专题1.3 平行四边形的判定（2大考点+6大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版八年级下册

专题1.3 平行四边形的判定 教学目标 1. 掌握平行四边形的判定定理，包括两组对边分别相等、两组对角分别相等、对角线互相平分等核心方法，理解定理的推导逻辑。 2. 能根据不同已知条件，灵活选择合适的判定方法，对四边形是否为平行四边形进行推理证明和计算。 3. 经历定理的猜想与探究过程，体会逆向思考和类比思想，提升几何逻辑思维与空间想象能力。 教学重难点 1.重点 （1）熟练掌握平行四边形的判定定理，明确各定理的适用条件，能准确区分判定方法与平行四边形的性质。 （2）能运用判定定理解决实际几何问题，包括图形判定、证明线段或角的关系等，做到灵活运用、规范表达。 2.难点 （1）理解判定定理的证明过程，尤其是如何通过构造辅助线、利用全等三角形等知识推导定理，建立判定与性质的逻辑关联。 （2）面对复杂几何情境时，能准确分析已知条件，选择最优判定方法，避免判定定理混淆，实现综合应用与灵活转化。 知识点01 平行四边形的判定 平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边形ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边形ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边形ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边形ABCD是平行四边形． 【即学即练1】1．如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据已知条件以及各个选项中所给的条件，逐项分析即可得出答案． 【详解】A.已知，添加条件，则四边形有可能是等腰梯形，不符合题意； B. 已知可得，故添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； C. 已知，添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； D. 已知可得,添加条件，则可得，由此可证得，因此可判定四边形为平行四边形，符合题意． 故选D． 2．如图，四边形的对角线与交于点O，若，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，，继而证明，得到，则四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】证明：， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形． 知识点02 平行四边形的性质与判定 平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 【即学即练2】1．如图，在中，，D是的中点，过点A，B分别作，．若，，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线的性质，平行四边形的判定及性质，理解题意是解决本题的关键． 先根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形中线的性质得到的面积，判定四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】解：，，， ， 点是的中点， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 故选：B． 2．如图，在中，点，点分别是，的中点，连接，．若平分，，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得出，，进一步得出，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得出，，由角平分线的定义，可得，由平行线的性质，可得，等量代换，可得，由等角对等边，可得，从而可得，根据平行四边形的周长计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，点分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． 题型01 添一个条件成为平行四边形 【典例1】如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故A正确； 选项B，C，D均不能证明四边形是平行四边形， 故选：A． 【变式1】在四边形中，与相交于点，且，再添加下面一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，对于B和C选项，先分别证明和，得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形， 故A选项不符合题意； B、∵，，， ∴， 则， ∴四边形是平行四边形，故B选项不符合题意； C、∵，，， ∴， 则， ∴四边形是平行四边形，故C选项不符合题意； D、∵，， ∴不能证明四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意； 故选：D 【变式2】如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是 ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定方法作答即可． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】如图，四边形的对角线、相交于点，且，请你添加一个适当的条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，能找到合适的条件证明平行四边形或全等三角形是解题的关键． 添加可证四边形是平行四边形，可得． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 题型02 证明四边形是平行四边形 【典例2】如下图，在中，，分别是，上一点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先利用平行四边形的对边平行性质，得到同旁内角互补的关系；再结合已知的，推出另一组对角相等；最后根据平行四边形的判定定理，证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ，． ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的对边平行性质，及利用等角的补角相等推出对角相等，进而判定平行四边形是解题的关键． 【变式1】如下图，在中，连接，取中点，过点作直线，分别交，于点，，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得，则，而，，即可证明，得，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 【变式2】如图，在四边形中，点、分别是对角线上的两点，且，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据平行线的性质可得，，利用线段和差关系等量代换证得得到，根据全等的性质得到，从而得证． 【详解】证明：，， ，， ， ，即． 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【变式3】已知：如图，在四边形中，，E是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证出四边形为平行四边形是解题的关键． （1）根据，可证明，再证明即可证明四边形是平行四边形； （2）由勾股定理求出的长，进而求出的长，再由平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型03 利用平行四边形的性质与判定求解 【典例3】如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A． B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 由直角三角形斜边中线的性质推出，判定四边形是平行四边形，得到． 【详解】中，点D是斜边的中点， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 故选：C． 【变式1】如图，在平行四边形中，，于点E，F为的中点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，过点作，交于，连接，则四边形为平行四边形，，由平行四边形的性质可得，，，结合题意可得，由直角三角形的性质得出，从而得出，由平行线的性质并结合等边对等角得出，进而可得，求出，再由等边对等角即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交于，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴四边形为平行四边形，， ∴，，， ∵F为的中点．， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，梯形中，，，，，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于作辅助线构造平行四边形． 作交于点E，证明四边形是平行四边形，结合平行四边形性质推出，，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：作交于点E，则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． 【变式3】如图所示，在中，，于点，平分交于点，交于点，作交于点．若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； 过点G作交于点H，利用题中条件证明，推出． 【详解】如图，过点G作交于点H，则， ，， 四边形是平行四边形， ， 由可得， ， 由得， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：3． 题型04 利用平行四边形的性质与判定证明 【典例4】如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，由平移的性质得出，，进而可得出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵将沿着的方向平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故D正确，无法判断A，B，C是否正确． 故选：D 【变式1】如图，在四边形中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质， （1）证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得证； （2）根据平行线的性质可得答案； 掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：由（1）知：， 又∵， ∴， 即的度数为． 【变式2】如图，在中，过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理； （1）证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）证明，可得，在中，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， ， ， 在中，． 【变式3】如图，在平行四边形中，对角线与交于点O．过点O作直线，分别交、于点E、F，连接、， (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质以及菱形的判定，关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）首先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质得，再根据证明即可； （2）先证明四边形是菱形，由，，根据菱形的性质，即可求得的长，继而求得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型05 数图形中平行四边形的个数 【典例5】用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 【变式1】如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 【变式2】将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 【变式3】图1是用四个直角边长都是1的等腰直角三角形拼出了一个平行四边形的示图，请你用这四个等腰直角三角形再拼出两个平行四边形，使它的顶点都落在方格的顶点上，且所拼的三个平行四边形的周长均不相等，分别在图2，图3中画出示意图． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形以及特殊平行四边形画图． 【详解】解：如图所示： 【点睛】本题考查了图形的拼接，以及平行四边形和特殊平行四边形的概念和性质，要灵活运用小三角形进行拼接，可以动手试一试． 题型06 平行四边形的性质与判定的应用 【典例6】如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，根据平行四边形的性质可判断A选项，根据点到直线的距离为垂线段的长度，平行线间的距离处处相等，可判断BCD选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴；故A选项正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项B错误，符合题意； ∵，，， ∴；故选项C正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1】如图，、和均为正三角形，以点 在的各边上，和相交于点，若，，，，则 满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别用含的代数式表示与，根据得到关于关系式，化简整理关系式即可． 【详解】解： ， ， 同理： ， 四边形为平行四边形， 在中， 为等边三角形， ，，， ，化简可得：， 故选：B. 【点睛】本题综合考查了平行四边形及等边三角形的判定与性质，关键是要会用含的代数式分别表示平行四边形和等边三角形的面积，找到关系式，化简整理得出结论． 【变式2】如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了平行线间的距离、三角形面积公式及梯形面积公式的应用，解题的关键是通过三角形面积求出平行线间的距离，进而计算四边形的面积． 由点B、C、E的排列顺序及已知长度求出的长；利用的面积和的长度求出与之间的距离（高）；根据与平行，确定四边形为梯形，结合梯形面积公式计算其面积． 【详解】∵点B、C、E在同一直线上且顺次排列，，， ∴． 设与之间的距离为（即的高）， ∵的面积为6，由三角形面积公式得：， 即，解得． ∵，在上， ∴，又, 四边形是平行四边形，其中，，高为． 由平行四边形面积公式得：四边形的面积． 故答案为：． 【变式3】如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是 ． 【答案】①② 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．连接，证明．同理可证，则；即可判断①正确；证明四边形是平行四边形．则，即可判断②；若四边形的面积是的2倍．则，证明三点共线，即，但没法证明，即可判断③． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴． 同理可证，， ∴， 故①正确； 连接， ∵， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴； 故②正确； 若四边形的面积是的2倍．则， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，的边上的高为， ∵， ∴， 即点和点到的距离相等， ∴， ∵， ∴三点共线，即， 但没法证明， 故③错误， 故答案为：①②． 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线，相交于点．已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键； 先根据对角线互相平分判定四边形为平行四边形，再依据平行四边形的性质逐项分析即可． 【详解】解：， 即对角线、互相平分 ∴四边形是平行四边形 A、，平行四边形对边相等，不符合题意； B、，平行四边形对边平行，不符合题意； C、，平行四边形对边相等，不符合题意； D、平行四边形无对角线互相垂直的性质，符合题意； 故选：D ． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，对角线，交于点O，，，分别作，，则四边形的周长为（    ） A．16 B．14 C．12 D．7 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质，先由平行四边形的性质得到，，再由得到四边形是平行四边形，即可得到，最后求周长即可 【详解】解：∵在中，对角线，交于点，，， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长， 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定； 首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴ ∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个． 故选：C． 4．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据平行四边形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、当，时，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故不符合题意； B、当，时，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当，时，则有，所以，所以，同理可得，所以根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、当，时，无法判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 5．（21-22八年级下·广东湛江·期中）如图，在中，，，，点D、E分别是、的中点，交的延长线于F，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 由于，从而易证，所以，从而可证四边形是平行四边形，所以，再根据，得到，于是可得到，从而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴． 在与中， ， ∴． ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．（22-23八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于8，则平移的距离等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，根据平移的性质推出四边形为平行四边形，利用平行四边形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积， ∴，即平移距离为2； 故答案为：2 7．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是平行四边形，则需添加的一个条件是 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或两组对边分别平行的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：添加条件或等， 添加条件证明如下： ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， 添加条件证明如下： ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质定理与判定定理， 过点F作交于点G，利用全等三角形的判定定理与性质定理证明得到，，再根据平行四边形的性质定理与判定定理证明四边形为平行四边形，得到即可得解．添加平行线构造全等三角形是解答的关键． 【详解】解：过点F作交于点G， ∴，又， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 9．（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，，的周长为，则与的周长和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对边相等及平行线判定相似三角形的性质是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，得到对应边相等，再结合平行线判定三角形相似，推导与的周长和与周长的关系． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，； ∵的周长为，的周长为， ∴与的周长和为 ， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平移的性质，线段的和与差，平行四边形的判定和性质． 由平移的性质，结合线段的和与差，可得，由平移的性质可得四边形为平行四边形，即可得的长． 【详解】解：由平移可得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由平移可得，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在中，为边上的高线． (1)尺规作图：过点E作直线的垂线，在垂线上截取一点M，点M在直线右侧，使得，连接（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：为EF边上的高线， ， 又∵①_________， ． 在和中， （③_________）， ∴④__________， ． ∴四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④． 【分析】本题考查了用尺规作垂直，作线段等于已知线段，平行的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）延长，以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线于两点，然后分别以这两点为圆心，以超过这两点距离为半径画弧，两弧相交于一点，连接和这个点，得到直线，然后以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，连接即可； （2）根据平行线的判定，三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定填空即可． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）证明：为边上的高线， ， 又∵， ． 在和中， ， ， ∴， ． ∴四边形是平行四边形． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，，分别是，的中点，交的延长线于点．求四边形的面积． 【答案】12 【分析】由于，易证，则，从而证明四边形是平行四边形，则，推出，最终证得，再求解即可． 【详解】解：， ． 是的中点， ． 在与中， ， ． 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ． 又， ， ． ，，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，涉及到全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，综合程度较高． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点．点，在对角线上，连接，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由，得，由是的中点，得，即可通过证明，根据全等三角形的性质得到，结合，得到，则可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等即可得到结论． 【详解】证明：， ． 是的中点， ． 在和中， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 14．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点； (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质； （1）根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解； （2）根据含度角的直角三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，即可得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴， ∴． 15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识． （1）证明，则，又由即可证明结论； （2）过点C作于点G，求出，  由勾股定理得到，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，．           ∵F是AC的中点， ∴， ∴，           ∴， 又∵， ∴四边形ADCE是平行四边形． （2）解：过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，           ∴， ∵， ∴，           ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 平行四边形的判定 教学目标 1. 掌握平行四边形的判定定理，包括两组对边分别相等、两组对角分别相等、对角线互相平分等核心方法，理解定理的推导逻辑。 2. 能根据不同已知条件，灵活选择合适的判定方法，对四边形是否为平行四边形进行推理证明和计算。 3. 经历定理的猜想与探究过程，体会逆向思考和类比思想，提升几何逻辑思维与空间想象能力。 教学重难点 1.重点 （1）熟练掌握平行四边形的判定定理，明确各定理的适用条件，能准确区分判定方法与平行四边形的性质。 （2）能运用判定定理解决实际几何问题，包括图形判定、证明线段或角的关系等，做到灵活运用、规范表达。 2.难点 （1）理解判定定理的证明过程，尤其是如何通过构造辅助线、利用全等三角形等知识推导定理，建立判定与性质的逻辑关联。 （2）面对复杂几何情境时，能准确分析已知条件，选择最优判定方法，避免判定定理混淆，实现综合应用与灵活转化。 知识点01 平行四边形的判定 平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边形ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边形ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边形ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边形ABCD是平行四边形． 【即学即练1】1．如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，四边形的对角线与交于点O，若，，求证：四边形是平行四边形． 知识点02 平行四边形的性质与判定 平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 【即学即练2】1．如图，在中，，D是的中点，过点A，B分别作，．若，，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．10 D．12 2．如图，在中，点，点分别是，的中点，连接，．若平分，，，则四边形的周长为 ． 题型01 添一个条件成为平行四边形 【典例1】如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在四边形中，与相交于点，且，再添加下面一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是 ，使四边形是平行四边形． 【变式3】如图，四边形的对角线、相交于点，且，请你添加一个适当的条件： ，使． 题型02 证明四边形是平行四边形 【典例2】如下图，在中，，分别是，上一点，．求证：四边形是平行四边形． 【变式1】如下图，在中，连接，取中点，过点作直线，分别交，于点，，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【变式2】如图，在四边形中，点、分别是对角线上的两点，且，，，求证：四边形是平行四边形． 【变式3】已知：如图，在四边形中，，E是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 题型03 利用平行四边形的性质与判定求解 【典例3】如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A． B．4 C．5 D．8 【变式1】如图，在平行四边形中，，于点E，F为的中点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，梯形中，，，，，则 ． 【变式3】如图所示，在中，，于点，平分交于点，交于点，作交于点．若，则的长为 ． 题型04 利用平行四边形的性质与判定证明 【典例4】如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在四边形中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式2】如图，在中，过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求的长． 【变式3】如图，在平行四边形中，对角线与交于点O．过点O作直线，分别交、于点E、F，连接、， (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 题型05 数图形中平行四边形的个数 【典例5】用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 【变式3】图1是用四个直角边长都是1的等腰直角三角形拼出了一个平行四边形的示图，请你用这四个等腰直角三角形再拼出两个平行四边形，使它的顶点都落在方格的顶点上，且所拼的三个平行四边形的周长均不相等，分别在图2，图3中画出示意图． 题型06 平行四边形的性质与判定的应用 【典例6】如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 【变式1】如图，、和均为正三角形，以点 在的各边上，和相交于点，若，，，，则 满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为 ． 【变式3】如图，以的三边为边分别作等边，等边，等边，其中，则以下结论：①；②；③四边形的面积是的2倍．其中正确的结论是 ． 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线，相交于点．已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，对角线，交于点O，，，分别作，，则四边形的周长为（    ） A．16 B．14 C．12 D．7 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 4．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（21-22八年级下·广东湛江·期中）如图，在中，，，，点D、E分别是、的中点，交的延长线于F，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于8，则平移的距离等于 ． 7．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是平行四边形，则需添加的一个条件是 8．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为 ． 9．（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，，的周长为，则与的周长和为 ． 10．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为 ． 三、解答题 11．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在中，为边上的高线． (1)尺规作图：过点E作直线的垂线，在垂线上截取一点M，点M在直线右侧，使得，连接（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：为EF边上的高线， ， 又∵①_________， ． 在和中， （③_________）， ∴④__________， ． ∴四边形是平行四边形． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，，分别是，的中点，交的延长线于点．求四边形的面积． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点．点，在对角线上，连接，，，．求证：． 14．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点； (1)求的度数； (2)若，求的长． 15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $