海南省海南中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

海南中学2025-2026学年度第一学期期末考试 高一数学试题 本试卷分第卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共19小题，共150 分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 第1卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.sin330°=( B.3 2 c 2“0为锐角是a<受的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.婴得到函数y=sm2x-孕的图象，只需将y=m2x的图象（人 A.向右平移2个单位 6 B。向右平移号个单位 C.向左平移个单位 6 D。向左平移写个单位 4.若sinOcos0<0,且sin0-cos0>0,则0是( A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 5.已知P(1,3)为角a终边上一点，则2sina-cosa sina+2cosa =() A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知a=e1,b=n。,c=sim2026,则a,b,c的大小关系是() 3 A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b 7.已知函数f(x)= logx,0<x≤1 a-2,x>1 a>0且a≠1)的值域为R,则实数a的取值范围是() A.(2,3 B.(2,4 C.,2] D.1,3J 试卷第1页，共4页 8.若函数f(x)=4 sinoxsin ar+写引}-1a>0在(Q,2m)上有且仅有三个等点。则实数0的 取值范围为()· A(品 (品 1319 C.2424) D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 ?.下列函数，在定义城内既是奇函数又在区间Q)上单调递增的是() A.y=sin2x B.f(x)=x+x C./(x)=In2-x 1+ D.f(x)=e*-e* 10.已知函数f()=4 sin o+)>00>0)的部分图象如图所示，则（力 A.A=22 YA B.最小正周期为π 7π C.0=1 D.（管0)是/（的图象的对称中心 √2 11.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f1+x)为偶函数，且当0<x≤1时，f(x)=4“-1, 则() A.f(x)的周期为4 B.8(x)=f()+x-1的所有零点之和为14 C.()sin受20 D.f(1)+f(2)+…+f(2026)=0 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知圆心角为1弧度的扇形的面积为8，则该扇形的半径为 13已知函数/八)-5m2x+牙引xe,则f)的单调道增区间是 3,2x2者关于的方程了闭-2侧因+m-0有6个 同的实数解，则实数m的取值范围是 试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤， 15.(13分)已知a∈(0，n),sina-cosa=5 (I)求sinacosa的值： (2)求tana的值 3)若Be(0,经，且cosB=3 10 ,求tan(a+)的值， 16.(15分)已知函数∫(x)对于任意实数xy∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)-2,且 f(2)=4. (1)求f(1)的值； (2)令g(x)=f(x)-2,求证：函数g(x)为奇函数； (3)求f(-2026)+f(-2025)+…+f(-1)+f(0)+f()+…+f(2025)+f(2026)的值. 17.(15分)某游乐园计划推出“畅游欢乐季”活动，需要为每位游客准备一份物资。为避 免物资浪费或不足，运营团队需要提前规划每月物资储备。经统计，游乐园的游客人数每月 呈周期性变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，游客人数基本相同； ②2月份游客人数最少，8月份游客人数最多，相差约400人； ③2月份游客约为100人，随后逐月增加直到8月份达到最多， (1)若一年中游客人数与月份之间的关系为f(x)=Asin(ox+p)+B(A>0,0>0,pKπ)， xeN'且xs12.试求出函数f(x)的解析式： (2)请问哪几个月份要准备不少于400份的物资？ 试卷第3页，共4页 18.(17分）已知函数1)=2cos(-引 (1)求∫(x)图象的对称轴方程： (2)若将函数f(x)的图象上各点向左平移”个单位后得到函数gx)的图象，记函数 2 h(x)=f(x)g(x) (i)求h(x)的值域； 9,6 (i)若h()=-4 π7π (12'12 求tan2x,的值. 19.(17分)对于函数f(x),若存在实数k,使得等式f(x)f(2-x)=k对定义域中每一个 实数x都成立，则称函数∫(x)为L(k)型函数. (I)若函数f(x)=a(a>0且a≠1)是L(16)型函数，求a的值： (2)已知函数g(x)的定义域为[-2,4，g(x)恒大于0，且g(x)是L(4)型函数，当x∈(1,4时， g(x)=-(log,x)'+m.log2 x+2. ①若2-2)-片*8()的解折式： ②若g(x)≥1对任意的x∈[-2,4]恒成立，求m的取值范围. 试卷第4页，共4页海南中学2025-2026学年度第一学期期末考试 高一数学（全解全析) 一、单选题 1.sin330°=(). A.3 B.、V3 2 2 1 【详解】根据sin(360°-a)=-sina可得sin330°=sim(360°-30)=-sin30°=- 2 ,故选：C 2.“a为锐角是“a<匹的() 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【详解】若口为能角，则0<a<分而a<子，则a可以为能角，也可以为零角，还可以为负 角，所以a为锐角是“a<匹的充分而不必要条件.故选：A 3.要得到函数y=sim(2x-)的图象，只需将y=si2x的图象() 3 A.向右平移亚个单位 B.向右平移个单位 6 3 C.向左平移工个单位 6 D.向左平移写个单位 【详解】由y=n(2x-孕=m26x-7. 将y=sim2x向右平移刀个单位即可得到 6 6 y=sin(2x-.故选：A. 3 4.若sinecos(0<0,且sin0-cos0>0,则8是(). A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 sinecos<0 sine>0 【详解】由 sine-cos>0 得 C0s0<0’ 所以角日是第二象限角.故选：B 5.已知P1,3)为角&终边上一点，则2si血a,csg=(人 sin a+2cosa A.1 B.2 C.3 D.4 【详解】PL3)为角u终边上一点，放tmau=3,放2 sincos=2ama-1=1.故选：A sina+2cosa tana+2 5 1 6.已知a=el,b=h,c=sinl,则a,b,c的大小关系是(). A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b 试卷第1页，共10页 【详解】可知a=e4>e=1,b=n<n=-1,c=sin1e[-1,],放a>c>b,故选D. 3 log5x,0<x≤1 7.已知函数f(x)= a-2,x>1 (a>0且a≠1)的值域为R,则实数a的取值范围是(). A.(2,3] B.(2,4] c.(1,2] D.(1,3] 【详解】因y=log,x在(o,]上单调递增，故logx∈(-o,0] 若0<a<1,则y=d-2在(1，+o)上单调递减， 因d∈(0，a),故a-2∈(-2，a-2),此时不满足f(x)值域为R; 若a>1,则y=d-2在(1，+o)上单调递增， 因d∈(a,+o),故a-2∈(a-2,+o),若f(x)值域为R,则a-2≤0，即1<a≤2， 综上，实数α的取值范围是(1,2]故选：C 8.若函数f(x)=4 sinaxsin aR+3 1(o>0)在(0,2π)上有且仅有三个零点，则实数o的取 值范围为() 75 757 1319 (13197 A 126 B 12'6」 24’24 D. 24'24 【详解】f(x)=4 Isinax sinan+3 -1=4sinaxx 2sin an+ cos axx =2sin'ax+2v3 sin ax cos ax-1=3sin 2ax-cos2ax 3 =2 2 sin 2ax- -2sin 2ox 由r∈(0,2m可得：2or-正∈-亚40m- 6(6 6/, 函数f(d)=4 sinansin+3一1(@>0)在(0,2)上有且仅有三个零点， 则2π<4om-元≤3元，解得： 13 19 6 24w≤2，放透：D 二、多选题 9.下列函数，在定义域内既是奇函数又在区间0，》 上单调递增的是(). A.y=sin 2x B.f(x)=x3+x C.f(x)=In2-x D.f(x)=e'-e* 1+x 【详解】对于A.定义域：R,由f(-x)=sin(-2x)=-sin2x=-f(x),是奇函数，且在区间 试卷第2页，共10页 （0习)上单调递增，A对 对于B,f(x)=x3+x,定义域：R,由f(-x)=(x)3+(-x)=-x3-x=-（x3+x)=-f(x), 是奇函数，由y=x,y=x都在R上递增：所以f(x)=x3+x在R上递增，故B正确； 对于C.由 2->0得-1<x<2,故f)=n2二的定义域为(-12)，不关于原点对称， x+1 1+ 故C错误， 对于D.定义域：R,由f(-x)=e-e=-(e-e)=-f(x),是奇函数。 由y=e,y=-e都在R上递增，所以f(x)=e-e在R上严格递增，故D正确： 故选ABD. 10已知函数)=Asmm+写4>0，o>0)的部分图象如图所示。则() A.A=22 VA B.最小正周期为π 7π C.0=1 D.（0是四的图象的对称中心 【详解】由题意及图得.在()=Asm欧+骨到引4>0o>0)中， 4网5，收A·号=晋背 ，T=元，-2-2-2，故B正确，C错。 um2引m0. 一（君0是f(倒的图象的对称中心，D正确：故选：D 11.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(1+x)为偶函数，且当0<x≤1时，f(x)=4-1, 则() A.f(x)的周期为4 B.)=()+号x-1的所有零点之和为14 c.)sm受20 D.f(1)+f(2)+…+f(2026)=0 【详解】对于A,f(1+x)为偶函数，f(1-x)=f(1+x), ∴f(x+2)=f(-x),且函数f(x)的图象关于直线x=1对称， 试卷第3页，共10页 又f(x)是定义在R上的奇函数，f(-x)=-f(x),f(x+2)=-f(x), f(x+4)=-∫(x+2)=f(x),且函数f(x)的图象关于点(2,0)对称， ∴.函数f(x)的周期为4，故A正确； 对于B,函数g(x)的零点可看作y=f(x)与y=- +1的图象交点的横坐标， 1 作出y=f(x)与y= 2+1的图象， x+1 y=fx) 观察图象知，直线y= 2+1与=f()的图象共有7个交点， 且它们关于点(2,0)成中心对称，∴所有零点之和为3×4+2=14，故B正确； 对于C,结合己有分析以及对称性可知当0≤x≤2时，f(x)≥0，sim≥0，f(9)与y=sim 2 均为奇函数，则当-2<x<0时，)≤0m受≤0，当-2sx<2时，f)m受之≥0， 2 又f(x)与y=sim的周期都为4，f(x)sim≥0在R上成立，故c正确， 2 对于D,当0<x≤1时，f(x)=4-1,∴f1)=3, 而f(2)=-f(0)=0,f(3)=-f(1)=-3,f(4)=f(0)=0, ∴f(0)+f(2)++f(2026)=506[f()+f(2)+f(3)+f(4)]+f1)+f(2)=3,故D错误： 故选：ABC 三、填空题 12.己知圆心角为1弧度的扇形的面积为8，则该扇形的半径为 【详解】设扇形的半径为”，弧长为l,圆心角为α， 因为=h=a,又S=8,a=1,所以号r2=8,解得r=4.故答案为：4 2 2 13.已知函数f(x)=5sin2x+ +4reR,则f(x)的单调递增区间是 【详解】由- +2kπS2x+正s正+2kπ(k∈Z),得-3+mSx≤C+(keZ), 2 4 2 8 8 试卷第4页，共10页 又因为x∈R,所以f(x)的单调递增区间为 ++e 故答案为： 【说明】题目来源于课本P207练习题第5题，略有改动。 5.求函数y=3sin(2x+),x∈[0，]的单调递减区间。 第五章三角函数207 2-2,x≤2 4.已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)-2f(x)+=0有6个不同的 1og2(x-2),x>2 实数解，则实数m的取值范围是 【详解】作出函数f(x)的草图： 由图可知：当t<0时，方程f(x)=t无解： iy=f(x) 当t=0时，方程∫(x)=t有2个不同的实数解： 当0<t<2时，方程f(x)=t有4个不同的实数解： 2 当t=2时，方程f(x)=t有3个不同的实数解： 当t>2时，方程∫(x)=t有2个不同的实数解。 若关于x的方程f(x)-2f(x)+m=0有6个不同的实数解，则只有方程t2-2t+m=0在 (0,2)和(2，+∞)上分别有一个实数解的情况才符合. g(0)>0 >0 4 设g()=t2-2t+m所以 (8(2)<0'即 -4m+m<0→m>3 故答案为： 3+o0 【一个根为0和一个根在(0,2)时，看似符合条件，代入t=0,此时8(0)==0，原方程 f(x)-2时(x)+m=0转化成f(x)=0,不会有一个根为0和一个根在(0,2)，舍去.】 四、解答题 1 15.(13分)已知u∈(0，x),sina-cosa= (1)求sinacosa的值： (2)求tana的值. 试卷第5页，共10页 )若Be0孕，且cosB-3,求m(a+A)的值 10 、1 【详解】(1)由sina-cosa=5' 1 两边平方可得：sin2a-2 sin acosa+cos2a= 25 所以sin a cosa= 12 25 (2)由(1)得sinacosa= 25,因为a∈(0，)，则0<a<, 1 2 sina+cos=(sina+cosa)=+2sinacosa= 7 sina-cosa=5 4 3 由 得：s血a=5,cosx=3,所以tam sina 4 sin a+cosa=- C0s&31 (3)因为cosB= 3V10 B∈0， 10 (2 所以simB=V-cosp=i0 所以tanB=sinE-l 10 Cos B 3' 41 5 tan a+tan B 所以tan(o+B)= 33 1-tana tan B =3 415 1- 339 【说明】改编自P254习题复习参考题5综合运用的第11题第(3)问，考查同角三角函数基 本关系、三角函数符号判断、两角和的正切公式相关知识，通过增设条件，将单一的公式应用 题升级为包含条件分析、逻辑推理和运算求解的综合题，两问层层递进。 4 1l.(1)已知a,B都是锐角，sina= 5 cosa+)=3:求P的值： ②已知co(受-)=寻m(+=-最ae(?),e(o,》,求ina+ 的值 ③)已知a,月都是锐角，ama=分如月=罗，求ama十2p的值 16.(15分)已知函数f(x)对于任意实数x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)-2,且f(2)=4. (1)求∫(1)的值： (2)令g(x)=∫(x)-2,求证函数g(x)为奇函数； (3)求f(-2026)+f(-2025)+…+f(-1)+f(0)+f(但)+…+f(2025)+f(2026)的值. 【详解】(1)当x=y=1时，f(1+1)=f(1)+f(1)-2=4,则f(1)=3: (2)当x=y=0时，f(0+0)=f(0)+f(0)-2,则f(0)=2: 试卷第6页，共10页 设y=-x,则f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)-2=2,则f(x)+f(-x)=4, 则f(-x)-2=-[f(x)-2],即g(-x)=-g(x),即函数g(x)为奇函数. (3)由(2)知，g(x)=(x)-2为奇函数，则 f(-2026)+f(-2025)++f(-1)+f(0)+f(1)+.+f(2025)+f(2026) =g(-2026)+8(-2025)+…+g(-1)+g(0)+g(1)+…+g(2025)+g(2026)+4053×2=8106 17.（15分)某游乐园计划推出“畅游欢乐季”活动，需要为每位游客准备一份物资。为避免 物资浪费或不足，运营团队需要提前规划每月物资储备。经统计，游乐园的游客人数每月呈周 期性变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，游客人数基本相同： ②2月份游客人数最少，8月份游客人数最多，相差约400人： ③2月份游客约为100人，随后逐月增加直到8月份达到最多. (1)若一年中游客人数与月份之间的关系为f(x)=Asin(@x+p)+B(A>0,o>0,|pk), x∈W+且x≤12.试求出函数f(x)的解析式： (2)请问哪几个月份要准备不少于400份的物资？ 【详解】(1)因为f(x)=Asin(x+p+B(A>0,w>0,|pK),x∈N且x≤12 由条件①，可知这个函数的周期是12，即T=2π=12，故0= 6 由②③可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(2)=100,f(8)=500, -A+B=100 「A=200 则有 A+B=500,解得1B=300 根据分析可知，当x=2时，y=f(x)取最小值，当x=8时，y=f(w)取最大值. 故2×君+-1，且m8君9-1. p=-1 答+2k元k∈乙，又因为pK元，故 5π 6 所以函数解析式为：j=20simx-）+300,eN且x<12 (6 6 (2)令200sim亚x-5弧 +300≥400， 6”6 化简得sim2x-5π1 (6621 即2kr+E≤二x-5红≤2kx+5红k∈Z), 66 6 6 试卷第7页，共10页 解得12k+6≤x≤12k+10(k∈Z). 因为1≤x≤12，且x∈N,所以x=678910, 即在6月、7月、8月、9月、10月5个月份要准备不少于400份的物资. 1817分)已知函数f)=2x-习 (1)求f(x)图象的对称轴方程： (②)若将函数f(x)的图象上各点向左平移严个单位后得到函数g(x)的图象，记函数 h(x)=f(x).g(x). (i)求h(x)的值域： ()若h()=- π7π ,12'12 2 , 求tan2x的值， 【详解】I图为网=2a-写引 令x-号=，ke五，解得-子+c,kc2 所以f()图象的对称轴方程是x=匹+k,kEZ. a由题.0=7+of-子引-2m引 于起ow-o0-dfr+-4日et9mr9asr 4sm:'s-fcexm-2 因为-1sco2-s1,所以-2s2o（2-)s2。 即h(x)的值域是[-2,2]. 国若a,2哥-29 7 因为气2)，所以2x0网， π7元 21 cos 2xo- 6】 试卷第8页，共10页 所以tan2x。 +π 6 +tan I 6 2 3 √3 66 91 1-tan 2xo- 6 6 1 2 3 即tam2%=-V 9 19.(17分)对于函数∫(x),若存在实数k,使得等式f(x)f(2-x)=k对定义域中每一个实 数x都成立，则称函数f(x)为L()型函数， (1)若函数f(x)=d(a>0且a≠1)是L(16)型函数，求a的值 (2)已知函数8(x)的定义域为[-2,4]，8(x)恒大于0，且8(x)是L(4)型函数，当x∈(1,4]时， 8(x)=-(1og2x)2+-log2x+2. ①若8-2回-片求g)的解新式： ②若g(x)≥1对任意的x∈[-2,4]恒成立，求m的取值范围. 【详解】(1)因为函数f(x)=d(a>0且a≠1)是L(16)型函数， 所以f(x)f(2-x)=16对定义域中每一个实数x都成立，即aa2x=16, 又a>0且a≠1，所以a=4: (2)①因为g(x)是L(4)型函数，所以g(x)g(2-x)=4, 当x=1时，g(1)g(1)=4,又g(x)>0,所以g(1)=2: 令x=2-25,得g2-22)g2-(2-22)=4,所以22)=4=1 8(2-2W24, 又当x∈(1,4]时，g(x)=-(1og2x)'+mlog,x+2, 所以g(2)-[lg:22]+m1og,(2w)+2=-9+m 2 厂44，解得m=2, 所以当xe(1,4]时，g(x)=-(1og2x)+2log2x+2: 4 当xe2时，2-xEL4,所以gg,2-2e,2-r2 试卷第9页，共10页 -(1og2x)2+2log2x+2,1<x≤4， 综上，8(x)=2x=1, ,-2≤x<1. -[log,(2-x)]+2log22-x+2 ②因为8(x)是L(4)型函数，所以g(x)g(2-x)=4, 当x=1时，g(1)g(1)=4,又g(x)>0,所以g(1)=2,满足g(x)≥1： 当x∈(1,4]时，g(x)=-(1og2x)2+-log2x+2≥1恒成立， 令1og2x=1,则当t∈(0,2]时，-t2+M+2≥1恒成立，所以m≥1-恒成立， 而函数=1在02止单时递城，则产号当且仅当=2时以等号，所以 2: 当2时，2-re04,则8(0g2--[1g,2-灯+mle,2-x)2 4 4 由g()≥1，得0<-[log2(2-x]°+mlog22-x)+2≤4， 令l0g2(2-x)=u,则当u∈(0,2]时，0<-2++2≤4， 又-r2+m+2≥1，则只需u∈(0,2]时，-+m+2≤4恒成立，即m≤2+恒成立， 又1+2≥242-25，当且仅当1=V2时取等号，所以m≤2N2, uu 综上，m俏取维范国足[32同 试卷第10页，共10页