精品解析：广西壮族自治区南宁市第二中学、柳州铁一中学2025届高三上学期12月联合调研测试数学试题

考阅评·大联考 南宁二中·柳铁一中2025届12月高三联合调研测试 数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号码填写在答题卡规定的位置上，并将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集、补集的知识求得正确答案. 【详解】依题意， 阴影部分为. 故选：B 2. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 则在上的投影向量为. 故选：D. 3. 已知（）的展开式中的第7项为7，则实数的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，根据已知条件求解即可. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，则，即， 则，即，又，则. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式将已知条件化简，用所求角度和已知角度的关系，将转化为已知角度关系，再用余弦的二倍角公式求出结果. 【详解】由辅助角公式，， . 因， 则， . 故选：B. 5. 函数，则的部分图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断在区间上函数值的正负，用排除法得到答案. 【详解】函数的定义域为， ， 即函数为偶函数，排除BD； 当时，，排除A. 故选：C. 6. 已知数列的首项，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解. 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 7. 若，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用对数函数单调性，以及正弦函数的性质，分别求得的取值范围，即可求解. 【详解】由对数函数单调性，可得，所以； 因为，所以， 又因为，所以，即，所以. 故选：B. 8. 抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段，解三角形得到线段，由基本不等式得到取值范围，从而得到最值. 【详解】设、，如图所示，根据抛物线的定义， 可知，， 在梯形中，有， 在中， ， 又∵，∴， 当且仅当时取等号，∴， 故的最大值是. 故选：A. 【点睛】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分. 9. 豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为的分值（一星分，二星分，三星分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是分，截止至年月日，共计有人参与评分，豆瓣评分表如图.根据猫眼实时数据，该片的票房为亿元，按照平均票价元来计算，大约有亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有的评价不低于二星，则下列说法正确的是（ ） A. 的值是 B. 随机抽取名观众，则不一定有人评价五星 C. 若以频率当作概率，记事件为“评价是一星”，事件为“评价不高于二星”，则 D. 若从已作评价的观众中随机抽出人，则事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A选项，由题意参与评价的观众中有的评价不低于二星，则二星及以上的频率加和为，即可求解；对B选项，由频率只能推出可能有人符合条件；对C选项，根据条件概率的性质即可得到答案；对D选项，“至多人评价五星”即为无人评价或人评价五星，依据互斥事件与对立事件定义判断即可. 【详解】对A选项，参与评价的观众中有的评价不低于二星， 则，所以，故A正确； 对B选项，随机抽取名观众，可能有人评价五星，但不是一定的，故B正确； 对C选项，因为，则，故C错误； 对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知， 事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知圆O：经过椭圆C：（）的两个焦点，，且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且的面积为1，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆C的长轴长为2 B. 椭圆C的短轴长为2 C. 椭圆C的离心率为 D. 点P的坐标为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆的方程确定的值，再由的面积可得点P的坐标，从而可得的值，再逐项判断即可得答案. 【详解】因为圆O：经过椭圆C：（）的两个焦点，， 所以， 又P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点， 则，故，代入圆方程可得，所以，故点P的坐标为，故D正确； 将点P的坐标代入椭圆方程可得，又，解得， 故椭圆C的长轴长为，短轴长为，故A不正确，B正确； 则椭圆C的离心率为，故C不正确. 故选：BD. 11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面是面积为等边三角形，则 B. 若，则 C. 若，则球面的体积 D. 若平面直角三角形，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于B，利用代入易得；对于C，先求得三棱锥的体积，由球面的体积即得；对于A，由条件知三边为，推得排除A，对于D，由余弦定理和题设可得，取特殊值即可排除D. 【详解】对于A，因等边三角形的面积为，则， 又，故则，故A错误； 对于B，由可得，故，即B正确； 对于C，由可得，故. 由正弦定理，的外接圆半径为，点到平面ABC的距离， 则三棱锥的体积, 而球面的体积，故C正确； 对于D，由余弦定理可知由可得，， 即，化简得，． 取，则，则，故D错误． 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是虚数单位，复数的虚部为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部. 【详解】因为，所以的虚部为. 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据是偶函数求出时的解析式，再利用导数求出斜率. 【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于对称， 则，当时，， ∴，则， 此时，， 即曲线在点处切线的斜率为. 故答案为：. 14. 将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30°角的三角板（）的长直角边与含45°角的三角板（）的斜边恰好重合.与相交于点，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先设，则，，利用余弦定理得到，再根据求解即可. 【详解】由题可知， 设，则，， 由余弦定理， 则， 解得，∴，， 则，， 由可得：， 则，解得， 则，所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：且，. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，求的值. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义进行证明，进而求得数列的通项公式. （2）利用分组求和法来化简已知等式，从而求得的值. 【小问1详解】 因为，， 所以， 又，所以，所以， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列. 所以. 即，所以. 【小问2详解】 由（1）知 . . 又，故， 即，所以. 解得. 16. 已知双曲线：（，）经过点，离心率是，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点. （1）求直线斜率的取值范围； （2）设点，直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，请说明理由. 【答案】（1） （2）为定值，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率和双曲线过的点求解双曲线方程，然后设直线的方程为，，，与双曲线方程联立，根据二次方程根的分布列不等式求解即可. （2）结合韦达定理，利用两点式斜率公式代入化简即可证明. 【小问1详解】 依题意可得，离心率，则. 所以，双曲线方程为. 设直线的方程为，，. 由得. 因为直线与双曲线的左、右支分别交于点，， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知，， 则 ，即为定值. 17. 如图在三棱柱中，平面平面，是等边三角形，，. （1）求棱锥的体积； （2）若为棱的中点，求二面角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出是菱形，做边上的高，根据面面垂直性质定理得出垂直底面，即也是棱柱的高，根据等体积转化求出三棱锥体积； （2）结合（1）中条件，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，进而求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的平方关系求出二面角的正弦值. 【小问1详解】 取的中点，连接. 在三棱柱中，四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形是菱形. 又，则，是等边三角形，所以. 因为平面平面，交线是， 所以垂直于底面，，即三棱柱的高是. 所以. 【小问2详解】 连接，由（1）知平面，又是等边三角形， 所以，故，，两两垂直，以为坐标原点， ，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示） 则，，，，. 因为，所以， 因为为的中点，所以. 则，，， 设平面的一个法向量， 则，即， 令，解得，，故. 设平面的一个法向量， 则，即， 令，解得，，故. 设二面角的平面角为， 因为， 所以，即二面角的正弦值为. 18. 现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有白球和黑球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏；否则，在盒子中再放入一个黑球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功. （1）某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）有数学爱好者统计了1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如下： 1 2 3 4 5 232 94 57 44 23 经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程； （3）证明：（其中且）. 附：回归方程系数：， 参考数据：设，，，，，，. 【答案】（1）分布列见解析， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）写出的可能取值，求出各取值的概率，写出分布列和数学期望； （2）令，先根据题中数据求出换元后的线性回归方程，再利用换元得出关于的非线性回归方程； （3）将所证不等式与第（1）问分布列的概率特点结合，根据对立事件概率特点求得结果. 【小问1详解】 由题知，的取值可能为1，2，3. 所以， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 所以数学期望为. 【小问2详解】 令，则， 由题知： 所以. 所以，， 故所求的回归方程为：. 【小问3详解】 由题知，当且时，在前轮内（包括第轮）成功的概率为 . 在前轮内（包括第轮）均没有成功的概率为 . . 故. 19. 拓扑学里有一个非常重要的不动点定理：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”，若，则称为的“稳定点”.将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，并且当函数单调递增时，. （1）试探究集合和的关系，并证明你的结论. （2）函数. ①若的“不动点”有两个，求的取值范围； ②若（），讨论集合的子集的个数. 【答案】（1），证明见解析 （2）①；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据“不动点”与“稳定点”的定义证明即可. （2）①根据“不动点”定义列出方程，分离参数后用数形结合的思想求出的取值范围；②根据递增函数的“不动点”和“稳定点”对应的集合相等，先证明单调递增，再将求“稳定点”问题转化为求“不动点”问题，再根据集合中元素的个数求出子集个数. 【小问1详解】 ，证明如下： 法一：设任意，有， 则，所以，故. 法二：由题意，不动点为与的交点横坐标， 稳定点为与的交点横坐标， 若与有交点，则横纵坐标相等. 则，所以. 【小问2详解】 ①由题意知方程有两个不同的解， 即方程有两个不同的解，即方程有两个不同的解， 令，，则 在上，单调递增， 在上，单调递减， 当和时，，当时，， 所以方程要有两个不同的解，则的取值范围是. ②当时，由函数，（） 可得导函数， 所以在上单调递增， 由已知“当函数单调递增，则”知稳定点与的不动点等价， 故只需研究的不动点即可， 令，（） 则，则在上单调递减， 当时，恒成立，即在上单调递增， 当无限接近于0时，，且， 故存在唯一的，使得，即有唯一解， 所以此时有唯一不动点， 当时，即时， 当趋向无穷大时，趋近于0， 此时，存在唯一， 使得，则， 此时在上单调递增，在上单调递减， 故， 当趋近于0时，趋向于负无穷大， 当趋向正无穷大时，趋向负无穷大， 设，则在上单调递增， 且， 又在时单调递增， 故（ⅰ）当时， 即，此时，方程有一个解， 即有唯一不动点，所以集合的子集有2个 （ⅱ）当，即， 此时，方程无解，即无不动点， 所以集合的子集有1个， （ⅲ）当时，即 此时，方程有两个解，即有两个不动点， 所以集合的子集有4个， 综上，当时或时，集合的子集有2个； 当时，集合的子集有1个； 当时，集合的子集有4个. 【点睛】关键点点睛：根据导数证明函数为单调增函数后，将求“稳定点”问题转化为求“不动点”问题，再构造新函数，利用求导、极限思想、隐零点、二次求导等方法，分和两种分类讨论，判断导数的正负变化，进而判断的图象增减性、极值的正负，得到最终结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 考阅评·大联考 南宁二中·柳铁一中2025届12月高三联合调研测试 数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号码填写在答题卡规定的位置上，并将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A B. C. D. 2. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知（）展开式中的第7项为7，则实数的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数，则的部分图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的首项，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则下列大小关系正确是（ ） A B. C. D. 8. 抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分. 9. 豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为的分值（一星分，二星分，三星分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是分，截止至年月日，共计有人参与评分，豆瓣评分表如图.根据猫眼实时数据，该片的票房为亿元，按照平均票价元来计算，大约有亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有的评价不低于二星，则下列说法正确的是（ ） A. 的值是 B. 随机抽取名观众，则不一定有人评价五星 C. 若以频率当作概率，记事件为“评价是一星”，事件为“评价不高于二星”，则 D. 若从已作评价的观众中随机抽出人，则事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件 10. 已知圆O：经过椭圆C：（）的两个焦点，，且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且的面积为1，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆C的长轴长为2 B. 椭圆C的短轴长为2 C. 椭圆C的离心率为 D. 点P的坐标为 11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面是面积为的等边三角形，则 B. 若，则 C. 若，则球面的体积 D. 若平面为直角三角形，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是虚数单位，复数的虚部为______. 13. 已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为______. 14. 将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30°角的三角板（）的长直角边与含45°角的三角板（）的斜边恰好重合.与相交于点，若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：且，. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，求的值. 16. 已知双曲线：（，）经过点，离心率是，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点. （1）求直线斜率的取值范围； （2）设点，直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，请说明理由. 17. 如图在三棱柱中，平面平面，是等边三角形，，. （1）求棱锥的体积； （2）若为棱的中点，求二面角的正弦值. 18. 现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有白球和黑球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏；否则，在盒子中再放入一个黑球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功. （1）某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏轮数为随机变量，求的分布列和数学期望； （2）有数学爱好者统计了1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如下： 1 2 3 4 5 232 94 57 44 23 经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程； （3）证明：（其中且）. 附：回归方程系数：， 参考数据：设，，，，，，. 19. 拓扑学里有一个非常重要的不动点定理：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”，若，则称为的“稳定点”.将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，并且当函数单调递增时，. （1）试探究集合和的关系，并证明你的结论. （2）函数. ①若的“不动点”有两个，求的取值范围； ②若（），讨论集合的子集的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $