精品解析：北京市房山区2025-2026学年高一上学期期末数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末考试（一） 高一数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共50分） 一､选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知点，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的坐标表示求解即可. 【详解】因为点，， 所以， 故选：B 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，由特殊值判断A，D；根据对数函数的定义域判断B；根据指数函数的单调性判断C. 【详解】对于A，若，则，而，所以A不正确； 对于B，当时，均无意义，所以B不正确； 对于C，因为函数是减函数，所以由，可得，所以C正确； 对于D，，则，而，所以D不正确. 故选：C. 3. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求. 【详解】由题可设，且. 所以，所以，所以，所以. 故选：D. 4. 甲､乙两人6次模拟考试英语成绩（不含听力）的折线统计图如图所示，甲､乙两人成绩的平均数分别记作，标准差分别记作，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据折线统计图，结合均值、方差的实际含义判断及的大小. 【详解】由统计图可知甲的总成绩比乙的总成绩要高，所以， 又甲的成绩分布比乙均匀，所以， 故选：A 5. 在平行四边形中，为边的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量线性运算法则求解即可. 【详解】. 故选：B. 6. 甲､乙两人独立破译同一密码，甲破译密码成功的概率为0.3，乙破译密码成功的概率为0.4.则密码被成功破译的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.42 C. 0.46 D. 0.58 【答案】D 【解析】 【分析】密码破译共产生四种不同的结果：甲成功乙失败、甲失败乙成功、甲成功乙成功，甲乙均失败.因为甲乙破译密码是相互独立的，所以根据概率的加法公式和相互独立事件的定义即可求解.或可根据对立事件的概率关系求解. 【详解】方法一： 设“甲成功破译密码”为事件A，“乙成功破译密码”为事件B. 则. 所以，，. 所以密码被成功破译的概率为. 方法二： 密码不能被成功破译的概率为， 所以密码被成功破译的概率为. 故选：D. 7. 设，为非零向量，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由化简得出，从而得出与共线，当与共线时，，，不一定相等，最后由充分条件和必要条件的定义作出判断. 【详解】当时，，化简得，即，，即与共线 当与共线时，则存在唯一实数，使得 ，，与不一定相等，即不一定相等 故“”是“与共线”的充分不必要条件 故选：A 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于熟练掌握向量的数乘、数量积运算以及向量共线定理. 8. 已知一组样本数据的平均数为2025，则下列叙述中错误的是（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的方差不大于的方差 C. 的中位数等于的中位数 D. 极差等于的极差 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、方差、中位数、极差的概念及含义逐项计算分析可得． 【详解】对于A，的平均数等于，故A正确； 对于B，因为的平均数等于， 所以的方差等于， 即的方差不大于的方差，故B正确； 对于C，不妨设， 则的中位数为， 若，则的中位数，故C错误； 对于D，当均相等时，因为其平均数为， 所以，此时，的极差等于的极差，等于； 当不全相等时，不妨设为最小数，是最大数，因为其平均数为，所以. 此时，的极差等于的极差，等于.故D正确. 故选：C. 9. 北京时间2025年11月14日，航天员陈冬､陈中瑞､王杰乘坐神舟二十一号载人飞船成功返回地球，平安抵达北京，不仅带回了珍贵的科学实验数据；还见证了我国航天事业的多个“第一次”：载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，声压级的单位为分贝（），声压的单位为帕（）：已知人正常说话的声压约为，火箭发射时的声压约为，人正常说话的声压级记为，火箭发射时的声压级记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的模型，列出火箭发射时的声压级和人正常说话时的声压级表达式，联立求解即可． 【详解】人正常说话的声压，对应的声压级， 火箭发射时的声压，对应的声压级， 声压级之差 ． 故选：C． 10. 若是正六边形的中心，集合.，且不共线，要使，则有序向量组的个数为（ ） A. 6 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】由正六边形的几何性质，向量加法运算律结合题意分类分析即可. 【详解】由正六边形的几何性质可知，两两夹角，有三种情况. 所以若，且不共线时，与的夹角只有与两种情况. 当与的夹角为时， 不妨令，则如图所示，. 若或时，可使，此时有序向量组有两个，即. 根据向量加法的交换律知，有序向量组也满足题意； 根据六边形的性质可知，当与的夹角为时，满足条件的有序向量组有个. 当与的夹角为时， 不妨令，则如图所示，. 此时，集合M中没有向量垂直于，即没有满足条件的有序向量组. 因此，当与的夹角为时，满足条件的有序向量组有个. 综上所述，满足条件的有序 向量组共有个. 故选：B. 第二部分（非选择题共100分） 二､填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. __________；__________. 【答案】 ①. 27 ②. 3 【解析】 【分析】根据指数幂运算性质即可求解空1，根据对数的运算性质即可求解空2. 【详解】，， 故答案为：27,3 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】 建立如图所示的平面直角坐标系，，，， 由，可得， ， 故答案为：2 13. 某学校为了调查高中学生的体育锻炼情况，从高一､高二､高三三个年级中，按各年级人数比例，采用分层抽样的方法获得了16名学生一周的锻炼时间（单位：），数据如下表： 高一年级 5 8 10 11.5 12 13.5 高二年级 7 8 9 10 11 高三年级 6.5 7 7.5 8 8.5 从该校高中学生中随机抽取一人，估计该学生一周的锻炼时间超过的概率为__________；估计该校高中学生一周的平均锻炼时间为__________.（结果保留一位小数） 【答案】 ①. ##0.25 ②. 【解析】 【分析】根据利用样本估计总体的方法，利用古典概型的概率公式求解，即可求得第一空答案；根据平均数的计算公式，即可求得第二空答案. 【详解】由题意可知16名学生中一周的锻炼时间超过的有4人， 故从该校高中学生中随机抽取一人，估计该学生一周的锻炼时间超过的概率为； 16名学生中高一年级的学生锻炼时间总和为， 高二年级的学生锻炼时间总和为， 高三年级的学生锻炼时间总和为， 故估计该校高中学生一周的平均锻炼时间为， 故答案为：； 14. 已知函数且，若函数的图象恒过定点，则的坐标为__________；若在上的值域为，则的值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据，可求得函数所过定点的坐标，按和两种情况分析函数的单调性求出值域，列式即可求的值. 【详解】当时，，即，故. 当时，函数且在上是增函数， 其值域为，则，解得； 当时，函数且在上是减函数， 其值域，不符合题意，故实数. 故答案为：；. 15. 已知不共线的向量满足.若，则的一个坐标为__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据向量模长相等的条件建立方程，结合向量不共线的限制求解. 【详解】设，已知， 所以，化简为， 取，代入方程得，解得或， 因为与不共线，当时，与共线，舍去； 当时，，与不共线，符合条件. 故答案为：（答案不唯一）. 16. 已知函数给出下列四个结论： ①当时，的值域为； ②当时，存在，使得； ③当时，在上是增函数； ④设的零点个数为的值域为，则是的真子集. 其中正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据指数函数以及二次函数的性质即可求解①，根据的图像即可求解②，根据函数的单调性，结合反例即可求解③，对分类讨论即可求解④. 【详解】当时，， 则当时，，当时，， 故时，的值域为；①正确， 时，取，则，则， 在同一直角坐标系中，作出的图像， 根据图像可知：此时存在 使得，故存在，使得，故②正确， 当时，在单调递增，在也单调递增， 但是与的大小关系不确定， 比如时，，， 此时，不满足在上是增函数；故③错误， 当时，， 此时在无零点，，在也无零点，故， 当时，令，此时在上至多一个零点， 当令，则或，此时在上有两个不同的零点， 因此在时，的零点个数为2或者3，因此或， 因此或，则是的真子集.故④正确， 故答案为：① ②④ 三､解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 设向量与不共线. （1）若，且，求向量的坐标和模； （2）若，且三点共线，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性坐标运算求解，根据向量模的计算公式求解模； （2）根据向量共线定理求解. 【小问1详解】 ，所以； 【小问2详解】 ， 因为三点共线，所以，， 即， 又与不共线， 所以，解得， 即实数的值为. 18. 已知函数. （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性，并证明你的结论； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）为奇函数；证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式要有意义列式求解，即可求得函数定义域； （2）根据函数的奇偶性的定义判断，即可得结论，继而根据定义进行证明； （3）将转化为关于a的不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知函数需满足：, 解得，即的定义域为； 【小问2详解】 为奇函数，证明如下： 由（1）知的定义域为， ， 故为奇函数； 【小问3详解】 由题意，即，则， 且，即得，而，故， 解得，结合，可得， 即实数的取值范围为. 19. 甲､乙两人参加猜成语对抗赛.甲､乙两人在每次比赛中各猜一个成语，若一方猜对且对方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次比赛中，甲､乙猜对的概率分别为和，且每次比赛中甲､乙猜对与否互不影响，各次比赛结果也互不影响. （1）求在一次比赛中甲获胜的概率； （2）求在一次比赛中平局的概率； （3）求在两次比赛中，甲至少获胜一次的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率公式计算出甲在一次比赛中获胜的概率； （2）利用独立事件的概率公式及概率加法公式可计算出在一次比赛中平局的概率； （3）利用独立事件和对立事件的概率公式可求得在两次比赛中，甲至少获胜一次的概率. 【小问1详解】 记在一次比赛中，甲猜对为事件A，乙猜对为事件B. 则在一次比赛中甲获胜概率为. 【小问2详解】 在一次比赛中平局的概率为. 【小问3详解】 由（1）知，在一次比赛中甲获胜的概率为，所以在一次比赛中甲没有获胜的概率为. 且各次比赛结果也互不影响，所以两次比赛，甲均没有获胜的概率为. 所以在两次比赛中，甲至少获胜一次的概率为. 20. 在某次30秒单摇跳绳比赛中，对1000名选手的跳绳成绩进行统计，跳绳成绩都在区间（单位：次），将数据按照分成7组，整理得到如下频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）用分层抽样的方法从和两组中抽取了5人，再从这5人中随机选出2人，求这2人不在同一组的概率； （3）估计这1000名选手的跳绳成绩的分位数. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据直方图面积为1求解； （2）根据古典概型概率计算公式求解； （3）根据直方图估算频率求解. 【小问1详解】 由图可得：， 解得； 【小问2详解】 组中共有人， 组中共有人， 从中抽取5人，其中从组中抽取人，设为, 从组中抽取人，设为， 则从这5人中随机选出2人， 样本空间， 共10个样本点， 用表示“2人不在同一组”，则， 共6个样本点， 所以 【小问3详解】 因为7组数据所占频率分别为，且， 所以成绩的分位数落在内， 由， 所以估计这1000名选手的跳绳成绩的分位数为. 21. 已知函数的定义域为，且，若存在，使得，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质？证明你的结论； （2）若函数具有性质，求实数的取值范围； （3）函数，证明对任意实数，函数都具有性质. 【答案】（1）不具有性质，证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用性质的定义，判断方程是否有解即可； （2）利用函数具有性质可得方程有实数解，即有实数解，按和分类讨论即可； （3）当时，方程有解，令，利用零点存在定理证明当和时存在零点即可证明. 【小问1详解】 函数定义域为， 令，，即，化简得， 两边同乘得，，方程无解， 所以不存在使得， 所以函数不具有性质. 【小问2详解】 因为函数具有性质，由定义域可知， 所以方程有实数解， 即，整理得， 当时，有实数根， 当时，由解得或， 综上实数的取值范围为. 【小问3详解】 由题意当时，定义域为，方程有解， 即有解， 整理得有解， 令，则在上的图象是连续的， 当时，，，故在上至少存在一个零点， 当时，，，故在上至少存在一个零点， 综上对任意实数，在上都有零点，即方程总有解， 所以对任意实数，函数都具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末考试（一） 高一数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共50分） 一､选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知点，则向量（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 4. 甲､乙两人6次模拟考试英语成绩（不含听力）的折线统计图如图所示，甲､乙两人成绩的平均数分别记作，标准差分别记作，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，为边的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲､乙两人独立破译同一密码，甲破译密码成功的概率为0.3，乙破译密码成功的概率为0.4.则密码被成功破译的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.42 C. 0.46 D. 0.58 7. 设，为非零向量，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知一组样本数据平均数为2025，则下列叙述中错误的是（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的方差不大于的方差 C. 的中位数等于的中位数 D. 的极差等于的极差 9. 北京时间2025年11月14日，航天员陈冬､陈中瑞､王杰乘坐神舟二十一号载人飞船成功返回地球，平安抵达北京，不仅带回了珍贵的科学实验数据；还见证了我国航天事业的多个“第一次”：载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，声压级的单位为分贝（），声压的单位为帕（）：已知人正常说话的声压约为，火箭发射时的声压约为，人正常说话的声压级记为，火箭发射时的声压级记为，则（ ） A. B. C. D. 10. 若是正六边形的中心，集合.，且不共线，要使，则有序向量组的个数为（ ） A 6 B. 24 C. 36 D. 48 第二部分（非选择题共100分） 二､填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. __________；__________. 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则__________. 13. 某学校为了调查高中学生的体育锻炼情况，从高一､高二､高三三个年级中，按各年级人数比例，采用分层抽样的方法获得了16名学生一周的锻炼时间（单位：），数据如下表： 高一年级 5 8 10 11.5 12 13.5 高二年级 7 8 9 10 11 高三年级 6.5 7 7.5 8 8.5 从该校高中学生中随机抽取一人，估计该学生一周的锻炼时间超过的概率为__________；估计该校高中学生一周的平均锻炼时间为__________.（结果保留一位小数） 14. 已知函数且，若函数的图象恒过定点，则的坐标为__________；若在上的值域为，则的值为__________. 15. 已知不共线的向量满足.若，则的一个坐标为__________. 16. 已知函数给出下列四个结论： ①当时，的值域为； ②当时，存在，使得； ③当时，在上是增函数； ④设的零点个数为的值域为，则是的真子集. 其中正确结论的序号是__________. 三､解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 设向量与不共线. （1）若，且，求向量的坐标和模； （2）若，且三点共线，求实数的值. 18. 已知函数. （1）求定义域； （2）判断的奇偶性，并证明你的结论； （3）若，求实数的取值范围. 19. 甲､乙两人参加猜成语对抗赛.甲､乙两人在每次比赛中各猜一个成语，若一方猜对且对方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次比赛中，甲､乙猜对的概率分别为和，且每次比赛中甲､乙猜对与否互不影响，各次比赛结果也互不影响. （1）求在一次比赛中甲获胜的概率； （2）求在一次比赛中平局的概率； （3）求在两次比赛中，甲至少获胜一次的概率. 20. 在某次30秒单摇跳绳比赛中，对1000名选手的跳绳成绩进行统计，跳绳成绩都在区间（单位：次），将数据按照分成7组，整理得到如下频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）用分层抽样的方法从和两组中抽取了5人，再从这5人中随机选出2人，求这2人不在同一组的概率； （3）估计这1000名选手的跳绳成绩的分位数. 21. 已知函数的定义域为，且，若存在，使得，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质？证明你的结论； （2）若函数具有性质，求实数取值范围； （3）函数，证明对任意实数，函数都具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $