河北省NT20（石家庄一中,张家口一中,邯郸一中,唐山一中,保定一中，魏县高中等）2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

高一年级期末质量检测 数学参考答案 1.【答案】B 【解析】对于①，二是有理数，但不是整数，故①错误： 对于②，√5是无理数，不是有理数，故②正确： 对于③，0是自然数，则0N不成立，故③错误； 对于④，π是无理数，也是实数，故④正确：所以正确的个数为2故选：B 2.【答案】A 【解析】当a=1,b=-2时，ab=-2,故充分性成立；而当a=-1,b=2时也满足ab=-2,所以必 要性不成立.故选：A, 3.【答案】D 【解析】因为角的终边经过点P(-3,1),所以x=-3,y=1,r=√3)2+卫=o, 10=10.cosa-3310 所以sina=上=1=o ,=。=0则sina-3cosa=+3×A0=V10故选：D 10 10 4.【答案】C 【解析】由f(x)=a-b(a>0,a≠1)的图象可知0<a<1,由f(0)=1-b<0知b>1,所以函数 g()=(x-a(x+b)的两个零点分别在(0,1)和(-o,-1)上，开口向上.故选：C. 5.【答案】C 【解折】出aa+孕-解得ma=片所以o2a-aam产g国名故 cos2a+sin2 a 1+tan2 a 5 选：C 6.【答案】B 【解析】设4=1ogx,则2o8,-31g,x-2≤0等价于22-3-2≤0，解得-号s1s2, 而f()=log,log,3x=0og,x-0-og,x+0=log,2x-1=-1,当1=0时，f(x)有最小值-1，当1=2 时，f(x)有最大值3，所以最大值与最小值之和为2.故选：B 7.【答案】A 【解析】由题知f(x)=sin2r-5cos2=2sn2x-孕，将f()的图象向右平移pp>0)个单位长 度后所得图象的函数解析式为8(x)=2sim(2x-2p-),因为函数8(x)的图象关于y轴对称， 高一数学第1页 所以-2号如受Z,解行9=空音e2,因为90，所以当太=-1时，P的最小 值为T故选：A 12 8.【答案】D 【解析】因为存在实数t,使x2-2y+x+3y≤0成立，所以2xy≥x2+x+3y,因为x>0,y>0, 所以1≥++3y=+3有解，即2r≥++3，又因为+2y=1,所以x=1-2y,那么 x+1+3_1-2y+1+3-2+2+3-2+2+3x+20=5+2x+6y≥5+45，当且仅当 x=Vy,即x=25-3,y=2-5时等号成立，故2r≥5+45，即t的最小值为4W5+5故 、 选：D, 9.【答案】AB 【解析】由不等式的可加性，得a+c>b+c,故A正确： 由不等式的可乘性，得ac>bc,故B正确； 当a=1,b=-2时，a2<b2,故C错误： 当0<c<1时，函数y=c在R上单调递减，此时c<c,故D错误 故选：AB 10.【答案】BCD 【解析】对于A,当xe0,时，2x-工【匹及，此时函数f)=cos2x-先增后减，故 3 6 6’2 6 A错误： 对于B,f(x)图象的相邻两条对称轴间的距离为 号故B正确： 对于C,当[时，2x--5马，当2x-匹时，了有最小值5，当2x-0 22 6 66 66 6 时，)有最大值1，故fy在0，上的值域为 故C正确： 对于D,将f(x)的图象向左平移”个单位后所得图象的函数解析式为 6 y=c0s(2x+)=Sin(2r+匹+)=sin(2x+2),故D正确故选：BCD, 6 62 3 11.【答案】ACD 【解析】因为y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称， 高一数学第2页 将y=f(x+1)的图象向右平移1个单位得到y=f(x)的图象， 所以y=f(x)的图象关于直线x=0对称，即f(x)是偶函数，f(-x)=f(x), f(x+2)+f(x)=f0),令x=-1,则fI)+f(-1)=f1), 由于f(仁1)=f),所以f(-1)=f)=0,由f(x+2)+f(x)=0,可得f(x+2)=-f(x),进而 f(x+4)=-fx+2)=fx),所以函数y=f()是周期为4的周期函数，故f(3)=f(-1)=0,故A正确， 对任意5,2∈[0,2]，当x≠x2时，都有xf()+x,f(x)>f(x)+f(x), 移项得到(x-x2)汇f(3)-f(x2】>0, 所以当-2>0，即x1>x时，f()-f(x2)>0, 所以y=f(x)在[0,2]上单调递增， f(5)=f),f(10)=f(2), 由于y=f(x)在[0,2]上单调递增，所以f(2)>f①)，即f(10)>f(5),故B错误， f(x+2)+f(x)=0,所以f(x+2)+f(-x)=0,所以f(x)的图象关于点1,0)对称， 所以f1-x)=-f1+x),设t=f1+x),则f1-x)=-t, 因为f(x)是偶函数，所以f()=f), 那么f(f1-x》=f(-)=f)=f(f0+x)》, 所以直线x=1是函数f(f(x)的一条对称轴，故C正确， 令g(x)=|x-2|f(x)-1=0,即川x-2|f(x)=1, 设h(x)=x-2,y=f(x),h(x)=x-2的图象关于x=2对称， y=f(x)是周期为4的偶函数，f()=f4+)=f(-),所以f()的图象也关于直线x=2对称， 由g(x)在区间[-10,14上有10个零点，得g(x)与x轴的10个交点两两关于直线x=2对称， 不妨设这10个零点分别为x,2,,X0,且x,<x2<<Xo,则+0=2，+=2，+=2， 2 2 2 +1=2,s+=2,所以x+x++5。=4×5=20,故D正确故选：ACD, 2 2 12.【答案】10 【解析】由题知f()=f(2)+1=f3)+2=f(4)+3=10.故答案为10. 13.【答案】-3 【解析】由f(x)=cos2x-3sinx+1=1-2sin2x-3sinx+1=-2sin2x-3sinx+2,令sinx=t,则te[-1,1], 所以g0)=-少-+21[1山，当1=时，f有最大值空，当1=1时，有最小值-3 故的值域为3爱 高一数学第3页 14.【答案】（号01（写成不等式也给分） 1(第一空给2分，第二空给3分) 【解析】f(w)= x2+2x-2,x≤1 In(x-1)l,x>1 当x≤1时，f(x)在(-o,-1)上为减函数，在[-1,1]上为增函数； 当x>1时，f(x)在1,2)上为减函数，在[2，+)上为增函数， 作出函数f(x)的图象如图所示： 3 2 -3 -2-10 123 x=1 设t=f(x),当t>1时，方程t=f(x)有3个解，当0<t≤1时，方程t=f()有4个解， 当t=0时，方程t=f(x)有3个解，当-3<t<0时，方程t=f(x)有2个解， 当t=-3时，方程t=f()有1个解，方程[f(-2a(x)-2a-1=0等价为t2-2at-2a-1=0,要 使关于x的方程[f(x)]-2af(x)-2a-1=0恰有6个不相等的实数根， 等价为方程t2-2t-2a-1=0有2个不同的根t=2a+1,t2=-1,而当t2=-1时，方程t=f(x) 有2个解，所以4-2a+1时，方程t=f)有4个解，所以0<2a+1s1,即得-，<a≤0所以a 2 的取值范围是(-)： 由图可知，ln(x,-1)=|ln(x。-1)川，所以-ln(x;-1)=ln(x6-1),即h(x-1)+ln(x。-1)=0,那么 (c-。-)=1,即+飞=5，即+=1.故答案为1 15.【解析】（1)由题知A={x1≤x≤4，B={xx<-1,或x≥3}，…2分 所以A∩B={x|3≤x≤4}；…4分 (2)由题知gB={x-1≤x<3},…6分 若对任意的x∈A,x∈CB恒成立，则A二CB,…7分 当A=⑦时，3+a<2-a,解a<-】 …9分 高一数学第4页 [2-a≤3+a 当A≠0时， 3+a<3, 解得-】5a<0,…1分 2-a2-1 综上可知a<0,即实数a的取值范围是(-0,0).（写成不等式也给分）…13分 16.【解析】(1)原式=1+。× 3x2+g3xg4-1+1+1=3.（每算对一项给两分)7分 23 Ig2 1g9 由于16题第(2)问的数据存在逻辑性问题，但有些学校进行了更正，有些学校未进行更正， 现制定两套评分细则，请老师们评分的时候费心看一下学生式子中写的是一 还是一 如果 3 3 是 请阅卷老师按评分标准（一）评分，如果写的是 请老师按评分标准（二）评分， 3 如果学生发现sin xcosx= 存在逻辑错误，写出sin2x= -1, 不成立，没有继续解题的 话，请给满分。给评分老师带来了不必要的麻烦，实在抱歉。 评分标准（一 (2) cos3 -x).sin(-x)-sinx.sinx 3 =Sin XCOSx 10分 tan(-x) -tan x 因为x∈(0，元)，所以sinx>0,cosx<0,那么sinx-cosx>0,.. .11分 35 (sinx-cosx)2=sin2x+cos2x-2sinxcosx=1+ .13分 2 故sinx-cosx V10 15分 2 评分标准（二） (2) c03 -x)·sin(元-x) -s1nx·S1nx 3 =sin xcosx= .10分 tan(-x) -tan x P 因为x∈(0，)，所以simx>0,cosx<0,那么sinx-cosx>0,.… ..11分 (sinx-cos x)2=sin2x+cos2x-2sinxcosx=1+ 37 441 13分 故simx-cosx= √万 2 15分 17.【解析】(1)因为40,5)，B(,-√3)在函数图象上且纵坐标互为相反数， 结合图象可知写号0，T 3 …2分 高一数学第5页 根据T=2 ,解得0=3.… …3分 将A(0,5)代入f(:)=2in(ox+p), 解得2血0=5，血p=,因为<，所以背， …5分 2 所以函数解析式为f(x)=2sim(3x+): …6分 （2》儿因-子m6x+曾+专0国m6x骨-言在到居有两个不相等钓实数便：名 当8≤x≤受时，s3x背 6 31 …7分 6 设u=3x+亚 5元11π L66 可知y=2sw在u∈5红，3如 6’2 上年润造说。在“[上单润选 ,…8分 所以mx孕-m6x+孕-号，且3x+ +3x+-3π，即5+5，- ,…10分 7π 3 3 5, 那么cos30-)-c0s-(5--c09675=606 …11分 因为sm(x+孕-子所以ea(6+-12n0x+孕-)。 …13分 所以o6+3=c0g65-子+利=-o6+3=号 3 9， 所以cos3）-号15分 18.【解析】(1)当30≤x≤60时，1w=(x-30)(-2x+160)-600=-2.x2+220.x-5400:…2分 当>60时，w=6K-30×180-)-600=1350-1800-5；5分 x-20 x-20 所以 2x2+220x-5400,30≤x≤60，.…7分 1= 18000 1350- x-20 -5x,x>60: (2)由（1)知，当30≤x≤60时，w=-2x2+220x-5400=-2(x-55)}+650 当x=55时，利润最大，此时利润是50元；…9分 当x>60时， w=1350-18000 5x=1250-[ 18000 18000 5(x-20)=650, x-20 x-2 +56x-201≤1250-2×X-20 高一数学第6页 当且仅当18005x-20,即x=80时，利润最大，此时利润是650元…15分 x-20 所以当销售单价为55元或80元时，该商店的日利润最大，此时日利润是650元…17分 19.【解析】(1)由题知，h(x)=af(x)+bg(x)=aln(e+1)+bx, 因为h(x)是偶函数，所以h(-x)=h(x), 即aln(e+l）-bx=an(e产+1）+bx,即alne+1+2bx=0,1… …2分 e*+1 又he+1-n(e+D=lne=t,可得(25+ar=0, …3分 e-x+1 e*+1 因为(2b+a)x=0对任意xeR成立，所以a=-2b,… …4分 又a-b=1,解得a三3，b,; …5分 (2)(i)因为h(x)=2x为f(x),g(x)的T(1,2)函数”， 所以f(x)+2g(x)=2①，所以f(-x)+2g()=2,…6分 因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 所以-f(x)+2g(x)=2②，…8分 联立①②，解得f)=(2-2)8)2+2): …9分 (i)p()=[f]-3g(x)=12-2-子2+2） ，…10分 令2+2=(t≥2)，且t=2x+2x在[0，+o)上单调递增， 所以)-2+2广-1+2）--山，又y---1在四上单调递增， 4 所以y=-子-1在[2四）上单调递增，所以p()在[0，+o)上单调递增，…12分 因为9(a2+3)≥m[1-k)x+2],2+3>0,(1-k)x+2>0, 所以ax2+3≥(1-k)x+2对任意x∈(1，+w恒成立， 那么2+(k-1)x+1≥0对任意x∈1，+w)恒成立， 所以(+)≥x-1,k≥-1 x2+x …l3分 1 令x-1=m,则x=m+1,0m>0,所以k之m+3m+2 m+2+3 又m+2+3≥22+3，当且仅当m=√万时等号成立， … …15分 m 高一数学第7页 所似8店a,则g6,所所是A87分 m 高一数学第8页高一年级期末质量检测 数学 考试说明： 1,本试卷共150分。考试时问120分钟， 2.访将各题答案填在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.下列关系中①∈乙，②厄EQ.③0EN,①x∈R,正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 2.“a=1,b=-2”是“ab=-2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若角a的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(一3,1)，则sina一3cosa= A.2 B.√6 C.22 D.√10 4.已知函数f(x)=a一b（a>0、且a≠1)的图象如右图所示， 则函数g(x)=(x一a)(x十b)的图象可能是 y=() C. 5.若anla+）- ,则cos2a= A.5 C.3 3 D 6. 已知x满足不等式2ogx)2-30g:x-2<0,则函数了z)=log:若·1og,3z的 最大值与最小值之和是 A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知函数f(x)=sin2x-5cos2x,将f(x)的图象向右平移g(p>0)个单位长度 后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于y轴对称，则”的最小值为 A. c D.3 高一数学第1页共4页 8.已知x>0,y>0,x+2y=1,若存在实数L,使x3一21.cy+x+3y≤0成立， 则（的最小值为 A. 4v2-5 B. 4√2+5 C 13-5 D. 45+5 2 2 2 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.已知a>b,c>0,且c≠1，则 A.a+c>b+c B.ac>bc C.a>b2 D.c“>cb 10.已知函数fx)=cos(2x-》,则 Afx)在0，]上单调递减 B.fx)图象的相邻两条对称轴间的距离为分 Cf在b.引上的值为-， D.将f(x)的图象向左平移石个单位所得图象的函数解析式为y=sin2x+红) 11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)十f(x)=f(1),若y=f(x+1)的 图象关于直线x=一1对称，且对任意x1,x2∈[0，]，当x1≠x2时，都有 x1f(x1)十x2f(x2)>x1f(x2)十x2f(x1),则下列说法正确的是 A.f(3)=0 B.f(5)>f(10) C.直线x=1是函数f(f(x))的一条对称轴 D.若g(x)=x一2f(x)-1在区间[-10,14幻上有10个零点，则所有零点 之和为20 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2x-1,x>3, 12.已知函数∫(x)= f(x+1)+1,x≤3 。则f(1)= 13.函数∫(x)=cos2x一3sinx+1的值域是 14.已知函数f(x)= r2+2x-2,x≤1：若关于x的方程fx]2-2afx)-2a-1=0 ln(x-1)|,x>l, 有6个不相等的实数根x1<x2<x3<x,<x5<x6,则实数a的取值范围是 1+1= x5工G 高一数学第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知集合A=(x|2-a≤x≤3+a},B=(xx<-1,或x≥3}. (1)当a=1时求A∩B: (2)若对任意的x∈A,x∈CRB恒成立，求实数a的取值范围. 16.(本小题满分15分) 1)求值：(-2.3°+0og,8)×图) +(1og23)×log4; cos-小·sin-) (2)已知 tan(-x) 、3 ,x∈(0，元)，求sinx-cosx的值. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=2sin(wx十p)w>0,|pl<)的部分图象如图所示，其中点 A0.3),B(ξ- (1)求∫(x)的解析式； (2②)若关于x的方程f)+号=0在后上有两个不相 等的实数根x1,x2,求cos3(x1一x?)的值. /3 高一数学第3页共4页 18.(本小题满分17分) 第25届冬季奥林匹克运动会，将于2026年2月6日至2月22日在意大利米兰 和科尔蒂纳丹佩佐举行.某商店计划出售该运动会吉祥物.假设该吉样物的日 销售量y（单位：个)与销售单价x(单位：元，x≥30)满足分段函数： [-2x+160,30≤x≤60， y=1800 已知每个吉样物的进货成本为30元，商店每日需 -20-5.x>60. 支付场地租金等固定成本600元.设该商店销售这款吉祥物的日利润为w(单 位：元). (1)写出日利润w(元)关于销售单价x的函数解析式（利润=销售收人一成本）： (2)当销售单价x为何值时，该商店的日利润最大？此时日利润是多少？ 19.(本小题满分17分) 若存在实数a,b使得h(x)=a∫(x)+bg(x),则称函数h(x)为f(x),g(x)的 “T(a,b)函数”. (1)设函数∫(x)=ln(e十1)，g(x)=x,若偶函数h(x)为∫(x),g(x)的 “T(a,b)函数”，且满足a一b=1,请求出此时a,b的值； (2)若h(x)=2为f(x),g(x)的“T(1,2)函数”，其中f(x)为奇函数， g(x)为偶函数 (i)求f(x),g(x)的解析式； (ii)设函数p(x)=[f(x)]2-3g(x)(x≥0).若0<k<1,且不等式 p(kx2+3)≥p[(1一k)x+2]对任意x∈(1，+∞)恒成立，求实数k的 最小值. 高一数学第4页共4页