，将圆柱沿底面半径和高切开，拼成近似的长方体：长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高；由长方体体积公式 ，推导出圆柱体积公式。 3. 计算公式：（其中 为底面积， 为底面半径， 为高）。 4. 公式变形：已知体积和底面积，求高： ；已知体积和高，求底面积： 。 考点五、圆柱的容积 1. 容积的定义：圆柱容器内部所能容纳物体的体积，属于体积的特殊应用场景。 2. 计算方法：与圆柱体积计算方法相同，公式为 （其中 为容器内部底面积， 为容器内部的高）。 3. 测量与单位 (1)测量数据需从容器内部获取（区别于体积的外部测量）。 (2)常用容积单位：升（ ）、毫升（ ），换算关系： ， ， 。 考点六、圆柱与圆锥体积的关系 1. 核心前提：等底等高 (1)此时圆锥体积是圆柱体积的 ，即 ， ； (2)圆柱与圆锥的体积差为 。 2. 等体积等高：圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，即 。 3. 等体积等底面积：圆锥的高是圆柱高的3倍，即 。 4. 非等底等高情况：需通过体积公式分别计算，不存在固定的 或3倍关系，需结合已知量推导未知量。 考点七、圆锥的体积（容积） 1. 圆锥的体积 (1)公式推导：通过实验验证，等底等高的圆锥与圆柱，圆锥体积是圆柱的 ，由此推导体积公式。 (2)计算公式： （其中 为底面积， 为底面半径， 为高）。 2. 圆锥的容积 (1)定义：圆锥容器内部所能容纳物体的体积，计算方法与体积相同，需从容器内部测量底面半径和高。 (2)单位：同样适用升（ ）、毫升（ ），换算规则与圆柱容积一致。 考点八、组合体的表面积和体积 1. 组合体的表面积 组合体的表面积为各立体图形的表面积之和，减去重叠面的面积（重叠面不属于组合体的外部表面）。 (1)示例逻辑：如两个圆柱上下叠放，重叠部分为2个底面，表面积需减少 ；圆柱与圆锥底面叠放，重叠部分为1个底面，表面积需减少 （因圆锥和圆柱各有一个底面被遮挡）。 2. 组合体的体积 (1)常见组合类型： ①　叠加型组合体：由两个或多个独立圆柱上下叠加或并排拼接而成； ②　挖空型组合体：以大圆柱为基础，内部挖去一个或多个小圆柱（如空心圆柱、圆筒结构）； ③　混合型组合体：圆柱与长方体、正方体等其他规则立体图形组合而成。 (2)核心计算思路： ①　叠加型：将组合体拆分为多个独立圆柱，分别计算每个圆柱的体积，再将各部分体积相加，即 ； ②　挖空型：用整体大圆柱的体积减去挖去部分小圆柱的体积，即 ； ③　混合型：分别计算组合体中圆柱部分和其他立体图形部分的体积，再根据组合形式（叠加则相加，挖去则相减）计算总体积。 考点九、立体图形的切拼 1. 圆柱的切拼 (1)横切（平行于底面）：每切一次，表面积增加2个底面积（ ），体积不变。 (2)竖切（沿底面直径垂直切开）：表面积增加2个长方形面，单个长方形的面积为“底面直径×高”（ ），增加的总面积为 ，体积不变。 (3)拼合：将两个完全相同的圆柱拼合成一个大圆柱，体积不变，表面积减少2个底面积（ ）。 2. 圆锥的切拼 (1)沿高切开：表面积增加2个三角形面，单个三角形的底为圆锥底面直径，高为圆锥的高，增加的总面积为 ，体积不变。 考点十、不规则物体的体积算法 主要采用排水法或溢水法，借助圆柱容器（底面积固定，便于计算）： 1.排水法：将物体完全浸没在圆柱容器的水中，水面上升的体积等于不规则物体的体积，公式为 （ 为圆柱容器底面积， 为水面上升的高度）。 2.溢水法：将物体完全浸没在装满水的圆柱容器中，溢出的水的体积等于物体体积，可通过收集溢出的水，倒入圆柱容器中测量高度，再用 计算体积。 3.操作注意：物体需完全浸没在水中；排水法中初始水位需低于容器口，避免水溢出。 例题讲解 题型一、圆柱和圆锥的认识及特征 【例题1】圆柱的上、下两个面叫做( )，围成圆柱的曲面叫做( )面，两个底面之间的( )叫做高。 【练习1】如图，圆锥的高是( )厘米，底面半径是( )厘米，底面周长是( )厘米。 题型二、圆柱的展开图和侧面积 【例题2】把一个底面半径为4厘米、高为5厘米的圆柱沿侧面虚线剪开后得到一个平行四边形（如图），这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 【练习2】如下图，有一张长方形铁皮，按下面方式进行裁切后，恰好可以做成一个圆柱，那么做成的圆柱的侧面积是( )平方厘米。 题型三、圆柱的表面积 【例题3】计算圆柱的表面积（单位：厘米）。 【练习3】一个圆柱形铁皮水桶，上面没有盖，高是6分米，底面半径是1.8分米。做这个水桶大约要用铁皮多少平方分米？ 题型四、圆柱的体积 【例题4】计算圆柱的体积。（单位：厘米） 【练习4】一段圆柱形钢材，长为80厘米，底面半径为5厘米。如果每立方厘米钢材重7.8克，这段钢材有多重？ 题型五、圆柱的容积 【例题5】把一张铁皮按如图剪料，正好能制成一只铁皮油桶。求所制油桶的容积。 【练习5】妈妈有一个圆柱形的茶杯，如图。 （1）茶杯中部是一圈好看的装饰带，这条装饰带宽5厘米，长至少是多少厘米？（接头处忽略不计） （2）这只茶杯的容积是多少毫升？（茶杯厚度忽略不计） 题型六、圆柱与圆锥体积的关系 【例题6】一个圆柱和一个圆锥等底等高，如果圆锥的体积是2.4dm3，那么圆柱的体积是( )dm3；如果圆柱的体积是2.4dm3，那么圆锥的体积是( )dm3。 【练习6】把一个圆柱钢坯削成一个最大的圆锥，要削去3.2立方厘米，原来圆柱钢坯的体积是( )立方厘米，如果把这个钢坯熔铸成底面积是12平方厘米的圆锥，圆锥的高是( )厘米。 题型七、圆锥的体积（容积） 【例题7】计算下面图形的体积。（单位：厘米） 【练习7】一个圆锥形的沙堆，它的底面周长是18.84米，高是2米，每立方米沙重1.5吨。如果用载质量3吨的卡车来运，至少几车可以运完？ 题型八、组合体的表面积和体积 【例题8】计算下面这个图形的体积。（单位：分米） 【练习8】计算下面圆柱的表面积和体积。（单位：厘米） 　 题型九、立体图形的切拼 【例题9】如图，把一个圆柱沿直径平均切成两块，表面积比原来增加了48cm2，原来圆柱底面直径是( )cm，这个圆柱的体积是( )cm3。（π取3.14） 【练习9】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方分米。 题型十、不规则物体的体积算法 【例题10】一个圆柱形玻璃鱼缸，底面直径是20厘米，放入一条鱼后水面上升0.2厘米，这条鱼的体积是( )立方厘米。 【练习10】如图所示，玻璃容器的底面半径为4厘米，它的里面装有一部分水，水中浸没着一个高6厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了1.5厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 考点练习 练习一、圆柱和圆锥的认识及特征 1．从上面看下边的图形，可以看到（    ）。 A． B． C． D． 2．圆锥的底面是一个( )形，从圆锥的( )到( )的距离是圆锥的高。一个圆锥有( )条高，一个圆柱有( )条高。 3．以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是( )，形成圆锥的是( )。 ①                          ②                       ③                  ④ 4．如图，这个立体图形从上面看是( )形，从正面看是( )形。 5．如下图，以短直角边为轴旋转一周，得到的图形是( )，底面直径是( )cm。 6．用丝带捆扎一个圆柱形蛋糕盒，过底面圆心捆扎成右图的样子，打结处用去了30厘米，捆扎这个盒子一共用去多少厘米长的丝带？ 练习二、圆柱的展开图和侧面积 1．把圆柱的侧面展开不可能得到一个（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．三角形 D．平行四边形 2．把一个底面直径2厘米，高3厘米的圆柱展开图画在方格纸（边长为1厘米）上，下面画法正确的是（    ）。 A． B． C． D． 3．把一个圆柱的侧面沿高展开得到一个长方形，长方形的长是6.28厘米，宽是3.14厘米。这个圆柱的底面半径是( )厘米或( )厘米。 4．给一个底面周长是18.84cm，高是10cm的圆柱形食品包装盒的侧面贴上商标纸，这个食品包装盒的底面半径是( )cm，商标纸的面积是( )cm2（π取3.14）。 5．求圆柱的侧面积。 6．如图有一个圆柱形滚筒刷，它的底面直径是6厘米，高是2分米，它滚动10周刷过的墙面面积是多少平方分米？ 练习三、圆柱的表面积 1．求圆柱体的表面积。（单位：厘米） 2．手工课上，笑笑制作了一个圆柱形纸灯笼，如图所示，它只有一个底面。把它的侧面彩纸展开，是一个长12.56分米、宽5分米的长方形。这个灯笼的侧面积是( )平方分米，表面积是( )平方分米。 3．一个圆柱形金鱼池，底面半径是20米，深2米，要在金鱼池的底面和侧面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是( )平方米。 4．一个圆柱形油桶，底面直径是8分米，高是1.5米。制作这个油桶至少需要铁皮多少平方分米？ 5．如图，一根长是3米、横截面直径是20厘米的圆柱形木头浮在水面上，明明发现它正好有一半露出水面。这根木头与水接触的面积是多少平方米？（得数保留一位小数） 练习四、圆柱的体积 1．如图，把底面直径为8分米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。如果这个长方体前面的面积是100.48平方分米，那么原来圆柱的体积是（    ）立方分米。 A．128π B．192π C．256π D．288π 2．一个圆柱，底面直径和高都是6cm，这个圆柱的表面积是( )，体积是( ) 。 3．求圆柱体的体积和表面积。 4．认识了圆柱后，涛涛想了解家中圆柱形酒桶的体积。于是他进行了以下操作(如图所示)，请根据他测量的数据算出圆柱形酒桶的体积。 5．一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长18米，横截面是一个直径4米的半圆形。 （1）搭建这个大棚大约要用多少平方米的塑料薄膜？ （2）大棚内的空间大约有多大？ 练习五、圆柱的容积 1．一种饮料瓶如图所示，饮料瓶的容积是400毫升，瓶子中饮料的体积是（    ）毫升。 A．80 B．160 C．320 D．400 2．一个圆柱形水池的容积是25.12立方米，池底半径是2米，池深( )米。 3．一个圆柱形杯子，从里面测量底面直径8厘米，高6厘米。这个杯子能否装下一袋净含量300毫升的牛奶？ 4．聪聪在爸爸茶杯的中部贴了一圈装饰带（如下图，茶杯是圆柱形），这条装饰带宽6厘米。 （1）这条装饰带的面积是多少平方厘米？ （2）这个茶杯的容积是多少立方厘米？（茶杯厚度忽略不计） 练习六、圆柱与圆锥体积的关系 1．一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和体积分别相等，如果圆锥的高是9厘米，圆柱的高是( )厘米；如果圆柱的高是12厘米，则圆锥的高是( )厘米。 2．等底等高的圆柱和圆锥体积之和是7.2立方分米，圆柱的体积是( )立方分米。 3．一个圆柱形橡皮泥，底面积12cm2，高是9cm，如果把它捏成等底的圆锥，这个圆锥的高是( )cm，如果捏成等高的圆锥，这个圆锥的底面积是( )cm2。 4．等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆锥的体积比圆柱少12.56立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。一个圆柱和一个圆锥等底等体积，圆锥的高是1.5分米，圆柱的高是( )厘米。 5．手工课上，笑笑用橡皮泥做了一组等底等高的圆锥和圆柱，它们的体积相差3600立方厘米，其中圆锥的体积是( )立方厘米，圆柱的体积是( )。 练习七、圆锥的体积（容积） 1．一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，如果以3厘米的直角边为轴旋转一周，形成圆锥体的体积是（    ）立方厘米。 A． B． C． D． 2．一个圆锥的体积是9立方厘米，底面积是3平方厘米，它的高是( )厘米。 3．一个圆锥的底面半径是3厘米，高是5厘米，它的体积是( )立方厘米。 4．一种圆锥形瓶，从里面量，底面直径是8厘米，高是9厘米，这种圆锥形瓶的容积是( )毫升。 5．求下面各圆锥的体积。（单位：厘米） 6．一个圆锥形小麦堆，已知底面积为28.26平方米，高4米，如果每立方米小麦重500千克，这堆小麦重多少千克？ 7．将一堆底面直径是6米、高是1米的圆锥形沙子填入底面周长是12.56米的圆柱形坑里，正好填平。这个圆柱形坑的高度约是多少？ 练习八、组合体的表面积和体积 1．计算下面图形的体积。（单位：m） 2．计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 3．求组合图形的体积。（单位：dm） 4．求下图的体积。 5．蒙古包，古代称作穹庐，其上部为圆锥形，下部为圆柱形，四周用绳索固定。下图中这个蒙古包内部的空间是多少立方米？（厚度忽略不计） 6．陀螺在我国至少有四五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小凯有一个底面直径约是6厘米的木制陀螺（如图），这个陀螺的体积大约是多少立方厘米？ 练习九、立体图形的切拼 1．一个圆柱形木块，如果削成一个最大的圆锥（如图①），体积减少了25.12cm3；如果平行于底面切成三段（如图②），表面积增加50.24cm2；如果沿底面直径竖直切成四块（如图③），表面积增加（    ）cm2。 A．24 B．32 C．16 D．48 2．如图，将一个圆锥从顶点沿高切成相同的两部分。每一部分的切面都是底为4厘米，面积为9平方厘米的三角形。原来这个圆锥的体积是（    ）立方厘米。 A．18.84 B．56.52 C．75.36 D．226.08 3．将一根圆柱形木料，如果截成两个小圆柱，它的表面积将增加56.52cm2；如果沿着直径截成两个半圆柱，它的表面积将增加96cm2，该圆柱的底面半径是( )cm，体积是( )cm3。 4．把一个底面半径为4厘米的圆柱，沿高切开，拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比圆柱增加了40平方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 5．一根圆木长1.5米，如果把它截成等长的3段小圆木后，表面积增加了113.04平方分米。每段小圆木的底面半径是( )分米，体积是( )立方分米。 6．如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方厘米。 练习十、不规则物体的体积算法 1．两个大小相同的量杯中都盛有水。现将两个等底等高的圆柱和圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度是，则乙量杯中水面刻度是（    ）mL。（零件均完全淹没水中） A．40 B．120 C．240 D．280 2．两个同样的量杯原来各盛有640mL水。现将两个等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入这两个量杯中，圆柱放入后量杯水面刻度如图①所示，那么图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是( )mL。 3．一个圆柱形水桶，底面半径是2分米，高是12分米，把一个底面直径为3分米的圆锥形铁块浸没在水中，水面上升了1分米，这个圆锥形铁块的体积是多少立方分米？ 4．在一个圆柱形储水桶里，把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材全部放入水中，这时水面上升9厘米。把这段钢材竖着拉出水面8厘米，水面下降4厘米。求这段钢材的体积。 5．一个圆柱形的玻璃缸装有一些水，底面内直径为6厘米，高为12厘米。把一个圆锥形铅锤放入玻璃缸中（全部浸没），水面上升了0.5厘米，铅锤的高为2厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 46 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学苏教版单元培优讲义 专题02 圆柱和圆锥 考点梳理 1 考点一、圆柱和圆锥的认识及特征 2 考点二、圆柱的展开图和侧面积 2 考点三、圆柱的表面积 3 考点四、圆柱的体积 3 考点五、圆柱的容积 3 考点六、圆柱与圆锥体积的关系 3 考点七、圆锥的体积（容积） 4 考点八、组合体的表面积和体积 4 考点九、立体图形的切拼 5 考点十、不规则物体的体积算法 5 例题讲解 5 题型一、圆柱和圆锥的认识及特征 5 题型二、圆柱的展开图和侧面积 6 题型三、圆柱的表面积 7 题型四、圆柱的体积 8 题型五、圆柱的容积 9 题型六、圆柱与圆锥体积的关系 11 题型七、圆锥的体积（容积） 12 题型八、组合体的表面积和体积 13 题型九、立体图形的切拼 14 题型十、不规则物体的体积算法 16 考点练习 17 练习一、圆柱和圆锥的认识及特征 17 练习二、圆柱的展开图和侧面积 20 练习三、圆柱的表面积 23 练习四、圆柱的体积 26 练习五、圆柱的容积 30 练习六、圆柱与圆锥体积的关系 32 练习七、圆锥的体积（容积） 34 练习八、组合体的表面积和体积 38 练习九、立体图形的切拼 43 练习十、不规则物体的体积算法 48 考点梳理 考点一、圆柱和圆锥的认识及特征 1. 圆柱的核心特征 (1)组成结构：由两个完全相同的圆形底面和一个曲面侧面围成的立体图形。 (2)底面性质：两个底面是大小相等的圆，互相平行；两底面圆心的连线与底面垂直。 (3)侧面性质：光滑的曲面，无棱边，可通过展开转化为平面图形。 (4)高的定义：两个底面之间的垂直距离，圆柱有无数条高，且所有高的长度相等；测量时可通过直尺垂直底面，或直接测量两底面圆心的距离。 2. 圆锥的核心特征 (1)组成结构：由一个圆形底面、一个曲面侧面和一个顶点围成的立体图形。 (2)底面性质：单个圆形，底面圆心到侧面各点的距离不相等（因侧面为曲面）。 (3)侧面性质：光滑的曲面，展开后为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长。 (4)高的定义：从圆锥顶点到底面圆心的垂直距离，圆锥只有1条高；测量时需将底面平放于平板，用直尺垂直平板测量顶点到平板的距离。 考点二、圆柱的展开图和侧面积 1. 圆柱的展开图类型 (1)沿高剪开：侧面展开为长方形（或正方形）。长方形的长等于圆柱底面的周长（ ），宽等于圆柱的高；若底面周长与高相等，展开图为正方形。 (2)斜着剪开：侧面展开为平行四边形，平行四边形的底等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，其面积与长方形展开图的面积相等。 2. 圆柱的侧面积 (1)公式推导：侧面积本质是侧面展开图的面积，即“底面周长×高”。 (2)计算公式： （其中 为底面周长， 为底面直径， 为底面半径， 为圆柱的高）。 考点三、圆柱的表面积 1. 表面积的定义：圆柱所有面的面积总和，由一个侧面积和两个底面积组成。 2. 计算公式及推导 (1)底面积：单个底面为圆形，面积 ，两个底面积总和为 。 (2)表面积公式： 。 3. 实际应用提示：需结合具体场景判断计算的面：如通风管、烟囱仅计算侧面积；无盖水桶需计算侧面积加一个底面积。 考点四、圆柱的体积 1. 体积的定义：圆柱所占空间的大小。 2. 公式推导：通过“切拼转化法”，将圆柱沿底面半径和高切开，拼成近似的长方体：长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高；由长方体体积公式 ，推导出圆柱体积公式。 3. 计算公式：（其中 为底面积， 为底面半径， 为高）。 4. 公式变形：已知体积和底面积，求高： ；已知体积和高，求底面积： 。 考点五、圆柱的容积 1. 容积的定义：圆柱容器内部所能容纳物体的体积，属于体积的特殊应用场景。 2. 计算方法：与圆柱体积计算方法相同，公式为 （其中 为容器内部底面积， 为容器内部的高）。 3. 测量与单位 (1)测量数据需从容器内部获取（区别于体积的外部测量）。 (2)常用容积单位：升（ ）、毫升（ ），换算关系： ， ， 。 考点六、圆柱与圆锥体积的关系 1. 核心前提：等底等高 (1)此时圆锥体积是圆柱体积的 ，即 ， ； (2)圆柱与圆锥的体积差为 。 2. 等体积等高：圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，即 。 3. 等体积等底面积：圆锥的高是圆柱高的3倍，即 。 4. 非等底等高情况：需通过体积公式分别计算，不存在固定的 或3倍关系，需结合已知量推导未知量。 考点七、圆锥的体积（容积） 1. 圆锥的体积 (1)公式推导：通过实验验证，等底等高的圆锥与圆柱，圆锥体积是圆柱的 ，由此推导体积公式。 (2)计算公式： （其中 为底面积， 为底面半径， 为高）。 2. 圆锥的容积 (1)定义：圆锥容器内部所能容纳物体的体积，计算方法与体积相同，需从容器内部测量底面半径和高。 (2)单位：同样适用升（ ）、毫升（ ），换算规则与圆柱容积一致。 考点八、组合体的表面积和体积 1. 组合体的表面积 组合体的表面积为各立体图形的表面积之和，减去重叠面的面积（重叠面不属于组合体的外部表面）。 (1)示例逻辑：如两个圆柱上下叠放，重叠部分为2个底面，表面积需减少 ；圆柱与圆锥底面叠放，重叠部分为1个底面，表面积需减少 （因圆锥和圆柱各有一个底面被遮挡）。 2. 组合体的体积 (1)常见组合类型： ①　叠加型组合体：由两个或多个独立圆柱上下叠加或并排拼接而成； ②　挖空型组合体：以大圆柱为基础，内部挖去一个或多个小圆柱（如空心圆柱、圆筒结构）； ③　混合型组合体：圆柱与长方体、正方体等其他规则立体图形组合而成。 (2)核心计算思路： ①　叠加型：将组合体拆分为多个独立圆柱，分别计算每个圆柱的体积，再将各部分体积相加，即 ； ②　挖空型：用整体大圆柱的体积减去挖去部分小圆柱的体积，即 ； ③　混合型：分别计算组合体中圆柱部分和其他立体图形部分的体积，再根据组合形式（叠加则相加，挖去则相减）计算总体积。 考点九、立体图形的切拼 1. 圆柱的切拼 (1)横切（平行于底面）：每切一次，表面积增加2个底面积（ ），体积不变。 (2)竖切（沿底面直径垂直切开）：表面积增加2个长方形面，单个长方形的面积为“底面直径×高”（ ），增加的总面积为 ，体积不变。 (3)拼合：将两个完全相同的圆柱拼合成一个大圆柱，体积不变，表面积减少2个底面积（ ）。 2. 圆锥的切拼 (1)沿高切开：表面积增加2个三角形面，单个三角形的底为圆锥底面直径，高为圆锥的高，增加的总面积为 ，体积不变。 考点十、不规则物体的体积算法 主要采用排水法或溢水法，借助圆柱容器（底面积固定，便于计算）： 1.排水法：将物体完全浸没在圆柱容器的水中，水面上升的体积等于不规则物体的体积，公式为 （ 为圆柱容器底面积， 为水面上升的高度）。 2.溢水法：将物体完全浸没在装满水的圆柱容器中，溢出的水的体积等于物体体积，可通过收集溢出的水，倒入圆柱容器中测量高度，再用 计算体积。 3.操作注意：物体需完全浸没在水中；排水法中初始水位需低于容器口，避免水溢出。 例题讲解 题型一、圆柱和圆锥的认识及特征 【例题1】圆柱的上、下两个面叫做( )，围成圆柱的曲面叫做( )面，两个底面之间的( )叫做高。 【答案】 底面 侧 距离 【详解】如图： 圆柱的上、下两个面叫做底面，围成圆柱的曲面叫做侧面，两个底面之间的距离叫做高。 【练习1】如图，圆锥的高是( )厘米，底面半径是( )厘米，底面周长是( )厘米。 【答案】 8 6 37.68 【分析】由图知:圆锥的高是8厘米，底面半径是6厘米，根据圆的周长公式将数值代入即可求得圆锥的底面周长。 【详解】 ＝ ＝37.68（厘米） 圆锥的高是（8）厘米，底面半径是（6）厘米，底面周长是（37.68）厘米。 题型二、圆柱的展开图和侧面积 【例题2】把一个底面半径为4厘米、高为5厘米的圆柱沿侧面虚线剪开后得到一个平行四边形（如图），这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 【答案】125.6 【分析】圆柱侧面斜着剪开后得到一个平行四边形，平行四边形的底＝圆柱底面周长，平行四边形的高＝圆柱的高，平行四边形面积＝圆柱侧面积，根据圆柱侧面积＝底面周长×高，列式计算即可。 【详解】2×3.14×4×5 ＝25.12×5 ＝125.6（平方厘米） 这个平行四边形的面积是125.6平方厘米。 【练习2】如下图，有一张长方形铁皮，按下面方式进行裁切后，恰好可以做成一个圆柱，那么做成的圆柱的侧面积是( )平方厘米。 【答案】50.24 【分析】圆柱的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。 从图中可知，圆柱底面圆的半径r＝2厘米，根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14），可算出底面周长为12.56厘米；同时，长方形铁皮的宽就是圆柱的高，这里圆柱的高h等于底面圆的直径，即2×2＝4厘米。圆柱侧面积公式为S＝Ch（C是底面周长，h是高），C＝12.56厘米，h＝4厘米，把数据代入公式计算即可。 【详解】2×2＝4（厘米） 2×3.14×2＝12.56（厘米） 12.56×4＝50.24（平方厘米） 做成的圆柱的侧面积是50.24平方厘米。 题型三、圆柱的表面积 【例题3】计算圆柱的表面积（单位：厘米）。 【答案】226.08平方厘米 【分析】根据半径＝直径÷2，，圆柱的侧面积公式，圆的面积公式，代入数据计算即可。 【详解】 （平方厘米） 【练习3】一个圆柱形铁皮水桶，上面没有盖，高是6分米，底面半径是1.8分米。做这个水桶大约要用铁皮多少平方分米？ 【答案】77.9976平方米 【分析】这个圆柱形铁皮水桶是由圆柱的侧面和一个底面构成的，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高求出圆柱的侧面积，圆的底面积＝圆周率×半径的平方，求出圆柱的底面积，再把圆柱的侧面积和一个底面积相加即可解答。 【详解】2×3.14×1.8×6＋3.14× ＝6.28×1.8×6＋3.14×3.24 ＝11.304×6＋10.1736 ＝67.824＋10.1736 ＝77.9976（平方分米） 答：做这个水桶大约要用铁皮77.9976平方分米。 题型四、圆柱的体积 【例题4】计算圆柱的体积。（单位：厘米） 【答案】282.6立方厘米 【分析】圆柱的底面直径是6厘米，除以2得半径3厘米，再利用圆柱的体积公式：V＝Sh，进而求得圆柱的体积。据此解答。 【详解】6÷2＝3（厘米） 3×3×3.14×10 ＝90×3.14 ＝282.6（立方厘米） 【练习4】一段圆柱形钢材，长为80厘米，底面半径为5厘米。如果每立方厘米钢材重7.8克，这段钢材有多重？ 【答案】48984克 【分析】钢材的长是圆柱的高，根据圆柱体积＝底面积×高，先求出钢材体积，钢材体积×每立方厘米质量＝这段钢材质量，据此列式解答。 【详解】3.14×52×80×7.8 ＝3.14×25×80×7.8 ＝6280×7.8 ＝48984（克） 答：这段钢材有48984克重。 题型五、圆柱的容积 【例题5】把一张铁皮按如图剪料，正好能制成一只铁皮油桶。求所制油桶的容积。 【答案】339.12立方厘米 【分析】图中原铁皮的长24.84厘米，就是制成油桶后的底面周长加上油桶的底面直径，据此可求出油桶的底面直径，制成油桶后的高是两个底面直径，然后根据圆柱的体积公式：底面积×高；代入数据，可求出容积。 【详解】24.84÷（3.14＋1） ＝24.84÷4.14 ＝6（厘米） 3.14×（6÷2）2×（6×2） ＝3.14×32×12 ＝3.14×9×12 ＝28.26×12 ＝339.12（立方厘米） 答：所制油桶的容积是339.12立方厘米。 【点睛】本题的关键是求出油桶的底面直径，然后再根据圆柱的体积公式求出它的容积。 【练习5】妈妈有一个圆柱形的茶杯，如图。 （1）茶杯中部是一圈好看的装饰带，这条装饰带宽5厘米，长至少是多少厘米？（接头处忽略不计） （2）这只茶杯的容积是多少毫升？（茶杯厚度忽略不计） 【答案】（1）18.84厘米 （2）423.9毫升 【分析】（1）从图中可知，这条装饰带展开后是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是5厘米；根据圆的周长公式C＝πd，即可求出这条装饰带的长。 （2）根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算，求出这只茶杯的容积，并根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位。 【详解】（1）3.14×6＝18.84（厘米） 答：长至少是18.84厘米。 （2）3.14×（6÷2）2×15 ＝3.14×32×15 ＝3.14×9×15 ＝423.9（立方厘米） 423.9立方厘米＝423.9毫升 答：这只茶杯的容积是423.9毫升。 题型六、圆柱与圆锥体积的关系 【例题6】一个圆柱和一个圆锥等底等高，如果圆锥的体积是2.4dm3，那么圆柱的体积是( )dm3；如果圆柱的体积是2.4dm3，那么圆锥的体积是( )dm3。 【答案】 7.2 0.8 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，用圆锥的体积乘3，即可求出圆柱的体积；用圆柱的体积除以3，求出圆锥的体积。据此解答。 【详解】（立方分米） （立方分米） 一个圆柱和一个圆锥等底等高，如果圆锥的体积是2.4立方分米，那么圆柱的体积是7.2立方分米；如果圆柱的体积是2.4立方分米，那么圆锥的体积是0.8立方分米。 【练习6】把一个圆柱钢坯削成一个最大的圆锥，要削去3.2立方厘米，原来圆柱钢坯的体积是( )立方厘米，如果把这个钢坯熔铸成底面积是12平方厘米的圆锥，圆锥的高是( )厘米。 【答案】 4.8 1.2 【分析】把一个圆柱钢坯削成一个最大的圆锥，说明削成的圆锥与圆柱等底等高，圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱的体积的，设圆锥体积为1份，则圆柱体积为3份，削去部分的体积是3－1＝2份；已知削去部分的体积是3.2立方厘米，除以2计算出1份的体积；再乘3计算出原来圆柱钢坯的体积。 如果把这个钢坯熔铸成底面积是12平方厘米的圆锥，则圆锥体积等于圆柱体积；根据“圆锥体积＝×底面积×高”可知用圆锥体积乘3除以底面积即可计算出圆锥的高。 【详解】3.2÷（3－1）×3 ＝3.2÷2×3 ＝1.6×3 ＝4.8（立方厘米） 所以原来圆柱钢坯的体积是4.8立方厘米。 4.8×3÷12 ＝14.4÷12 ＝1.2（厘米） 所以如果把这个钢坯熔铸成底面积是12平方厘米的圆锥，圆锥的高是1.2厘米。 题型七、圆锥的体积（容积） 【例题7】计算下面图形的体积。（单位：厘米） 【答案】753.6立方厘米 【分析】计算圆锥的体积，先计算出底面圆的半径，再直接应用圆锥的体积公式代入计算即可。 【详解】12÷2＝6（厘米） （立方厘米） 【练习7】一个圆锥形的沙堆，它的底面周长是18.84米，高是2米，每立方米沙重1.5吨。如果用载质量3吨的卡车来运，至少几车可以运完？ 【答案】10车 【分析】根据圆的周长＝2r，可知r＝周长÷2÷，根据圆锥的体积＝h÷3，代入数据求出圆锥形的沙堆的体积，再乘每立方米沙的重量，再除以3，结果用进一法保留整数。 【详解】18.84÷2÷3.14 ＝9.42÷3.14 ＝3（米） 3.14××2÷3×1.5÷3 ＝3.14×9×2÷3×1.5÷3 ＝9.42 ≈10（车） 答：至少10车可以运完。 题型八、组合体的表面积和体积 【例题8】计算下面这个图形的体积。（单位：分米） 【答案】7.85立方分米 【分析】由图可知，该图形由一个圆锥和一个圆柱组成。已知圆锥的底面直径2分米，高1.5分米，用直径除以2计算出底面半径，根据圆锥的体积公式计算出圆锥体积；已知圆柱的底面直径2分米，高2分米，用直径除以2计算出底面半径，根据圆柱的体积公式计算出圆柱体积；最后将两部分相加即可。 【详解】2÷2＝1（分米） ×3.14×12×1.5 ＝×3.14×1×1.5 ＝3.14×1×0.5 ＝3.14×0.5 ＝1.57（立方分米） 3.14×12×2 ＝3.14×1×2 ＝3.14×2 ＝6.28（立方分米） 1.57＋6.28＝7.85（立方分米） 所以该图形的体积是7.85立方分米。 【练习8】计算下面圆柱的表面积和体积。（单位：厘米） 　 【答案】表面积： 734.76平方厘米；体积： 571.48立方厘米 【分析】表面积＝大圆直径是20厘米，小圆直径是6厘米的圆环面积×2＋底面直径是20厘米，高是2厘米的圆柱的侧面积＋底面直径是6厘米，高是2厘米的圆柱的侧面积；根据圆环的面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答； 体积＝底面直径是20厘米，高是2厘米的圆柱的体积－底面直径是6厘米，高是2厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×[（20÷2）2－（6÷2）2]×2＋3.14×20×2＋3.14×6×2 ＝3.14×[102－32]×2＋62.8×2＋18.84×2 ＝3.14×[100－9]×2＋125.6＋37.68 ＝3.14×91×2＋125.6＋37.68 ＝571.48＋125.6＋37.68 ＝734.76（平方厘米） 3.14×（20÷2）2×2－3.14×（6÷2）2×2 ＝3.14×102×2－3.14×32×2 ＝3.14×100×2－3.14×9×2 ＝628－56.52 ＝571.48（立方厘米） 题型九、立体图形的切拼 【例题9】如图，把一个圆柱沿直径平均切成两块，表面积比原来增加了48cm2，原来圆柱底面直径是( )cm，这个圆柱的体积是( )cm3。（π取3.14） 【答案】 4 75.36 【分析】根据题意，表面积增加48cm2，则新增两个长方形面积，已知高6cm，由面积可以求出直径。再由求圆柱体积，据此解答。 【详解】新增表面积48，则一个长方形面积为：48÷2＝24（cm2） 底面直径：24÷6＝4（cm） 底面半径：4÷2＝2（cm） 圆柱体积： （cm3） 【点睛】本题考查圆柱的表面积、体积，关键是要理解圆柱被切成两半后新增的表面积部分。 【练习9】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方分米。 【答案】 188.4 376.8 【分析】将圆锥沿底面直径和高切开后，表面积增加的部分是两个以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形的面积；用增加的表面积除以2，求出一个三角形的面积； 根据三角形面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，由此求出三角形的底，也就是圆锥的底面直径； 根据圆锥体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积。 等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，用圆锥的体积乘3求出圆柱的体积，再用圆柱体积减去圆锥体积，即是少的体积。 【详解】60÷2＝30（平方分米） 30×2÷5 ＝60÷5 ＝12（分米） 12÷2＝6（分米） ×3.14×62×5 ＝×3.14×36×5 ＝188.4（立方分米） 188.4×3＝565.2（立方分米） 565.2－188.4＝376.8（立方分米） 圆锥体积是188.4立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少376.8立方分米。 题型十、不规则物体的体积算法 【例题10】一个圆柱形玻璃鱼缸，底面直径是20厘米，放入一条鱼后水面上升0.2厘米，这条鱼的体积是( )立方厘米。 【答案】62.8 【分析】据题意可知，上升的水的体积等于这条鱼的体积，根据圆柱的体积公式，半径＝直径÷2，代入数据计算即可。 【详解】 （立方厘米） 一个圆柱形玻璃鱼缸，底面直径是20厘米，放入一条鱼后水面上升0.2厘米，这条鱼的体积是62.8立方厘米。 【练习10】如图所示，玻璃容器的底面半径为4厘米，它的里面装有一部分水，水中浸没着一个高6厘米的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了1.5厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】37.68平方厘米 【分析】因为圆锥浸没在水中，取出圆锥后水面下降，下降部分水的形状为圆柱体，根据等积变换原理，下降部分水的体积就等于圆锥的体积；已知圆柱底面半径是4厘米，水面下降高度是1.5厘米，根据圆柱的体积公式可求出下降水的体积，也就是圆锥体的体积；已知圆锥的高是6厘米，根据圆锥体积公式可计算出圆锥的底面积，“圆锥的底面积＝体积×3÷高”，代入数值计算出铅锤的底面积。 【详解】3.14×42×1.5 ＝3.14×16×1.5 ＝50.24×1.5 ＝75.36（立方厘米） 75.36×3÷6 ＝226.08÷6 ＝37.68（平方厘米） 答：这个铅锤的底面积是37.68平方厘米。 考点练习 练习一、圆柱和圆锥的认识及特征 1．从上面看下边的图形，可以看到（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆柱从上面看，可以看到一个圆形。圆锥从上面看，也可以看到一个圆形，并且能看到圆心。据此解题。 【详解】 从上面看，可以看到。 故答案为：D 2．圆锥的底面是一个( )形，从圆锥的( )到( )的距离是圆锥的高。一个圆锥有( )条高，一个圆柱有( )条高。 【答案】 圆 顶点 底面圆心 1/一 无数 【详解】如图：       圆锥的底面是一个（圆）形，从圆锥的（顶点）到（底面圆心）的距离是圆锥的高。一个圆锥有（1）条高，一个圆柱有（无数）条高。 3．以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是( )，形成圆锥的是( )。 ①                          ②                       ③                  ④ 【答案】 ① ③ 【分析】圆柱是由以长方形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体。以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 【详解】以直线为轴旋转一周，①是个圆柱，②是个球，③是个圆锥，④是个圆台。 以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是①，形成圆锥的是③。 4．如图，这个立体图形从上面看是( )形，从正面看是( )形。 【答案】 圆 三角 【分析】 这个立体图形是圆锥，圆锥从上面看到的图形是；从正面看到的图形是；据此解答。 【详解】这个立体图形从上面看是圆形，从正面看是三角形。 5．如下图，以短直角边为轴旋转一周，得到的图形是( )，底面直径是( )cm。 【答案】 圆锥 6 【分析】如图所示，直角三角形中，短直角边为2厘米，另一条直角边为3厘米，已知以短直角边为轴旋转一周，得到一个圆锥，即短直角边为圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径，根据直径等于半径乘2，求出底面直径，据此解答。 【详解】（厘米） 如下图，以短直角边为轴旋转一周，得到的图形是圆锥，底面直径是6厘米。 6．用丝带捆扎一个圆柱形蛋糕盒，过底面圆心捆扎成右图的样子，打结处用去了30厘米，捆扎这个盒子一共用去多少厘米长的丝带？ 【答案】270厘米 【分析】由图可知，圆柱形蛋糕盒的底面直径是40厘米，高是20厘米，用去丝带的长度就是4个高和4个直径的长度的和再加上打结处的30厘米，据此列式计算。 【详解】20×4＋40×4＋30 ＝80＋160＋30 ＝240＋30 ＝270（厘米） 答：捆扎这个盒子一共用去270厘米长的丝带。 练习二、圆柱的展开图和侧面积 1．把圆柱的侧面展开不可能得到一个（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．三角形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】根据圆柱侧面展开的不同情况来判断可能得到的图形。 【详解】A．当沿着圆柱的一条高将侧面剪开时，圆柱的侧面展开图是一个长方形。长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高。所以圆柱侧面展开可能得到长方形； B．当圆柱底面的周长和高相等时，沿着圆柱的高将侧面剪开，此时圆柱的侧面展开图就是正方形。因为正方形是特殊的长方形，所以圆柱侧面展开可能得到正方形； C．无论怎样展开圆柱的侧面，都无法得到三角形。所以圆柱侧面展开不可能得到三角形； D．当不沿着圆柱的高，而是斜着剪开圆柱的侧面时，得到的图形是平行四边形。所以圆柱侧面展开可能得到平行四边形。 2．把一个底面直径2厘米，高3厘米的圆柱展开图画在方格纸（边长为1厘米）上，下面画法正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意圆柱的展开图是由两个圆形和一个长方形组成，底面圆的直径为2厘米，长方形的长＝圆柱的底面周长，长方形的宽＝高，再逐项对比找出符合条件的即可。 【详解】根据分析正确圆柱展开图中：底面直径2厘米，侧面的长为：2×3.14＝6.28（厘米），高＝侧面宽＝3厘米； A．展开图的底面直径2厘米，侧面的长为3厘米，宽为2厘米，与题意不符； B．展开图的底面直径2厘米，侧面的长为4厘米，宽为3厘米，与题意不符； C．展开图的底面直径2厘米，侧面的长为6厘米，宽为3厘米，与题意不符； D．展开图的底面直径2厘米，侧面的长为6.28厘米，宽为3厘米，符合题意。 故答案为：D 3．把一个圆柱的侧面沿高展开得到一个长方形，长方形的长是6.28厘米，宽是3.14厘米。这个圆柱的底面半径是( )厘米或( )厘米。 【答案】 1 0.5 【分析】圆柱的侧面积展开是一个长方形，长和宽都有可能是圆柱底面圆的周长，根据圆的周长公式的逆运算，用周长除以圆周率再除以2，可得半径。 【详解】（厘米） （厘米） 把一个圆柱的侧面沿高展开得到一个长方形，长方形的长是6.28厘米，宽是3.14厘米。这个圆柱的底面半径是1厘米或0.5厘米。 4．给一个底面周长是18.84cm，高是10cm的圆柱形食品包装盒的侧面贴上商标纸，这个食品包装盒的底面半径是( )cm，商标纸的面积是( )cm2（π取3.14）。 【答案】 3 188.4 【分析】已知圆柱形食品包装盒的底面周长是18.84cm，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径； 在这个包装盒的侧面贴上商标纸，求商标纸的面积，就是求圆柱的侧面积；根据圆柱的侧面积公式S侧＝2πrh，代入数据计算求解。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（cm） 2×3.14×3×10＝188.4（cm2） 这个食品包装盒的底面半径是（3）cm，商标纸的面积是（188.4）cm2。 5．求圆柱的侧面积。 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积公式，将数据代入，即可得出答案。 【详解】 ＝6.28×5×6 6．如图有一个圆柱形滚筒刷，它的底面直径是6厘米，高是2分米，它滚动10周刷过的墙面面积是多少平方分米？ 【答案】37.68平方分米 【分析】根据题意可知，圆柱形滚筒刷滚动1周刷过的墙面面积就是圆柱的侧面积，根据公式S侧＝πdh，求出圆柱的侧面积，再乘10，即是它滚动10周刷过的墙面面积。注意单位的换算：1分米＝10厘米。 【详解】6厘米＝0.6分米 3.14×0.6×2×10 ＝1.884×2×10 ＝3.768×10 ＝37.68（平方分米） 答：它滚动10周刷过的墙面面积是37.68平方分米。 练习三、圆柱的表面积 1．求圆柱体的表面积。（单位：厘米） 【答案】207.24平方厘米 【分析】圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积；侧面积＝底面周长×高；底面积＝π×半径2，代入数据计算即可。 【详解】6÷2＝3（厘米） 3.14×32×2＋3.14×6×8 ＝3.14×9×2＋18.84×8 ＝28.26×2＋150.72 ＝56.52＋150.72 ＝207.24（平方厘米） 这个圆柱体的表面积是207.24平方厘米。 2．手工课上，笑笑制作了一个圆柱形纸灯笼，如图所示，它只有一个底面。把它的侧面彩纸展开，是一个长12.56分米、宽5分米的长方形。这个灯笼的侧面积是( )平方分米，表面积是( )平方分米。 【答案】 62.8 75.36 【分析】长方形面积＝长×宽，由此求出这个灯笼的侧面积。长方形的长是圆柱的底面周长，将其除以3.14再除以2，即可求出底面半径。根据圆面积＝πr2求出底面积，再将底面积和侧面积相加，求出这个灯笼的表面积即可。 【详解】侧面积：12.56×5＝62.8（平方分米） 底面半径：12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（分米） 表面积：3.14×22＋62.8 ＝3.14×4＋62.8 ＝12.56＋62.8 ＝75.36（平方分米） 所以，这个灯笼的侧面积是62.8平方分米，表面积是75.36平方分米。 3．一个圆柱形金鱼池，底面半径是20米，深2米，要在金鱼池的底面和侧面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是( )平方米。 【答案】1507.2 【分析】贴瓷砖的面积＝圆柱底面积＋侧面积，圆柱底面积＝圆周率×底面半径的平方，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式计算。 【详解】3.14×202＋2×3.14×20×2 ＝3.14×400＋251.2 ＝1256＋251.2 ＝1507.2（平方米） 贴瓷砖的面积是1507.2平方米。 4．一个圆柱形油桶，底面直径是8分米，高是1.5米。制作这个油桶至少需要铁皮多少平方分米？ 【答案】477.28平方分米 【分析】圆柱形油桶是个圆柱体，底面半径是4分米，高是1.5米（15分米）。制作这个油桶需要做圆形底面2个和侧面，根据S＝πr2计算底面面积，根据S＝2πrh计算侧面面积，再求和就是需要铁皮多少平方分米，据此解答。 【详解】3.14×（8÷2）2×2＋2×3.14×（8÷2）×（1.5×10） ＝3.14×42×2＋2×3.14×4×15 ＝3.14×16×2＋6.28×4×15 ＝100.48＋376.8 ＝477.28（平方分米） 答：至少需要铁皮477.28平方分米。 5．如图，一根长是3米、横截面直径是20厘米的圆柱形木头浮在水面上，明明发现它正好有一半露出水面。这根木头与水接触的面积是多少平方米？（得数保留一位小数） 【答案】1.0平方米 【分析】由题可知，因为木头正好一半露出水面，所以与水接触的面积是圆柱侧面积的一半加上一个底面的面积。根据1米＝100厘米，先将单位统一，再根据圆柱的侧面积公式：S侧＝Ch＝πdh、圆的面积公式：S＝π（d÷2）2，分别计算圆柱侧面积的一半和底面面积，最后将二者相加，即可求出这根木头与水接触的面积。保留一位小数即看小数点后第二位，小于5则舍去，大于或等于5则向第一位进1（满10需进位）。 【详解】20厘米＝0.2米 3.14×0.2×3÷2＋3.14×（0.2÷2）2 ＝3.14×0.2×3÷2＋3.14×0.12 ＝3.14×0.2×3÷2＋3.14×0.01 ＝3.14×0.2×3÷2＋3.14×0.01 ＝0.942＋0.0314 ＝0.9734（平方米） 0.9734（平方米）≈1.0（平方米） 答：这根木头与水接触的面积是1.0平方米。 练习四、圆柱的体积 1．如图，把底面直径为8分米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。如果这个长方体前面的面积是100.48平方分米，那么原来圆柱的体积是（    ）立方分米。 A．128π B．192π C．256π D．288π 【答案】A 【分析】由图可知，长方体前面一面的宽等于圆柱的高，长方体前面一面的长等于圆柱底面周长的一半，先求出圆柱底面周长为π×8＝8π（分米），再用圆柱底面周长除以2，求出长方形的长；又知长方体前面的面积是100.48平方分米，根据长方形的面积＝长×宽，用长方形的面积除以长方形的长，求出长方形的宽；最后根据圆柱的体积＝πr2h，代入数据解答即可。 【详解】3.14×8÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（分米） 100.48÷12.56＝8（分米） π×（8÷2）2×8 ＝π×16×8 ＝16π×8 ＝128π（立方分米） 那么原来圆柱的体积是（128π）立方分米。 故答案为：A 2．一个圆柱，底面直径和高都是6cm，这个圆柱的表面积是( )，体积是( ) 。 【答案】 169.56平方厘米/169.56cm2 169.56立方厘米/169.56cm3 【分析】已知圆柱的底面直径d＝6cm，因此底面半径为6÷2＝3cm；圆柱的高h＝6cm。圆柱的表面积由两个底面的面积和侧面的面积组成，公式为S＝2πr2＋πdh（π取3.14，d为直径， r为半径，h为圆柱的高），把数据代入公式计算得出圆柱的表面积。圆柱体积公式为V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为圆柱的高），把数据代入公式计算即可解答。 【详解】6÷2＝3（cm） 表面积：2×3.14×32＋3.14×6×6 ＝2×3.14×9＋3.14×6×6 ＝56.52＋113.04 ＝169.56（cm2） 圆柱体积：3.14×32×6 ＝3.14×9×6 ＝169.56（cm3） 这个圆柱的表面积是169.56cm2或169.56平方厘米，体积是169.56cm3或169.56立方厘米。 3．求圆柱体的体积和表面积。 【答案】体积：628cm3；表面积：408.2cm2 【分析】圆柱的体积＝πr2h，圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积＝2πr2＋2πrh，据此代入数据列式计算。 【详解】3.14×52×8 ＝3.14×25×8 ＝78.5×8 ＝628（cm3） 3.14×52×2＋2×5×3.14×8 ＝3.14×25×2＋10×3.14×8 ＝78.5×2＋31.4×8 ＝157＋251.2 ＝408.2（cm2） 圆柱体的体积是628cm3，表面积是408.2cm2。 4．认识了圆柱后，涛涛想了解家中圆柱形酒桶的体积。于是他进行了以下操作(如图所示)，请根据他测量的数据算出圆柱形酒桶的体积。 【答案】15072立方厘米 【分析】从题意可知：圆柱的侧面展开是一个平行四边形，这个平行四边形的底相当于圆柱的底面周长，即圆柱的底面周长是62.8厘米，平行四边形的高相当于圆柱的高，即圆柱的高是48厘米。根据圆的半径：r＝C÷π÷2，用62.8÷3.14÷2＝10厘米，即求出了底面半径；再根据圆柱的体积：V＝πr2h代入数据计算，即可求出圆柱的体积。 【详解】（62.8÷3.14÷2）2×3.14×48 ＝102×3.14×48 ＝100×3.14×48 ＝15072（立方厘米） 答：圆柱形酒桶的体积是15072立方厘米。 5．一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长18米，横截面是一个直径4米的半圆形。 （1）搭建这个大棚大约要用多少平方米的塑料薄膜？ （2）大棚内的空间大约有多大？ 【答案】（1）125.6平方米；（2）113.04立方米 【分析】（1）搭建大棚所需塑料薄膜面积对应半圆柱的表面积，需计算半圆柱的侧面积与一个整圆的面积之和；圆柱侧面积公式为S＝πdh（d为底面直径，h为圆柱的高），半圆柱侧面积为圆柱侧面积的一半。已知d＝4米，h＝18米，代入公式计算得：（3.14×4×18）÷2＝226.08÷2＝113.04（平方米），圆的面积公式为S＝πr2（r为半径），半径为4÷2＝2米，代入公式计算得：3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方米），将半圆柱侧面积与整圆面积相加即可计算出需要塑料薄膜的面积。 （2）大棚内空间对应半圆柱的体积，利用圆柱体积公式求出体积后取一半。圆柱体积公式为V＝πr2h，半圆柱体积为圆柱体积的一半。已知r＝2米，h＝18米，代入公式计算即可解答。 【详解】（1）（3.14×4×18）÷2 ＝（12.56×18）÷2 ＝226.08÷2 ＝113.04（平方米） 4÷2＝2（米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 113.04＋12.56＝125.6（平方米） 答：搭建这个大棚大约要用125.6平方米的塑料薄膜。 （2）（3.14×22×18）÷2 ＝（3.14×4×18）÷2 ＝（12.56×18）÷2 ＝226.08÷2 ＝113.04（立方米） 答：大棚内的空间大约有113.04立方米。 练习五、圆柱的容积 1．一种饮料瓶如图所示，饮料瓶的容积是400毫升，瓶子中饮料的体积是（    ）毫升。 A．80 B．160 C．320 D．400 【答案】C 【分析】因为饮料瓶的容积不变，饮料的体积不变，所以正放和倒放时空余部分的体积相等；将正放与倒放的空余部分交换一下位置，可以看出饮料瓶的容积相当于底面积不变，高为（16＋4）厘米的圆柱的体积，那么瓶中的饮料占整个饮料瓶容积的，根据求一个数的几分之几是多少，用整个饮料瓶的容积乘，即是瓶子中饮料的体积。 【详解】16÷（16＋4） ＝16÷20 ＝ 400×＝320（毫升） 所以瓶子中饮料的体积是320毫升。 故答案为：C 2．一个圆柱形水池的容积是25.12立方米，池底半径是2米，池深( )米。 【答案】2 【分析】水池的容积＝水池底面积×池深，求池深先要求出池的底面积，底面积＝×半径的平方，然后让容积除以底面积，就是池的深度。 【详解】25.12÷（3.14×） ＝25.12÷（3.14×4） ＝25.12÷12.56 ＝2（米） 所以池深2米。 3．一个圆柱形杯子，从里面测量底面直径8厘米，高6厘米。这个杯子能否装下一袋净含量300毫升的牛奶？ 【答案】能 【分析】根据圆柱体的容积＝底面积×高＝πr2h，求出这个杯子的容积，再和300毫升进行比较即可。 【详解】3.14×（8÷2）2×6 ＝3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝301.44（立方厘米） ＝301.44毫升 301.44毫升＞300毫升 答：这个杯子能装下一袋300毫升的牛奶。 【点睛】此题属于圆柱体容积的实际应用，根据圆柱体的容积公式即可解答，注意体积单位和容积单位的换算。 4．聪聪在爸爸茶杯的中部贴了一圈装饰带（如下图，茶杯是圆柱形），这条装饰带宽6厘米。 （1）这条装饰带的面积是多少平方厘米？ （2）这个茶杯的容积是多少立方厘米？（茶杯厚度忽略不计） 【答案】（1）188.4平方厘米 （2）942立方厘米 【分析】（1）由题意可得，装饰带是长方形的，装饰带的长为圆柱的底面周长，宽为6厘米，可用装饰带的长乘宽，列式解答即可得到答案； （2）求茶杯的容积，根据圆柱体的体积计算公式：V＝Sh解答即可。 【详解】（1）3.14×10×6 ＝31.4×6 ＝188.4（平方厘米） 答：这条装饰带的面积有188.4平方厘米。 （2）3.14×（10÷2）2×12 ＝3.14×52×12 ＝3.14×25×12 ＝78.5×12 ＝942（立方厘米） 答：这个茶杯的容积是942立方厘米。 【点睛】此题主要考查长方形的面积公式、圆柱体的体积计算公式的运用情况。 练习六、圆柱与圆锥体积的关系 1．一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和体积分别相等，如果圆锥的高是9厘米，圆柱的高是( )厘米；如果圆柱的高是12厘米，则圆锥的高是( )厘米。 【答案】 3 36 【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式可知：等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱和圆锥体积相等、底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此解答。 【详解】9÷3＝3（厘米） 12×3＝36（厘米） 一个圆柱和一个圆锥，它们的底面积和体积分别相等，如果圆锥的高是9厘米，圆柱的高是（3）厘米；如果圆柱的高是12厘米，则圆锥的高是（36）厘米。 2．等底等高的圆柱和圆锥体积之和是7.2立方分米，圆柱的体积是( )立方分米。 【答案】5.4 【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，那么等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆锥体积的（3＋1）倍。已知体积和是7.2立方分米，先求出圆锥体积，再根据倍数关系求出圆柱体积。 【详解】圆锥体积： 7.2÷（3＋1） ＝7.2÷4 ＝1.8（立方分米） 圆柱体积： 1.8×3＝5.4（立方分米） 圆柱的体积是5.4立方分米。 3．一个圆柱形橡皮泥，底面积12cm2，高是9cm，如果把它捏成等底的圆锥，这个圆锥的高是( )cm，如果捏成等高的圆锥，这个圆锥的底面积是( )cm2。 【答案】 27 36 【分析】根据圆柱与圆锥体积的关系，当体积相等时，若底面积相同，圆锥的高是圆柱的3倍；若高相同，圆锥的底面积是圆柱的3倍。据此解答。 【详解】（cm） （cm2） 一个圆柱形橡皮泥，底面积12cm2，高是9cm，如果把它捏成等底的圆锥，这个圆锥的高是27cm，如果捏成等高的圆锥，这个圆锥的底面积是36cm2。 4．等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆锥的体积比圆柱少12.56立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。一个圆柱和一个圆锥等底等体积，圆锥的高是1.5分米，圆柱的高是( )厘米。 【答案】 18.84 5 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份。已知圆锥的体积比圆柱少12.56立方厘米，用12.56除以（3－1）可以求出1份的体积，即圆锥的体积，再乘3即可求出圆柱的体积。 圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，如果一个圆柱和一个圆锥等底等体积，则圆柱的高是圆锥高的，据此用圆锥的高乘即可求出圆柱的高。 【详解】12.56÷（3－1）×3 ＝12.56÷2×3 ＝6.28×3 ＝18.84（立方厘米） 1.5×＝0.5（分米）＝5厘米 则圆柱的体积是18.84立方厘米；圆柱的高是5厘米。 5．手工课上，笑笑用橡皮泥做了一组等底等高的圆锥和圆柱，它们的体积相差3600立方厘米，其中圆锥的体积是( )立方厘米，圆柱的体积是( )。 【答案】 1800 5400立方厘米 【分析】已知圆柱和圆锥等底等高，则圆柱体积是圆锥体积的3倍，假设圆锥体积是1份，则圆柱体积是3份，圆锥和圆柱相差3－1＝2份；已知体积相差3600立方厘米，即2份对应3600立方厘米，计算出1份的体积即圆锥的体积，用1份的体积乘3即为圆柱的体积。 【详解】3－1＝2 3600÷2＝1800（立方厘米） 1800×3＝5400（立方厘米） 所以圆锥的体积是1800立方厘米，圆柱的体积是5400立方厘米。 练习七、圆锥的体积（容积） 1．一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，如果以3厘米的直角边为轴旋转一周，形成圆锥体的体积是（    ）立方厘米。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥体积公式V＝πh，先确定以直角边为轴旋转后圆锥的底面半径和高，再代入公式计算体积。已知直角三角形两条直角边分别是3厘米和4厘米，以3厘米的直角边为轴旋转一周。那么4厘米的直角边旋转后形成圆锥的底面半径r＝4厘米，3厘米的直角边就是圆锥的高h＝3厘米。 【详解】根据圆锥体积公式V＝πh，将r＝4厘米，h＝3厘米代入公式。 V＝π×4×4×3 V＝×3×4×4π V＝16π 所以，形成圆锥体的体积是16π立方厘米。 故答案为：A 2．一个圆锥的体积是9立方厘米，底面积是3平方厘米，它的高是( )厘米。 【答案】9 【分析】圆锥的体积＝底面积×高×，据此用圆锥的体积除以，再除以底面积，即可求出圆锥的高。 【详解】9÷÷3 ＝9×3÷3 ＝9（厘米） 则它的高是9厘米。 3．一个圆锥的底面半径是3厘米，高是5厘米，它的体积是( )立方厘米。 【答案】47.1 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×32×5× ＝3.14×9×5× ＝28.26×5× ＝141.3× ＝47.1（立方厘米） 一个圆锥的底面半径是3厘米，高是5厘米，它的体积是47.1立方厘米。 4．一种圆锥形瓶，从里面量，底面直径是8厘米，高是9厘米，这种圆锥形瓶的容积是( )毫升。 【答案】150.72 【分析】直径除以2可得半径，根据圆锥的体积公式，代入数据计算出圆锥的体积，再根据1毫升＝1立方厘米，把单位转化为毫升即可。 【详解】 （立方厘米） （毫升） 一种圆锥形瓶，从里面量，底面直径是8厘米，高是9厘米，这种圆锥形瓶的容积是150.72毫升。 5．求下面各圆锥的体积。（单位：厘米） 【答案】100.48立方厘米；392.5立方厘米 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。 【详解】3.14×42×6÷3 ＝3.14×16×6÷3 ＝100.48（立方厘米） 3.14×（10÷2）2×15÷3 ＝3.14×52×15÷3 ＝3.14×25×15÷3 ＝392.5（立方厘米） 两个圆锥的体积分别是100.48立方厘米、392.5立方厘米。 6．一个圆锥形小麦堆，已知底面积为28.26平方米，高4米，如果每立方米小麦重500千克，这堆小麦重多少千克？ 【答案】18840千克 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出小麦堆的体积，小麦体积×每立方米重量＝这堆小麦总重量，据此列式解答。 【详解】28.26×4÷3×500 ＝37.68×500 ＝18840（千克） 答：这堆小麦重18840千克。 7．将一堆底面直径是6米、高是1米的圆锥形沙子填入底面周长是12.56米的圆柱形坑里，正好填平。这个圆柱形坑的高度约是多少？ 【答案】0.75米 【分析】已知圆锥形沙堆的底面直径是6米、高是1米，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这堆沙子的体积； 把这堆沙子填入底面周长是12.56米的圆柱形坑里，正好填平，那么沙子的体积不变； 先根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆柱形坑的底面半径；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱形坑的底面积； 根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，据此求出这个圆柱形坑的高度。 【详解】沙子的体积： ×3.14×（6÷2）2×1 ＝×3.14×32×1 ＝×3.14×9×1 ＝9.42（立方米） 圆柱形坑的底面半径： 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 圆柱形坑的底面积： 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 圆柱形坑的高： 9.42÷12.56＝0.75（米） 答：这个圆柱形坑的高度约是0.75米。 练习八、组合体的表面积和体积 1．计算下面图形的体积。（单位：m） 【答案】141.3m3 【分析】由图可知，图形由一个圆柱和一个圆锥组成，且等底。圆柱和圆锥的底面直径均为6m，则底面半径为6÷2＝3m；圆柱的高为4m，圆锥的高为3m。圆柱的体积公式为：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为圆柱的高），圆锥的体积公式为：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为圆锥的高），把数据分别代入公式计算后再相加即可得出该图形的体积。 【详解】6÷2＝3（m） 3.14×32×4 ＝3.14×9×4 ＝28.26×4 ＝113.04（m3） ×3.14×32×3 ＝×3.14×9×3 ＝3×3.14×3 ＝9.42×3 ＝28.26（m3） 113.04＋28.26＝141.3（m3） 该图形的体积是141.3m3。 2．计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】471平方厘米；706.5立方厘米 【分析】由图可知，该组合体由大圆柱和小圆柱两部分组成，组合体的表面积＝大圆柱的表面积＋小圆柱的侧面积，“”“”把图中的数据代入公式计算； 组合体的体积＝大圆柱的体积＋小圆柱的体积，“”把图中的数据代入公式计算，即可求得。 【详解】表面积： ＝ ＝ ＝ ＝（平方厘米） 体积： ＝ ＝ ＝ ＝（立方厘米） 所以，该图形的表面积是471平方厘米，体积是706.5立方厘米。 3．求组合图形的体积。（单位：dm） 【答案】76.56立方分米 【分析】据图可知，组合图形的体积等于一个棱长是4分米的正方体的体积加上一个底面直径是4分米高是3分米的圆锥的体积，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥的体积＝π（d÷2）2h，据此代入数据列式计算即可。 【详解】4×4×4＋3.14×（4÷2）2×3× ＝64＋3.14×22×3× ＝64＋3.14×4×3× ＝64＋37.68× ＝64＋12.56 ＝76.56（立方分米） 该组合图形的体积是76.56立方分米。 4．求下图的体积。 【答案】84.78cm3 【分析】这个图形是由两个圆锥组成，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，分别计算出两个圆锥的体积，相加即可。 【详解】3.14×（6÷2）2×5.5÷3＋3.14×（6÷2）2×3.5÷3 ＝3.14×32×5.5÷3＋3.14×32×3.5÷3 ＝3.14×9×5.5÷3＋3.14×9×3.5÷3 ＝51.81＋32.97 ＝84.78（cm3） 这个图形的体积是84.78cm3。 5．蒙古包，古代称作穹庐，其上部为圆锥形，下部为圆柱形，四周用绳索固定。下图中这个蒙古包内部的空间是多少立方米？（厚度忽略不计） 【答案】120.576立方米 【分析】根据题图可知，就是求圆柱和圆锥的体积，根据、求出圆柱和圆锥的体积，相加即可； 【详解】 （立方米） 答：这个蒙古包内部的空间是120.576立方米。 6．陀螺在我国至少有四五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小凯有一个底面直径约是6厘米的木制陀螺（如图），这个陀螺的体积大约是多少立方厘米？ 【答案】197.82立方厘米 【分析】看图可知，陀螺的体积＝圆柱体积＋圆锥体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×6＋3.14×（6÷2）2×3÷3 ＝3.14×32×6＋3.14×32 ＝3.14×9×6＋3.14×9 ＝3.14×（9×6＋9） ＝3.14×（54＋9） ＝3.14×63 ＝197.82（立方厘米） 答：这个陀螺的体积大约是197.82立方厘米。 练习九、立体图形的切拼 1．一个圆柱形木块，如果削成一个最大的圆锥（如图①），体积减少了25.12cm3；如果平行于底面切成三段（如图②），表面积增加50.24cm2；如果沿底面直径竖直切成四块（如图③），表面积增加（    ）cm2。 A．24 B．32 C．16 D．48 【答案】D 【分析】一个圆柱形木块，如果削成一个最大的圆锥，则圆锥与圆柱等底等高，圆锥体积是圆柱的，减少的体积是圆柱的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用25.12除以可得圆柱体积；如果平行于底面切成三段（如图②），表面积增加50.24cm2，增加的是4个圆柱的底面积，用50.24除以4可得圆柱的底面积，根据圆的面积公式的逆运算，用底面积除以圆周率，得到半径的平方，从而推算出半径，再用圆柱体积除以底面积可得圆柱的高； 如果沿底面直径竖直切成四块（如图③），表面积增加4个面积相等的长方形，长方形的一条边是圆柱的底面直径，另一条边是高，根据长方形的面积公式求出一个长方形的面积再乘4即可。 【详解】 （cm3） （cm2） （cm2） （cm2） 一个圆柱形木块，如果削成一个最大的圆锥（如图①），体积减少了25.12cm3；如果平行于底面切成三段（如图②），表面积增加50.24cm2；如果沿底面直径竖直切成四块（如图③），表面积增加48cm2。 故答案为：D 【点睛】关键要分析清楚，减少的体积与圆柱的关系，表面积增加的是什么图形，与圆柱的关系。 2．如图，将一个圆锥从顶点沿高切成相同的两部分。每一部分的切面都是底为4厘米，面积为9平方厘米的三角形。原来这个圆锥的体积是（    ）立方厘米。 A．18.84 B．56.52 C．75.36 D．226.08 【答案】A 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，据此用切面的面积乘2，再除以底，即可求出切面的高，也就是圆锥的高。切面的底就是圆锥的底面直径。圆锥的体积＝底面积×高×＝πr2h，据此解答。 【详解】9×2÷4＝4.5（厘米） 3.14×（4÷2）2×4.5× ＝3.14×4×1.5 ＝3.14×6 ＝18.84（平方厘米） 则原来这个圆锥的体积是18.84立方厘米。 故答案为：A 3．将一根圆柱形木料，如果截成两个小圆柱，它的表面积将增加56.52cm2；如果沿着直径截成两个半圆柱，它的表面积将增加96cm2，该圆柱的底面半径是( )cm，体积是( )cm3。 【答案】 3 508.68 【分析】将一根圆柱形木料，如果截成两个小圆柱，它的表面积将增加两个底面积，用56.52除以2可得底面积，用底面积除以圆周率可得半径的平方，再推算出半径；如果沿着直径截成两个半圆柱，它的表面积将增加两个一条边是圆柱的直径，另一个条边是圆柱的高，所围成的长方形，用96除以2得长方形的面积，再除以直径可得圆柱的高。最后根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可。 【详解】圆柱的底面积：56.52÷2＝28.26（cm2） 半径的平方：28.26÷3.14＝9（cm2） 因为3×3＝9（cm），所以半径为3cm。 圆柱的高：96÷2÷（3×2） ＝48÷6 ＝18（cm） 圆柱的体积：3.14×32×18 ＝3.14×9×18 ＝508.68（cm3） 将一根圆柱形木料，如果截成两个小圆柱，它的表面积将增加56.52cm2；如果沿着直径截成两个半圆柱，它的表面积将增加96cm2，该圆柱的底面半径是3cm，体积是508.68cm3。 4．把一个底面半径为4厘米的圆柱，沿高切开，拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比圆柱增加了40平方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】251.2 【分析】把圆柱切开拼成一个近似长方体，表面积增加的是以圆柱的高为长、底面半径为宽的两个切面长方形的面积，据此用40除以2求出一个面的面积，再根据长方形的面积＝长×宽用一个面的面积除以圆柱的底面半径即可得到圆柱的高，最后根据圆柱的体积＝πr2h代入数据列式计算即可。 【详解】40÷2＝20（平方厘米） 20÷4＝5（厘米） 3.14×42×5 ＝3.14×16×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方厘米） 把一个底面半径为4厘米的圆柱，沿高切开，拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比圆柱增加了40平方厘米，圆柱的体积是251.2立方厘米。 5．一根圆木长1.5米，如果把它截成等长的3段小圆木后，表面积增加了113.04平方分米。每段小圆木的底面半径是( )分米，体积是( )立方分米。 【答案】 3 141.3 【分析】根据题意，把一根圆木截成等长的3段小圆木后，表面积增加了113.04平方分米，增加的表面积是圆木的4个底面圆的面积；用增加的表面积除以4，即可求出圆木的底面积； 根据圆的面积公式S＝πr2可知，r2＝S÷π，据此求出圆木底面半径的平方，进而得出圆木的底面半径； 因为圆木平均分成3段小圆木，用原来圆木的高除以3，即是每段小圆木的高；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出每段小圆木的体积。注意单位的换算：1米＝10分米。 【详解】1.5米＝15分米 圆木的底面积：113.04÷4＝28.26（平方分米） 圆木底面半径的平方：28.26÷3.14＝9（平方分米） 因为9＝3×3，所以圆木的底面半径是3分米； 圆木的体积： 28.26×（15÷3） ＝28.26×5 ＝141.3（立方分米） 每段小圆木的底面半径是（3）分米，体积是（141.3）立方分米。 6．如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是( )立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少( )立方厘米。 【答案】 188.4 376800 【分析】由题意可知，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，切面是以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的等腰三角形，根据增加的表面积求出一个切面的面积，再利用“”求出圆锥的底面直径，然后利用“”求出圆锥的体积，当圆锥和圆柱等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥比圆柱少的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，据此解答。 【详解】60÷2×2÷5 ＝60÷5 ＝12（分米） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝188.4（立方分米） 188.4×3－188.4 ＝188.4×（3－1） ＝188.4×2 ＝376.8（立方分米） 376.8立方分米＝376800立方厘米 所以，圆锥的体积是188.4立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少376800立方厘米。 练习十、不规则物体的体积算法 1．两个大小相同的量杯中都盛有水。现将两个等底等高的圆柱和圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度是，则乙量杯中水面刻度是（    ）mL。（零件均完全淹没水中） A．40 B．120 C．240 D．280 【答案】C 【分析】量杯中原有200mL水，放入圆柱零件后，水面刻度变为320mL。因为零件完全淹没水中，所以水面上升的体积就是圆柱零件的体积。根据体积差可得圆柱放入量杯后的容积为320－200＝120mL。根据圆柱和圆锥的体积关系：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，已知圆柱放入量杯后的容积为120mL，所以圆锥放入量杯后的容积为×120＝40mL。乙量杯原有200mL水，放入圆锥零件后，再加上40mL就是乙量杯此时的刻度。 【详解】320－200＝120（mL） ×120＝40（mL） 200＋40＝240（mL） 圆锥零件放入量杯后，乙量杯中水面刻度是240mL。 故答案为：C 2．两个同样的量杯原来各盛有640mL水。现将两个等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入这两个量杯中，圆柱放入后量杯水面刻度如图①所示，那么图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是( )mL。 【答案】720 【分析】由图①可得，880mL＝原来水640mL＋圆柱的体积，因此用880－640即可求出圆柱的体积。等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此用圆柱的体积除以3，求出圆锥的体积，最后用量杯原来的水的体积加圆锥的体积，可得出图②量杯水面刻度。 【详解】（880－640）÷3＋640 ＝240÷3＋640 ＝80＋640 ＝720（mL） 所以图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是720mL。 3．一个圆柱形水桶，底面半径是2分米，高是12分米，把一个底面直径为3分米的圆锥形铁块浸没在水中，水面上升了1分米，这个圆锥形铁块的体积是多少立方分米？ 【答案】12.56立方分米 【分析】分析题目，圆锥形铁块的体积等于圆柱形水桶的底面积乘水面上升的高度1分米，据此结合圆柱的底面积＝πr2列式计算即可。 【详解】3.14×22×1 ＝3.14×4×1 ＝12.56×1 ＝12.56（立方分米） 答：这个圆锥形铁块的体积是12.56立方分米。 4．在一个圆柱形储水桶里，把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材全部放入水中，这时水面上升9厘米。把这段钢材竖着拉出水面8厘米，水面下降4厘米。求这段钢材的体积。 【答案】1413立方厘米 【分析】分析题目，根据“把这段钢材竖着拉出水面8厘米，水面下降4厘米”可知高是8厘米的圆柱形钢材的体积和高是4厘米的圆柱形水的体积相等，据此先根据圆柱的体积＝πr2h求出高是8厘米的圆柱形钢材的体积，再根据圆柱的高＝体积÷底面积，用前面求出的体积除以4即可求出圆柱形储水桶的底面积。因为圆柱形钢材全部放入水中，所以水上升的体积就是圆柱形钢材的体积，用圆柱形储水桶的底面积乘9即可求出钢材的体积。 【详解】3.14×52×8÷4 ＝3.14×25×8÷4 ＝78.5×8÷4 ＝628÷4 ＝157（平方厘米） 157×9＝1413（立方厘米） 答：这段钢材的体积是1413立方厘米。 5．一个圆柱形的玻璃缸装有一些水，底面内直径为6厘米，高为12厘米。把一个圆锥形铅锤放入玻璃缸中（全部浸没），水面上升了0.5厘米，铅锤的高为2厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】21.195平方厘米 【分析】根据题意可知，把圆锥形铅锤放入圆柱形玻璃缸中（完全浸没，水未溢出），上升部分水的体积就等于这个铅锤的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝Sh那么S＝3V÷h，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×0.5÷÷2 ＝3.14×32×0.5×3÷2 ＝3.14×9×0.5×3÷2 ＝14.13×3÷2 ＝42.39÷2 ＝21.195（平方厘米） 答：这个铅锤的底面积是21.195平方厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 46 页 学科网（北京）股份有限公司 $