专题1.2 平行四边形的性质（1大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.2 平行四边形的性质 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点！平行四边形的性质 知识清单 题型]利用平行四边形的性质求角度 题型2利用平行四边形的性质求线设长 平行四边形的性质 题型3利用平行四边形的性质求面积 题型4利用平行四边形的性质求周长 题型精讲 题型5利用平行四边形的性质判断多结论问题 题型6平行四边形的折叠问题 题型7利用平行四边形的性质证明 强化训练 教学目标、教学重难点 1.知识层面：理解平行四边形的定义及对边、对角等相关概念，掌握对边平 行且相等、对角相等的核心性质，了解平行线间距离的含义。 2.能力层面：通过观察、操作、推理等活动，提升几何直观和逻辑推理能力， 教学目标 能运用性质进行简单计算与证明。 3.情感层面：感受平行四边形在生活中的应用价值，培养主动探究、合作学 习的习惯，增强数学学习的兴趣与自信心。 1.重点 (1)难以通过添加辅助线（如连接对角线）将平行四边形问题转化为三角形 教学重难点 问题，缺乏图形转化的思想方法和实操经验。 (2)熟练运用平行四边形的边、角性质，解决实际情境中的计算问题（如求 边长、角度)和简单几何证明题，夯实应用能力。 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.难点 (1)难以通过添加辅助线（如连接对角线）将平行四边形问题转化为三角形 问题，缺乏图形转化的思想方法和实操经验。 (2)运用几何语言进行性质证明时，逻辑推理过程不严谨，难以规范表达推 理依据，且在复杂情境中灵活运用性质解决问题的能力不足。 知识清单 知识点01平行四边形的性质 平行四边形的性质 (1)平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. (2)平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等， ②角：平行四边形的对角相等， ③对角线：平行四边形的对角线互相平分. (3)平行线间的距离处处相等. (4)平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积， ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等. 【即学即练1】1.如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC,交AD边于E,若BC=7, CD=5,则DE的长度为() E C A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图，口ABCD中，CE⊥AB,E为垂足，如果∠D=65°，则∠BCE等于 A E 题型精讲 题型01利用平行四边形的性质求角度 【典例1】(25-26八年级上山东淄博月考)在平行四边形ABCD中，若∠A与∠B的度数之比为5：4，则 2/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠C的度数为() A.120° B.100° C.80 D.110° 【变式1】(25-26八年级下·全国·周测)如图，在口ABCD中，∠C=108°，BE平分∠ABC,则∠AEB等 于() A D A.18 B.36° C.72° D.108 【变式2】(25-26八年级上·湖南张家界·期末)如图，平行四边形ABCD的一个外角为38°，则∠A的度数 为 A D 38° B C E 【变式3】(24-25八年级下·四川泸州期中)如图，口ABCD中EF垂直平分对角线BD,若∠C=63°， ∠BFE=50°，则∠ABE=一 E F 题型02利用平行四边形的性质求线段长 【典例2】(25-26七年级上·湖南·期末)如图，平行四边形ABCD中，AD=5,AB=3,BE平分∠ABC交 AD边于点E,则线段AE、ED的长度分别为() D A.2和3 B.3和2 C.4和1 D.1和4 【变式1】(24-25八年级下·云南普洱·期末)如图，在口ABCD中，AB=3,BC=5,∠ABC的平分线交 AD于点E,则DE的长为() A E D A.4 B.3 C.2 D.1 3/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(2025八年级上全国.专题练习)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, LADB=90°，AD=3,AC=10.则AD与BC的距离为」 D C B 【变式3】(25-26九年级上·四川成都·期中)如下图，在ABCD中，按如下步骤作图：①以点D为圆心， 适当长为半径作弧，分别交DA、DC于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于EF的一半长为半径作 弧，两弧交于点G;③作射线DG交CB的延长线于点M.如果∠A=120°，AB=6,BC=3,则BM的长 为 D 题型03利用平行四边形的性质求面积 【典例3】(23-24八年级下·湖北成宁期中)如图，点E在平行四边形ABCD的边AD上，△ABE的面积记 为S,△CDE的面积记为S,△BCE的面积记为S3,则下列结论正确的是() D S A.S1+S2=S3B.S,+S2>S3 C.S+S2<S D.以上结论都不对 【变式1】(24-25八年级下·吉林长春·期中)如图，E是▣ABCD内部一点，连接AE、BE、CE、DE.若 图中阴影部分的面积是3，则△ABE和△CDE的面积之和是一· D 【变式2】(2425八年级下·福建福州月考)如图，平行四边形ABCD中，P是边AD上一点，若△PBC面 积是8，则平行四边形ABCD面积是 【变式3】(2026九年级全国·专题练习)如图，在口ABCD中，点E在边AD上，且AE=ED,连接BE并 延长交CD的延长线于点F,则△FED与口ABCD的面积之比为() 4/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5 题型04利用平行四边形的性质求周长 【典例4】(24-25八年级下广东韶关月考)如图，已知ABCD的周长等于22cm,AC=8cm,则ABC的 周长是() A.18cm B.19cm C.20cm D.21cm 【变式1】(24-25八年级下.四川泸州期中)如图，口ABCD中，BD的垂直平分线分别交AD于点E,交 BD于点F,若△ABE的周长是8，则口ABCD的周长是() E A.10 B.12 C.14 D.16 【变式2】(24-25八年级下·吉林长春·月考)如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于点O,其周长为16， 且AOB的周长比△BOC的周长小2，则边BC的长为一 【变式3】(24-25九年级上四川成都期中)如图，在口ABCD中，点E在AD边上，以BE为折痕，将 △ABE向上翻折，使点A恰好落在CD边上的点F处.若DEF的周长为8，BCF的周长为32，则 口ABCD的周长为 F D 题型05利用平行四边形的性质判定多结论问题 【典例5】(2024四川眉山中考真题)如图，在口ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O,下列结论： ①AB∥DC;②E0=ED;③LA=LC;④S医边形HBoE=Sg造影cDoF,其中正确结论的个数为(） 5/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B F A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式1】(24-25八年级下·辽宁沈阳·期末)如图，在平行四边形ABCD中，点0是AC的中点，点E,F 分别在边AD,BC上，线段EF经过点O,下列结论：①AB∥DC;②FO∥FC;③∠B=∠D；④ S医边形4o=S西边形cDEo·其中错误结论的个数为() E D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式2】(24-25八年级下·湖南怀化期中)如图，在口ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于点E,延长 BF⊥CD于点F,DE,BF交于H,延长BF与AD的延长线交于点G.下面给出五个结论：①BD=√2BE; ②∠A=∠BHE;③AB=BH;④△BCF≌△DCE;⑤线段BG与CD互相平分.其中正确的结论有 个 D B ■ E 【变式3】(23-24八年级下·福建福州·期中)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, AE平分∠BAD,分别交BC,BD于点E、P.连接OE,∠ADC=60°，AB=BC=1,则下列结论：O ∠CAD=30°；②BD=2V3;③S平行四边形ABD=AB·AC;④AD=40E,其中结论正确的是 (只填写 序号)· A B E 题型06平行四边形的折叠问题 【典例6】(24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中)如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使 点B落在点E处，若∠1=∠2=42°，则∠DAB的度数为() 6/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 2 B A.21° B.42 C.58 D.63 【变式1】(24-25八年级下·河北秦皇岛期末)如图，在口ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落 在DC的延长线上的点E处.若∠B=60°，AB=3,则ADE的周长为() A.12 B.15 C.18 D.19 【变式2】(2024山东泰安·二模)如图，将平行四边形ABCD进行折叠，折叠后AD恰好经过点C得到 AD',若∠BAC=90°，DE=5,CE=4,则线段AC的长度为 y D 【变式3】(25-26八年级下·全国·课后作业)将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为 折痕，点C的对应点为C.若∠1=20°，∠2=60°，则∠C的度数为_ 2 BE 题型07利用平行四边形的性质证明 【典例7】(2425八年级下·内蒙古包头期中)如图，在口ABCD中，点M,N分别在边BC,AD上，且 AM∥CN,对角线BD分别交AM,CN于点E,F.求证BE=DF. B 【变式1】(24-25八年级下·西藏昌都期末)如图，在口ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长， 7/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 交DA的延长线于点E,求证：AE=AD. E 【变式2】(24-25八年级上山东济南·期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线 EF分别交AD、CB的延长线于点E,F.求证：OE=OF, D A E F B 【变式3】(25-26八年级上山东东营·月考)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且 AB=AE. D E (I)求证：AC=ED; (2)若LB=65°，LEAC=25°，求∠AED的度数. 强化训练 一、单选题 1.(2025八年级上山东·专题练习)如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将ADE沿 AE折叠至△AD'E处，AD'与CE交于点F,若LB=50°，LDAE=20°，∠FED'=()度. D B C D A.40 B.35 C.30 D.50 2.(2026湖北模拟预测)如图，在口ABCD中，已知AB=12,AD=8,以点B为圆心，适当长为半径画弧， 交BM于点M。交BC于点N,分别以点M,V为圆心，大于号N的长为半径画强，两颜相交于点E,连接 BE并延长交CD于点F,则DF的长为() 8/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M A.2 B.4 C.6 D.8 3.(25-26九年级上广东佛山月考)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E,交 CD的延长线于点F,连接AC,下列说法正确的是() A.AB=AC B.CF=BC C.AC平分LBCD D.ABC是等边三角形 4.(2025九年级上重庆专题练习)已知口ABCD中，∠A:∠D=1:2,则∠A的大小是() A.60 B.80 C.100 D.120° 5.(25-26九年级上全国·期中)如图，在梯形ABCD中，AD‖BC,E是AB中点，EF‖DC,则下列 结论成立的是() A.AD=IBC B.AD=IFC C.EF=DC D.EF=1AB 2 2 2 二、填空题 6.(2025河北模拟预测)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=16,若△BCO的 周长为14，则AD的长为 B 7.(25-26九年级上：四川成都期中)如图，在口ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点 P:分别以B,F为圆心，大于BF长为半径作弧，两弧交于点G,连接4G并延长，交BC于点E,若 CD=6,CE=4,则AD的长为 9/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F G 8.(25-26九年级上山东济宁月考)如图，在口ABCD中，CD=4,∠B=60°，分别以点A,B为圆心、 大于)AB的长为半径作弧，两弧交点的连线交AB于点F,交BC于点E,则△ABE的面积一一 A D B 9.(25-26八年级上山东淄博期末)如图，平行四边形ABCD的对角线交于点0，且CD=4,若它的对 角线的和是32，则AOB的周长为一· D B 10.(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，在口ABCD中，若∠ADC=118°，BE⊥DC于点E, DF⊥BC于点F,BE与DF交于点H,则∠BHF=_ D H B ∴.∠ADF=∠DFC=90°.∠ADC=118°， :LEDH=∠ADC-∠ADF=28°， BE⊥DC, :∠DEH=90°， ∠DHE=90°-28°=62°. ∠BHF=62°故答案为：62°. 三、解答题 11.(24-25八年级下·云南临沧期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O.求 证：△A0B≌△C0D· 10/11 专题1.2 平行四边形的性质 教学目标 1. 知识层面：理解平行四边形的定义及对边、对角等相关概念，掌握对边平行且相等、对角相等的核心性质，了解平行线间距离的含义。 2. 能力层面：通过观察、操作、推理等活动，提升几何直观和逻辑推理能力，能运用性质进行简单计算与证明。 3. 情感层面：感受平行四边形在生活中的应用价值，培养主动探究、合作学习的习惯，增强数学学习的兴趣与自信心。 教学重难点 1.重点 （1）难以通过添加辅助线（如连接对角线）将平行四边形问题转化为三角形问题，缺乏图形转化的思想方法和实操经验。 （2）熟练运用平行四边形的边、角性质，解决实际情境中的计算问题（如求边长、角度）和简单几何证明题，夯实应用能力。 2.难点 （1）难以通过添加辅助线（如连接对角线）将平行四边形问题转化为三角形问题，缺乏图形转化的思想方法和实操经验。 （2）运用几何语言进行性质证明时，逻辑推理过程不严谨，难以规范表达推理依据，且在复杂情境中灵活运用性质解决问题的能力不足。 知识点01 平行四边形的性质 平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 【即学即练1】1．如图，四边形是平行四边形，平分，交边于，若，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．根据平行线的性质得出，，，证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，中，为垂足，如果，则等于 ° 【答案】/25度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的对角相等得到，再由直角三角形锐角互余即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故答案为：． 题型01 利用平行四边形的性质求角度 【典例1】（25-26八年级上·山东淄博·月考）在平行四边形中，若∠A与∠B的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得，再根据与的度数之比为，即可求出的度数，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 与的度数之比为， ， ， ∴， ， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，平分，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与平行线的性质，掌握平行四边形邻角互补、对边平行，及平行线的内错角相等是解题的关键． 先利用平行四边形邻角互补的性质求出的度数，再通过角平分线得到的度数，最后结合平行四边形对边平行的性质，利用内错角相等求出． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ AD∥BC，且 ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，平行四边形的一个外角为，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等，邻角互补． 利用已知可先求出，根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角相等来求的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形的一个外角为， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中垂直平分对角线，若，，则 ． 【答案】/37度 【分析】本题考查平行四边形的性质与垂直平分线性质，解题关键是利用垂直平分线得，结合平行四边形内角的关系求角度，易错点是垂直平分线的性质应用不当． 由平行四边形得，由垂直平分线的性质得到，，再结合平行四边形的性质和角的和差即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵垂直平分对角线， ∴，， ∴； 在中，， 又∵在中，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02 利用平行四边形的性质求线段长 【典例2】（25-26七年级上·湖南·期末）如图，平行四边形中，平分交边于点，则线段的长度分别为（　　） A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关几何性质进行求解． 先由平行四边形性质得到，结合平行线性质、角平分线定义得到，进而由等腰三角形的性质得到，再数形结合得到，代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在中，，，的平分线交于点，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质. 在中，的平分线交于点E，易证得是等腰三角形，继而求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ． 故选：C． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，对角线，相交于点，，．则与的距离为 ． 【答案】8 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理．根据平行四边形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵的对角线相交于点O，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴与的距离为8． 故答案为：8． 【变式3】（25-26九年级上·四川成都·期中）如下图，在中，按如下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线交的延长线于点M．如果，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查作角平分线、平行四边形的性质，熟练掌握角平分线的定义、平行四边形的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，为的平分线，可得．由平行四边形的性质可得，，则，进而可得，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ． 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 题型03 利用平行四边形的性质求面积 【典例3】（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）如图，点E在平行四边形的边上，的面积记为，的面积记为，的面积记为，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】A 【分析】分别表示出三个三角形的面积，再根据平行四边形的性质得出答案． 【详解】解：设和之间的距离是h，根据题意，得，，． ∵四边形是平行四边形， ∴． 可知． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，理解各三角形面积之间的关系是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，E是内部一点，连接、、、．若图中阴影部分的面积是3，则和的面积之和是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的面积公式=底×高是解题的关键． 过E作，交于M，交于N，的面积+的面积=，即可得出平行四边形的面积，再根据和的面积之和是平行四边形的面积减去阴影部分的面积即可得出答案． 【详解】解：过E作，交于M，交于N，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ，， ∵阴影部分的面积是3， ∴， 和的面积之和是． 故答案为：3． 【变式2】（24-25八年级下·福建福州·月考）如图，平行四边形中，P是边上一点，若面积是8，则平行四边形面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的面积，三角形的面积，过点作于点，由面积是8，得到，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵面积是8， ∴， ∴， ∴平行四边形面积是， 故答案为：． 【变式3】（2026九年级·全国·专题练习）如图，在中，点在边上，且，连接并延长交的延长线于点，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；由平行四边形的性质得出，，得到，推出，得到，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：C． 题型04 利用平行四边形的性质求周长 【典例4】（24-25八年级下·广东韶关·月考）如图，已知的周长等于，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对边相等，得出，再结合周长公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：已知的周长等于 ∴ ∵ ∴的周长是 故选：B 【变式1】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中，的垂直平分线分别交于点，交于点，若的周长是8，则的周长是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、平行四边形的性质等知识，首先根据垂直平分线的性质可得，结合“的周长是8”可知，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是8，即， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的周长． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，的对角线与相交于点O，其周长为16，且的周长比的周长小2，则边的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据题意，易得，进行求解即可． 【详解】解：∵的对角线与相交于点O，其周长为16， ∴， ∴， ∵的周长比的周长小2， ∴，即：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5 【变式3】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，使点A恰好落在边上的点F处．若的周长为8，的周长为32，则的周长为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了平行四边形的性质及图形翻折的性质．利用平行四边形的性质和折叠的性质，分别找出、与平行四边形边长的关系，进而求出平行四边形的周长． 【详解】解：由题意知， ，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵由翻折得到， ∴，， ∴，， ∴， 即平行四边形的周长为40． 故答案为：40． 题型05 利用平行四边形的性质判定多结论问题 【典例5】（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，对角线互相平分，对角相等等性质进行判断即可 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，故①③正确， ，， 点是的中点， ， 又，，， ， ，，故②不正确， ，， ， 即，故④正确， 综上所述，正确结论的个数为3个， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别在边，上，线段经过点，下列结论：；；；．其中错误结论的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的对边平行、对角相等可知、正确；因为与有交点，所以错误，故错误；因为是平行四边形的对角线，所以，利用可证，所以可知，从而可证，故正确． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 故正确； 与相交于点， 与不平行， 故错误； 四边形是平行四边形， ， 故正确； 四边形是平行四边形，是的对角线， ，， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ， 故正确． 综上所述，错误结论的个数为. 故选： A． 【变式2】（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，在中，，于点，延长于点，，交于，延长与的延长线交于点.下面给出五个结论：①；②；③；④；⑤线段与互相平分.其中正确的结论有 个. 【答案】3 【分析】由等腰直角三角形的性质可求；②由余角的性质和平行四边形的性质可求；③由“”可证，可得；④在和中，只有三个角相等，没有边相等，则和不全等，⑤假设是的中点，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，而没有这个条件，故⑤不正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，故②正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故③正确， 在和中，只有三个角相等，没有边相等， ∴与不全等，故④错误． 若点是的中点， ∵，， ∴， 则， ∴， ∵点不一定是的中点， 则不一定成立 则线段与互相平分，不一定成立，故⑤错误， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和行，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 【变式3】（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点、．连接，，，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是 （只填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】①先根据角平分线和平行得：，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算和的长，可得的长；③因为，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ②∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故②错误； ③由②知：， ∴， 故③正确； ④由②知：是的中位线， ∴， ∵， ∴，即：， 故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键系． 题型06 平行四边形的折叠问题 【典例6】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点E处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据三角形的外角性质可得，根据角的和差可得，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为（   ） A．12 B．15 C．18 D．19 【答案】C 【分析】本题考查折叠性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握折叠性质，证明是等边三角形是解答的关键．先根据平行四边形的性质得，，再由折叠性质得，，，证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 由折叠性质得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为， 故答案为：C． 【变式2】（2024·山东泰安·二模）如图，将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，若，则线段的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理等，由平行四边形的性质可得，由折叠可得，由勾股定理求出，得出，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∴， ∵将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：12． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折的变换，掌握翻折的性质、平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 由折叠的性质，得，，根据平行四边形的性质结合两直线平行同位角相等可得，再由三角形的内角和为可求出的度数，即为的度数． 【详解】解：如图，设与交于点． 由折叠的性质，得，， ． 四边形是平行四边形， ， ． 在中，， －， ． 故答案为：． 题型07 利用平行四边形的性质证明 【典例7】（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行四边形的性质得到，由平行线的性质和对顶角相等推出，，据此证明，则可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·西藏昌都·期末）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行得到，再由线段中点的定义得到，据此可证明，得到，再由平行四边形的对边相等得到，即可得证结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，进而可得，再根据对顶角相等可得从而证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·山东东营·月考）如图，在平行四边形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明即可求证； （）由等腰三角形的性质得，即得，进而得到，再根据全等三角形的性质即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ，， ， ∵， ， ． 在和中， ， ， ； （2）解：∵，， ， ， ， ， ∵， ． 一、单选题 1．（2025八年级上·山东·专题练习）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，（   ）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键．由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵将沿折叠至处， ， ， 故选：A． 2．（2026·湖北·模拟预测）如图，在中，已知，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的性质．由作法得：平分，再结合平行四边形的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：由作法得：平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 3．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，连接．下列说法正确的是（   ） A． B． C．平分 D．是等边三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的性质，等角对等边，掌握角平分线性质是解题的关键． 由题意可知，结合可得，进而得到，则即可判断B正确，而ACD无法判断． 【详解】的平分线交于点，交的延长线于点， 是的平分线， ， 又， ， ， ，故B正确；而ACD无法判断． 故选：B． 4．（2025九年级上·重庆·专题练习）已知中，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形角度的关系是解题关键．利用平行四边形邻角互补和对角相等的性质，结合给定比例求解即可． 【详解】解：∵在中，与是邻角， ∴， 设，则， ∴， ∴，即， 故选：A． 5．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在梯形 中，，是中点，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了梯形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据梯形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由题意无法得出，不符合题意； 、由题意无法得出，不符合题意； 、如图，延长交延长线于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，符合题意； 、由题意无法得出，不符合题意； 故选：． 二、填空题 6．（2025·河北·模拟预测）如图，的对角线，相交于点，且，若的周长为14，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，由的周长为14，可求． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 的周长为， ， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查作角平分线，平行线的性质，等角对等边，平行四边形的性质． 由作图可知平分，由平行四边形可得，，，由平行线的性质，结合等角对等边，等量代换，可得，即可得的长． 【详解】解：由题中作图可知平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，在中，，，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交点的连线交于点，交于点，则的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，作已知线段的垂直平分线，利用基本作图得到垂直平分是解题的关键．利用基本作图得到垂直平分，推出是等边三角形，根据平行四边形的性质以及中点的定义得出，再根据勾股定理求出，进而得出的面积． 【详解】解：在中，， ， 由题意可得垂直平分， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，平行四边形的对角线交于点，且，若它的对角线的和是32，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 由平行四边形的性质得出，，，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，． ， ． 的周长． 故答案为：20． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，若，于点，于点，与交于点，则 ． 【答案】62° 【分析】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O．求证：． 【答案】见详解 【分析】该题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，，再根据即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴． 12．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，E是的中点，的延长线与的延长线相交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识．又由平行四边形的性质得到，证明，则，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 13．（2025八年级上·山东·专题练习）如图，的两条对角线、相交于点，点、分别是、上的中点．连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点、分别是、上的中点， ∴，， ∴， ∴ 即， 在和中， ， ∴， ∴． 14．（2025·四川雅安·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质结合已知条件可以得到 ，利用即可证明； （2）利用平行四边形对角线互相平分可求，因为，由勾股定理可求，则平行四边形的面积可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）； （2）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积． 15．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，在平行四边形中，对角线交于点O，延长到点E，使，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，推出，结合，利用证明，即可得出结论； （2）易证是等边三角形，得到，由（1）知，即，，即，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）知，即， ∴，即， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $