专题1.5 三角形的中位线（1大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版八年级下册

专题1.5 三角形的中位线 教学目标 1. 理解三角形中位线的定义，明确中位线与中线的区别，能在任意三角形中准确找出所有中位线。 2. 掌握三角形中位线定理的内容，即中位线平行于第三边且等于第三边的一半，理解定理的推导过程。 3. 能运用三角形中位线定理解决线段平行、长度计算、图形性质证明等问题，提升几何转化与推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握三角形中位线的定义和定理内容，清晰区分中位线与中线的不同，形成准确的概念认知。 （2）熟练运用中位线定理进行几何计算与证明，针对线段平行、长度求解等问题，能规范书写推理步骤。 2.难点 （1）理解三角形中位线定理的推导逻辑，尤其是通过构造平行四边形，结合平行四边形判定与性质完成定理证明的思路。 （2）综合运用中位线定理解决复杂几何问题，比如结合平行四边形、中心对称等知识进行多步推理，突破辅助线构造的难点。 知识点01 三角形的中位线定理 三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 【即学即练1】1．如图，在中，，，，E，F分别是和的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查中位线的性质．根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 2．如图，是的中位线，的平分线交于点F，连接并延长交于G，若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴， 故答案为：6． 题型01 与三角形中位线有关的求解问题 【典例1】（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形，三角形中位线的知识，根据四边形是平行四边形，得到；再根据点E是的中点，得出是的中位线，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：， 则． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，D，E，F分别是三边的中点，若的周长为20，则的周长为（   ） A．5 B．10 C．20 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理，先根据三角形中位线定理求出的周长，再利用同样的定理求出三边中点围成的三角形的周长即可． 【详解】解：∵D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，平分，且，分别为，的中点．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】根据已知可求得为三角形的中位线，从而可求得的长，再根据平行线的性质及已知可得到，即求得了的长． 本题主要考查了等腰三角形的性质及中位线的性质的综合运用，熟练掌握是解决本题的关键． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴ ， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴． 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，已知，平分，E为的中点． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解决本题的关键． （1）根据等腰三角形的判定和性质可得，点D是的中点，再根据点E为的中点可得，是的中位线，进而即可求解； （2）根据中位线的性质即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴是边上的中线， ∴点D是的中点， 又∵点E为的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）证明：由（1）可得，是的中位线， ∴． 题型02 与三角形中位线有关的证明 【典例2】（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质； （1）证明是的中位线，即可得到，进而得到，然后利用证明三角形全等； （2）根据全等三角形的对应角相等得到，即可得到，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等得到结论即可． 【详解】（1）证明：∵，分别为边，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图所示，和分别是中和边上的中线，过点F作，过点E作，与相交于点M，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，再由三角形中位线定理可得，据此可证明． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ， 是中边上的中线， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是中边上的中线， 为的中位线， ， ． 【变式2】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图，已知是的中位线，是延长线上一点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定及性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线的性质得到，又，故四边形两组对边分别平行，因此为平行四边形； （2）先求得，得到，再在中，根据勾股定理求得，进而由平行四边形的对边相等得到，再由三角形中位线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中位线， ∴． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，点D，E分别是，的中点，连接，． (1)求证：； (2)过点A作于点F，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查三角形的中位线定理，的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由，，得到，由三角形中位线定理得到，即可得到结论； （2）由，E是的中点，得到，因此，求出，得到，因此，由，然后根据三线合一得到，根据证明三角形全等即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）∵，E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵，D是中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型03 三角形中位线的实际应用 【典例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，为测量池塘边，两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是，，且，则，两点之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且长度为第三边的一半，据此可求出的长度． 【详解】解：∵ 、分别是、的中点， ∴是的中位线． 根据三角形中位线定理，中位线的长度是的一半，即． 已知，则． 逐一分析选项： A、，与计算结果不符，不符合题意； B、，与计算结果不符，不符合题意； C、，与计算结果不符，不符合题意； D、，与计算结果一致，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，利用中位线与第三边的长度关系求解． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）在美丽乡村建设中，某村计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D，E．测得，则A，B两处的距离为（    ） A．68 B．48 C．72 D．36 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，利用三角形中位线等于第三边的一半即可解答． 【详解】解：∵D，E是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在外选一点C，然后步测出、的中点M、N，并步测出的长约为42米，由此可知A、B间的距离约为 米． 【答案】84 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键．利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵M、N是、的中点， ∴， 又米， ∴米， 即A、B间的距离约为84米， 故答案为：84． 【变式3】（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰架，为了提前制作支撑框架，工作人员取，边的中点M，N进行测量，经测量的长度为，那么装饰架底边的长度为 ． 【答案】160 【分析】此题考查了中位线的实际应用，根据题意得到是的中位线，进而求解即可． 【详解】解：∵点M，N分别是，边的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：160． 题型04 中点四边形问题 【典例4】（24-25八年级下·陕西西安·期末）已知四边形，若依次为四边形的边的中点，则四边形为（    ） A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平行四边形的判定及三角形中位线的性质．连接，得出是的中位线，即，，同理可得，，，即可得结论． 【详解】解：连接，如图， 、分别是边、的中点， 是的中位线 ，， 同理，，， ，， 四边形的形状是平行四边形． 故选B． 【变式1】（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理推出，则可证明四边形是平行四边形，根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，故甲说法正确，乙说法不正确， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·四川攀枝花·月考）如图，四边形各边中点分别是E、F、G、H，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查中点四边形，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理以及一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，进行求证即可． 【详解】证明：连接， ∵四边形各边中点分别是E、F、G、H， 是的中位线，是的中位线， ， ， ∴四边形是平行四边形． 【变式3】（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知：如图，在中，中线，交于点O，G，H分别是，的中点，连结，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理及平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理可得，，，，所以且，即可证明结论； （2）根据平行四边形的对角线互相平分，可得，，进而可求得，，根据三角形中位线定理可求得，即可求得答案． 【详解】（1）证明： ，是中线， ，， 且， G，H分别是，的中点， 且， 且， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ，， G，H分别是，的中点， ，， ，， ， 的周长是． 题型05 与三角形中位线有关的多结论判定问题 【典例5】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，的对角线，相交于点，点是的中点．连接，若，，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理，由直角三角形的性质可得，结合题意可得为等边三角形，即可得出，由平行四边形的性质可得，，，，再由平行线的性质即可判断①；由三角形中位线定理即可判断②④；利用勾股定理计算即可判断③；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴为的中位线， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵为的中位线， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ） A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据含角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出，得到，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长，交于点H，然后证明出，得到，然后得到是的中位线，即可判断③；得到，然后结合等边对等角得到，即可判断④． 【详解】∵，但不一定等于， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵中点为F， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴是的中位线，故③正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，所有正确的结论为②③④． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的定义、平行线的性质等知识点．掌握相关结论是解题关键． 【变式2】（23-24八年级下·全国·期中）如图，的对角线交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，结论成立的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线的性质等，由四边形是平行四边形，得到，，根据平分，得到，推出是等边三角形，由，得到，得到是直角三角形，于是得到，故①正确；由，得到，故②正确；根据，，且，得到，故③错误；根据三角形的中位线定理得到，于是得到，故④正确，综上即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确， ∵，，， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴，故④正确； 综上，结论成立的有①②④， 故答案为：①②④． 【变式3】（24-25八年级上·吉林长春·月考）如图，的两个外角的平分线相交于点，过点作，分别交，于点．下列四个结论： ①是等腰三角形； ②； ③点在的平分线上； ④． 其中正确结论的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、角平分线定义与性质、中位线定理等知识， 连接， 由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，推出，得出，①正确；只有为的中位线时，才能，②不一定正确；由角平分线的性质得出点到边、、的距离相等，即点到两边的距离相等，得出点在的平分线上，即是的角平分线，③正确．由角平分线定义得出，由平行线性质得出，推出，由等腰三角形的性质得出，证出，即，④正确． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， ， ， ， 是等腰三角形，故①正确； ， 只有为的中点时，即为的中位线时，才能，②不一定正确； 的两个外角的平分线相交于点P， 点P到边的距离相等，即点P到两边的距离相等， 点P在的平分线上，故③正确， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 即，故④正确； 综上所述正确的有：①③④． 故答案为：①③④． 题型06 构造三角形的中位线----连接两点 【典例6】（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点为上的动点，点，分别为，的中点，则最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短问题，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握相关知识．连接，先根据勾股定理求出，由题意可知，是的中位线，得到，当最小时，的值最小，当时，最小，利用等面积法求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ， 当最小时，的值最小， 当时，最小， 此时，， 即， ， ， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理以及垂线段最短，作辅助线构造三角形中位线是解题的关键．连接，构造三角形中位线，由中位线定理可得，所以当取最小值时，有最小值，根据垂线段最短可知当时有最小值，再根据平行四边形的性质求出此时的长，即可求出的最小值，进而求出的最小值． 【详解】解：如图，连接， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 点为的中点，点为的中点， 是的中位线， ， 当最小时，有最小值， 当时，最小，则， 此时，， ， 即的最小值为． 故选：D． 【变式2】（2026·陕西·模拟预测）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点，分别是，的中点，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理； 连接，判定是等边三角形，得到，由平行四边形的性质推出，得到，由三角形中位线定理得到． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，，，，分别是边，上的动点，，分别是，的中点．求的最小值．    【答案】2.4 【分析】连接，根据三角形中位线的性质定理得出，由勾股定理求出，再根据三角形等面积法求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接．   ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 当最小时，最小． 根据题意可知，当时，最小，即最小． 在中，，，， 则． 当时，， 即， 解得， 的最小值是2.4． 【点睛】题目主要考查三角形中位线定理，勾股定理解三角形，垂线段最短，掌握三角形中位线定理是解题关键． 题型07 构造三角形的中位线----倍长法 【典例7】（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，平分，是的中点，，，，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形． 延长交的延长线于点，证明，则，即可求得的长，点E是的中点，求得的长，从而得到是中位线，即可求得的长． 【详解】解：延长交的延长线于点，如图， ， ， 平分， ， ∵， ∴ ， ∵是的中点， ∴是的中位线， ． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，平面上有一点P，连接，若，取的中点M．连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，三角形的三边关系，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 取的中点，连接，先整理得是的中位线，故，再结合勾股定理算出，根据求解，即可解决问题． 【详解】解：取的中点，连接， ∵点M是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵ ∴, 在中，， 当三点共线，则， 即的最小值为， 故答案为： 【变式2】（25-26八年级上·广东东莞·期中）【模型启迪】（1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，D为边的中点，连接，E为边上一点，连接交于点F，且．求证：． 【答案】(1)，；(2) (3) 证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中线，掌握知识点是解题的关键． （1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答； （2）先求出，，，根据三角形的三边关系，得到，代入求解即可； (3)延长至点，使，连接，利用（1）中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明． 【详解】（1）解：∵为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ∴， 故答案为：，； (2) ∵，，， ∴，， ∴， 解得． (3)证明：延长至点，使，连接，    由（1）同理可得：， ，， ， ， ， ，即， ． 一、单选题 1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，为测量池塘两端、的距离，小明在池塘外选取了一个点，使得点可以直接到达、，他分别找到、的中点、，并且测得的长为米，则池塘两端、的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线的定义，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题关键． 根据题意判定是的中位线，再利用三角形中位线定理，得出“”然后代入的长度计算出的距离． 【详解】解：、分别为、的中点， 是的中位线， ， 米， （米）． 故选：． 2．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质的应用，能根据三角形的中位线性质得出、、是解此题的关键．根据三角形的中位线性质得出，，，即可求出答案． 【详解】解：点、、分别为三边、、的中点， ，，， 的周长为5， ， ， 即的周长为. 故选：B． 3．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，在中，点、分别是边、的中点，连接，点在线段上，连接、，，若，，则的长为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是利用中位线定理得出的长度，结合直角三角形斜边中线性质求出，进而计算． 由D、E是、中点，得是的中位线，故；在中，E是中点，故；用减去得的长度． 【详解】解：∵D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，E是中点， ∴． ∴． 故选：C． 4．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理及三角形中位线，熟练掌握勾股定理及三角形中位线是解题的关键；连接，由题意易得，是的中位线，则有，然后可知当时，最小，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，的值最小， ∴当时，最小， 此时，， 即， ∴， ∴， 故选：C． 5．（25-26八年级上·山东淄博·月考）如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（   ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理，牢记三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半）是解题的关键． 根据三角形的中位线定理可知，第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半，可得到第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：，同理可得到第个三角形的周长的表达式． 【详解】解：根据题意得：第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半， ∴第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：． 同理可得，，，，． ∴第个三角形的周长． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，，，分别是，的中点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由三角形内角和定理以及等边对等角可得，再根据等腰三角形的性质、三角形中位线的判定与性质可得、，易得，再根据直角三角形的性质可得，即，最后运用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊四边形的对角线性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键． 根据点，分别是边，的中点，且，，得到，，，结合，列式计算即可． 【详解】解：∵点，分别是边，的中点，且，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，点D是边上的中点，点E是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到．当时，则长为 【答案】2.5 【分析】本题考查折叠问题，三角形中位线定理，勾股定理，关键是由勾股定理列出关于x的方程．由勾股定理求出，得到，由折叠的性质得到，，由平行线等分线段定理推出，由三角形中位线定理推出，求出，设，由勾股定理得到，求出，得到． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点D是边上的中点， ∴， 由折叠的性质得到：，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2.5． 9．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，点分别是边的中点，在的延长线上取一点，使，且，已知， ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形中位线的定义和性质，全等三角形的性质和判定， 先根据三角形中位线的性质得，再根据“角角边”证明，可得，即可得出答案． 【详解】解：∵点D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，已知，在中，是边上的中线，，，，，点是边上一动点，连接，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，当点Q为的中点时，此时是的中位线，此时满足，，当时，则是等边三角形，据此分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点Q为的中点时， ∵是边上的中线， ∴此时是的中位线， ∴此时满足，， ∴，， 如图所示，当时，则是等边三角形， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，点分别是边的中点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，则由平行线的性质可得到． 【详解】解：∵在中，点分别是边的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是的高，是的中线，的周长比的周长大1，． (1)求的长； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了三角形的高线与中线的性质，中位线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造中位线． （1）根据的周长比的周长大1，可得的长度比的长度大1，由此可求解； （2）作辅助线构造中位线，由中位线的性质可求解的长度并得到垂直关系，由此可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大1， ∴， ∵， ∴； （2）解：取中点记作点，连接，如图， ∵点为中点，点为中点， ∴，且， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，是高，是中线，且是的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，如图所示，先由高的定义得到，从而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，结合题中，即可得到，则是等腰三角形，最后由等腰三角形三线合一性质即可得证； （2）先由等腰三角形三线合一性质得到是的中点，结合是的中点，由三角形中位线的判定与性质即可得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 在中，是高，则， 是中线， 点为边的中点， 则在中，， ， ， 则是等腰三角形， 是的中点， 是底边上的中线， 则由等腰三角形三线合一性质得到； （2）解：在中，是高，若，则由等腰三角形三线合一性质可得是底边上的中线， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， 则， 是中线， 点为边的中点， 则． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及三角形高线定义、中线定义、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，熟记三角形相关几何性质及判定是解决问题的关键． 14．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）【问题探究】 （1）如图1，在中，和的平分线，交于边上的点．求证：为的中点； 【问题解决】 （2）如图2，是一个形状为平行四边形的社区公园，点是上一点，连接、，沿和修建景观步道，平分，平分，为花卉区，是休憩草坪区，为健身活动区．为方便游客，在中点设休息驿站，并修建一条连接驿站与大门的观景小道，与交于点，规划师需确定与的数量关系，请你帮忙解答并说明理由． 【答案】 （1）见解析； （2），见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质，结合平行线的性质，可得，，由角平分线的定义，等量代换可得，，等角对等边，等量代换可得，即可证得结论； （2）取的中点，连接，可得，，证明，可得，可得，即可得与的数量关系． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， 为的中点． （2）解：，理由如下： 如图2，取的中点，连接， 点为的中点， ，， 同（1）可得，点为中点，即， ，且， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的中位线定理，三角形全等的判定和性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． 15．（25-26九年级上·江西南昌·月考）综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践中提出这样一个问题：分别以的边、为腰，向外作等腰和等腰，使，，，点，，分别是边、，的中点，连接，，探究，的数量关系． 特例感知 （1）如图，当，，，的数量关系为：______； 类比探究 （2）如图，当为任意三角形时，猜想并证明，的数量关系； 拓展应用 （3）如图，若，直接写出的度数；（用含的式子表示） （4）如图，点，分别在外，，，点是的边的中点，连接，，证明：． 【答案】（1） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，中位线的性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定； （1）根据题意得出三点共线，根据已知得，进而根据中位线的性质，即可得出结论； （2）证明，得出，进而根据中位线的性质，即可得出结论； （3）设交于点，交于点，根据全等三角形的性质可得，进而可得，则，设交于点，交于点，根据中位线的性质可得则四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求解； （4）延长至，连接，同理可得则，进而根据中位线的性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∴三点共线， 又∵， ∴ 即 ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴ （2）如图，连接， ∵ ∴即 又∵， ∴ ∴ ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴ （3）解：如图，设交于点，交于点， ∵ ∴即 又∵ ∴ ∴ 如图，设交于点，交于点， ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， （4）如图，延长至，使得，连接， ∵ ∴ 同理可得 ∴ 又∵点是的边的中点，分别为的中点 ∴ ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.5 三角形的中位线 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点！三角形的中位线定理 知识清单 题型】与三角形中位线有关的求解问题 题型2与三角形中位线有关的证明 三角形的中位线 题型3三角形中位线的实际应用 题型4中点四边形问题 题型精讲 题型5与三角形中位线有关的多结论判定问题 题型6构造三角形的中位线一连接两点 题型7构造三角形的中位线一倍长法 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解三角形中位线的定义，明确中位线与中线的区别，能在任意三角形中 准确找出所有中位线。 2.掌握三角形中位线定理的内容，即中位线平行于第三边且等于第三边的一 教学目标 半，理解定理的推导过程。 3.能运用三角形中位线定理解决线段平行、长度计算、图形性质证明等问题， 提升几何转化与推理能力。 1.重点 (1)掌握三角形中位线的定义和定理内容，清晰区分中位线与中线的不同， 形成准确的概念认知。 教学重难点 (2)熟练运用中位线定理进行几何计算与证明，针对线段平行、长度求解等 问题，能规范书写推理步骤。 2.难点 1/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)理解三角形中位线定理的推导逻辑，尤其是通过构造平行四边形，结合 平行四边形判定与性质完成定理证明的思路。 (2)综合运用中位线定理解决复杂几何问题，比如结合平行四边形、中心对 称等知识进行多步推理，突破辅助线构造的难点。 知识清单 知识点01三角形的中位线定理 三角形中位线定理 (1)三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半， (2)几何语言： 如图，，点D、E分别是AB、AC的中点 ∴.DE∥BC,DE=—BC.B 2 【即学即练1】1.如图，在ABC中，AB=6cm,BC=4cm,AC=5cm,E,F分别是AB和AC的中点， 则EF=（) A.2cm B.2.5cm C.3cm D.4cm 2.如图，DE是ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F,连接AF并延长交BC于G,若AC=12, DE=9,则BG的长为 题型精讲 题型01与三角形中位线有关的求解问题 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例1】(23-24八年级下·湖南邵阳·期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, 点E是BC的中点，若CD=8,则OE的长为() D A.4 B.3 C.5 D.6 【变式1】(24-25八年级下·云南临沧期末)如图，D,E,F分别是ABC三边的中点，若ABC的周长 为20，则aDEF的周长为() B E A.5 B.10 C.20 D.40 【变式2】(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，在ABC中，BD平分∠ABC,且D,E分别为AC, AB的中点.若BC=4,则EB的长为 【变式3】(25-26八年级上·江苏常州期中)如图，在ABC中，己知AB=AC=4,AD平分∠BAC,E 为AC的中点. B (I)求DE的长； (2)求证：DE∥AB. 题型02与三角形中位线有关的证明 【典例2】(2025山东淄博.中考真题)己知：如图：在ABC中，D,F分别为边AB,BC的中点， ∠AED=∠DFB.求证： 3/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E (I)△AED≌△DFB; (2)LC=∠EDF. 【变式1】(24-25八年级下·陕西渭南期末)如图所示，BE和CF分别是ABC中AC和AB边上的中线， 过点F作FM BE,过点E作EM‖BA,FM与EM相交于点M,连接AM,FE,求证：AM∥BC. M 【变式2】(23-24八年级下·贵州黔东南期中)如图，已知CD是Rt△FBE的中位线，A是EB延长线上一 点，ADII BC. A B E (I)求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)若BD=3cm,∠A=60°，求BE的长 【变式3】(2025九年级上·全国.专题练习)如图，在RtAABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，点D,E分 别是AB,BC的中点，连接DE,AE. B 0求证：DE-号BC: (②)过点A作AF⊥BC于点F,求证：△ADE≌△AFE. 题型O3三角形中位线的实际应用 【典例3】(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，为测量池塘边A,B两点的距离，小明在池塘的一侧 选取一点O,测得OA,OB的中点分别是C,D,且CD=12m,则A,B两点之间的距离是() 4/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A.6m B.12m C.18m D.24m 【变式1】(2025湖南长沙模拟预测)在美丽乡村建设中，某村计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上A, B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C,并分别找到AC和BC的中点D,E.测得DE=24m,则A,B 两处的距离为() A.68m B.48m C.72m D.36m 【变式2】(25-26九年级上·吉林·期末)如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间 的距离：先在AB外选一点C,然后步测出AC、BC的中点M、N,并步测出MN的长约为42米，由此可 知A、B间的距离约为 米 【变式3】(24-25八年级下·云南保山期末)如图，学校要在一片空地上搭建一个三角形形状的绿植装饰 架ABC,为了提前制作支撑框架，工作人员取AB,AC边的中点M,N进行测量，经测量MN的长度为 80cm,那么装饰架底边BC的长度为】 cm. N 题型04中点四边形问题 【典例4】(24-25八年级下.陕西西安期末)已知四边形ABCD,若E,F,G,H依次为四边形ABCD的边 AB,BC,CD,DA的中点，则四边形EFGH为() A.矩形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形 5/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(23-24八年级下·浙江台州期末)如图，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是各边的中 点.甲说：若四边形ABCD是平行四边形，则四边形EFGH也是平行四边形；乙说：若四边形EFGH是平 行四边形，则四边形ABCD也是平行四边形.下列说法正确的是() B A.甲、乙都正确 B.甲正确，乙错误 C.甲错误，乙正确 D.甲、乙都错误 【变式2】(25-26九年级上·四川攀枝花月考)如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H,求证： 四边形EFGH是平行四边形 D 【变式3】(25-26九年级上浙江温州月考)已知：如图，在ABC中，中线BE,CF交于点O,G,H分 别是OB,OC的中点，连结GH,EF,FG,EH. (1)求证：四边形EFGH是平行四边形： (2)若BC=10,BE=7.5,CF=9,求a0EF的周长. 题型05与三角形中位线有关的多结论判定问题 【典例5】(24-25八年级下·福建福州·期中)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是BC的 中点.连接OE,若∠BAC=90°，AB=BC=1,则下列结论：①LCAD=30°；②AB∥OE;③ 21 BD=2√3；④AD=4OE.其中结论正确的是() B A.①② B.③④ C.①②③④ D.①②④ 【变式1】(24-25八年级下·陕西咸阳期末)如图，在四边形ABCD中，对角线BD⊥AB,且DB平分 6/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ADC,连接AC交BD于点O,且O为BD的中点，在AD上取一点G,连接CG,使CG⊥BD于点E, 取AC的中点F,连接BF,EF,延长AB,DC相交于点H.下列四个结论：①AO=2BO;②EF∥AD;③ BF是△AHC的中位线；④FB=FE.其中所有正确的结论为() G D H A.①③④ B.③④ C.②④ D.②③④ 【变式2】(23-24八年级下，全国·期中)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点0，AE平分∠BAD交 BC于点E,且∠4DC=60°，AB=BC,连接0E.下列结论：①∠C4D=30;②S.w=ABAC;@ 0B=AB;④OE=BC,结论成立的有_一 (填序号) D B E 【变式3】(24-25八年级上·吉林长春·月考)如图，ABC的两个外角的平分线BP,AP相交于点P,过点 P作PD∥BC,分别交AC,AB于点D,E.下列四个结论： M D B N ①△EBP是等腰三角形； ②AE=EB; ③点P在∠ACB的平分线上： ④DE=CD-BE. 其中正确结论的是 (填序号) 题型06构造三角形的中位线-连接两点 【典例6】(2025八年级上江苏专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=4,点D为 AC上的动点，点E,F分别为AB,AD的中点，则EF最小值为() 7/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C B c D号 【变式1】(25-26九年级上·四川达州开学考试)如图，在口ABCD中，∠C=120°，AB=2,AD=2AB, 点H,G分别是边DC,BC上的动点，连接AH,HG,点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF ,则EF的最小值为() A E A.2 B.5 C.1 D.3 2 【变式2】(2026陕西·模拟预测)如图，在口ABCD中，AB=AD,∠A=60°，BC=4,点P是AB边上 的一个动点，点E,F分别是DP,BP的中点，则线段EF的长为一· D U B 【变式3】（25-26八年级下·全国课后作业)如下图，在ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8,D, E分别是边AB,AC上的动点，F,G分别是ED,EC的中点，求FG的最小值. G A D B 题型07构造三角形的中位线--倍长法 【典例7】(24-25九年级下·全国期末)如图，在ABC中，AE平分∠BAC,D是BC的中点，AE⊥BE ,AB=5,AC=3,则DE=() 8/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1 B.3 C.2 D. 【变式1】(25-26九年级上·江苏宿迁·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,平面上 有一点P,连接CP,BP,若BP=4,取CP的中点M.连接AM,则AM的最小值为一 M B 【变式2】(25-26八年级上：广东东莞期中)【模型启迪】(1)如图1，在ABC中，D为BC边的中点， 连接AD并延长至点H,使DH=AD,连接BH,则AC与BH的数量关系为，位置关系为· 【模型探索】(2)若AB=6,AC=5,则AD的取值范围· 【模型迁移】(3)如图2，在ABC中，D为BC边的中点，连接AD,E为AC边上一点，连接BE交AD 于点F,且BF=AC.求证：AE=EF. 图1 图2 强化训练 一、单选题 1.(25-26九年级上·吉林长春期末)如图，为测量池塘两端A、B的距离，小明在池塘外选取了一个点C, 使得点C可以直接到达A、B,他分别找到AC、BC的中点D、E,并且测得DE的长为16米，则池塘两 端A、B的距离为() 9/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.8米 B.20米 C.25米 D.32米 2.(25-26八年级上·湖南张家界期末)如图，点D,E,F分别为ABC三边的中点，若△DEF的周长为5， 则ABC的周长为() A.12 B.10 C.5 D.2.5 3.(25-26九年级上陕西延安月考)如图，在ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE, 点F在线段DE上，连接AF、CF,∠AFC=90°，若AC=10,BC=14,则DF的长为() B A.8 B.4 C.2 D.1 4.(25-26九年级上山东淄博月考)如图，在Rt△ABC中，LB=90°，AB=3,BC=4,点D为AC上 的动点，点E,F分别为AB,AD的中点，则EF最小值为() D A. 5 B. 2 c.5 D.12 5.(25-26八年级上山东淄博·月考)如图，已知△ABC周长为1，连接△ABC三边的中点构成第2个三角 形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是() 1 1 A.2024 B. 22024 C.2025 D. 22025 10/13