河南省洛阳市偃师区部分校联考2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试卷

绝密★启用前 2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）的值等于（    ） A． B． C．1 D． 2．（本题3分）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）关于一元二次方程的根的说法，正确的是（   ） A．有两个相等实数根 B．没有实数根 C．两根之和为 D．两根之积为 4．（本题3分）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（　　） A．平分 B． C． D． 5．（本题3分）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　） A．0.52 B．0.55 C．0.58 D．0.63 6．（本题3分）已知抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标为 C．与y轴的交点 D．当时，y随x的增大而减小 7．（本题3分）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点、，与交于点O，则的值为（    ）   A．1 B． C．2 D． 8．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标和的值分别为（    ） A．(0，0)， B．(2，2)， C．(2，2)， D．(1，1)， 9．（本题3分）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在菱形中，，，E为的中点，F是上一点，G为上一点，且，，交于点H，则的值为（   ） A．4 B． C． D． 评卷人 得分 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）如果，则 ． 12．（本题3分）春节期间，小明陪妈妈去爬山，如图，两人从山脚下A处沿坡前行，到达C处时，发现C处标语牌上写着“恭喜你已上升100米”，若此山坡的坡度，爱思考的小明很快告诉妈妈：“我们至少走坡路 米了”． 13．（本题3分）如图，在中，，，点是的重心，，则的长为 ． 14．（本题3分）著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥寥数语，把图形之妙趣说得淋漓尽致．二次函数(a≠0，a、b、c为常数)的图象如图，若关于x的一元二次方程=m有实数根，则m的取值范围是 ．   15．（本题3分）如图，在中，，点M，N分别为，上一个动点，以为对称轴将折叠得到，点A的对应点为D，若点D落在上，且与相似，已知，，则的长为 ． 评卷人 得分 三、解答题（共75分） 16．（本题10分）（1）计算： （2）解方程：． 17．（本题8分）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． (1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（   ） A．必然事件    B．随机事件    C．不可能事件 (2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 18．（本题8分）如图，，与交于点，且，，． (1)求的长； (2)求证：． 19．（本题9分）已知抛物线． (1)该抛物线的对称轴为 　　； (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式； (3)设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若，求m的取值范围． 20．（本题9分）某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每针降低1元，每周可多卖出20件． (1)若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则销售单价为多少元？ (2)销售单价应为多少元，该店铺每周销售利润最大？最大销售利润为多少元？ 21．（本题10分）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．   (1)当悬臂与桌面平行时，=___________° (2)问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ (3)已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 22．（本题10分）如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m．现以O为原点，如图建立平面直角坐标系． (1)求抛物线表示的二次函数解析式； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (3)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动 米射门，才能让足球经过点O正上方处． 23．（本题11分）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究：在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D B D C B A C 1．A 2．C 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，根据相关运算法则进行逐项分析计算，即可作答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能进行加法运算，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数，结合根的判别式可得出，进而可得出该方程没有实数根． 【详解】解：由题意可知：， ∴方程没有实数根，则不存在两根之和，两根之积， 故选：B． 4．D 5．B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在0.55附近，即可得出答案． 【详解】解：当抛掷次数较小时，频率波动较大，当次数增加到160次及以上时，频率稳定在0.55，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55． 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了的图象和性质，求抛物线与y轴的交点坐标，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 二次函数的性质，包括开口方向、顶点坐标、与y轴交点以及单调性。通过顶点式可快速判断． 【详解】解：∵抛物线为， ∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为， ∵， ∴开口向下， 故A错误； 顶点为，不是， 故B错误； 当 时，， ∴与轴交点为， 故C错误； ∵开口向下，对称轴， ∴当时，随增大而减小， ∵在范围内， ∴当时，随增大而减小， 故D正确， 故选：D． 7．C 【分析】如图，连接，由正方形的性质可得：，，，再求解的正切即可. 【详解】解：如图，连接，    由正方形的性质可得：，，， ∴， 故选C. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，求解锐角的正切，熟练构建需要的直角三角形是解本题的关键. 8．B 【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比． 【详解】解：如图所示：位似中心E的坐标为：（2，2）， k的值为：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 9．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：A． 10．C 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据菱形的性质，推出为等边三角形，证明，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； 故选C． 11． 12．260 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：山坡的坡度， ， 米， （米）， 由勾股定理得：（米）， 所以我们至少走坡路260米了， 故答案为：260． 13． 【分析】本题考查了三角形的重心，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理及相似三角形的判定和性质，熟练运用相关性质是解题的关键．由重心的定义和等腰三角形三线合一的性质，得到，，，作，交于点G，由相似三角形的性质得，，然后利用利用勾股定理列式求出，进而求解即可． 【详解】解： ，，点是的重心， ，，， 如图，作，交于点G， ，， ，， ， 在中，，由勾股定理得， ， ， ， ， 故答案为：． 14．m≥-2 15．或5 【分析】根据已知条件先求出斜边的长度，再分情况讨论与相似时的情况，最终求出的长度． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， ∵与相似， ∴有以下两种情况： ①当时，，连接，如图所示： ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ②当时，，连接，如图所示： 则， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上所述，的长为或5． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，折叠的性质及等腰三角形的性质． 16．（1）1；（2） 【分析】本题考查的是实数的运算、一元二次方程的解法 （1）根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质计算； （2）利用因式分解法解出方程． 【详解】解：（1）原式 （2）， 则， ∴或， 解得：． 17．(1)B (2) 【分析】本题主要考查了随机事件、列表法求概率等知识点，正确列表成为解题的关键． （1）直接根据随机事件的定义即可解答； （2）将“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D，然后列表确定所有等可能结果数以及符合题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵随机抽取一个盲盒并打开，四个游戏均有可能， ∴随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件． 故选B． （2）解：“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D， 根据题意列表如下： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 则共有12种结果，两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的情况数为2． 所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为． 18．(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键； （1）根据相似三角形的判定得，再根据即可求解； （2）利用及即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， 即：， ； （2）证明：∵， ， ， 19．(1) (2) (3)当时，或；当时， 【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式，即可得出对称轴； （2）由（1）得出顶点坐标，再根据顶点的纵坐标为0，求出a值即可； （3）根据点N关于直线的对称点为N'，再分和两种情况确定m的取值范围． 【详解】（1）解： ∴抛物线的对称轴为， 故答案为：； （2）解：由（1）知，抛物线的顶点为， ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式； （3）解：∵抛物线的对称轴为， ∴N关于直线的对称点为N'， ①当时，若，则或； ②当时，若，则． 综上，当时，或；当时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的顶点、与坐标轴交点所代表的意义和函数特征是解题的关键． 20．(1)销售单价为65元 (2)销售单价应为70元，该店铺每周销售利润最大，最大销售利润为8000元 【分析】（1）设销售单价为x元，则每件附中的利润为(x-50)元，每周能卖出(×20+200)件，根据总利润等于每件的利润乘以销售量，列出关于x的方程，求解并作出取舍即可． （2）设该店铺每周销售利润为W元，根据总利润等于每件的利润乘以销售量，列出W关于x的二次函数关系式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）设销售单价为x元，由题意得： ， 整理得：， 解得，， ∵尽可能让利于顾客． ∴不符合题意， ∴． ∴销售单价为65元． （2）设该店铺每周销售利润为W元，由题意得： ， ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，W有最大值，最大值为： （元）， ∴销售单价应为70元，该店铺每周销售利润最大，最大销售利润为8000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）作出对应的图，关键平行线的性质即可求解； （2）过作与交于，过作与交于，可推出四边形为矩形，；在中解出，即可求解； （3）过作，，在中解出即可求解． 【详解】（1）解：如图：当悬臂与桌面平行时，作    ，悬臂也与桌面平行 ∴ 故答案为： （2）解：过作与交于，过作与交于    ∴四边形为矩形 ∴ ， ∵ ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ （3）解：过作，，    ∴ 在中 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．作垂线构造直角三角形是解题关键． 22．(1) (2)不能，理由见解析 (3)1 【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法即可求出抛物线表示的二次函数解析式； （2）当时，求出的值再与2.44比较，即可知球能不能射进球门； （3）设小明带球向正后方移动米，则可用含的式子表示移动后的抛物线解析式，把点代入求出得的值，即知当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处． 【详解】（1）， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数解析式为：； （2）当时，， 球不能射进球门． （3）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为：， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点正上方处． 故答案为：1． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． 23．（1）；；（2）；（3）的值与α无关，理由见解析；（4）． 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，再根据余弦函数的定义求解即可； （4）同理可证，，，根据，求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）的值与α无关，理由如下， 如图， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （3）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 答案第8页，共17页 答案第1页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $