专题1.2 多边形的内角和与外角和（3大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

本讲义聚焦多边形内角和与外角和核心知识点，先通过定义、边、顶点等概念构建基础认知，再以转化思想推导内角和公式((n-2)·180°)，结合外角和360°定理，形成从概念到公式再到应用的学习支架，助力学生系统掌握边数与角度计算。 资料亮点在于融入转化思想（内角和推导分割为三角形）、生活情境（正十二边形纪念币、窗棂图案）及分层题型（即学即练与变式），培养数学眼光（观察生活多边形）、推理意识（截角问题分析），课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题1.2 多边形的内角和与外角和 教学目标 1. 探索并掌握多边形内角和公式，理解将多边形分割为三角形进行推导的转化思想。 2. 理解多边形外角和为360°的结论，掌握其与边数无关的普遍性。 3. 能综合运用内角和与外角和公式，解决多边形的边数、角度计算与推理等实际问题。 教学重难点 重点： 1. 多边形内角和公式的推导与应用，能准确进行边数与内角和的计算。 2. 多边形外角和定理的理解与应用，能熟练用于求解相关问题。 难点： 1. 多边形内角和公式推导中，从多边形一个顶点出发作对角线的数学思想方法理解。 2. 在复杂图形或综合问题中，灵活选用内角和或外角和公式建立等量关系。 知识点01 多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 【即学即练】1．（24-25八年级上·江西南昌·期中）八边形的对角线一共有（    ）条 A．20 B．24 C．28 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握多边形对角线条数的计算公式是解题的关键．根据n边形对角线条数计算公式计算，即得答案． 【详解】当时，， 所以八边形的对角线共有20条． 故选：A． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）下列关于正多边形的说法错误的是（    ） A．各个内角都相等 B．各条边都相等 C．各个外角都相等 D．各条对角线都相等 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的定义和性质，根据正多边形的定义和性质逐个判定即可． 【详解】解：A．正多边形各个内角都相等，正确，故本选项不合题意； B．正多边形各条边都相等，正确，故本选项不合题意； C．正多边形的每个外角等于相邻内角的补角，由于内角相等，外角也必然相等，正确，故本选项不符合题意； D．正多边形各条对角线不一定都相等，例如正六边形中连接相隔顶点数不同的对角线长度也不同，原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（2025·广东清远·模拟预测）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形内角和定理，掌握多边形对角线及对角线分三角形的个数，内角和定理的运用是解题的关键． 设多边形的边数为（且为整数），从一个顶点出发可引出的对角线条数为条，将多边形分成三角形的个数是个，由此得到多边形的边数，再根据多边形内角和定理即可求解． 【详解】解：设多边形的边数为（且为整数）， ∴， 解得，， ∴这个多边形的五边形， ∴该五边形的内角和为， 故选：D ． 4．（24-25八年级上·辽宁辽阳·月考）把一个三角形沿某条直线任意剪一刀，剪成两个多边形后，分别计算这两个多边形的内角和，再相加得到的最大角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和，分类讨论是解题的关键． 根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可． 【详解】解：①将三角形从一顶点剪向对边，若得到两个三角形，两个多边形的内角和：； ②将三角形剪成一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：； 故选C． 知识点02 多边形内角和 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 【即学即练】5．（24-25八年级上·广东广州·期中）若一个多边形的内角和为，则这个多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．八边形 D．六边形 【答案】C 【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式．根据多边形的内角和公式求出多边形的边数即可． 【详解】设所求正n边形边数为n， 则， 解得． 故选：C 6．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，直线，正六边形的顶点、分别在直线、上，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角问题，平行线的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线是解题的关键．延长与直线交于点，先求出正六边形的内角的度数，再由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：延长与直线交于点， ∵正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，这是一枚年发行的正十二边形纪念币，则该正十二边形一个内角为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质和内角和公式，根据正多边形内角和公式，求出正十二边形的内角和再除以，得到正十二边形每个内角的大小即可． 【详解】解：该正十二边形一个内角的大小为：． 故答案为：． 8．（2020九年级·全国·竞赛）一个凸多边形过相邻两边上各一点（但不是顶点）作一线段，形成另一多边形的内角和是，则原多边形的边数是 【答案】15 【分析】本题考查了多边形的内角和，理解题意，运用多边形的内角和公式是解题的关键；设原多边形的边数是n，则新多边形的边数是，再根据多边形的内角和列出关于n的方程，解方程即可得解． 【详解】解：设原多边形的边数是n，则新多边形的边数是， 根据题意得，， 解得． 故答案为：15． 知识点03 多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 【即学即练】9．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）一个多边形的每一个外角都等于，则该多边形的内角和等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是掌握相关知识．根据任何多边形的外角和等于，可求得这个多边形的边数，再根据多边形的内角和等于即可求得内角和． 【详解】解：一个多边形的每一个外角都等于， 该多边形是正多边形，且边数为， 该多边形的内角和等于， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若一个多边形的内角和与外角和之和是，则该多边形的边数是 ． 【答案】5 【分析】多边形的外角和恒为，因此内角和为，再根据内角和公式求边数即可． 本题考查了多边形的内角和，外角和，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：多边形的外角和恒为，因此内角和为， 设边数为n，则， 即， 解得． 故答案为：5． 11．（17-18八年级上·天津红桥·课后作业）如图，在七边形中，的延长线相交于点．若图中，，，的角度和为，则的度数为 ．    【答案】/40度 【分析】本题考查多边形内角和定理及内外角关系，解题的关键是根据题意得到是五边形． 根据七边形中，，的延长线相交于点，得到是五边形，根据的角度和为，得到，结合内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵七边形中，，的延长线相交于点， ∴是五边形， ∵，，，的角度和为， ∴， ∵五边形的内角和为 ∴． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·上海·假期作业）（1）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是 ． （2）如果一个多边形的每个外角都等于，这个多边形的内角和是 °． 【答案】 4 2340 【分析】本题考查多边形的外角和和内角和（1）利用多边形外角和恒为与内角和公式列方程求解； （2）先由外角和求边数，再代入内角和公式计算． 【详解】解：（1）设多边形的边数为n．多边形的外角和为，内角和为． 由题意得，， 解得， 故答案为：4； （2）多边形的每个外角为，外角和为， ∴边数， ∴内角和为， 故答案为：2340． 题型01 多边形内角和问题 【典例1】（25-26八年级上·云南临沧·期末）一个六边形的内角和等于 度． 【答案】720 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和公式； 根据n边形的内角和公式进行计算即可． 【详解】解：六边形的内角和为， 故答案为：720． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是 ． 【答案】8 【知识点】多边形内角和问题 【分析】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：．根据多边形内角和定理：可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设多边形边数有条，由题意得： 解得：， 故答案为：8． 【变式2】（2025·重庆·一模）若六边形的内角中有一个内角为，则其余五个内角之和为 ． 【答案】/度 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和性质，根据算出六边形的内角和，再减去，即可得出其余五个内角之和，即可作答． 【详解】解：依题意，六边形的内角和：， 则其余五个内角之和， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·福建厦门·期末）图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式． 根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：八边形的内角和为：， 故选：． 题型02 多边形对角线的条数问题 【典例2】八边形的内角和是 ，它共有条 对角线． 【答案】 /1080度 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题 【分析】本题考查多边形的内角和，对角线，熟练掌握各个运算公式是解题的关键． 根据多边形的内角和公式，对角线条数计算公式即可得到结果． 【详解】八边形的内角和是，它共有条对角线． 故答案为：，20 【变式1】（24-25八年级上·河南信阳·期末）小宇用计算一个多边形的内角和，则该多边形共 条对角线． 【答案】9 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题 【分析】本题主要考查多边形内角与外角、多边形的对角线，熟记以上知识点是解题的关键．根据求多边形的对角线公式进行作答即可． 【详解】解： （条）． 故答案为：9． 【变式2】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如果从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线，那么这个边形的内角和是 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题、多边形对角线的条数问题 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线条数问题，从一个边形的一个顶点出发，最多能引出条对角线，据此可求出，再根据边形的内角和是进行求解即可． 【详解】解：∵从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线， ∴， ∴， ∴这个边形的内角和是， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）从九边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，九边形共有 条对角线，九边形的内角和为 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题、多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查九边形的对角线规律、九边形内角和等知识，根据多边形对角线定义，分析出一个顶点引出的对角线，再由九边形每个顶点均满足同样的性质即可得到答案；再有多边形内角和定理即可求出九边形内角和，熟记九边形对角线定义及对角线数量规律、多边形内角和定理是解决问题的关键． 【详解】解：对于九边形，共有9个顶点，由对角线定义可知，从九边形的一个顶点出发，除去这个点本身及这个点左右相邻的两个顶点（共计3个顶点）不能构成对角线以外，剩余的6个顶点均可以与选中的顶点连线构成对角线，则从九边形的一个顶点出发，可以引6条对角线； 从九边形的一个顶点出发，可以引出6条对角线，当不考虑重复情况时，9个顶点可以引出条对角线，若是九边形的两个顶点，则从顶点引出的一条对角线必定与从顶点引出的一条对角线重合，从而确定九边形共有条对角线； 由多边形内角和定理可知，九边形的内角和为， 故答案为：． 题型03 多边形截角后的边数问题 【典例3】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【变式1】（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少．先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为11或12或13． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为 【答案】、、 【知识点】多边形内角和问题、多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键； 设内角和为的多边形的边数是，根据多边形内角和定理可以求出所得多边形的边数； 由于一个多边形截去一个角后它的边数可能增加、可能减少或不变，由此确定原多边形的边数； 【详解】设内角和为的多边形的边数是， 于是有， 解得， ∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， 即原多边形的边数为或或； 故答案为：、、 【变式3】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是 ． 【答案】15，16或17 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解． 根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论． 【详解】解：设新多边形的边数为n， 则， 解得， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17， 所以多边形的边数可以为15，16或17． 故答案为：15，16或17． 题型04 多边形截角后的内角和问题 【典例4】（24-25八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【知识点】多边形内角和问题、多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题． 【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或， 其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为， 得到的多边形的内角和是或或， 故选：D． 【变式1】将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（    ） A．14 B．23 C．或 D．或或 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键． 根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果． 【详解】如图所示： 多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原四边形变为三角形； 另一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是四边形；还有一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原四边形为五边形； 新的多边形的内角和可能是，或，或． 故选：D． 【变式2】把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为 ． 【答案】或或 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形，由边形的内角和为，分别计算求解即可． 【详解】解：由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形， ∵边形的内角和为， ∴，，， 故答案为：或或． 【变式3】从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为 ． 【答案】或或 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】根据剪去一个角后的多边形的边数有：增加1、减少1、不变三种情况求出边数，再根据多边形的内角和公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵六边形截去一个角后的边数有增加1、减少1、不变三种情况， ∴新多边形的边数为7、5、6三种情况， ∴新多边形的内角和为， ， ， 故答案为：或或． 题型05 多边形外角和的实际应用 【典例5】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为 ． 【答案】/360度 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查多边形的外角和，根据n边形的外角和为即可求解． 【详解】解：八边形的外角和为． 故答案为： 【变式1】（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，小明从点A出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进，又向左转……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了 米． 【答案】60 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，多边形的外角和为360度，而每次转60度，那么可以求出转的次数，再根据每次转60米即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴一共走了60米， 故答案为：60． 【变式2】（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转，再沿直线前进15米，又向左转⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 米． 【答案】300 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题主要考查了多边形内角与外角，解题关键是理解小明每前进15米后向左转18°，当他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形． 根据题意判断小明每前进15米后向左转，当他回到出发地A地时，走过的路程形成正多边形，然后根据正多边形的外角和是，求出多边形的边数，从而求出答案即可． 【详解】解：由题意得：小明从A地出发，他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形，外角和为，每个外角的度数是， ∴多边形的边数为：， ∴一共走的路程为：（米）， 故答案为：300． 【变式3】（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图是某品牌的一款木工六角尺，它是一种多角度的测量工具，通常用于木工和其他精细工艺中．此款六角尺各角上标的度数实际是这个角对应的外角大小，已经标出的五个度数有，则未标度数的角处应填 ． 【答案】 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查的是多边形的外角和的应用，根据多边形的外角和为，直接列式计算即可． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴未标度数的角处应填：； 故答案为： 题型06 多边形内角和与外角和综合 【典例6】一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 【答案】6 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设这个正多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形外角和为，结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数是6， 故答案为：6． 【变式1】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了正多边形的内角与周角、等腰三角形的性质，熟练掌握正八边形的内角和正五边形的内角求法是解题的关键．根据正八边形的内角和正五边形的内角结合周角的定义和等腰三角形性质可得结论． 【详解】解：由题意得：正八边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于， 故， ， ． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和定理是解题的关键． 由多边形内角和定理得，整理得，则，即可得出结论． 【详解】解：由图2可知，， 整理得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）[传统文化]窗棂是中国传统木结构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．现有一造型独特的窗体设计如下图，已知，，则 ． 【答案】/80度 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形内角与外角．根据任意多边形的外角和是进行计算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 题型07 平面镶嵌 【典例7】（2025·陕西榆林·三模）如图是某校数学兴趣小组活动室墙壁上的一幅图案的一部分，它是由边长相等的正方形、正三角形和正n（）边形密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，则该正n边形一个内角的度数为 °． 【答案】150 【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题 【分析】本题主要考查了镶嵌和正多边形的内角， 根据正方形的每一个内角为，正三角形的每一个内角为，可知正n边形的一个内角的度数为，可得答案． 【详解】解：正n边形的一个内角的度数． 故答案为：150． 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，为足球表面沿缝接线剪开并将其平铺后的局部示意图．该平面图形为具有公共顶点且边长相等的2个正六边形和1个正五边形拼接而成（除处，其他均无缝隙无重叠拼接），则图示中两个正六边形之间的缝隙 度． 【答案】12 【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角问题是解题的关键．先由正多边形的内角公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是即可求出的大小． 【详解】解：正五边形的每个内角的度数为：， 正六边形的每个内角的度数为：， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题 【分析】本题考查正多边形的镶嵌，根据“半正密铺”图案的定义结合正三角形和正六边形的一个内角度数，进行求解即可． 【详解】解：∵正三角形的一个内角的度数为：，正六边形的一个度数为：， ∵， ∴每个顶点上和为的四个角依次为正三角形，正三角形，正六边形，正六边形的各一个内角， ∴用记号表示为：； 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·福建厦门·期中）生活中，我们所见到的地面、墙面、绘画图案等常常由一种或几种形状相同的图形拼接而成，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．以下镶嵌图形所用的平行四边形中最大内角为 ． 【答案】/144度 【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题 【分析】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键；根据图形可知构成完整一个图形是一个正十边形，进而根据正十边形的内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由图可知：多边形是正十边形，且即为所用平行四边形中最大内角， ∴； 故答案为． 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）一个九边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟练掌握内角和公式是解决问题的关键． 根据多边形的内角和公式：且为整数，进行计算即可． 【详解】解：多边形内角和公式为， 九边形的边数， 代入公式得： ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·广东潮州·期末）一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形，根据多边形的外角和等于即可求得答案． 【详解】解：边数． 故选：A 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，与的外角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了四边形的内角和，角平分线的定义，三角形的内角和，解答本题的关键是掌握三角形的内角和定理． 先通过邻补角的定义，四边形的内角和为，得到；再通过角平分线的定义结合三角形内角和为即可求出． 【详解】解：如图， ,， ． 又， ． 与的外角平分线交于点， ，． ． ． 故选：A． 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分，部分多边形的三角剖分方法如下图，如：四边形三角剖分得到两个三角形，它的内角和为，用你发现的规律求七边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义：多边形的三角剖分，多边形内角和的探究，熟练掌握新定义是解题的关键．根据七边形三角剖分得到五个三角形，即可求出答案． 【详解】解：由题意得，七边形三角剖分得到五个三角形， 它的内角和为． 故选：B． 5．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，理解一个长方形锯掉一个角以后得到的多边形的形状是解题的关键． 长方形木板锯掉一个角后可能是三角形或四边形或五边形，再根据多边形的内角和定理即可解决． 【详解】解：长方形木板锯掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形， 则剩下的多边形木板的内角和是或或． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·上海闵行·月考）如果一个多边形的每个外角都等于，那么这个多边形的边数是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理是解题的关键．利用多边形的外角和定理，外角和为，每个外角为，计算边数. 【详解】解：多边形的外角和恒为，每个外角为60°， 因此边数． 故答案为：6． 7．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，直线、分别经过正六边形的顶点、，且，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查正多边形内角和问题，平行线的性质，先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如下图， 正六边形的内角和为： ， ∴正六边形的每个内角，即， ， ， ∵， ， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，学校里一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其中，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和定理即可得出，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：五边形内角和为：， 根据图中密铺可得， ， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·湖北荆门·月考）过a边形的一个顶点有7条对角线，正b边形的内角和与外角和相等，c边形没有对角线，d边形有d条对角线，则代数式 . 【答案】3 【分析】本题考查了多边形的对角线、多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的性质是解题关键．先根据多边形的对角线可得，再根据多边形的内角和与外角和可得，然后代入计算即可得． 【详解】解：∵过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，边形有条对角线， ，，， ∵， ， 解得， ∵正边形的内角和与外角和相等， 正边形的内角和为， ， 则， 故答案为：3． 10．（25-26八年级上·河北沧州·期中）数学小组就正多边形的拼接与重叠展开研究． （1）如图-1，用个全等的正六边形进行拼接，使相邻两个正六边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，则 ． （2）如图-2，平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边完全重叠在一起，则 ． 【答案】 6 /24度 【分析】本题考查了平面镶嵌，正多边形的性质，正多边形内角、外角，利用正多边形的外角求内角是解题的关键． （1）利用正六边形内角及周角性质，确定中间正多边形的内角，进而求出； （2）先计算各正多边形内角，再通过角度差表示，最后代入计算． 【详解】解：（1）正六边形的每个外角为，每个内角为， 个正六边形围成一圈时，中间正多边形的一个内角为， 中间的正多边形的边数为， ； 故答案为：； （2）正三角形的内角为， 正方形的内角为， 正五边形的内角为， 正六边形的内角为， ， ． 故答案为： 三、解答题 11．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，已知正五边形，，交的延长线于点．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质与平行线的性质，掌握正五边形的内角计算方法，及利用等腰三角形、平行线转化角的关系是解题的关键． 先利用正五边形的性质求出内角及等腰三角形的角，再结合平行线的性质得到相等的角，最后通过角的差计算出的度数． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， ， ， ， ． ． 12．（25-26八年级上·上海·假期作业）（1）一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． （2）一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少，这个多边形的边数是多少？ （3）如果一个边形的内角和等于它的外角和，则 ． 【答案】（1）6；（2）该多边形的边数为9；（3）4 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理，熟知多边形内角和公式是解题的关键． （1）设这个多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形的外角和为建立方程求解即可； （2）设这个多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形的外角和为建立方程求解即可； （3）这个n边形的内角和为，外角和为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：（1）设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， 故答案为：6． （2）设这个多边形的边数为n， 根据题意得： 解得． ∴该多边形的边数为9． （3）这个n边形的内角和为，外角和为， ∴， 解得， 故答案为：4． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形，内角和，外角 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为：． （1）由边形的内角和公式为，可知边形的内角和一定是的整数倍，而不能被整除，所以小明说不可能； （2）由（1）可得到多加的那个外角的度数，以及多边形的边数和内角和． 【详解】（1）解：∵边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是的整数倍． ∵， ∴小明说多边形的内角和不可能是． （2）解：． ， ． 故小华求的是十三边形的内角和，内角和是，多加的那个外角是． 14．（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践 阅读材料：与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形．小聪同学想，三角形的内角和是，那么四边形、五边形、n边形的内角和会是多少度呢？小聪同学再想一下，能不能把多边形转化为三角形，从而得到多边形的内角和呢？ (1)于是他从四边形开始．如图1，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形，则四边形的内角和是 ． (2)如图2，五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形，则五边形的内角和是 ． (3)如图3，六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形，则六边形的内角和是 ． (4)如图4，如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到 个三角形，则n边形的内角和是 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查了对角线分成的三角形个数问题，多边形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合三角形内角和为180度，进行分析，即可作答； （2）理解题意，结合三角形内角和为180度，进行分析，即可作答； （3）理解题意，结合三角形内角和为180度，进行分析，即可作答； （4）理解题意，根据前面三小问，进行分析总结，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形， 则四边形的内角和是； （2）解：∵五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形， 则五边形的内角和是； （3）解：∵六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形， 则六边形的内角和是； （4）解：如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到个三角形，则n边形的内角和是 15．（18-19七年级下·江苏无锡·期末）探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 如图甲，、为的两个外角，则与的数量关系 ． 探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 如图乙，在中，、分别平分和，则与的数量关系 ． 探究三：若将改为任意四边形呢？ 已知：如图丙，在四边形中，、分别平分和，则与的数量关系 ． 探究四：若将上题中的四边形改为六边形呢？如图丁则与的数量关系 ． 探究五：如图，四边形中，为四边形的的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，； （1）如图①，，则 ；（用α，β表示） （2）如图②，，请在图中画出，且 ；（用α，β表示） （3）一定存在吗？如有，直接写出的值，如不一定，直接指出α，β满足什么条件时，不存在． 【答案】探究一：；探究二：；探究三：；探究四：；探究五：（1）；（2）；（3）当时，，即不存在． 【分析】探究一：根据三角形内角和定理及外角的定义求解； 探究二：根据三角形内角和定理及角平分线的定义求解； 探究三：延长与交于E点，根据三角形内角和定理及（2）的结论求解； 探究四：根据三角形内角和定理，角平分线的定义及多边形内角和公式求解； 探究五：根据三角形内角和定理，多边形内角和公式，角平分线的定义，三角形外角的定义和性质求解． 【详解】探究一：解：为的两个外角， ，， ， ， 故答案为：； 探究二：解：分别平分和， ，， ， ， ， 故答案为：； 探究三：解：如图，延长与交于E点， 根据探究二的结论可得， ， ， ， 故答案为：； 探究四：解：六边形的内角和为：， 分别平分和， ，， ， 即， 故答案为：； 探究五：解：（1）由四边形内角和定理得， ， 由三角形外角的性质得， 分别平分和， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图所示， 同①可得 ， 由三角形外角的性质得， 分别平分和， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）由①②结论可得，当时，，即不存在． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.2多边形的内角和与外角和 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01多边形的概念 知识点02多边形内角和 知识清单 知识点0j多边形的外角和 题型01多边形内角和问题 多边形的内角和 题型02多边形对角线的条数问题 与外角和 题型03多边形截角后的边数问题 题型04多边形截角后的内角和问题 题型精讲 题型05多边形外角和的实际应用 题型06多边形内角和与外角和综合 题型07平面接嵌 强化训练 教学目标、教学重难点 1.探索并掌握多边形内角和公式，理解将多边形分割为三角形进行推导的转化思想。 教学目标 2.理解多边形外角和为360°的结论，掌握其与边数无关的普遍性。 3.能综合运用内角和与外角和公式，解决多边形的边数、角度计算与推理等实际问题。 重点： 1.多边形内角和公式的推导与应用，能准确进行边数与内角和的计算。 2.多边形外角和定理的理解与应用，能熟练用于求解相关问题。 教学重难点 难点： 1.多边形内角和公式推导中，从多边形一个顶点出发作对角线的数学思想方法理解。 2.在复杂图形或综合问题中，灵活选用内角和或外角和公式建立等量关系。 1/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识清单 知识点01 多边形的概念 1.定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形.其中，各个角 相等、各条边相等的多边形叫做正多边形。 2.相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边， 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点. 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角， 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 顶点 人内角 D 多边形 边 对角线 外角 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多 边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形.如图： 特别说明：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可： ②)过n边形的一个顶点可以引r3》条对角线，n边形对角线的条数为n-3》 2 (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形. 【即学即练】1.(24-25八年级上·江西南昌期中)八边形的对角线一共有()条 A.20 B.24 C.28 D.40 2.(24-25八年级上·贵州遵义·期中)下列关于正多边形的说法错误的是() A.各个内角都相等 B.各条边都相等 C.各个外角都相等 D.各条对角线都相等 3.(2025广东清远模拟预测)过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，则这 个多边形的内角和是() A.360 B.1809 C.90 D.540° 4.(24-25八年级上辽宁辽阳·月考)把一个三角形沿某条直线任意剪一刀，剪成两个多边形后，分别计算 这两个多边形的内角和，再相加得到的最大角度是() A.180 B.360° C.540° D.720° 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识点02 多边形内角和 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3). 特别说明：()内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②己知多边形内角和求其边数： 2正多边形的每个内角都相等，都等于m-2)·180 【即学即练】5.(24-25八年级上·广东广州期中)若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是() A.三角形 B.四边形 C.八边形 D.六边形 6.(25-26九年级上江苏南通·期中)如图，直线a∥b,正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b 上，若∠1=40°，则∠2的度数是 0 4 :正六边形ABCDEF, :∠F=6-2x180 -=120°，AF CD, 6 ∴.∠2=∠H, :a∥b, ∠3=∠H, ∠2=∠3=180°-∠F-∠1=180°-120°-40°=20° 7.(25-26九年级上江苏盐城月考)如图，这是一枚2025年发行的正十二边形纪念币，则该正十二边形一 个内角为 0 10元 8.(2020九年级全国·竞赛)一个凸多边形过相邻两边上各一点（但不是顶点）作一线段，形成另一多边形 3/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的内角和是2520°，则原多边形的边数是 知识点03多边形的外角和 多边形的外角和为360°. 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.边形的外 角和恒等于360°，它与边数的多少无关； ②正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360 n (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②己知多边形边数求各相等 外角的度数 【即学即练】9.(24-25七年级下.甘肃武威期中)一个多边形的每一个外角都等于30°，则该多边形的内 角和等于」 10.(25-26八年级上陕西西安·月考)若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数 是 11.(17-18八年级上·天津红桥·课后作业)如图，在七边形ABCDEFG中，AB,ED的延长线相交于点O.若 图中∠1，∠2，∠3，∠4的角度和为220°，则∠BOD的度数为一 D E 12.(25-26八年级上·上海假期作业)(1)如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数 是 (2)如果一个多边形的每个外角都等于24°，这个多边形的内角和是 题型精讲 题型01多边形内角和问题 【典例1】(25-26八年级上云南临沧期末)一个六边形的内角和等于度. 【变式1】(24-25七年级下全国课后作业)若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数是 【变式2】(2025重庆.一模)若六边形的内角中有一个内角为60°，则其余五个内角之和为」 【变式3】(25-26八年级上·福建厦门·期末)图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸 起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为」 4/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型02多边形对角线的条数问题 【典例2】八边形的内角和是 它共有条」 对角线 【变式1】(24-25八年级上河南信阳期末)小宇用(6-2)×180°计算一个多边形的内角和，则该多边形共 条对角线， 【变式2】(24-25八年级上江西上饶阶段练习)如果从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角 线，那么这个边形的内角和是 【变式3】(2425八年级上河南信阳阶段练习)从九边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，九 边形共有 条对角线，九边形的内角和为」 题型03多边形截角后的边数问题 【典例3】(24-25八年级上·湖北荆州期末)一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是 1620,则原来多边形的边数是() A.10或11 B.10或12 C.11或12 D.10或11或12 【变式1】(24-25八年级上四川德阳阶段练习)一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外 角和的5倍，则原来多边形的边数是() A.12 B.13 C.12或13 D.11或12或13 【变式2】(24-25八年级上四川绵阳期中)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720° ，那么多边形的边数为」 【变式3】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是 题型04多边形截角后的内角和问题 【典例4】(2425八年级上·贵州安顺期末)将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到 的多边形的内角和是() A.3609 B.540° C.360°或5409 D.360°或540°或720 【变式1】将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是() A.14 B.23 C.180°或360° D.180°或360°或540° 【变式2】把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为 【变式3】从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为 5/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型05多边形外角和的实际应用 【典例5】(24-25八年级下·浙江杭州期中)杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看 成是一个八边形，则这个八边形的外角和为一· 【变式1】(24-25八年级上宁夏吴忠·期中)如图，小明从点A出发，沿直线前进10m后向左转60°，再沿 直线前进10m,又向左转60°照这样走下去，小明第一次回到出发点A,一共走了米. 60 609 60° A 【变式2】(24-25八年级上四川南充·期末)如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转18°，再沿 直线前进15米，又向左转18°…，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是米。 189 18 A 【变式3】(24-25八年级上山西阳泉期末)如图是某品牌的一款木工六角尺，它是一种多角度的测量工具， 通常用于木工和其他精细工艺中.此款六角尺各角上标的度数实际是这个角对应的外角大小，己经标出的 五个度数有67.5°，45°，75°，60°，54°，则未标度数的角处应填 题型06多边形内角和与外角和综合 【典例6】一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 【变式1】(24-25九年级下江苏南通阶段练习)如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则 ∠ACB的度数为 6/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(24-25八年级上·河北沧州期中)如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种 窗棂中的部分图案.若∠1+∠2+∠3=227°，则L4+∠5的度数为_ 图1 图2 【变式3】(2024八年级上·黑龙江·专题练习)[传统文化]窗棂是中国传统木结构建筑的框架结构设计，窗棂 上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案.现有一造型独特的窗体设计如下图，已知 ∠1=∠2=75°，∠3=∠4=65°，则∠5= 题型07平面镶嵌 【典例7】(2025陕西榆林.三模)如图是某校数学兴趣小组活动室墙壁上的一幅图案的一部分，它是由边长 相等的正方形、正三角形和正n(>4)边形密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，则该正n边形一个内 角的度数为」 【变式1】(24-25八年级上山东淄博·期末)如图，为足球表面沿缝接线剪开并将其平铺后的局部示意图.该 平面图形为具有公共顶点O且边长相等的2个正六边形和1个正五边形拼接而成（除∠A0B处，其他均无 缝隙无重叠拼接)，则图示中两个正六边形之间的缝隙∠AOB= 度 7/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 【变式2】(24-25九年级上·浙江杭州期末)用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个 平面（即每个顶点上的各个角度数的和为360°）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案 叫做“半正密铺”图案.如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为360°的三个角依次为正方形、正八边形、 正八边形的各一个内角，可以用记号4,8,8)表示.请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案， 并类比上述方法用记号表示 ·(写出一种即可) 【变式3】(2425八年级上·福建厦门期中)生活中，我们所见到的地面、墙面、绘画图案等常常由一种或 几种形状相同的图形拼接而成，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌.以下镶 嵌图形所用的平行四边形中最大内角为· 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级下·全国课后作业)一个九边形的内角和等于() A.1800 B.1440° C.1260 D.1080° 2.(25-26八年级上，广东潮州·期末)一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数为() A.6 B.7 C.8 D.9 3.(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，在四边形ABCD中，LA+∠D=Q,∠ABC与∠BCD的外角平 分线交于点P,则∠P=() 8/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.180°+a D.360°-a 2 4.(25-26八年级上·云南昆明·期末)把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内 部相交)划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分，部分多边形的三角剖分方法如下图，如：四边形 三角剖分得到两个三角形，它的内角和为180°×2=360°，用你发现的规律求七边形的内角和是() A.1260° B.900° C.720 D.540° 5.(24-25八年级上湖北襄阳·期末)将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和 为() A.180°或360° B.180°或540° C.360°或540° D.180°或360°或540 二、填空题 6.(25-26八年级上·上海闵行·月考)如果一个多边形的每个外角都等于60，那么这个多边形的边数 是」 7.(25-26九年级上山东济南·月考)如图，直线4、马分别经过正六边形ABCDEF的顶点A、B,且l∥2 ,若∠1=95°，则∠2=一 B D 8.(25-26九年级上·江苏准安期中)如图，学校里一段甬道是由完全相同的五边形ABCDE密铺而成，其中 ∠C=∠E=90°，则∠A的度数为一 9/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 9.(23-24八年级上·湖北荆门·月考)过a边形的一个顶点有7条对角线，正b边形的内角和与外角和相等， c边形没有对角线，d边形有d条对角线，则代数式c(d-b)°=一 10.(25-26八年级上·河北沧州·期中)数学小组就正多边形的拼接与重叠展开研究. 图-1 图-2 (1)如图-1，用n个全等的正六边形进行拼接，使相邻两个正六边形有一条公共边，围成一圈后中间形成 一个正多边形，则n= (2)如图-2，平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边完全重叠在一起，则 ∠1+∠3-∠2= 三、解答题 11.(25-26八年级下·全国周测)如下图，已知正五边形ABCDE,AF∥CD,交DB的延长线于点F.求 ∠BAF的度数. G 12.(25-26八年级上·上海假期作业)(1)一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形的边数为」 (2)一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少180°，这个多边形的边数是多少？ (3)如果一个边形的内角和等于它的外角和，则”=一 13.(25-26八年级下·全国·课后作业)看下图解答问题. 这个凸多边形的 什么？不可能.你看， 内角和是2026 你多加了一个外角！ 小华 小明 10/12