上海市上海交通大学附属中学闵行分校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期 高一数学期末考试卷 (满分150分，120分钟完成。答案-一律写在答题纸上。) 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 1.集合A={x|x2=1},B={x|x+x=0),则A∩B= 2.不等式 - 2<0的解集是 3.已知a=2026°，若B与x的终边相同，且0°<B<360°，则阝= *4.若x>0,y>0且x+2y=2,则y的最大值 5.已知f(x)=ax225+bx23-x-3,且f(-3)=4,则f3)= 6.己知log35=m,log37=n,侧用m,n表示log359=--. 7.已知关于x的不等式-c+1≤0解集为②，则实数k的取值范围是 父2-x+2 *8.已知tana=2,cos2a+2+3 sina cosa= 9.如图，从半径为r的圆中剪下圆心角为心弧度，半径为r的扇形c AOB,此扇形的周长为1，剩余部分扇形的周长为1，若 1=3+元，则ax= 423+2π 10.“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方 程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设“G” 为一个非空集合，“*”为一种运算，如果同时满足下述条件： (1)对任意的a,b∈G,均有a*b∈G; (2)对任意的a,b,c∈G,均有(a*b)*c=a*(b*c): (3)存在e∈G使得，对任意的a∈G,都有a*e=e*a=a, (4)对任意的a∈G,存在b∈G,使得a*b=b*a=e: 则称(G,*)为一个群.下列叙述中，使得(G,*)构成群的是 ①G=Z,对任意的a,b∈G,a*b=&+b: ②G=N,对任意的a,b∈G,a*b=a如： ③G={-1,1}，对任意的a,b∈G,a*b=aw; ④G=R,对任意的a,b∈G,a*b=a+b+1. 2025-2026学年度第-学期高一数学期末考试卷 第1页共4页 11.已知对任意两个实数a,b,定义max{a,b}={”、. 已知函数y=f(x)是 定义装为R前音流且兰>0-m传-多·登2 若对任意 的x∈R,都有f(x-4)≤∫(x),则正实数1的取值范围是 12.一般地，若从任意三角形的三边分别向外作等 边三角形，则这一个等边三角形的中心连接起 来构成一个等边三角形，这个等边三角形称为 原三角形的外拿破仑三角形；若从任意三角形 的三边分别向内作等边三角形，则这三个等边 三角形的中心连接起来也构成一个等边三角 图 图2 形，这个等边三角形称为原三角形的内拿破仑 三角形.在△ABC中，已知A=T,BC=6,△ABC的外拿破仑三角形PQR(如 图1)的面积为S1,内拿破仑三角形POR'(如图2)的面积为S2,则S1一S2的最 大值等于 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） *13.已知a、b∈R,且a>b,则下列不等式不一定成立的是（ A.a+2>b+2B.2a>2b C.a2>b D.2a>2 14.小交同学在用二分法研究函数y=f(x)在区间(0,1)的零点时，发现f(0)>0 fI)<0,f(0.5)<0,那么下一步应该计算 ( A.f(0.125)B.f(0.25) c.f(0.625) D.f(0.75) 15.2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔(Joshua Zahl)通过一系列 复杂的数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界.挂谷猜 想的二维表述为：-个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过180°后，回到原 位置，扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：已知圆 O半径为2，点A、B为圆O上两点，且AB=2W3,则线段AB旋转180°后(A、 B始终在圆O.上)，该线段扫过的面积为 ( A.7π-5B.10m-5C.8π+5 6 D.3π+√5 3 2025-2026学年度第一学期高一数学期末考试卷 第负共，页 16.已知定义在R上的严格增函数y=f(x)满足：f((x)-4-x)=6对任意的 xeR成立.若对任意x∈[1,2]，存在x,2,,xn∈[-1,0](n∈N且n≥1)， 使得(x)≤f(x)+f(:)++f(x,)成立，则n的最小值为 ( A.6 B.9 c.10 D.19 三、解答题（本大题共5®，共14+14+14-18+18=8分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤. 17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 已知集合A={x-3≤x≤1}，B={xa-2<x<a+2,a∈R}. (1)当a=1时，求A∩B,AUB: (2)若BA,求a的取值范围. 18、(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 在平面直角坐标系中，角以x轴的正半轴为始边. (1)若点P(x,1)为角a终边上一点，且cosa=二，求sin的值； 3 (2)若角a的终边与单位圆交于点P(x,%),且为<0，满足sinx+cosa=} 求tana+ 1_的值及P的坐标. tan 19、(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 公园附近内有·一块三角形绿地AEF,其中AE=20 米，AF=10米，∠EAF=120°.绿地内种植有一扇形 AMN的花卉景观，扇形AMN的两边都落在AE和AF 上，弧MN与EF相切于点P. (1)求扇形花卉景观的半径P,以及面积S; 改造前 (2)为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成三 角形ABD(如图)，其中∠BAD=120°，使得原有的 扇形花卉景观扩建为半径AH=8米，并且与BD相切于 点H，边都落在三角形ABD边上的扇形，求绿地三角 改造后 形ABD占地面积的最小值，并求此时AB、AD的长. 20、(本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 已知f(x)=n(e2x+1): (1)h(x)=f(x)+,函数y=h(x)为偶函数，求实数k的值. (2)当x≤0时，g(w)=f(x)-2x-a°函数y=g(x)有零点，求实数a的取值 范围。 (3)是否存在正实数a、b,当x∈[a,b],函数y=f(x)的值域为[2a,2b？若 存在，求出a、b的值：若不存在，则说明理由. 21、(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 已知函数y=∫(x),x∈D. 如果存在非零常数P和非零常数T,对于任意x∈D,有x+T∈D,且 f(x+T)<P·f(x)恒成立，则称函数y=∫(x)是D上的“P级递减类周期函 数”，类周期为T; 如果存在非零常数P和非零常数T,对于任意x∈D,有x+T∈D,且 f(x+T)=P.f(x)恒成立，则称函数y=f(x)是D上的“P级类周期函数”，类 周期为T. (1)已知f(x)=x+3,判断函数y=f(x)是不是R上的“2级递减类周期函 数”，类周期为1，并说明理由. (2)已知y=(x)是[0，+o)上的“P级类周期函数”，类周期T=1;且 y=f(x)在x∈[0，+o)上严格单调递增.当x∈[0,1)时，f(x)=2+1,试写出 当x∈[n,n+1)(n∈N)时，函数y=f(x)的解析式，并求实数P的取值范围. (3)已知y=∫(x)是R上的“1级类周期函数”，类周期T=2m,且在区间 [0,2元]中存在唯一x,使f(x)为函数y=f(x)的最大值，是香存在非零实数k, A个=(，厨意)y=()是R上的“T级类周期函教”，目类雨期为7？ 若存在，求出所有必定满足条件的k；若不存在，请说明理由 2025-2026学年度第一学期高一数学期末考试卷 第4页共4页