专题1.1 三角形的内角和与外角和（2大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.1三角形的内角和与外角和 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01三角形的内角和定理 知识清单 知识点02三角形的外角和定理 题型01三角形内角和定理的证明 三角形的内角和 题型02与平行线有关的三角形内角和问题 与外角和 题型03与角平分线有关的三角形内角和问题 题型04与三角形折叠中的角度问题 题型精讲 题型05三角形纳角和定理的应用 题型06三角形的外角的定义与性质 题型07三角形内角和与外角和综合问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.掌握三角形内角和定理，能通过剪拼、推理等方法证明三角形三个内角的和为180 教学目标 2.理解三角形外角的概念及性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和。 3.能综合运用内角和定理与外角性质，解决与角度相关的计算和简单推理问题。 重点： 1.三角形内角和定理的证明与应用，能够熟练进行角度计算。 2.三角形外角性质的掌握，并能够灵活运用其进行推理与计算。 教学重难点 教学难点： 1.内角和定理证明中添加辅助线的思路理解与形成。 2. 在实际问题中，特别是在复杂图形中，识别外角与不相邻内角的关系并正确运用。 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识清单 知识点01三角形的内角和定理 1.三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。 2证明思路（一种经典证法）：过三角形的一个顶点作对边的平行线，利用同位角、内错角相等的性质，将 三个内角转化成一个平角(180°)。 【即学即练】1.(25-26八年级上·上海闵行月考)在ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:4,则∠B的度数 为 2.(25-26八年级上·安徽合肥期末)在ABC中，∠A=30°，∠B=50°，点D在AB边上，连接CD,若 △ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 3.(25-26八年级上·云南昆明期末)如图，在ABC中，AD是高，CE是角平分线，AD,CE相交于点0， 且∠BAC=60°，∠B=70°. B D (I)求∠BAD的度数： (2)求∠A0C的度数. 知识点02三角形的外角和定理 1外角定义：三角形每个顶点处，一个内角的两条边中的一条反向延长，与另一条边所夹的角称为该顶点 的一个外角。每个顶点有两个外角（它们相等，因为是对顶角），通常我们讨论的是三个顶点各取一个外角 (共三个)。 2.三角形外角和内定理：三角形的三个外角（每个顶点取一个）的和等于360°。 【即学即练】4.(25-26八年级上浙江杭州·月考)如图，在ABC中，∠B=40°，∠ACD=105°，则∠A 等于度。 -D B 5.(25-26七年级上全国·假期作业)如图，在ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,且BO, C0交于点O,CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E.已知∠E=25°，则∠BOC的度数为 2/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(25-26七年级下·全国·课后作业)如图，D是AC延长线上一点，E是AB上一点，ED与BC相交于点 F,∠BCD=92°，∠A=27°，∠BED=44°. D C (I)求∠B的度数： (2)求∠BFD的度数. 题型精讲 题型01三角形内角和定理的证明 【典例1】(2025八年级上·全国专题练习)在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，飞翔班的同学作了 如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是() 【变式1】(25-26八年级上·天津南开.期中)在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学 作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是 ① ② ④ A.如图①所示，过点C作EF‖AB B.如图②所示，过点B作BG‖AC C.如图③所示，过点C作CD⊥AB、垂足为点D D,如图④所示，过AB边上点P作PM‖CB,PN‖AC 3/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26九年级上四川攀枝花期末)我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺 次标上∠1、∠2、∠3，如图1，再将∠1、∠2剪下，将它们与∠3拼在一起，如图2. 2 B 图1 图2 (1)在图2中，通过∠1、∠2、∠3的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想， 【变式3】(2025八年级上·全国.专题练习)为了证明“三角形的内角和是180°”，林老师给出了如图所示四 种作辅助线的方法.回答下列问题： F B A D B A B 过AB上一点D作 过点C作CD⊥AB 过点C作EFIAB 延长AC到点F, DEIBC,DFI∥AC 于点D 过点C作CEI∥AB 图① 图② 图③ 图④ (1)能证明“三角形内角和是180°”的方法是 (请填写序号)： (2)在(1)的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明. 题型02与平行线有关的三角形内角和问题 【典例2】(25-26八年级上全国课后作业)如图，直线a∥b,则∠A的度数是 b310 B 110° b C 【变式1】(24-25七年级下山东济南·期中)如图，四边形ABCD中，点G是BC上一点，过点G作 GE∥AB,GF∥CD,若∠A+∠D=123°，则LEGF= 4/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A E B G C 【变式2】(24-25七年级下·重庆秀山期末)如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D,过点 D作DE∥BC交AC于点E,DG平分LBDE交BC于点G,点F为线段CG上一点.若∠DCE=30°，则 LEDC=°；若LDFC=LDEC,LA=a,则LGDC=一 GF 【变式3】(24-25七年级下·河北廊坊·月考)已知：如图，BF平分∠ABD,DE平分∠BDC交BF于点E, BF交CD于点F,∠I=∠3 A B 3 C F D (I)请说明AB∥CD的理由； (2)若∠2=25°，求∠3的度数； (3)若∠ABD=140°，求证：DE⊥BF. 题型03与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例3】(25-26八年级上黑龙江大庆期末)己知在ABC中，∠A=42°，角平分线BP、CP交于点P, 则∠P= 【变式1】(25-26八年级上·全国·假期作业)如图，在△ABC中，点0是ABC内部∠ABC的平分线上一 点，连接0C,点P是∠BOC、LOCB平分线的交点，若∠P=100°，则∠ABC的度数为一°. A B 【变式2】(25-26八年级上·四川广元期中)如图，已知ABC中，∠B=40°，与∠BAC,∠ACB相邻的外 5/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 角的角平分线交于点D,则∠D的度数为一 M D -N C 【变式3】(25-26八年级上山东日照·期中)如图，∠DAB和LBCD的平分线AP和CP相交于P点，交叉 形成了多个“和谐8字形”，若∠D=42°，∠B=38°，那么∠P的度数是 D 0 14 题型04与三角形折叠中的角度问题 【典例4】(25-26八年级上重庆期中)如图，在ABC中，∠ABC=90°，∠A=38°，E为AC边上一点，连 接BE,将△ABE沿BE翻折得到△BEF,若EF∥BC,则∠CEB的度数为」 【变式1】(25-26八年级上山西朔州期中)如图，在ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点P,将 ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若LBDP+LCEP=76°，则∠BPC的度数是一 B D 【变式2】(2026七年级下.全国专题练习)如图，有一张三角形纸片ABC,∠B=30°，∠C=50°，D是 AB边上的固定点(BD<4B).E为BC上一点，将纸片沿DE折叠(DE为折痕)，使点B落在点F处， EF与三角形ABC的一边平行.此时∠BED的度数为 6/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D B E 【变式3】(2025八年级上·全国专题练习)如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC,点D, E分别在边AB,AC上，将ABC沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合， A D B (1)若∠B=35°，∠C=60°，求∠A的度数. (2)若∠A=70°，求∠1+∠2的度数. 题型05三角形内角和定理的应用 【典例5】(25-26八年级上辽宁朝阳·期末)如图，将一副分别含30°，45°角的直角三角板叠放在一起， 30°角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF=115°，那么 ∠BMD为. 度」 D B 【变式1】(24-25七年级下·全国·课后作业)在物理学中，过入射点且垂直于镜面的直线叫作法线，光线在 镜面上反射时，反射光线与法线的夹角和入射光线与法线的夹角相等.如图，两束光线，马分别从不同方 向射向镜面m,入射点分别为点A和点B,n,n,为法线，4，Z的反射光线相交于点P.若∠1=30°， ∠2=50°，则∠APB的度数是」 n 1n2 2 m B 【变式2】(25-26八年级上广西崇左·月考)赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座、晷 面、晷针三部分组成，其中底座面与日晷所处地地球半径垂直： 7/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 晷针，与地轴平行 B 平行光A 晷面， 地针，与赤道垂直 与赤道平行 底座， 与所处地地球 赤道 半径垂直 图1 图2 如图2，日晷所处纬度α为39.8°，若太阳光（平行光）与日晷底座夹角为60°，则太阳光和该晷面所夹锐角 角度为」 【变式3】(24-25七年级下·湖北襄阳·月考)如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点O并垂直于反 射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角，反 射角"=入射角i,这就是光的反射定律.一束光线m射到平面镜P四上，被P2反射后的光线为n,则入射 光线m、反射光线n与平面镜P2所夹的锐角为∠1和∠2， -m 17 入射光线N反射光线 DB 65 反射面 0 D 图1 图2 图3 (1)①实验证明，∠1=∠2，请你用数学知识解释这一结论成立的原因： 利用这个规律人们 制作了潜望镜。 ②图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜.已知光线沿直线m进入潜望镜，最 后沿直线n射出，求证：m∥n. (②)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位 置关系会随之改变. 如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射.若被CD反射出的光线 n和光线m平行，且∠1=48°，则∠6=°，∠ABC= (3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角LABC=时，可以使任何入射光线m经过平面 镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行. 题型06三角形的外角的定义与性质 【典例6】(25-26七年级上·河南周口·期末)如图，点D在线段BC的延长线上，CE平分∠ACD,若 ∠A=60°，AB∥CE,则∠B的度数是 8/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B C D 【变式1】(25-26八年级上·山东潍坊期中)如图，在ABC中，∠A=36°，E为BC延长线上一点， ∠ABC与∠ACE的角平分线相交于点D,则∠D的度数为度. 4 D C E 【变式2】(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨月考)如图，△ABC≌△ADE,BC的延长线交DA于F,交 DE于G,若∠D=25°，∠E=105°，∠DAC=20°，则LDGB=度， D 【变式3】(25-26八年级上山西吕梁期中)如图，∠DBC与∠ECB是ABC的外角，∠OBC=1∠DBC, ∠OCB=1∠ECB,若LA=a,则L0=_ (用含n、a的式子表示) n B 题型07三角形内角和与外角和综合问题 【典例7】(25-26八年级上·河北衡水·期中)在ABC中，D是BC边上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4， ∠BAC=75°. B42 人34C (I)求∠DAC的度数； (2)若BC=a,DC=b,试用a、b表示△ADC的周长. 9/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(25-26八年级上江西上饶月考)如图1，点A,B分别在射线0M,ON上运动（不与点0重合）， AC,BC分别是LBAO和∠ABO的平分线，延长BC交OM于点G. N B B 图1 图2 (1)若∠0=60°，求LACG的度数； (2)如图2，若∠0=72°，过点C作CF∥0A交AB于点F,求∠BG0与∠ACF的数量关系. 【变式2】(25-26八年级上·全国·期末)如图，ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的平分线交于A 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A=70°，则∠A=_ (2)如图2，四边形ABCD中，∠ABC的角平分线及外角∠DCE的角平分线相交于点F,若∠A+∠D=230 ,求∠F的度数 (3)如图3，ABC中，∠ABC的角平分线与外角LACD的角平分线交于A,若E为BA延长线上一动点， 连接EC,∠AEC与∠ACE的角平分线交于点Q,当E滑动时有下面两个结论： ①∠Q+∠A的值为定值； ②∠Q-∠A,的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值. 【变式3】(25-26八年级上全国·假期作业)我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”.如：三个 内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”. 10/15 专题1.1 三角形的内角和与外角和 教学目标 1. 掌握三角形内角和定理，能通过剪拼、推理等方法证明三角形三个内角的和为180°。 2. 理解三角形外角的概念及性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3. 能综合运用内角和定理与外角性质，解决与角度相关的计算和简单推理问题。 教学重难点 重点： 1. 三角形内角和定理的证明与应用，能够熟练进行角度计算。 2. 三角形外角性质的掌握，并能够灵活运用其进行推理与计算。 教学难点： 1. 内角和定理证明中添加辅助线的思路理解与形成。 2. 在实际问题中，特别是在复杂图形中，识别外角与不相邻内角的关系并正确运用。 知识点01 三角形的内角和定理 1.三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于 180°。 2.证明思路（一种经典证法）：过三角形的一个顶点作对边的平行线，利用同位角、内错角相等的性质，将三个内角转化成一个平角（180°）。 【即学即练】1．（25-26八年级上·上海闵行·月考）在中，，，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查直角三角形两锐角互余．在直角三角形中，已知，则与互余，再根据角度比例关系求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，当为直角三角形时，需分两种情况讨论：或，结合三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：在中，，根据三角形内角和定理，得， 情况一：若，如图， 在中，，则， 故； 情况二：若，如图， 则， 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，理解三角形的高与底边垂直是解题关键． （1）利用高的定义得到直角，结合直角三角形两锐角互余求出； （2）根据，求出，再结合直角三角形两锐角互余求出，然后利用角平分线定义和三角形内角和定理，即可求出． 【详解】（1）解：在中，是高， ， ， ． 答：． （2）解：由（1）知，， ， ， ， 平分， ， ． 答：． 知识点02 三角形的外角和定理 1.外角定义： 三角形每个顶点处，一个内角的两条边中的一条反向延长，与另一条边所夹的角称为该顶点的一个外角。每个顶点有两个外角（它们相等，因为是对顶角），通常我们讨论的是三个顶点各取一个外角（共三个）。 2.三角形外角和内定理：三角形的三个外角（每个顶点取一个）的和等于 360°。 【即学即练】4．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，，则等于 度． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，熟练掌握其性质是做题的关键．直接利用三角形的外角性质进行求解即可． 【详解】解：是的外角， ． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·全国·假期作业）如图，在中，，分别平分，，且，交于点O，为外角的平分线，交的延长线于点E．已知，则的度数为 ． 【答案】/115度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，进而得到，再利用的外角即可解答． 【详解】解：∵平分， ， ∵为外角的平分线， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，D是延长线上一点，E是上一点，与相交于点． (1)求的度数： (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质可得，据此代值计算即可得到答案； （2）根据三角形外角的性质可得，据此代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 题型01 三角形内角和定理的证明 【典例1】（2025八年级上·全国·专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意； D、如图， ∵，∴，，∵，∴，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：如图①所示，过点作， ，， ， 故图①能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作， ，， ， 故图②能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【答案】(1) (2)三角形内角和为； (3)见解析 【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键． （1）根据图形直接写出结果即可； （2）根据（1）写出猜想即可； （3）根据题意，延长，过点C作，然后利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：通过、、的拼接，发现； （2）猜想：三角形内角和为； （3）延长，过点C作，如图所示：    ∴， ∵， ∴． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)选择图①，证明见解析． 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，牢记平行线的性质是解题的关键． 证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． 【详解】（1）①②③ （2）当选择图①时，证明：如图． ． ， 三角形的内角和为． 当选择图②时， 证明：． ， ，三角形的内角和为． 当选择图③时，证明：， ． ， ∴三角形的内角和为．（答案不唯一，选择一种方法证明即可）． 题型02 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线，则的度数是 ． 【答案】39° 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，求出是解题的关键. 【详解】解：， . 在中, , , , =. 故答案为： ． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 【答案】57 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 【变式2】（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． 根据题意得，得到，得出，继而得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：平分， ， ∵， ，， 平分， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 故答案为：，． 【变式3】（24-25七年级下·河北廊坊·月考）已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，等量代换得到，由内错角相等，两直线平行即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理即可求解； （3）根据两直线平行，同旁内角互补得到，结合角平分线的定义得到，，由此即可求解． 【详解】（1）解：平分， ． ， ， ： （2）解：平分，， ， ， ； （3）证明：由得， ， 平分平分， ， ， ． 题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例3】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）已知在中，，角平分线交于点P，则 ． 【答案】/111度 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理可求出，根据角平分线的定义求得，在中利用三角形内角和定理可求出的度数解题． 【详解】解：如图，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在△中，点是内部的平分线上一点，连接，点是、平分线的交点，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解题的关键．先求出的度数，进一步得到的度数，据此得到的度数，最后根据角平分线的定义即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵点是、平分线的交点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵点是内部的平分线上一点， ∴． 故答案为： 【变式2】（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，已知中，与，相邻的外角的角平分线交于点D，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了三角形外角的性质与角平分线的定义，解题的关键是利用三角形内角和及外角和的关系，结合角平分线表示出相关角的度数． 先根据三角形外角的性质，用表示出与的外角和；再结合角平分线的定义，求出所在三角形的内角和，进而得出的度数． 【详解】解：在中，， 故 ∴， ∵是外角平分线，， ∴， 故． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． 利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，从而可得，代入数据可得：，根据角平分线定义，得出，，然后利用“8字形”的关系式结合角平分线列式整理即可得解． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：． 题型04 与三角形折叠中的角度问题 【典例4】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折得到，若，则的度数为 ． 【答案】64 【分析】本题考查折叠中的三角形的内角和问题，根据折叠，得到，三角形的内角和定理求出的度数，平行线的性质，角的和差关系，求出的度数，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：64． 【变式1】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，、的平分线交于点P，将沿折叠使得点A与点P重合，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．由折叠的性质可知，，，则，从而得出，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ，， ， ， ， ， ， ， 、的平分线交于点P， ，， ， ， 故答案为：． 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，有一张三角形纸片ABC，，，D是AB边上的固定点（）．E为BC上一点，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），使点B落在点F处，EF与三角形ABC的一边平行．此时的度数为 ． 【答案】或或 【分析】此题考查的是翻折变换和平行线的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 分三种情况：①当时，②当时，，③当时，，根据折叠性质、平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：分三种情况讨论： ①如图①，当时， 由折叠可知，，． ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图②，当，且点F在BC上面时，， ∴； ③如图③，当，且点F在BC下面时，， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的内角和是解决问题的关键． （1）直接利用三角形的内角和求得答案即可； （2）根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质可得． ，然后利用平角等于列式计算即可得解． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 由题意，得， ． 题型05 三角形内角和定理的应用 【典例5】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，将一副分别含，角的直角三角板叠放在一起，角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果，那么为 度． 【答案】100 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据平角的定义，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：100． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）在物理学中，过入射点且垂直于镜面的直线叫作法线，光线在镜面上反射时，反射光线与法线的夹角和入射光线与法线的夹角相等．如图，两束光线，分别从不同方向射向镜面m，入射点分别为点A和点B，，为法线，，的反射光线相交于点P．若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和为是解题的关键． 结合法线与镜面垂直的性质，求出反射光线与镜面的夹角，再利用三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解： 如图，由题意可知，， 所以． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·广西崇左·月考）赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座、晷面、晷针三部分组成，其中底座面与日晷所处地地球半径垂直： 如图2，日晷所处纬度为，若太阳光（平行光）与日晷底座夹角为，则太阳光和该晷面所夹锐角角度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和、对顶角、平行线的性质及垂线的定义，熟练掌握三角形内角和、对顶角、平行线的性质及垂线的定义是解题的关键；设晷面与太阳光交于点A，延长交于E，日晷底座为，点N在的延长线上，由题意易得，，然后根据三角形内角和及对顶角相等可进行求解． 【详解】解：如图2，晷面与太阳光交于点A，延长交于E，日晷底座为，点N在的延长线上， 由题意得：， ∵晷面与赤道平行， ∴， ∵日晷底座与日晷所处地地球半径垂直， ∴， ∴， ∴， ∴， 即太阳光与该晷面所夹锐角角度为， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角，反射角入射角i，这就是光的反射定律．一束光线m射到平面镜上，被反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜所夹的锐角为和． (1)实验证明，，请你用数学知识解释这一结论成立的原因：_____________．利用这个规律人们制作了潜望镜． 图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线沿直线m进入潜望镜，最后沿直线n射出，求证：． (2)显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变． 如图3，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线n和光线m平行，且，则______°，______°． (3)请你猜想：图3中，当两平面镜、的夹角______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜、的两次反射后，与反射光线n平行． 【答案】(1)①等角的余角相等；②见解析 (2)96，90 (3)90，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）①由垂直得到，则，即可由等角的余角相等得到； ②先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得证； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （3）先根据平行线的性质可得，从而可得，据此可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴（等角的余角相等）， 故答案为：等角的余角相等； ②证明：∵， ， ，， ， ，即， ∴． （2）解：由题意得，，， ， ∵， ， ， ， 故答案为：96，90． （3）解：当时，可以使任何入射光线经过平面镜、的两次反射后，与反射光线平行，理由如下： 由题意可知，，， ∵， ， ， ∴， ，即， ， 故答案为：90． 题型06 三角形的外角的定义与性质 【典例6】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，点D在线段的延长线上，平分，若，，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质． 由平行线的性质得，由角平分线的定义得，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中， ， E 为延长线上一点，与的角平分线相交于点 D ，则的度数为 度． 【答案】18 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键，由三角形的外角的性质可得，再结合角平分线的性质进行等量代换可得，从而可得答案． 【详解】解：∵与的角平分线相交于点 D ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：18． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，，的延长线交于，交于，若，，，则 度． 【答案】/度 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． 根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中，， 即， 解得． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，与是的外角，，，若，则 ．（用含、的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，结合三角形内角和定理可得，再求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵与是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型07 三角形内角和与外角和综合问题 【典例7】（25-26八年级上·河北衡水·期中）在中，D是边上的一点，，，． (1)求的度数； (2)若，，试用a、b表示的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等角对等边，掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）利用外角性质用表示出，由三角形内角和定理得出的度数，由此得出结论． （2）先求出，利用等角对等边求出，即可求出的周长． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：． 【变式1】（25-26八年级上·江西上饶·月考）如图1，点，分别在射线，上运动（不与点重合），，分别是和的平分线，延长交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，若，过点作交于点，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质和内角和定理，熟练应用三角形外角性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，再根据三角形的外角性质求出的度数； （2）根据角平分线的定义得到，再根据三角形的外角性质求出，根据平行线的性质得到，进而得到． 【详解】（1）解：， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ． （2）， ， ，分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ， 故与的数量关系为． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是． 【变式3】（25-26八年级上·全国·假期作业）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　 ，　　 （填“是”或“不是” “和谐三角形”； （2）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连结，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（1），不是（2）见解析（3）或者 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （2）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （3）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据△是“和谐三角形”，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 不是“和谐三角形”； 故答案为：，不是； （2）是的一个外角， ， 又， ， ， ， 是“和谐三角形”； （3），， ， ， ， 而， ， ， ， 平分， ， ， 是“和谐三角形”， 或者 或者． 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江舟山·期末）在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，理解题意是解决本题的关键． 利用三角形内角和定理直接计算的度数即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故选B． 2．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，D为边上一点，B为延长线上一点，连接交于点F，若，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握相关知识是解决问题的关键。根据题意先求得，再根据三角形内角和定理即可求得． 【详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 4．（天津市河东区2025-2026学年上学期八年级数学期末试题）如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜EF与挡板形成的锐角为，一光束从处出发投射到平面镜上的点处．反射光束投射到挡板上的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由平行线性质得，由三角形的外角性质得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，将沿（点在边上）所在直线翻折，翻折后的对应边交于点，又将沿所在直线翻折，翻折后点的对应点恰好落在上，若，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．根据折叠得出，，，，根据三角形外角性质得出，设，则，，根据三角形内角和定理得出，解方程即可． 【详解】解：根据折叠可知：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）在中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，在直角三角形中，两个锐角互余，根据，，即可解答． 【详解】解：在中， ∵，， ∴; 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海·月考）如图，中于D，于E，则与的关系是 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．根据直角三角形的两个锐角互余可得，，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则 （用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质，由直角三角形的性质得，由折叠的性质得，再根据三角形的外角性质解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）帐篷撑起后如图①，为更好地将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳索，从正面看如图②所示，测得，，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等边对等角是解答的关键． 先利用三角形的外角性质求得，再根据等边对等角得到，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：由题意可知：，． ． ， ． 又， ． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·福建宁德·月考）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，例如：在中，，若存在过点的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，如图所示，当，时，是满足条件的一种情况，此时．求满足以上条件的其他情况时的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和性质，三角形外角性质，能够正确分类讨论是解决本题的关键． 分类当，时，，时，，时，，时，结合等腰三角形的性质与三角形外角的性质计算求解． 【详解】解：当，时，如图所示， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 即此时， ； 综上所述，的度数为或或或． 故答案为：或或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）在中，和的平分线相交于点． (1)若，，则_____； (2)若，则_____ (3)若，试猜想_____，并证明你的猜想的正确性． 【答案】(1)120 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和等于． （1）根据角平分线的定义，即可得到，，再根据三角形内角和定理进行计算，即可得到的度数； （2）根据角平分线的定义，即可得到，，再根据三角形内角和定理进行计算，即可得到的度数； （3）根据角平分线的定义，即可得到，，再根据三角形内角和定理进行计算，即可得到的表达式． 【详解】（1）解：∵的平分线交于点O， ∴， ∴ ， 故答案为：120； （2）解： ∵的平分线交于点O， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （3）解：∵的平分线交于点O， ∴，， ∴ 故答案为：． 12．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）【问题情境】 如图，在中，，是的角平分线，过边上一点D，作于点E，的平分线交于点G． 【特例分析】 （1）如图1，若，求与的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，若，的延长线与的延长线交于点H，求的度数．（结果用含的代数式表示） 【答案】（1），见解析；（2） 【分析】本题考查三角形内角和定理，知识点比较简单，但解题过程非常复杂．解答本题的关键是找到各相关角之间的等量关系，然后利用三角形内角和定理列出等式即可； （1）利用角平分线的性质及三角形内角和定理即可解答； （2）利用角平分线的性质及三角形内角和定理找到各角之间的等量关系求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线，是的平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∵是的角平分线，是的平分线， ∴，， 由（1）知：， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴． 13．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，_____°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据，，可求出，再根据平分，平分，，可求出，，进而可求出；再根据平分，可得出，进而求出． （2）设，根据三角形内角和定理对进行表示，再根据平分，平分，，可求出，，再根据三角形外角的性质求出，根据，求出，将与相较即可证明． （3）由（2）可知，，则的内角为，，，根据题意分类讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ． 答：，． （2）证明：设，则． ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ，即， ， ． （3）解：设，则，． , 可分类讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时， ， 解得， ③当时， ， 解得， ; ④当时， ， 解得， 综上可知或或或． 答：的度数为或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握角度的和差运算与代数推导是解题关键． 14．（17-18八年级上·全国·课后作业）请你参与下面探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，是的内角与的平分线和的交点，若，则____________度： (2)探究2：如图2，是的外角与外角的平分线和的交点，求与的数量关系？并说明理由． (3)拓展：如图3，是四边形的外角与的平分线和的交点，设． ①直接写出与的数量关系； ②根据的值的情况，判断的形状（按角分类）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；②当时，则是钝角三角形；当时，则是直角三角形；当时，则是锐角三角形. 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键. （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理可得，然后根据三角形内角和定理即可得解； （3）①延长交于点Q，由（2）可知，，则，又由即可得到；②根据α的值的情况，得到的取值范围，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴. ∵是的内角与的平分线和的交点， ∴， ∴ ∵， ∴． （2）； 理由：∵是的外角与外角的平分线和的交点， ∴ ， 在中， ； （3）①， 如图，延长交于点Q， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ②当时，则，则是钝角三角形； 当时，则，则是直角三角形； 当时，则， ∵是四边形的外角与的平分线和的交点， ∴， ∴是锐角三角形． 15．（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）已知：线段、相交于点，连接、． (1)如图，求证：； (2)如图，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，求的度数； (3)如图，和的三等分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，试探究、、三者之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理以及对顶角相等即可证明结论； （2）由角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE、∠ABE=∠CBE，由（1）可得，，得出，代入数据即可求解； （3）由三等分线的定义可得，，由（1）可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明：，， ； （2）和的平分线和相交于点， ，， 由（1）可得，， ， ，， ； （3）． 理由：，， ，， 由（1）可得，， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $