单元培优讲义：大树有多高（考点梳理+例题讲解+考点练习）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

该小学数学讲义通过知识框架系统梳理“大树有多高”单元内容，涵盖正比例关系核心原理、标杆测量法及测量注意事项，用表格呈现竹竿影长与高度数据，清晰呈现知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于“实际情境问题解决”设计，如测量大树影长计算高度，培养数学眼光与思维。练习分层，含选择、填空及解答题，助力不同学生掌握比例应用，教师可据此实施精准教学。

2025-2026学年六年级下册数学苏教版单元培优讲义 大树有多高 考点梳理 1 考点一、核心原理：正比例关系的实际应用 1 考点二、标杆测量法 1 考点三、测量的通用注意事项 2 例题讲解 2 题型一、正比例关系的实际应用 2 考点练习 3 练习一、正比例关系的实际应用 3 考点梳理 考点一、核心原理：正比例关系的实际应用 本单元核心是借助正比例关系实现高大物体高度的间接测量，核心逻辑源于生活中的固定规律： 1.现象规律：在同一时间、同一地点，太阳照射角度保持不变，此时物体的高度与它在地面上的影长存在固定的关联——物体越高，影长越长，且高度与影长的比值始终为固定值。 2.正比例关系推导：物体高度和影长是两种相关联的量，变化方向完全一致（物体高度扩大/缩小，影长同步扩大/缩小），且相对应的高度与影长的比值固定不变，因此二者成正比例关系。用公式可表达为： （同一时间、同一地点） 由此可推导出： 考点二、标杆测量法 1.适用场景：测量大树、旗杆、教学楼等无法直接攀爬的高大物体高度。 2.操作逻辑：借助已知准确高度的标杆作为参照，分别测量标杆的影长和目标大树的影长，利用“高度与影长的比值固定”的正比例关系，间接计算大树高度。 3.关键注意事项： (1)标杆需垂直立于地面，不可倾斜，避免因姿态导致影长测量失真； (2)测量影长时，需从物体底部（标杆底部、大树根部）精准量到影子的最顶端，确保长度数据准确； (3)标杆与大树需处于同一光照环境中，周围无建筑物、其他树木遮挡阳光，保证影子完整。 考点三、测量的通用注意事项 1.时间与地点一致性：必须在同一时间、同一地点完成所有测量步骤。太阳高度角会随时间推移、地点变化而改变，直接打破“高度与影长比值固定”的规律，导致测量结果偏差。 2.误差控制： (1)对影长、距离等数据进行2-3次测量后取平均值，减少单次测量的偶然误差； (2)优先选用精度较高的测量工具（如卷尺、米尺），避免目测估算带来的较大偏差。 3.环境选择：需在开阔、无遮挡的场地进行测量，避免阳光被建筑物、树木等遮挡，导致物体影长不完整或变形。 例题讲解 题型一、正比例关系的实际应用 【例题1】某一时刻，数学课外兴趣小组的同学测得直立在地面的竹竿及其影长，如下表。 竹竿长/厘米 78 54 18 影长/厘米 65 45 15 (1)根据表中数据判断，物体的长度与它的影子长度成( )比例。 (2)在这一时刻，测得一棵大树的影子长为5.5米，则这棵大树的高度为( )米。 【答案】(1)正 (2)6.6 【分析】（1）根据统计表计算竹竿长和影长的比，18∶15＝，54∶45＝，78∶65＝，竹竿长和影长的比值相等，竹竿长和影长成正比例关系；据此判断即可。 （2）物体的长度与它的影子长度成正比例，比值是，所以树高∶树影长＝，可得树高＝树影长×。 【详解】（1）18∶15＝，54∶45＝，78∶65＝， 竹竿长和影长的比值相等，竹竿长和影长成正比例关系； 所以，物体的长度与它的影子长度成正比例； （2）5.5×＝6.6（米） 【点睛】根据两个量比值相等，找出题中的数量成正比例关系，根据成正比例的两个量比值相等解决问题。 【练习1】如图，同一时刻，直立在地上的6米高的树的影子长是4.5米，附近一座大楼的影子长15米。这座大楼高多少米？（用比例解） 【答案】20米 【分析】由题意知：大楼高度与大楼影子长度的比值等于大树高度与大树影子长度的比值，设这座大楼的高为x米，依据比值相等列比例求解即可。 【详解】解：设这座大楼的高为x米。 4.5x＝15×6 4.5x＝90 4.5x÷4.5＝90÷4.5 答：这座大楼高20米。 考点练习 练习一、正比例关系的实际应用 1．张阳和同学带着测量工具准备测量一栋大楼的高度。当他站在楼下时，同学量得他的影长为2.4米，同时量得大楼的影长为36米。已知张阳身高160厘米，大楼高（    ）米。 A．2.4 B．24 C．5.4 D．54 【答案】B 【分析】同一时刻，物高与影长成正比例，由此设大楼高x米，列比例，解比例即可解答。 【详解】160厘米＝1.6米 解：设大楼高x米。 2.4∶1.6＝36∶x 2.4x＝1.6×36 2.4x＝57.6 x＝57.6÷2.4 x＝24 故答案为：B 【点睛】解答本题的关键是判定同一时刻的物高与影长成正比例，再根据正比例的应用进行解答。 2．同一地点，同一时刻，乐乐的身高是1.68m，影长1.4m，爸爸的影长是1.5m，身高是( )m。 【答案】1.8 【分析】同一时间，同一地点测得物体高度与影子长度的比值相等，也就是乐乐的身高与影子的比等于爸爸的身高与影子的比，设爸爸的身高为x米，组成比例解比例即可解答。 【详解】解：设爸爸的身高为米。 同一地点，同一时刻，乐乐的身高是1.68m，影长1.4m，爸爸的影长是1.5m，身高是1.8m。 3．风能作为一种清洁的可再生能源，可以利用它来进行发电。数学实践小组测得一座风力发电架在阳光下的影长是64米，同时把一根长2米的测杆直立在地上，测得在阳光下的影长是1.6米，风力发电架的高是( )米。 【答案】80 【分析】本题考查比例的应用。由于太阳光线平行，物体高度与影长成正比，即测杆高度与影长的比等于风力发电架高度与影长的比。根据给定数据，建立比例关系即可求解。 【详解】设风力发电架的高为米，根据比例关系，可列式： 解：      因此，风力发电架的高是80米。 4．小明在操场上插几根长短不同的竹竿，在同一时间里测量竹竿长和相应的影长，情况如下表：这时，小明身边的王强测量出了旗杆的影长是6米，可推算出旗杆的实际高度是( )米。 影长（米） 0.5 0.7 0.8 0.9 1.1 1.5 竹竿长（米） 1 1.4 1.6 1.8 2.2 3 【答案】12 【分析】利用影长÷竹竿长算出结果，发现结果一样，从而得出竹竿长和影长成正比例关系，同样条件下，竹竿的长度与它的影长的比值是一定的，旗杆的实际高度与其影长的比值也是一定的，且这两个比值是相等的，据此可列比例，求出旗杆的实际高度。 【详解】由分析可得：＝＝＝＝＝ 由此可得出竹竿长和影长成正比例关系，那么旗杆的实际高度与其影长也成正比例关系。 解：设旗杆的实际高度是x米， 1∶0.5＝x∶6 0.5x＝6 0.5x÷0.5＝6÷0.5 x＝12 旗杆的实际高度是12米。 5．用数学的眼光看成语“立竿见影”，是应用了比例知识，即同一时间、同一地点，竿高和影长成( )比例。如果一棵小树的高度是1.5米，影长是0.8米，同一时间、同一地点，测得一棵大树的影长是4.8米，那么这棵大树的高度是( )米。 【答案】 正 9 【分析】根据两个相关联的量如果比值一定，则这两个相关联的量成正比例关系；如果两个相关联的量的乘积一定，则这两个相关联的量成反比例关系；由于同一时间，同一地点，竿子越高，影子越长，即竿高∶影长＝固定值；所以竿高和影长成正比例关系；可以设这棵大树的高度是x米，由于竿子的高度和影长的比值一定，可以列比例方程：1.5∶0.8＝x∶4.8，据此即可解方程。 【详解】由分析可知：竿高和影长成正比例关系。 解：设这棵大树的高度是x米。 1.5∶0.8＝x∶4.8 0.8x＝1.5×4.8 0.8x＝7.2 x＝7.2÷0.8 x＝9 用数学的眼光看成语“立竿见影”，是应用了比例知识，即同一时间、同一地点，竿高和影长成正比例。如果一棵小树的高度是1.5米，影长是0.8米，同一时间、同一地点，测得一棵大树的影长是4.8米，那么这棵大树的高度是9米。 6．某一时刻，数学课外兴趣小组的同学测得直立在地面的竹竿及其影长，如下表： 竹竿长/厘米 108 78 54 18 影长/厘米 90 65 45 15 在这一时刻，测得一棵大树的影长为5.5米，则这棵大树的高度为( )米。 【答案】6.6 【分析】因为＝＝＝＝（定值），物体的长度与它的影子长度的比值一定，所以同一时刻，物体的长度与它的影子长度成正比例，设这棵大树的高度为x米，可列比例：＝，据此解答。 【详解】解：设这棵大树的高度为x米。 ＝ 5x＝6×5.5 5x＝33 x＝6.6 【点睛】解答此题的关键是：先判断题中的两种相关联的量成什么比例，并找准对应量。 7．同一时间，小明在操场上测得自己的影子长是2.4米，学校旗杆的影子长是21米。小明身高1.6米，学校旗杆高多少米？ 【答案】14米 【分析】同一时间、同一地点，太阳照射角度一样，所以不管是小明还是旗杆，“物体高度÷影子长度”的比值是相等的。小明身高1.6米，影子长2.4米，这个比值是：，然后根据“物体高度＝影子长度×比值”直接计算即可。 【详解】 （米） 答：学校旗杆高14米。 8．实验小学开展“测量旗杆有多高”的实践活动。在阳光下，同学们同时测出旗杆和竹竿的影长，再测得竹竿的长度。测量结果如下图，请你计算出旗杆的高度是多少米。 【答案】18米 【分析】竹竿高度是1.5米，影长是2.5米，那么它们的比值为。这表示在此时刻，每1米影长对应的物体高度是米。旗杆影长是30米，因为旗杆高度与影长的比值和竹竿的相同，都是，所以旗杆高度＝旗杆影长×这个比值。即。 【详解】 （米） 答：旗杆的高度是18米。 9．李丽的身高为1.8m，她的影长为1.2m。如果在同一时间、同一地点测得－棵杨树的影长为6m，你能算出这棵杨树有多高吗？ 【答案】9m 【分析】同一时间，同一地点测得物体与影子的比值相等，也就是李丽的身高与影子的比等于杨树的高与影子的比，设这棵杨树的高为x米，组成比例，解比例即可。 【详解】解：设这棵杨树的高为x米。 1.8∶1.2＝x∶6 1.2x＝1.8×6 x＝10.8÷1.2 x＝9 答：棵杨树有多高9米。 【点睛】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例然后找准对应量，列式解答即可。 10．佳航在操场上竖直固定了几根长短不同的竹竿，在同一时间里测量竹竿长和相应的影长，情况如表： 竹竿长米 1 1.4 1.6 1.8 2.2 3 影长米 0.5 0.7 0.8 0.9 1.1 1.5 这时，佳航身边的强强测量出了旗杆的影长是6米，旗杆的实际高度是多少米？ 【答案】12米 【分析】由于1÷0.5＝2，1.4÷0.7＝2，1.6÷0.8＝2，由此即可知道同一时刻物高与影长成正比，可以设旗杆的实际高度是x米，当竹竿长是1米，影长0.5米时，即旗杆的高度∶旗杆的影长＝1∶0.5，据此列出方程，求出未知数的值即可。 【详解】解：设旗杆的实际高度是米， x＝6÷0.5 答：旗杆的实际高度是12米。 【点睛】找出等量关系，是解答此题的关键。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学苏教版单元培优讲义 大树有多高 考点梳理 1 考点一、核心原理：正比例关系的实际应用 1 考点二、标杆测量法 1 考点三、测量的通用注意事项 2 例题讲解 2 题型一、正比例关系的实际应用 2 考点练习 2 练习一、正比例关系的实际应用 2 考点梳理 考点一、核心原理：正比例关系的实际应用 本单元核心是借助正比例关系实现高大物体高度的间接测量，核心逻辑源于生活中的固定规律： 1.现象规律：在同一时间、同一地点，太阳照射角度保持不变，此时物体的高度与它在地面上的影长存在固定的关联——物体越高，影长越长，且高度与影长的比值始终为固定值。 2.正比例关系推导：物体高度和影长是两种相关联的量，变化方向完全一致（物体高度扩大/缩小，影长同步扩大/缩小），且相对应的高度与影长的比值固定不变，因此二者成正比例关系。用公式可表达为： （同一时间、同一地点） 由此可推导出： 考点二、标杆测量法 1.适用场景：测量大树、旗杆、教学楼等无法直接攀爬的高大物体高度。 2.操作逻辑：借助已知准确高度的标杆作为参照，分别测量标杆的影长和目标大树的影长，利用“高度与影长的比值固定”的正比例关系，间接计算大树高度。 3.关键注意事项： (1)标杆需垂直立于地面，不可倾斜，避免因姿态导致影长测量失真； (2)测量影长时，需从物体底部（标杆底部、大树根部）精准量到影子的最顶端，确保长度数据准确； (3)标杆与大树需处于同一光照环境中，周围无建筑物、其他树木遮挡阳光，保证影子完整。 考点三、测量的通用注意事项 1.时间与地点一致性：必须在同一时间、同一地点完成所有测量步骤。太阳高度角会随时间推移、地点变化而改变，直接打破“高度与影长比值固定”的规律，导致测量结果偏差。 2.误差控制： (1)对影长、距离等数据进行2-3次测量后取平均值，减少单次测量的偶然误差； (2)优先选用精度较高的测量工具（如卷尺、米尺），避免目测估算带来的较大偏差。 3.环境选择：需在开阔、无遮挡的场地进行测量，避免阳光被建筑物、树木等遮挡，导致物体影长不完整或变形。 例题讲解 题型一、正比例关系的实际应用 【例题1】某一时刻，数学课外兴趣小组的同学测得直立在地面的竹竿及其影长，如下表。 竹竿长/厘米 78 54 18 影长/厘米 65 45 15 (1)根据表中数据判断，物体的长度与它的影子长度成( )比例。 (2)在这一时刻，测得一棵大树的影子长为5.5米，则这棵大树的高度为( )米。 【练习1】如图，同一时刻，直立在地上的6米高的树的影子长是4.5米，附近一座大楼的影子长15米。这座大楼高多少米？（用比例解） 考点练习 练习一、正比例关系的实际应用 1．张阳和同学带着测量工具准备测量一栋大楼的高度。当他站在楼下时，同学量得他的影长为2.4米，同时量得大楼的影长为36米。已知张阳身高160厘米，大楼高（    ）米。 A．2.4 B．24 C．5.4 D．54 2．同一地点，同一时刻，乐乐的身高是1.68m，影长1.4m，爸爸的影长是1.5m，身高是( )m。 3．风能作为一种清洁的可再生能源，可以利用它来进行发电。数学实践小组测得一座风力发电架在阳光下的影长是64米，同时把一根长2米的测杆直立在地上，测得在阳光下的影长是1.6米，风力发电架的高是( )米。 4．小明在操场上插几根长短不同的竹竿，在同一时间里测量竹竿长和相应的影长，情况如下表：这时，小明身边的王强测量出了旗杆的影长是6米，可推算出旗杆的实际高度是( )米。 影长（米） 0.5 0.7 0.8 0.9 1.1 1.5 竹竿长（米） 1 1.4 1.6 1.8 2.2 3 5．用数学的眼光看成语“立竿见影”，是应用了比例知识，即同一时间、同一地点，竿高和影长成( )比例。如果一棵小树的高度是1.5米，影长是0.8米，同一时间、同一地点，测得一棵大树的影长是4.8米，那么这棵大树的高度是( )米。 6．某一时刻，数学课外兴趣小组的同学测得直立在地面的竹竿及其影长，如下表： 竹竿长/厘米 108 78 54 18 影长/厘米 90 65 45 15 在这一时刻，测得一棵大树的影长为5.5米，则这棵大树的高度为( )米。 7．同一时间，小明在操场上测得自己的影子长是2.4米，学校旗杆的影子长是21米。小明身高1.6米，学校旗杆高多少米？ 8．实验小学开展“测量旗杆有多高”的实践活动。在阳光下，同学们同时测出旗杆和竹竿的影长，再测得竹竿的长度。测量结果如下图，请你计算出旗杆的高度是多少米。 9．李丽的身高为1.8m，她的影长为1.2m。如果在同一时间、同一地点测得－棵杨树的影长为6m，你能算出这棵杨树有多高吗？ 10．佳航在操场上竖直固定了几根长短不同的竹竿，在同一时间里测量竹竿长和相应的影长，情况如表： 竹竿长米 1 1.4 1.6 1.8 2.2 3 影长米 0.5 0.7 0.8 0.9 1.1 1.5 这时，佳航身边的强强测量出了旗杆的影长是6米，旗杆的实际高度是多少米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $