精品解析：北京市西城区2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

2025—2026学年度第一学期期末试卷（样卷） 高二数学 2026.1 本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 因为直线的斜率为， 则， 又，所以， 即直线的倾斜角为. 故选：D. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程为求解即可. 【详解】因为双曲线方程为， 所以， 所以渐近线方程为. 故选：B. 3. 下列各组空间向量中不平行的为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量定理及共线向量的坐标关系判断. 【详解】对于A：因为，所以，A错误； 对于B：因为，所以，B错误； 对于C：因为，所以与不平行，C正确； 对于D：因为，所以，D错误. 故选：C. 4. 某圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径并求出圆锥的高，进而求出体积. 【详解】设该圆锥的底面半径为，由圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为的扇形， 得，且该圆锥的母线，则，圆锥的高， 所以该圆锥的体积. 故选：B 5. 已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】因为空间向量和三个不同的点、、，且， 若点在直线上，则，故存在实数使得. 由题设可得，， 即“点在直线上”“”， 若，不妨假设点不在直线上，则为平面的一个法向量，符合题意， 所以“点在直线上”“”， 故“点在直线上”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 6. 已知抛物线，准线为，点，点在抛物线上，且点到直线的距离与到点的距离相等，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析抛物线结合条件求得垂直平分线方程，进而求得点坐标，最后计算三角形面积. 【详解】抛物线，其焦点,准线方程为， 因点在抛物线上，且点到直线的距离与到点的距离相等， 则有,即为等腰三角形，又点， 则点的横坐标为，将其代入，解得，即， 故的面积为. 故选：C. 7. 某路口有一个可以自动找零的饮料售货机，每罐饮料5元．某天由于工作人员的失误，售货机内没有预留找零的零钱．现有5个人（其中3人拿5元纸币，2人拿10元纸币）在这天的不同时刻去买一瓶饮料，则这5个人都可以顺利买到饮料的排列顺序的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据拿10元纸币的人是否相邻分类讨论求解. 【详解】根据拿10元纸币的人是否相邻可分为两类： 第一类：拿10元纸币的2人不相邻，则先安排拿5元纸币的人共有种不同的排列； 拿10元纸币的2人只能排在除排头外的3个位置，有种不同的排列， 即此时共有种不同的排列. 第二类：拿10元纸币的2人相邻，看作一个元素，其内部排列有种不同排列； 先排拿5元纸币的3人有种不同的排列，则排列后从左往右形成4个空位， 再从3人排列后形成的最右边2个空位中选择一个排列相邻2人构成的元素，有种不同的排列， 即此时共有种不同的排列. 综上，这5个人都可以顺利买到饮料的排列顺序共个. 故选：D. 8 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令和后作差可得. 【详解】令，则， 令，则， 作差可得. 故选：A. 9. 在平面直角坐标系中，点，，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知及两点距离公式求出的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，再令，，应用向量数量积的坐标表示、三角恒等变换有，结合余弦函数的性质求最大值. 【详解】设，且，则， 所以，即的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 所以，可设，， 由， 所以 ，而， 当时，最大值为. 故选：C 10. 如图，在直三棱柱中，已知，，，分别在棱上，且满足平面. 给出下列三个结论： ① 平面平面， ② 面积的最大值为， ③ 平面与平面所成角的最大值为， 其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】对于①，由线面垂直得到面面垂直；对于②，建立空间直角坐标系，设，其中，根据垂直关系得到方程，求出，故，求出的面积为，求出最大值；对于③，求平面的法向量，求出得到平面与平面所成角的最大值. 【详解】对于①，因为平面，而平面，所以平面平面，①正确； 对于②，因为直三棱柱中，已知，故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 其中， 则，， 因为，，， 所以， ， 解得， 因为，所以，故， 故， ， ， 所以， 故， 故当时，面积取得最大值，最大值为，②正确； 对于③，平面的一个法向量为，， 平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角的大小为，， 则， 由于上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为，③正确. 故选：D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知直线经过点，且与直线垂直，那么直线的方程是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由直线的垂直关系得直线的斜率为，再根据点斜式方程求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直，直线的斜率为， 所以直线的斜率为， 因为直线经过点， 所以直线的方程为：，即 故答案为： 12. 在的展开式中，常数项为______.（请用数字作答） 【答案】60 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通式，令的次数为零即可得到答案. 【详解】由题意可得二项式的展开式的通项为，，，，，， 令，解得， 所以展开式的常数项为， 故答案为：60 13. 将边长为的正方形沿着对角线折起，折起后点记为.若二面角为，则与平面所成角的大小为_____. 【答案】 【解析】 【分析】记正方形的对角线交点为，可推得平面，过作于点，则即所求，根据等腰三角形的性质即可求得所求角的大小. 【详解】记正方形的对角线交点为， 由正方形的性质可得， 所以二面角为，即. 又平面， 所以平面. 如图，过作于点，则, 又平面， 所以平面. 所以与平面所成的角为. 因为，所以为等腰三角形， 所以. 故答案为：. 14. 某只碗的侧面可以看作抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，若抛物线的顶点为原点，开口向上，对称轴为轴，碗底的直径为，碗口的直径为，碗的高度为，则抛物线的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设出抛物线，且过点，，代入求出参数值，即可得. 【详解】设抛物线为，过点，， 所以，可得， 所以抛物线为. 故答案为： 15. 已知半径为的圆与直线相切于点，给出下列四个结论： ① 若，则圆上的所有点均在轴右侧； ② 若，且圆经过坐标原点，则； ③ 若，且圆与轴相切，则； ④ 若，且圆截轴所得的弦长为，则或. 其中所有正确结论的序号为_____. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质按分类写出圆心所在直线方程，进而写出圆心坐标，再结合相切的性质及弦长公式逐项分析求解判断. 【详解】由圆与直线相切于点，得圆的圆心在过点且垂直于直线的直线上， 对于①，当时，直线，直线，圆心到轴的距离为2，大于，圆在轴右侧， 当时，直线，圆心，， 解得，则，圆与轴相离，而切点在轴右侧，因此圆在轴右侧，①正确； 对于②，，由圆经过坐标原点及点，得圆心，，②错误； 对于③，，由①及圆与轴相切，得圆心，则，则，③正确； 对于④，，由①得圆心，由圆截轴所得的弦长为， 得，则或，④正确， 所以所有正确结论的序号为①③④. 故答案为：①③④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，且． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由异面直线夹角余弦公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用相关公式求出点到平面的距离. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以，． 又因为，， 所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 由（1）知，，，． 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，．所以平面的一个法向量为． 所以点到平面的距离为． 17. 在大学二年级上学期，1名同学要从5门科学类选修课和3门人文类选修课中共选择4门不同的选修课，学校要求学生科学类选修课和人文类选修课都要选． （1）这名同学的选修课有多少种不同的选法？ （2）若人文类的选修课的上课时间一样，不能同时选择，则这名同学选修课的不同选法共有多少种？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算选择门科学类和门人文类选修课的不同选法，再求和即可得答案； （2）先计算这名同学同时选择了两门人文类的选修课的选法，再结合（1）的结果减去即可得答案. 【小问1详解】 解：这名同学从5门科学类选修课和3门人文类选修课中， 选择1门科学类和3门人文类选修课的不同选择方法（种）， 选择2门科学类和2门人文类选修课的不同选择方法（种）， 选择3门科学类和1门人文类选修课的不同选择方法（种）， 所以这名同学的选修课共有（种）不同的选法． 【小问2详解】 解：这名同学同时选择了两门人文类的选修课的选法共有（种）， 所以这名同学不同时选择人文类选修课的选法有（种）． 18. 已知. （1）求的圆心坐标和半径； （2）设点、，且上存在两点、，使得四边形为平行四边形，求直线的方程． 【答案】（1）圆心，半径 （2）或 【解析】 【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，可得出圆心坐标和半径； （2）分析可知，，求得，设直线的方程为，利用勾股定理求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 将圆的方程化为标准方程得，故圆心为，半径为. 【小问2详解】 因为、，假设上存在两点、，使得四边形为平行四边形， 则，且，且， 设直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，解得或， 故直线的方程为或． 19. 已知椭圆过，两点，右焦点为． （1）求椭圆的方程及点坐标； （2）设点为椭圆上的一点，直线与直线交于点，与直线交于点，求证：． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由椭圆顶点得，即可写出椭圆方程；由求得，即可得点坐标； （2）由（1）知道，联立直线方程求得点坐标和点坐标，然后得到向量坐标，由向量的数量积即可得证. 【小问1详解】 由题意可知，所以椭圆方程为． 因为，所以． 【小问2详解】 由题意可知，，且． 由得． 由得． 因为，， 所以 ， 所以． 20. 如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）已知点在以点为球心的同一球面上，求的长. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）过作于，根据已知可得，由面面垂直的性质有，最后由线面、面面垂直的判定定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标，应用向量法求二面角的余弦值； （3）设，由及空间两点距离公式列方程求得，即可求的长. 【小问1详解】 过作于， 因为，，， 所以，则，故，则. 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，平面，则， 又，所以平面，平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，所以，， 如图建立空间直角坐标系，则，，，，． 所以，，设平面的法向量为， 则，即，令，则，于是， 因为平面的法向量为，所以， 由题知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 设，由题知， 所以 ， 整理得，解得，所以， 所以. 21. 已知椭圆上、下顶点间距离为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）试问：是否存在正方形，使得顶点在椭圆上，且顶点在轴上？若存在，求所有正方形的边长；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）由题意求出，即可求出答案； （2）分为直线斜率不存在，直线斜率为和直线斜率存在且不为三种情况，前两种情况结合图象即可求解，在讨论直线斜率存在且不为时，求出和，根据题意得到，方程无解即此时不存在. 【小问1详解】 由题意，得，解得，. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ① 当直线斜率不存在时，假设正方形存在，由对称性知， 不妨设，（） 将代入椭圆的方程，得，解得， 此时，，四边形恰为正方形，其边长为. ② 当直线斜率为时， 假设正方形存在，由对称性不妨设，（）， 将代入椭圆的方程，，解得， 此时，，，正方形的边长为. ③当直线斜率存在且不为时，设的方程为， 由，得， ，整理得. 设，，则，， 设中点为，，， 则， 因此直线的方程为， 令，则，， 由于为中点，则， 将点坐标代入椭圆的方程，整理得.① ， ， 假设正方形存在， 则， 因此， 整理得，② 将①代入②得，该方程无解，不符合题意. 综上，存在符合题意的正方形，其边长为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末试卷（样卷） 高二数学 2026.1 本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C D. 3. 下列各组空间向量中不平行的为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 某圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知抛物线，准线为，点，点在抛物线上，且点到直线的距离与到点的距离相等，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 某路口有一个可以自动找零的饮料售货机，每罐饮料5元．某天由于工作人员的失误，售货机内没有预留找零的零钱．现有5个人（其中3人拿5元纸币，2人拿10元纸币）在这天的不同时刻去买一瓶饮料，则这5个人都可以顺利买到饮料的排列顺序的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，点，，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在直三棱柱中，已知，，，分别在棱上，且满足平面. 给出下列三个结论： ① 平面平面， ② 面积的最大值为， ③ 平面与平面所成角最大值为， 其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知直线经过点，且与直线垂直，那么直线的方程是_____． 12. 在的展开式中，常数项为______.（请用数字作答） 13. 将边长为的正方形沿着对角线折起，折起后点记为.若二面角为，则与平面所成角的大小为_____. 14. 某只碗的侧面可以看作抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，若抛物线的顶点为原点，开口向上，对称轴为轴，碗底的直径为，碗口的直径为，碗的高度为，则抛物线的方程为_____. 15. 已知半径为的圆与直线相切于点，给出下列四个结论： ① 若，则圆上所有点均在轴右侧； ② 若，且圆经过坐标原点，则； ③ 若，且圆与轴相切，则； ④ 若，且圆截轴所得弦长为，则或. 其中所有正确结论的序号为_____. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，且． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 17. 在大学二年级上学期，1名同学要从5门科学类选修课和3门人文类选修课中共选择4门不同的选修课，学校要求学生科学类选修课和人文类选修课都要选． （1）这名同学的选修课有多少种不同的选法？ （2）若人文类的选修课的上课时间一样，不能同时选择，则这名同学选修课的不同选法共有多少种？ 18. 已知. （1）求的圆心坐标和半径； （2）设点、，且上存在两点、，使得四边形为平行四边形，求直线的方程． 19. 已知椭圆过，两点，右焦点为． （1）求椭圆的方程及点坐标； （2）设点为椭圆上一点，直线与直线交于点，与直线交于点，求证：． 20. 如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）已知点在以点为球心的同一球面上，求的长. 21. 已知椭圆上、下顶点间的距离为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）试问：是否存在正方形，使得顶点在椭圆上，且顶点在轴上？若存在，求所有正方形的边长；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $