广西部分学校2025-2026学年高三上学期12月联考数学试卷

广西12月联合考试 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合A={-4,0,2,4,8},B={x|一4<x<4},则A∩B= A.{2} B.{-4,0,2,4} C.{0,2) D.{0,2,4} T 拟 2.若复数之的共轭复数之=4一3i,则x十2z= A.12+3i B.12-3i C.4-3i D.-4+3i 3.已知向量a=(2,m),b=(m,3),则“m=√6”是“a仍”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 封 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知1,2，n成等比数列，则(x十1)”的展开式中所有项的系数之和为 A.4 B.8 C.16 D.32 5.将函数f(x)=tan wx(0<w<2π)的图象向左平移4个单位长度后，所得图象与原图象重 合，则 Au的最小值为否 B@的最大值为暂 C.w的最小值为于 D.m的最大值为 6.某品牌酒产自陕西省宝鸡市.一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高.已知一箱原 价800元的该品牌酒，储存x(x≥0)年后的收藏价值f(x)(单位：元)满足函数关系式f(x) 线 =800×2罗(m为常数).若储存6年的此种品牌酒整箱的收藏价值为1200元，则此种品牌 酒储存12年后整箱的收藏价值为 A.1600元 B.1800元 C.2400元 D.2800元 7.若直线y=tx一2(t∈R)是曲线y=lnx与曲线y=e一b(b∈R)的公切线，则b= 开 A.1 B.2 C.e n 8.若直线y=k(x一4)与曲线x=√9十3y2只有一个公共点，则k的取值范围是 只 A() [-] C.(-√5，√3) D.[-3W3] 仅供发赁使用 【高三数学第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的 120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则 单位：人 周平均使用时间 年龄 总计 超过4小时 不超过4小时 不超过40岁 54 b 72 40岁以上 c d c+d 总计 72 b+d 120 附：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c-+d)(aFc)(b+d)n-a+b+c+d. d 0.1 0.01 0.005 0.001 Ta 2.706 6.635 7.879 10.828 A.d=18 且用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为 C.根据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为使用该款聊天机器人的用户周平均使用 时间是否超过4小时与年龄无关 D.根据小概率值α=0.001的独立性检验，可以认为使用该款聊天机器人的用户周平均使用 时间是否超过4小时与年龄有关 l0.记数列(an}的前n项和为Sm,若naw+1=Sn十n2+n,且S1=2,则 A.a2=4 B.{an}是等差数列 C.S,=n2+2n-1 -n 1.已知椭圆C导+芳=1a>6>0)的左，右焦点分别为RRA,B分别是C的左右膜 点，P为C上不与A,B重合的动点.设C的离心率为，I为△PFF2的内心，r为 △PF,F2内切圆的半径，延长PI交线段FF2于点Q,则 A.直线PA和PB斜率的乘积为e2一1 B.直线PF1和PF2斜率的乘积为e2-1 C点P到x轴的距离为(1+)r D.IQ|=ePI 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.若如8-号a∈(0，)则os2a=▲—m(a-)=1 13.已知函数fx)=,x<0, x+1,x>≥0， 则不等式f(x3)>f(一x)的解集是▲· 【高三数学第2页（共4页）】 14.在棱长为3的正方体ABCD-AB1C,D1中，点M满足AB=√3BM,则正方体表面到点M 的距离为2√3的点的轨迹总长度为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,PA=9,AD=6,M是 棱PB上靠近点P的三等分点，N是棱PD上靠近点P的三等分点 (1)证明：MN/平面ABCD. (2)证明：MN⊥平面PAC. (3)求平面MAN与平面ABCD夹角的余弦值 16.(15分) 某不透明的瓶子中装有外观完全相同的5个荔枝味糖果和3个樱桃味糖果，每次随机摸出 1个糖果 (1)设每次都是不放回地摸糖果，连续摸2次，求第二次摸得荔枝味糖果的概率； (2)若每次都是有放回地摸糖果，连续摸3次，单次摸得荔枝味糖果即送1个苹果味糖果，单 次摸得樱桃味糖果即送0个苹果味糖果，所得苹果味糖果均不放入瓶中，设3次摸糖果 后得到的苹果味糖果总个数为X,求X的数学期望 17.(15分) 已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,点P(1,yo)(yo>0)在C上，|PF|=2,斜率为 一1的直线l与C交于M,N两点. (1)求C的方程； (2)若|MN|=8,求直线l的方程； (3)设直线PM与PN的斜率分别为k1,k2,证明：k1十k2为定值， 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若(sinA-sinC)2=sinB-sin Asin C,求角B的大小. (2)设E为△ABC外接圆上的点，△ABC外接圆的半径为2，且BE平分∠ABC,BE= 25. (1)当b=4时，求a十c的值； （i)证明：sin∠BAE= 2 弥 19.(17分) 设函数f(x)=x3-a.x2 (1)讨论f(x)的单调性； (2)若对任意x∈(0，+o∞)，f(x)≥lnx恒成立，求a的取值范围； 封 (3)当a=1时，若fx)+f(x,)=0,且xx>0,证明：fx,)f()+f() 线 【高三数学第4页（共4页）】 广西12月联合考试 数学参考答案 1.CA∩B={0,2. 2.B之=4+3i,则x+2x=4+3i+2(4-3i)=12-3i. 3.A若a仍，则m2=6,解得m=士√6. 4.C由题意得n=4,所以(x+1)4的展开式中所有项的系数之和为24=16. 5D由题意得fz十)=am(ar十4w)=anar,则4w=kx伙∈Z,得w-任k∈Z. 因为0<w<2x,所以。的最小值为于，最大值为平 6.B由题意可得6)=80×2”-120.即2-160-三，所以此种品牌酒储存12年后整 箱的收藏价值为800×22=800×()°-1800元. B设f(x)=lnxg)=e-b,则了(x)三g(x)=e.设直线y=x一2与曲线y 1 1 a=- lnx相切于点(a,lna),则a 解得 ae'令e-e,解得x=1,所以e-2=e (In a=at-2, =e. b,得b=2. &Bz一9+3即3，表示双出线写1的右边 直线y=k(x一4)过定点(4,0)，直线与双曲线的图象如图所示.又双曲 -了1的渐近线方程为V一士，且直线y=(父 的右支只有一个公共点，所以由图可知，k 3,3J 9.BD由题意可得b=18,c=18,d=30,A错误.设事件A表示“每位使用该款聊天机器人的 用户周平均使用时间超过4小时”，则m(2)-120,n(A)=72,PA)=nCA-72-3 n(2)120=5,B正 确.零假设为H。:使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间与年龄独立，根据表中数据， 可得X2_12018X18754X30》2_135-16.875>10828,所以根据小概率值a=0.01的 72×48×72×48 8 独立性检验，我们推断H。不成立，即认为使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否 超过4小时与年龄有关，C错误，D正确. 10.ABD当n=1时，a2=S1+1+1=4,A正确.当n≥2时，由naw+1=S十n2+n①，得(n- 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 1)an=Sw-1十(n-1)2+n-1②，则①-②得aw+1-(n-1)an=an+2,即n(an+1-an 2)=0,所以aw+1一an=2.因为a2一a1=2,所以{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，B 正确S-2+20×2-a+nC结误-D片中所以对+安+ 2 1 nn+1=1- n十1n十1D正确. CD设P(xyo),则十=1.因为A(一a,0),B(a,0),所以kpH·km xo十a y xo-a xo-a b2一2-2=e2-1,A正确. a2 当P为上顶点时：此时P0,b则k·车·6a c⊙ 1、 e≠e2-1, B错误。 △PF,F,的面积S=2(PF,+PF,+F,F,)=(a+c)r,又S-名·2c·1p= cynl,所以1p=a+cr-(1+r,C正确。 在△PF1F2中，连接F1I,F2I(图略).因为I是△PFF2的内心，所以F1I,F2I分别平分 -则 PI ∠PFF2和∠PF2F1.由角平分线分线段成比例定理，得 PF+PF2 E,Q十F,Q因为PF,+PF,=2a,F,Q1+1F,QI=IFF=2c,所以Q PF+PF2 =4.又C的离心率e=,所以IQ=PID正确. FQ+F2Q 2c c a 12号g7a-12ia=1-3×停1-8 因为a∈(o,）,所以msa-厘snl。）-号(sna-as〉一厘 6 13.(0,+∞)因为当x<0时，f(x)=x单调递增，当x≥0时，f(x)=x十1单调递增，且0+ 1>0,所以f(x)在R上单调递增，则由f(x3)>f(-x),得x3>-x,即x(x2+1)>0,解 得x>0. 1(+4)厅由题意知，以M为球心，25为半径的球与正方体表面的交线长度博为所 求.在平面ABCD和平面ABB1A1上的轨迹是圆心为M,半径为2√3，圆心角为三的两段 孤，孤长均为2，在平面BC,B,上的镜连是圆心为B,半径为3，圆心角为号的弧弧长 为警故轨迹的总长度为号+1)无 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 15.(1)证明：连接BD.因为M是棱PB上靠近点P的三等分点，N是棱PD上靠近点P的三 等分点，所以MN/BD.…2分 因为MN在平面ABCD,BDC平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.·3分 (2)证明：因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD.…4分 因为PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,新以PA⊥BD.…6分 因为AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC.…7分 由(1)得MN∥BD,所以MN⊥平面PAC. …8分 (3)解：以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,之轴 建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,0),M(2,0,6),N(0,2, 6),所以AM=(2,0,6),AN=(0,2,6). n·AM=2x+6x=0, 设平面MAN的法向量为n=(x,y,之)，则 n·AN=2y+6z=0, 令x=3,则n=(3,3,一1). 10分 易得m=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.…11分 设平面MAN与平面ABCD的夹角为0， cos 0-Icos<m m-m m·n V19 19 所以平面MAN与平面ABCD夹角的余弦值为)， …13分 16.解：(1)记“第一次摸得荔枝味糖果”为事件A,“第二次摸得荔枝味糖果”为事件B, PB)=PAB)+PB)=PA)P(B1A+PP)=音×号+X号-， 所以第二次摸得荔枝味糖果的概率为8 …6分 ②)由题可知，每次摸糖果，摸得荔枝味糖果的概率为。，摸得樱桃味糖果的概率为？， …8分 记3次摸檐果后摸得荔枝味糖果的次数为y.则Y~B(3,号)。 …10分 因为3次摸糖果后得到的苹果味糖果总个数为X,所以Y=X,所以X~B(3,专】 …12分 所以X的数学期望E(X)=3×5-15 8=8 15分 17.(1)解：根据题意可得1+ =2,… 2 …1分 解得p=2. …2分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 所以C的方程为y2=4x. …3分 (2)解：设M(y)N(),直线1的方程为y=-x+. y=一x+t, 由 y2=4x, 消去x得y2+4y-4t=0,△=16+16t>0,所以>-1，y1+y2=-4,y1y2 =-4,…4分 |MN|=√1+(-1)2·|y1-y2=2·√(y1+y2)-4y1y2=4V2·√+t=8,…6分 资獬得t=1,…7分 所以直线1的方程为y=一x十1（或x十y一1=0）.… 8分 (3)证明：因为点P(1,yo)在C上，所以yo=2或yo=一2（舍去），所以P(1,2).…9分 ￥12024 由(2)得，=y一2-4 …10分 2- 4 所以k1十k2= …13分 因为y1+y2=-4,y1y2=-4t,所以k1十k2= 4(y1+y2)+16 y12+2(+y2)十4=0，即k1+2为定 值. …15分 18.(1)解：由题意可得sin2A十sin2C-sin2B=sin Asin C,…1分 根据正弦定理可得a2十c2一b2=a心，…2分 所以cosB=Q2+c2-b-ac-1 .............. 2ac 2ac21 …4分 因为B∈(0，x,所以B=于 5分 (2)(ⅰ)解：当b=4时，AC为△ABC外接圆的一条直径，所以 ∠ABC=2,则∠ABE=∠CBE=T .… 6分 设△ABC外接圆的圆心为O,则O为AC的中点.连接AE,CE,OE, 如图1所示. 易得∠AOE=∠COE=受，所以AE=CE=A十4=2.…7分 图1 在△ABE中，根据余弦定理可得AE2=AB2+BE2-2AB·BE·cOsT,则c2-25c+4 =0. …9分 同理，在△CBE中，a2一2√6a十4=0，…10分 所以a,c即为方程x2一2√6x十4=0的两个根，所以a十c=2√6.…11分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 (i)证明：如图2，过点O作OM⊥AE,交AE于点M.设∠ABC= 20,则∠ABE=∠CBE=0,…12分 ∠AOE=∠COE=20,∠AOM=∠MOE=0, 则AE=2ME=2OE·sin0=4sin0.…14分 Tsn0 sin BAB,即19 在△ABE中，根据正弦定理可得E=,BE sin 0 图2 23 sin∠BAE' …16分 所以sin∠BAE= 2. .…17分 19.(1)解：f(x)=3x2-2ax=x(3x-2a),令f'(x)=0,解得x=0或x-2a 3 …1分 若a=0,则f'(x)=3.x2≥0，f(x)在R上单调递增.…2分 若a>0,则当x∈(-∞，0)时，x)>0,f(x)单词递增：当x∈(0，号)时，f(x)<0. 了(x)单调递减：当x(号，+∞)时(x)>0,f(x)单调递增。 …3分 若a<0,则当x∈(-∞，号)时(x)>0f(x)单调递增：当x∈（号0）时，f(x)<0, f(x)单调递减；当x∈(0，十∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增. …4分 (2)解：当x>0时，由fx)≥lnx,得x3-ax2≥nc,即a≤t-n工 …5分 令gx)=n工，则g'r) (3x2-)·x-(x-n)2u x3-1+2In x 4*44…0…0…444……00…*040…4000…0044…0044*0.6 令h(x)=x-1+2nx,则'(x)=3x2+2>0.h(x)在(0，十上单调递增.…7分 T 又h(1)=13-1+21n1=0,所以当x∈(0,1)时，h(x)<0,即g'(x)<0,g(x)单调递减； 当x∈(1，十∞)时，h(x)>0,即g'(x)>0,g(x)单调递增.…8分 所以g(r）m=g0）-1二n1-1,. 12 9分 所以a≤1，即a的取值范围为（一o∞，1].… …10分 (3)证明：（证法一）当a=1时，f(x)=x3-x2=x2(.x一1). 若x1<0,x2<0,则f(x1)<0,f(x2)<0,与f(x1)十f(x2)=0矛盾， 所以x1>0,x2>0.…12分 由(2)可知f(x)≥lnx,得f(x1)十f(x2)=0≥lnx1十lnx2=ln(x1x2),则x1x2≤1，… …14分 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 所以f(x1x2)=(.x1x2)2(x1x2-1)≤0.…15分 又+()≥h+nn 1=-ln(x1.x2)≥0，…16分 所以fxx)f()+() …17分 (证法二)当a=1时，f(x)=x3-x2.由f(x1)十f(x2)=0,得x3十x号=x十x,显然x1, x2不同时为负数，由x1x2>0可得x1,x2都为正数.…12分 因为(x+x)(1-√x2)=x+x2-(x+x)WJx1x2=(√-√)(W1-√x2)≥ 0,所以0<x1x2≤1，…14分 所以f(x1x2)=(x1x2)3-(x1x2)2≤0.…15分 汉)+》-()+(-》t国 xia x+x-x1x3-x2_(+zi)1-1x）≥0 xixi 所以f红x)()+/() ................. 17分 只 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】