广西壮族自治区柳州市2026届高三上学期12月联考数学试题

2025~2026学年上学期2023级12月联考 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 4. 已知偶函数在上是减函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 记的内角的对边分别为，则（ ） A. B. C. 或 D. 8. 已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的右支交于点，，，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组10个不相同的数据，去掉其中最大和最小两个数据后，剩下的8个数据的22%分位数等于原来数据的22%分位数 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若事件A，B满足，，且，则事件A，B独立 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越大越接近于1 10. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ） A. B. C. 函数有5个零点 D. 在上单调递增 11. 如图，在边长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是底面内的动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 存在P满足 C. 若，则三棱锥体积的最小值为 D. 若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是41π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中项的系数为_______. 13. 已知，，则________． 14. 设，，，，函数（e是自然对数的底数，）．从有序实数对中随机抽取一对，使得恰有两个零点的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，若，且. （1）证明：为等差数列，并求. （2）若，求数列的前项和. 16. 随着粤港澳大湾区建设、黄河流域生态保护和高质量发展等区域重大战略实施取得新成效，城乡融合和区域协调发展继续推进，2024年末全国常住人口城镇化率增长至67.00%.下图为2020-2024年年末常住人口城镇化率的折线图. （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合常住人口城镇化率与年份代码的关系，请建立关于的回归方程，并估计2026年常住人口的城镇化率的值. （2）从这5年中任取3年，记常住人口城镇化率不超过的年数为，求的分布列与数学期望. 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，. 17. 如图多边形 中，四边形 是矩形， ，沿直线 将 进行翻折，使得点 至点 的位置使得 是正三角形. （1）求证：平面 平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求切点的坐标； （2）当，时，求证：. 19. 如图，已知椭圆：的右焦点为，过F的动直线与交于P，Q两点，且当轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）证明：； （3）若P在x轴上方，直线与圆E：交于点B，点B在x轴上方，是否存在点P，使得与的面积之比为4:9?若存在，求出点P坐标：若不存在，说明理由. 2025~2026学年上学期2023级12月联考 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） ， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2） 【16题答案】 【答案】（1）；； （2）的分布列为： 【17题答案】 【答案】（1） 因为 是正三角形， 所以， 又， 所以， 即，又,为平面内两条相交直线， 所以平面， 又在平面内， 所以平面平面 ； （2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）证明: 当，时，要证明， 即证明，只需证明， 即只需要证明，其中， 设， 设 因为函数在上均为减函数， 则在区间内单调递减， 因为， 所以，，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减. 因为， 在区间内单调递增，所以有， 在区间内单调递减，所以有， 故内恒成立，原不等式得证. 【19题答案】 【答案】（1）； （2） 证明：当的斜率为零时，为椭圆长轴端点，， 则. 当的斜率不为零时，设的方程为， 由消去得， ， 所以， 而，则， 因此，而共线，即， 由. （3）存在. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $