精品解析：广西壮族自治区柳州市2026届高三上学期12月联考数学试题

2025~2026学年上学期2023级12月联考 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（　　） A B. C. D. 2. 在复平面内，复数与对应点关于实轴对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 4. 已知偶函数在上是减函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A B. C. D. 6. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 记的内角的对边分别为，则（ ） A. B. C. 或 D. 8. 已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的右支交于点，，，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组10个不相同的数据，去掉其中最大和最小两个数据后，剩下的8个数据的22%分位数等于原来数据的22%分位数 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若事件A，B满足，，且，则事件A，B独立 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越大越接近于1 10. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ） A. B. C. 函数有5个零点 D. 在上单调递增 11. 如图，在边长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是底面内的动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 存在P满足 C. 若，则三棱锥体积最小值为 D. 若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是41π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中项的系数为_______. 13. 已知，，则________． 14. 设，，，，函数（e是自然对数的底数，）．从有序实数对中随机抽取一对，使得恰有两个零点的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，若，且. （1）证明：为等差数列，并求. （2）若，求数列的前项和. 16. 随着粤港澳大湾区建设、黄河流域生态保护和高质量发展等区域重大战略实施取得新成效，城乡融合和区域协调发展继续推进，2024年末全国常住人口城镇化率增长至67.00%.下图为2020-2024年年末常住人口城镇化率的折线图. （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合常住人口城镇化率与年份代码的关系，请建立关于的回归方程，并估计2026年常住人口的城镇化率的值. （2）从这5年中任取3年，记常住人口城镇化率不超过的年数为，求的分布列与数学期望. 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，. 17. 如图多边形 中，四边形 是矩形， ，沿直线 将 进行翻折，使得点 至点 的位置使得 是正三角形. （1）求证：平面 平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18 已知函数. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求切点的坐标； （2）当，时，求证：. 19. 如图，已知椭圆：的右焦点为，过F的动直线与交于P，Q两点，且当轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）证明：； （3）若P在x轴上方，直线与圆E：交于点B，点B在x轴上方，是否存在点P，使得与的面积之比为4:9?若存在，求出点P坐标：若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年上学期2023级12月联考 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】，， 因此，. 故选：B. 2. 在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的对称性得出复数对应点进而得出复数. 【详解】在复平面内，对应的点关于实轴对称点为，则. 故选：B. 3. 已知平面向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直得到向量的数量积，再将模长转化为数量积即可求得结果. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， ，又， 所以. 故选：C. 4. 已知偶函数在上是减函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合对数的运算性质、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数是偶函数， 所以， 因为，且函数在上是减函数， 所以，即. 故选：C 5. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质及前项和求解． 【详解】设等比数列的公比为， 由，得， 又，所以，解得， 又，所以， 所以. 故选：B. 6. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图是一个半圆和圆锥的表面积建立方程，然后解出方程即可. 【详解】设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l， 则由，得， 而，即，所以，圆锥的底面直径为4. 故选：C. 7. 记的内角的对边分别为，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理得，进而求得的正余弦值，再根据，即可求解． 【详解】在中，由正弦定理得，即， 解得， ， 则． 故选：B． 8. 已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的右支交于点，，，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点为，连接，,根据题意得到，求得，结合，得到，结合双曲线的定义，得到，即可求解. 【详解】如图所示，双曲线的右焦点为，的中点为，连接，, 因为，为的中点，所以，则，可得， 又因为，所以， 则，，可得， 所以的离心率为． 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组10个不相同的数据，去掉其中最大和最小两个数据后，剩下的8个数据的22%分位数等于原来数据的22%分位数 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若事件A，B满足，，且，则事件A，B独立 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越大越接近于1 【答案】AC 【解析】 【分析】根据百分位数的定义、正态分布的对称性，结合独立事件的定义、相关系数的性质逐一判断即可. 【详解】A：， 设一组10个不相同的数据按照从小到大排列为， 所以这10个不相同的数据的22%分位数是， 去掉最大和最小两个数据后，剩下的8个数据为， 因为， 所以剩下的8个数据的22%分位数是，因此本选项说法正确； B：因为随机变量服从正态分布，且， 所以，因此本选项说法不正确； C：因为， 所以， 因此事件A，独立，根据独立事件的性质可知事件A，B独立，因此本选项说法正确； D：根据相关系数的性质可知两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越大越接近于1，所以本选项说法不正确. 故选：AC 10. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ） A. B. C. 函数有5个零点 D. 在上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据图象求出函数的解析式，即可判断AB；数形结合可得C正确；再利用整体代入的思想结合正弦函数的性质判断D. 【详解】对于A，由图可知，，，即， 又，则，故A正确； 对于B，此时， 又，且，则，故B正确； 对于C，如图所示作出函数和图象， 由图像可得有五个交点，所以函数有5个零点，故C正确； 对于D，此时， 当时，， 因为函数在上不单调， 所以在上不单调，故D错误； 故选：ABC 11. 如图，在边长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是底面内的动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 存在P满足 C. 若，则三棱锥体积的最小值为 D. 若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是41π 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造面面平行，分析点的轨迹，求轨迹的长度，判断A的真假；根据三角形两边之和大于第三边，可求的最小值判断B的真假；建立空间直角坐标系，明确点的轨迹，利用空间向量求点到平面的距离，判断C的真假；确定三棱锥的外接球球心的位置，进一步计算其半径，求面积可判断D的真假. 【详解】对A：如图： 取中点，中点，连接，，，， 因为E，F分别是棱，的中点， 所以在正方形中， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可证平面，因为平面， 所以平面平面. 因为平面，所以点轨迹为线段，且.故A正确. 对B：如图： 因为，且，，所以不存在满足，故B错误； 对C：如图：以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为，所以. 因为，，， 设. 则，，. 设平面的法向量为， 由， 令，可得. 所以点到平面的距离为：. 因为，所以，所以. ， 在等腰中，底边上的高长为， 所以三棱锥体积的最小值为，故C正确. 对D：如图： 连接，取其中点，连接. 因为是棱的中点，则. 所以为外接圆圆心. 过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心一定在该垂线上. 连接，设，则， 连接，，所以， 所以，解得， 所以， 所以三棱锥外接球的表面积为：，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中项的系数为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式项的系数公式进行求解即可. 【详解】的展开式中项的系数为. 故答案为： 13 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，切化弦，再利用和差角的余弦公式求解. 【详解】依题意，，则， 由，得，解得， 所以. 故答案为： 14. 设，，，，函数（e是自然对数的底数，）．从有序实数对中随机抽取一对，使得恰有两个零点的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的应用研究函数的零点，进而，得，结合列举法和古典概率公式即可求解. 【详解】由题意，，，，，则有序实数对有81个. 由，得， 令， 所以当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，；当时，， 所以， 要使有两个零点，则， 即，得，即. 满足该条件的有序实数对有： 对于，可以取，共7个； 对于，可以取，共4个； 对于，可以取，共1个； 所以所求事件的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的应用研究的零点，进而，得，结合列举法计算即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，若，且. （1）证明：为等差数列，并求. （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可. 【小问1详解】 ， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； 【小问2详解】 ， . 16. 随着粤港澳大湾区建设、黄河流域生态保护和高质量发展等区域重大战略实施取得新成效，城乡融合和区域协调发展继续推进，2024年末全国常住人口城镇化率增长至67.00%.下图为2020-2024年年末常住人口城镇化率的折线图. （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合常住人口城镇化率与年份代码的关系，请建立关于的回归方程，并估计2026年常住人口的城镇化率的值. （2）从这5年中任取3年，记常住人口城镇化率不超过的年数为，求的分布列与数学期望. 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，. 【答案】（1）；； （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）求出、值，将样本数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回归直线方程； （2）由题意可知，随机变量的取值可能为0、1、2，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 设年份代码的平均数为，则. 设常住人口城镇化率的平均数为，则. 因， ， 所以. 所以. 所以关于的回归方程为. 估计2026年常住人口的城镇化率的值为 【小问2详解】 由图可知，第、、年常住人口城镇化率超过， 由题意可知，的取值可能为0、、， 因为，，，； 所以的分布列为： 所以的数学期望为. 17. 如图多边形 中，四边形 是矩形， ，沿直线 将 进行翻折，使得点 至点 的位置使得 是正三角形. （1）求证：平面 平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理确定，再结合，即可求证； （2）建系求得直线方向向量和平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为 是正三角形， 所以， 又， 所以， 即，又,为平面内两条相交直线， 所以平面， 又在平面内， 所以平面平面 ； 【小问2详解】 取的中点，的中点， ，又在平面内，为平面，平面 的交线， 由（1）可知平面 ，连接， 在平面内，可知两两垂直， 如图建系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则， 设，得， 即， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值是. 18. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求切点的坐标； （2）当，时，求证：. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合互相垂直直线斜率之间的关系进行求解即可； （2）构造新函数，利用二次求导法、函数零点存原理进行运算证明即可. 【小问1详解】 ， 所以直线的斜率为， 因此与直线垂直的直线的斜率为，即. ， 所以，即， 所以，因此切点为. 【小问2详解】 当，时，要证明， 即证明，只需证明， 即只需要证明，其中， 设， 设 因为函数在上均为减函数， 则在区间内单调递减， 因为， 所以，，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减. 因为， 在区间内单调递增，所以有， 在区间内单调递减，所以有， 故内恒成立，原不等式得证. 19. 如图，已知椭圆：的右焦点为，过F的动直线与交于P，Q两点，且当轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）证明：； （3）若P在x轴上方，直线与圆E：交于点B，点B在x轴上方，是否存在点P，使得与的面积之比为4:9?若存在，求出点P坐标：若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出即可. （2）按直线的斜率是否为0分类，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示计算得证. （3）利用椭圆的范围及两点间距离公式求出焦半径，再利用三角形面积关系，结合已知的面积比列式求出点坐标. 【小问1详解】 因为当轴时，， 所以点在椭圆上，则，又， 联立解得，所以椭圆的方程是. 【小问2详解】 当的斜率为零时，为椭圆长轴端点，， 则. 当的斜率不为零时，设的方程为， 由消去得， ， 所以， 而，则， 因此，而共线，即， 由. 【小问3详解】 依题意，，而， 因为圆E：的圆心为，恰好为该椭圆的左焦点， 该圆半径为，所以， ， 同理， 而，同理可得， 由（2）知，， 则 ， 于是，， 因此， 整理得，解得，或不符合题意， 因为点P在x轴上方，所以， 所以 ， 所以存在满足题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $