精品解析：　福建省厦门市思明区厦门外国语学校瑞景分校2025-2026学年上学期九年级期末模拟 数学试卷

福建省厦门市思明区厦门外国语学校瑞景分校2025-2026学年上学期九年级期末模拟数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡． 2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 3.答题卷使用0.5mm黑色水笔作答，作图题使用2B铅笔或0.5mm黑色水笔作答． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象在（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 3. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 任意画一个圆，它是中心对称图形 C. 从只有白球的袋子中摸出黑球 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 4. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 6. 如图，直线与双曲线相交于两点，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 半径为的正六边形的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 9. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，建立如图所示的平面直角坐标系，得水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式是，则水流喷出的最大高度为（） A. B. C. D. 10. 中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），记该邮票的“上圆弧”的长为，“直边长”为，“下圆弧”的长为，则可用含l，d的式子表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 抛物线y=-(x-2)2+3的顶点坐标是___________. 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 13. 一个不透明袋子中有个红球、个紫球、个黄球和个绿球，这些球除颜色外无其它差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，某色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是__________色． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在双曲线上，顶点在轴上，若菱形的面积为6，则__________． 15. 如图，在边长为4的正方形中，点为边上一动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为__________． 16. 如图，为的直径，点为上一动点，的平分线与的平分线交于点，点E、F均在上，当点从点运动到点（仅运动一个半圆）时，记点运动路径长为，点运动路径长为，则的值为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解方程：． 18. 如图，已知，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知点在的边上，，． （1）尺规作图：求作，使得A，C，D三点在上（保留痕迹，不写作法）； （2）判断直线和的位置关系并证明． 21. 2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． （2）若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 22. 今年体育中考，某地区增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数（人）与时间（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示） 时间（分钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9～15 人数（人） 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810 （1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出与之间的函数关系式； （2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？ 23. 活动一：某数学兴趣小组在研究“黄金比例与黄金矩形”，阅读课本时发现可以通过折叠得到黄金矩形．请根据每一步的操作完成以下填空．（假设原矩形纸片的宽为） ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则______； ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则_______； ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则_______； ④展平纸片，按照所得到的点D折出，则_______，我们将这个比值称为黄金比，将宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形，如图4矩形就是一个黄金矩形． 活动二：类似的，我们将底与腰的比等于黄金比的等腰三角形称为黄金三角形． 如图，已知线段a，请你根据以下步骤作出以为腰长的黄金三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 步骤一：作一条线段，使得的长度等于的腰长； 步骤二：作一条线段，使得的长度等于的底边长； 步骤三：作黄金三角形． 24. 如图，内接于，，点是弧上的动点，是沿直线翻折得到的，的对应点是点，于点，交延长线于点，连接． （1）求证：点B，D，E三点共线； （2）当，时，求线段的长； （3）求证：． 25. 如图，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图1，连接，点在线段上，若的面积为5，求点的坐标； （3）如图2，点在对称轴右侧的抛物线上，非平行轴的直线与抛物线有唯一公共点．平移直线，使其经过点，与抛物线交于M，N两点，连接交于点E，Q为的中点，连接，设点的横坐标为，若的面积为2，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门市思明区厦门外国语学校瑞景分校2025-2026学年上学期九年级期末模拟数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡． 2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 3.答题卷使用0.5mm黑色水笔作答，作图题使用2B铅笔或0.5mm黑色水笔作答． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 2. 反比例函数的图象在（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据反比例函数中的符号判断图象所在象限． 由可知，反比例函数图象在第二、四象限，即可求解． 【详解】解：根据反比例函数图象的特征，， ∴图象位于第二、四象限， 故选：C． 3. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 任意画一个圆，它是中心对称图形 C. 从只有白球的袋子中摸出黑球 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查必然事件的定义，即在一定条件下必然发生的事件．根据各选项的事件性质判断即可． 【详解】解：∵必然事件是指一定会发生的事件． A、投掷硬币可能正面或反面向上，是随机事件； B、圆总是关于圆心对称，是中心对称图形，是必然事件； C、袋中只有白球，摸出黑球是不可能事件； D、射击可能命中或脱靶，是随机事件． 故选：B． 4. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 5. 已知点在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数值的大小比较．通过将点的横坐标代入抛物线解析式，直接计算纵坐标值，并比较大小即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴，， ∴． 故选：A 6. 如图，直线与双曲线相交于两点，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，先求出反比例函数解析式，再联立解方程即可． 【详解】解：把代入得，解得， ∴双曲线的解析式为， 联立，解得或， ∴点坐标为 故选：D． 7. 半径为的正六边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，连接正六边形的中心与各个顶点，正六边形被半径分成六个全等的正三角形．利用正三角形的性质分析． 【详解】解：连接， 正六边形的中心角， ∴是正三角形； ∵正六边形的半径是， ∴， ∴， ∴正六边形的周长是， 故选： C． 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程有实数根的条件：二次项系数不为零且判别式非负，列不等式求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 其中， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 9. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，建立如图所示的平面直角坐标系，得水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式是，则水流喷出的最大高度为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把二次函数解析式化为顶点式，顶点的纵坐标即为水流喷出的最大高度，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流喷出的最大高度是（m）， 故选：A． 10. 中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），记该邮票的“上圆弧”的长为，“直边长”为，“下圆弧”的长为，则可用含l，d的式子表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据有24枚邮票可得每个扇环所在扇形的圆心角为，设“下圆弧”所在圆的半径为，根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：由于一共有24枚邮票， 则每个扇环所在扇形的圆心角为， 设“下圆弧”所在圆的半径为， 则“上圆弧”的长， 即， “下圆弧”的长， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 抛物线y=-(x-2)2+3的顶点坐标是___________. 【答案】(2,3) 【解析】 【分析】已知抛物线为顶点式，根据顶点式与顶点坐标的关系求解． 【详解】∵为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知， ∴抛物线的顶点坐标为(2,3). 故答案为(2,3). 【点睛】考查二次函数的性质，掌握的顶点坐标为是解题的关键. 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 13. 一个不透明袋子中有个红球、个紫球、个黄球和个绿球，这些球除颜色外无其它差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，某色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是__________色． 【答案】黄 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键． 用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：观察统计图可知，该球的频率稳定在左右，所以抽到该球的概率为， ∵一共有个球， 抽到红球的概率为：， 抽到紫球的概率为：， 抽到黄球的概率为：， 抽到绿球的概率为：， ∴该球的颜色最有可能是黄色． 故答案为：黄． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在双曲线上，顶点在轴上，若菱形的面积为6，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的几何意义，连接交于点，由菱形的性质可得，，，从而得出菱形的面积，再由反比例函数的几何意义得出，结合题意得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接交于点， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴菱形的面积， ∵菱形的顶点在双曲线上， ∴， ∵菱形的面积为6， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在边长为4的正方形中，点为边上一动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 过点E作于点H，连接，根据正方形的性质得到、、，进而得到，根据平行线分线段成比例得到，进而得到，由折叠的性质可得，进而得到是等边三角形，则，根据勾股定理得到，据此解答即可． 【详解】解：如图，过点E作于点H，连接， 四边形是正方形 、、 点是的中点， 垂直平分 由折叠的性质得 是等边三角形 ， 即 ， 故答案为：． 16. 如图，为的直径，点为上一动点，的平分线与的平分线交于点，点E、F均在上，当点从点运动到点（仅运动一个半圆）时，记点运动路径长为，点运动路径长为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于点M，以点E为圆心，以为半径作，点N是上的一点，且与点D在的两侧，连接， ，连接，得出点在的上，即当点从点向点运动时，点的运动路径长是上的的长，点的运动路径长是上的的长，设的半径为，则，由勾股定理可得，求出，，即可得出结果． 【详解】解：连接并延长交于点M，以点E为圆心，以为半径作，点N是上的一点，且与点D在的两侧，连接， ，连接，如图所示: 设的半径为R， ∵是的直径， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，点C在上，根据垂径定理得：， ∴， ∴是直角三角形， 由勾股定理得：， ∵是的平分线，且与相交于点D， ∴是的平分线，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴点D在上， ∴点D在的弧上运动， 当点B于点A重合时，点D与点A重合，点F与点M重合，当点B与点C重合时，点D，F均与点C重合， ∴点D运动的路径的长是上的的长，点F运动的路径长是上的长， ∴点D运动的路径的长， 点F运动的路径的长， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、角平分线的定义、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， ∴，． 18. 如图，已知，，．求证：． 【答案】 证明： 在和中 ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 易得到，根据的判定方法证得，根据全等三角形的性质得到． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先计算括号内分式的计算，然后将除法化为乘法计算，直至化为最简分式，最后代入并分母有理化即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，已知点在的边上，，． （1）尺规作图：求作，使得A，C，D三点在上（保留痕迹，不写作法）； （2）判断直线和的位置关系并证明． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 与相切， 证明：连接，如图： 与相切． 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、切线的判定定理，线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据得到，作出以为直径的圆O，的垂直平分线与的交点即为圆心； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到，进而得到，根据垂线的性质得到，进而得到，从而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． （2）若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 【答案】（1）40，， 补全条形统计图如下： （2） 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，准确理解题意是解题的关键． （1）先根据D组的人数和百分比求出抽查的总人数，再利用乘以组的的百分比即可求出扇形统计图中的圆心角度数，再求出C组的人数并补全统计图即可； （2）画出树状图或列表法得到所有等可能情况，用概率公式求出答案即可． 【小问1详解】 解：这次抽查的志愿者共有：（人）， 扇形统计图中的圆心角度数是， C组的人数为（人）， 故答案为：40， 【小问2详解】 解：设2名男志愿者分别记作、，2名女志愿者分别记作、 根据题意可以画出如下的树状图 列表法如下图 由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2名女志愿者担任组长的是和的情况有两种. 22. 今年体育中考，某地区增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数（人）与时间（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示） 时间（分钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9～15 人数（人） 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810 （1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出与之间的函数关系式； （2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？ 【答案】（1）y＝；（2）排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟． 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，利用待定系数法可求解析式； （2）设第x分钟时的排队人数为w人，由二次函数的性质和一次函数的性质可求当x＝7时，w的最大值＝490，当9＜x≤15时，210≤w＜450，可得排队人数最多时是490人，由全部考生都完成体温检测时间×每分钟检测的人数＝总人数，可求解； 【详解】解：（1）由表格中数据的变化趋势可知， ①当0≤x≤9时，y是x的二次函数， ∵当x＝0时，y＝0， ∴二次函数的关系式可设为：y＝ax2＋bx， 由题意可得：，解得：， ∴二次函数关系式为：y＝−10x2＋180x， ②当9＜x≤15时，y＝810， ∴y与x之间的函数关系式为：y＝； （2）设第x分钟时的排队人数为w人， 由题意可得：w＝y−40x＝， ①当0≤x≤9时，w＝−10x2＋140x＝−10（x−7）2＋490， ∴当x＝7时，w的最大值＝490， ②当9＜x≤15时，w＝810−40x，w随x的增大而减小， ∴210≤w＜450， ∴排队人数最多时是490人， 要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810−40x＝0， 解得：x＝20.25， 答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键． 23. 活动一：某数学兴趣小组在研究“黄金比例与黄金矩形”，阅读课本时发现可以通过折叠得到黄金矩形．请根据每一步的操作完成以下填空．（假设原矩形纸片的宽为） ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则______； ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则_______； ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则_______； ④展平纸片，按照所得到的点D折出，则_______，我们将这个比值称为黄金比，将宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形，如图4矩形就是一个黄金矩形． 活动二：类似的，我们将底与腰的比等于黄金比的等腰三角形称为黄金三角形． 如图，已知线段a，请你根据以下步骤作出以为腰长的黄金三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 步骤一：作一条线段，使得的长度等于的腰长； 步骤二：作一条线段，使得的长度等于的底边长； 步骤三：作黄金三角形． 【答案】（1）活动一：①2；②1；③；④； （2）步骤一：作一条线段，使得的长度为， 步骤二：1．过点H作于点H， 2．在上截取，连接， 3．在上截取， 4．以点G为圆心，以为半径画弧交于点M， 则点M为的黄金分割点，的长度等于，则的长度等于底边的长度，即，如图： 步骤三：作，作线段，分别以为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，如图， 则为黄金三角形． 【解析】 【分析】活动一：利用折叠的性质和勾股定理解答即可； 活动二：利用作一条线段等于已知线段的方法，黄金分割的作法和公理解答即可． 【详解】解：活动一： ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则； ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则； ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则； ④展平纸片，按照所得到的点D折出，，则； 活动二： 略 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，黄金分割的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，基本作图，本题是操作性题 目，熟练掌握基本作图的知识和折叠的性质是解题的关键． 24. 如图，内接于，，点是弧上的动点，是沿直线翻折得到的，的对应点是点，于点，交延长线于点，连接． （1）求证：点B，D，E三点共线； （2）当，时，求线段的长； （3）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 是沿直线翻折得到的， ， ， ， 点B，D，E三点共线； （2） （3） 证明：过点D作于点F， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 分两种情况讨论： 当在的右侧，点C在线段上，如图： ， ； 当在的左侧，点C在线段的延长线上，过点A作于点，如图： 点F在线段上，， ， ， 综上所述，， 由折叠的性质得，， ， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，由圆周角定理得到，进而得到，由翻折的性质得，根据圆内接四边形的性质得到，进而得到，从而得到结论； （2）易证得，进而得到，则，易证得是等边三角形，由折叠的性质得，在中，根据勾股定理求解即可； （3）分情况讨论，当在的右侧，点C在线段上或当在的左侧，点C在线段的延长线上时，根据勾股定理易得到，由折叠的性质得，进而得到，即，根据勾股定理易得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 在中，， ， ， ， ， 、， ， 是等边三角形， ， 由折叠的性质得， 在中，由勾股定理得， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查圆周角定理、折叠的性质、圆内接四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 25. 如图，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图1，连接，点在线段上，若的面积为5，求点的坐标； （3）如图2，点在对称轴右侧的抛物线上，非平行轴的直线与抛物线有唯一公共点．平移直线，使其经过点，与抛物线交于M，N两点，连接交于点E，Q为的中点，连接，设点的横坐标为，若的面积为2，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将、代入抛物线，求出点A，B，C的坐标即可； （2）过点作轴于点G，利用待定系数法求出直线的解析式为，设点，则，再利用求解即可； （3）抛物线对称轴为，设点坐标为，其中，直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式为，将直线与抛物线解析式联立，结合直线与抛物线有唯一公共点，求出直线的解析式为；进而求出直线的解析式为，利用根据一元二次方程根与系数的关系求出点的坐标，再次利用待定系数法求出直线的解析式为，将直线的解析式与直线联立求出点的坐标，最后利用的面积求出的值． 【小问1详解】 解：将代入得：， 则点， 将代入得 解得或， 则点、； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点G，连接， 设直线的解析式为， 将、代入得 解得 则直线的解析式为， 设点，则 ， 即， 解得， 当时，， 则点； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为， 设点坐标为，其中，直线的解析式为 由于直线与抛物线有唯一公共点， 则， 解得， 则直线的解析式为 联立 整理得， 判别式， 解得， 则， 因此，直线的解析式为； 设直线平移的直线的解析式为， 将代入得：， 则直线的解析式为， 联立得 ， 设点、， 由根与系数关系得：， 由于Q为的中点， 则点的横坐标为， 将代入得： ， 则点， 设直线的解析式为， 将、代入得： ， 解得， 则直线的解析式为， 联立得 ， 解得， 由于， 则， 将代入得：， 则点， 将代入直线的解析式得： ， 解得， 则直线与轴的交点横坐标为， ， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， 因此，的值为． 【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数与一次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握利用待定系数法求解析式，二次函数的图像性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $