2025-2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·泰州）

( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·泰州） （共26小题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．计算：（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：． 故选：C． 2．在一个不透明的盒子中，装有1个黑球，2个红球和3个白球，它们除了颜色外其他都相同，从盒中任意摸出一个球，是黑球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵盒子中装有1个黑球，2个红球和3个白球， ∴从盒中任意摸出一个球，是黑球的概率是， 故选：D． 3．一元二次方程配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把常数项移到方程的右边，方程两边再加上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可． 【详解】解： 移项，得：， 配方，得：， 即． 故选：A 4．如图，是的直径且，点C在圆上且，的平分线交于点D，连接并过点A作，垂足为E，则的周长为（   ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识点，由圆周角定理得到，由，求出，由等腰直角三角形的性质求出，由，求出，而，得到，于是得到的周长，关键是由锐角的正弦求出的长，由等腰直角三角形的性质求出的长． 【详解】∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 故选：A． 5．已知抛物线（a，b，c为常数，）经过点，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：① ；②方程的一个根为1，另一个根为；③ ．其中，正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①由抛物线过点（1，0），（0，-1），即可得出，结论①错误；②由根与系数的关系得到，即可，故②正确；③由抛物线的对称性得出另一个交点的横坐标，即可得到，可得出，故③正确． 【详解】①∵抛物线（a，b，c为常数，）经过点， ∴，， ∴，结论①错误； ②由①知，， 设抛物线（a，b，c为常数，）与轴的另一个交点为（m，0）， ∴1，m是方程的两个根， ∴， ∴，结论②正确； ③∵抛物线过点（1,0），对称轴在y轴右侧， ∴另一个交点的横坐标， 由②可知， ∴， ∴，结论③正确． 故选：C． 6．如图，是的角平分线，、分别是和的高，下列结论①②垂直平分  ③若，则  ④若，，则  ⑤若为中点，则为等腰三角形，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②③⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】①根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，判断与的关系． ②通过证明三角形全等得到，，再根据垂直平分线的判定定理判断． ③根据四边形内角和求出，再结合直角三角形的性质判断． ④利用三角形面积公式，结合，判断的值． ⑤根据为中点且，结合直角三角形全等，判断的形状． 【详解】解：①∵ 是的角平分线，，， ∴ ，故①正确． ②在和中， ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴ 垂直平分，而非垂直平分，故②错误． ③∵ ，， ∴ ， 又∵ ，四边形内角和为， ∴ ， ∵ 平分， ∴ ， 在中，， ∴ ，故③正确． ④∵ ，，且， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，故④错误． ⑤∵ 为中点， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即为等腰三角形，故⑤正确． 综上，①③⑤正确， 故选：． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．近年来，我国航天事业发展迅猛，取得了惊艳世界的成绩．已知我国自主研发的第二代极轨气象卫星风云三号E星运转的轨道高度距离地表，则在比例尺是的大屏幕上显示为 ． 【答案】40 【分析】本题考查比例的性质，根据比例尺＝图上距离：实际距离求解即可，注意要换算单位． 【详解】解：设大屏幕上显示为，， 根据题意，得， 解得， 则在比例尺是的大屏幕上显示为， 故答案为：40． 8．若一组数据7，3，5，，2，9的众数为7，则这组数据的中位数是 ． 【答案】6 【分析】根据众数为7可得x=7，然后根据中位数的概念求解． 【详解】解：∵这组数据众数为7， ∴x=7， 这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，5，7，7，9， 则中位数为：， 故答案为：6． 9．如图，线段AB＝100cm，若点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），则线段PB＝ cm．（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，则AP=AB，代入数据即可得出AP的长，然后利用求解即可． 【详解】解：∵P为线段AB的黄金分割点（PA＞PB）， ∴AP=AB=， ∴． 故答案为：． 10．若x1，x2是一元二次方程x2＋2x－4＝0的两个实数根，则x12＋3x1＋x2＋x1x2＝ ． 【答案】-2 【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系可得x12＋2x1－4＝0，x1＋x2＝-2，x1x2＝-4，然后将原代数式变形并利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2＋2x－4＝0的两个实数根， ∴x12＋2x1－4＝0，x1＋x2＝-2，x1x2＝-4 ∴x12＋2x1＝4 ∴x12＋3x1＋x2＋x1x2 = x12＋2x1＋x1＋x2＋x1x2 =4＋（-2）＋（-4） =-2 故答案为：-2． 11．若一个圆锥的母线长是4，底面直径是2，则它的侧面展开图的面积是 ． 【答案】4π 【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，依此代入数据计算即可． 【详解】解：∵底面直径是2， ∴底面周长为 ， ∵母线长是4， ∴侧面展开图的面积 ． 故答案为： ． 12．如图,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A的俯角为40°,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1∶0.75,坡长BC=10米,则此时AB的长约为 米.(参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84) 【答案】5.1. 【分析】延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP，可得CE=PQ=2、CQ=PE，由坡度i=1：0.75，可设CQ=4x、BQ=3x，根据BQ2+CQ2=BC2求得x的值，即可知DP=11，由AP的长以及AB=AP-BQ-PQ可得答案． 【详解】 如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q， ∵CE∥AP， ∴DP⊥AP， ∴四边形CEPQ为矩形， ∴CE=PQ=2，CQ=PE， ∵i= ， ∴设CQ=4x、BQ=3x， 由可得, ， 解得：x=2或x=−2(舍去)， 则CQ=PE=8，BQ=6， ∴DP=DE+PE=11， 在Rt△ADP中,∵， ∴AB=AP−BQ−PQ=13.1−6−2=5.1， 故答案为5.1米 13．将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中点O，E，F在直线l上，点B恰好落在边上，，，，则的度数是 ． 【答案】/65度 【分析】此题考查了三角板中的角度计算，用到了三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．先根据三角形内角和定理和平角的定义求出，，再由三角形外角的性质求出，进一步即可得到的度数． 【详解】解：∵，，． ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图所示， 在中，，， 点P是线段上的一个动点(点 P可与点A重合)， 过点P作于点 R， 作的平分线交于点G， 在线段上截取， 过点D作交于点E， 过点P作交于点F，此时四边形恰好为正方形，在点P从点A开始的运动过程中，正方形面积的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【分析】设，则，，根据等腰直角三角形的性质和三线合一的性质可得出，然后再根据勾股定理将正方形表示为，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴G为的中点， ∴， 在中， ∵四边形为正方形， 则面积 当，其面积最小为： 当点D与点R重合时，， 即，解得：， 若时，无法构成正方形， 即， ∵的对称轴为：，开口向上，且， ∴当时，正方形面积有最大值，最大值为， 综上：当时，正方形面积有最大值，最大值为 当时，正方形面积有最小值，最小值为． 故答案为：，． 15．等腰中，，，则重心G到底边的距离是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意作出高线，首先根据等腰三角形的性质及勾股定理可求得的长，再根据重心的性质即可求得结果． 【详解】解：如图所示，过点A作于点D，    ∵，， ∴， ∴， ∵为等腰三角形底边上的中线， ∴重心一定在上，且重心G到底边的距离为的长， 根据重心的性质可知，． 故答案为：． 16．如图，正方形中，点E是边上的动点（不与点C、D重合），以为边向右作正方形，连接，点H是的中点，连接、．下列结论：①；②平分；③若，，则； ④若，则．其中正确的有 .（填序号） 【答案】① 【分析】连接、，由正方形的性质证明，得，由点H是的中点，得，即可证明，可判断①符合题意；假设平分，可推导出，得，而与不一定相等，所以不一定平分，可判断②不符合题意；延长交于点L，可证明四边形是矩形，得， ，根据勾股定理可求得，可判断③不符合题意；由，得，得， ，可判断④不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】连接、， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∵点H是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故①符合题意； ∵， ∴ ∴， 若平分， 则， ∴， ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定平分， 故②不符合题意； 延长交于点L， ∵点E在边上，， ∴， ∴B、C、G三点在同一条直线上， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， 故③不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④不符合题意． 故答案为：①． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）先利用算术平方根，立方根的定义，绝对值的性质计算，再合并，即可求解； （2）先利用算术平方根计算，再合并，即可求解． 【详解】（1） ； （2） ． 18．小亮的妈妈到蛋糕店购买月饼，蛋糕店进行促销活动，月饼买二送一（买任意馅月饼两个，送任意馅月饼一个），已知月饼有豆沙馅、蛋黄馅、黑芝麻馅和五仁馅四种可选（每种被选到的可能性一样）． (1)若小亮的妈妈只打算买一个月饼，且随机挑选，则她选到豆沙馅月饼的概率是______； (2)若小亮的妈妈参加买二送一活动，但这时送的月饼只剩下蛋黄馅的，请用列表或画树状图的方法，求出小亮妈妈最后拿到的三个月饼中，蛋黄馅月饼不少于两个的概率． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】（1）依据古典概型概率公式，总共有种月饼可选，豆沙馅是其中种，此类题核心是明确所有可能结果数和符合条件的结果数，从而可计算概率； （2）本题需通过树状图列举出买二送一的所有可能结果，再找出蛋黄馅月饼不少于两个的结果数，最后根据概率公式计算，关键是正确绘制树状图并准确统计结果数． 【详解】（1）解：已知月饼有豆沙馅、蛋黄馅、黑芝麻馅和五仁馅四种，且每种被选到的可能性一样， 根据概率公式， 选一个月饼时，所有可能的结果数是，选到豆沙馅月饼的结果数是， 因此，． 故答案为：． （2）解：将豆沙馅、蛋黄馅、黑芝麻馅和五仁馅月饼分别记为，画树状图如图： 由树状图可知，共有种等可能的结果，小亮的妈妈最后拿到的三个月饼中，蛋黄馅月饼不少于两个的结果有种， ． 19．观察和探究． (1)观察下列各组数据并填空 A、1、2、3、4、5，__________       ___________． B、11、12、13、14、15，___________  __________． C、10、20、30、40、50，___________ __________． D、3 、5、7、9、11，___________    ___________． (2)分别比较A与B、A与C、A与D的计算结果，你能发现什么规律？ 【答案】(1)3，2；13，2；30，200；7，8 (2)B比A的平均数大10，两者的方差相等；C是A的10倍，所以平均数也是10倍，方差是100倍；A中相邻两数相差1，D中相邻两数相差2． 规律是：—组数字同时加上一个数，该组数字的平均数为原平均数加上该数字，方差为原方程方差； 一组数字同时乘以一个数字，平均数为原平均数乘以该数字，方差为原方差乘以所乘数字的平方． 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式即可求解； （2）分别比较A与B、A与C、A与D的计算结果，得出规律． 【详解】（1）A、，； B、，； C、 ； D、 ． （2）B比A的平均数大10，两者的方差相等；C是A的10倍，所以平均数也是10倍，方差是100倍；A中相邻两数相差1，D中相邻两数相差2． 规律是：—组数字同时加上一个数，该组数字的平均数为原平均数加上该数字，方差为原方程方差； 一组数字同时乘以一个数字，平均数为原平均数乘以该数字，方差为原方差乘以所乘数字的平方． 20．发现问题： 如图（1），在ΔABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°． 我们可以进行以下计算： 由题意可知：∠B=30°，∠C=90°， 可得到：c=2b，a=b， 所以a2－b2=(b)2－b2=2b2=b·c． 即a2－b2= bc． 提出猜想： 对于任意的ΔABC，当∠A=2∠B时，关系式a2－b2=bc都成立． 验证猜想： （1）（验证特殊三角形）如图（2），请你参照上述研究方法，对等腰直角三角形进行验证，判断猜想是否正确，并写出验证过程； 已知：ΔABC中，∠A=2∠B，∠A=90°求证：a2－b2=bc． （2）（验证一般三角形）如图（3）， 已知：ΔABC中，∠A=2∠B，求证：a2－b2= bc． 结论应用： 若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A=2∠B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由． 【答案】证明见解析． 【详解】试题分析：（1）等腰直角三角形中，∠A=90°，c=b，a=b，代入a2-b2=bc可以进行验证； （2）延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD，则△ACD为等腰三角形．根据△ACD∽△CBD，相似三角形的对应边的比相等，就可以求出所求证的结论． 试题解析：（1）由题意，得∠A=90°，c=b，a=b， ∴a2-b2=（b）2-b2=b2=bc； （2）小明的猜想是正确的．理由如下： 如图，延长BA至点D，使AD=AC=b，连接CD， 则△ACD为等腰三角形， ∴∠BAC=2∠ACD，又∠BAC=2∠B， ∴∠B=∠ACD=∠D， ∴△CBD为等腰三角形，即CD=CB=a， 又∠D=∠D， ∴△ACD∽△CBD， ∴， 即， ∴a2=b2+bc， ∴a2-b2=bc； 结论应用： 由于三边长为三个连续整数， 设三个连续的偶数是2n-2，2n，2n+2， 则（2n+2）2-（2n-2）2=2n（2n-2）， 解得：n=5，则三个数分别是：8，10，12． 可知：a=12，b=8，c=10． 21．如图，在中，是的平分线，过D作分别交于点E、F．    (1)求证：四边形为菱形； (2)若，连接，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】（1）由可证四边形是平行四边形， 再由平分及可得，则，故四边形是菱形． （2）先由勾股定理求得的长，再利用菱形的性质知的长；再设，解可求得的长，再由，利用勾股定理可求得的长，再利用菱形的对角线平分可求得的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． 由是的平分线知，， 由知， ∴ ∴ ∴四边形是菱形． （2）解：∵ ∴． 由菱形的对角线互相垂直平分的性质知， ，，． 设A，则． 在中， ∴ 解得：．即． ∴ ∴． 22．如图，这是某种磁力飞镖靶盘，小欣和小强各玩一局，每局投掷10次飞镖．若飞镖投到边界线上，则不计入次数，重新投掷飞镖．图1是小欣10次投掷飞镖的情况（黑点为飞镖被投掷的位置），且各区域计分如下表． 投中位置 区 区 脱靶 一次计分/分 3 1 -2 (1)请计算小欣的最终得分． (2)若小强投中区3次，区次． ①求小强的最终得分．（用含的代数式表示） ②请判断小强的分数有没有可能超过小欣的分数，并说明理由． 【答案】(1)小欣的最终得分为13分 (2)①小强的最终得分为分；②小强的分数有可能超过小欣的分数，理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，理解题意列出关于总得分的代数式是解题的关键． （1）根据最终得分等于A区得分B区得分失分； （2）仿照（1）列式，再将代入计算并比较 【详解】（1）由题意，得： （分）． 答：小欣的最终得分为13分； （2）①由题意，得 分． 答：小强的最终得分为分． ②由题意可知，当时，小强最终得分最高， 将代人中，得（分）． 因为， 所以小强的分数有可能超过小欣的分数． 23．已知二次函数． (1)用配方法将此二次函数化为顶点式； (2)求出它的顶点坐标和对称轴； (3)求出二次函数的图像与x轴的两个交点坐标； (4)在所给的坐标系上，用描点法画出这个二次函数的图像； (5)观察图像填空，使 的x的取值范围是______________ (6)观察图像填空，使y随x的增大而减小的x的取值范围是___________． 【答案】(1) (2)对称轴，顶点坐标 (3)和； (4)见解析 (5)或 (6) 【分析】（1）利用配方法可将一般式配成顶点式； （2）根据二次函数的性质和顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）解方程可确定二次函数的图像与x轴的两个交点坐标； （4）利用描点法可画出函数图像； （5）观察图像得到当或时二次函数图像到在x轴下方，即； （6）根据二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：； （2）抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）把代入得，解得，所以抛物线与x轴的交点坐标为和； （4）图像如下， （5）当或时； （6）当，y随x的增大而减小． 24．已知，如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1,BC=，对角线AC，BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F． （1）求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； （2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数． 【答案】（1）见解析  （2）见解析 【分析】（1）根据∠BAC＝∠AOF＝90°推出AB∥EF，根据平行四边形性质得出AF∥BE，即可推出四边形ABEF是平行四边形； （2）证△DFO≌△BEO，推出OF＝OE，得出四边形BEDF是平行四边形，根据勾股定理求出AC，求出OA＝AB＝1，求出∠AOB＝45°，根据∠AOF＝45°，推出EF⊥BD，根据菱形的判定推出即可． 【详解】（1）证明：∵∠AOF＝90°，∠BAO＝90°， ∴AB∥EF， 又∵平行四边形ABCD， ∴AF∥EB， ∴四边形ABEF是平行四边形； （2）当旋转角∠AOF＝45°时，四边形BEDF是菱形，理由如下： ∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC，BO＝DO， ∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO， 在△DFO和△BEO中 ∵， ∴△DFO≌△BEO（AAS）， ∴OF＝OE， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵AB＝1，BC＝， ∴在Rt△BAC中，由勾股定理得：AC＝2， ∴AO＝1＝AB， ∴∠AOB＝45°， 又∵∠AOF＝45°， ∴∠BOF＝90°， ∴BD⊥EF， ∴四边形BEDF是菱形， 即在旋转过程中，四边形BEDF能是菱形，此时AC绕点O顺时针旋转的度数是45°． 25．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，设抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式与顶点的坐标； (2)以、、为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？ (3)探究坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请指出符合条件的点的位置，并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)是，理由见解析 (3)存在，或或 【分析】 （1）该抛物线的解析式为，将、两点代入解析式，求出、的值，即可得到抛物线的解析式，再化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、．利用勾股定理分别求出，，，再利用勾股定理逆定理，即可判断三角形形状； （3）先证明，再分三种情况讨论：①当为斜边时，点为原点；②当为直角边，过作交轴正半轴于，③当为直角边，过作交轴正半轴于，利用相似三角形分别求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：设该抛物线的解析式为， 抛物线与轴交于、两点， ，解得：， 该抛物线的解析式为， ， 顶点的坐标为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 如图，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、． 在中，，， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 为直角三角形． （3）解：存在，理由如下： 由（2）可知，，，，，， ， ，， ， ，， ①当为斜边时，若点为原点，则， 点坐标为； ②当为直角边，过作交轴正半轴于， ，， ， ， ， ， ， 点坐标为； ③当为直角边，过作交轴正半轴于， ，， ， ， ， ， ， 点坐标为， 综上可知，坐标轴上存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似此时点的坐标或或； 26．是的直径， ，垂足为O，点E是弧上一动点(不与B、C重合) ， 与交于点F． (1)的度数为 ； (2)设． ①若，分别计算 与 的值，并判断它们的大小关系； ②若x的值发生变化，请判断 与 的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，，，理由见解析；②，理由见解析 【分析】（1）连接，由是的直径，，得到，，利用等腰直角三角形性质得到，再由圆周角定理求解即可得到答案； （2）①在中，由勾股定理得到相关线段及角度，即可得到，再由特殊角、勾股定理三角函数值求出，即可得到答案；②连接，连接，过点B作，由，判定是等腰直角三角形，进而由等腰直角三角形性质得到，，再结合圆周角定理确定，从而由两个三角形全等的判定与性质得到，数形结合代入，即可得证． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 由条件可知， 在等腰中， ， ， ； （2）解：①，则由勾股定理得， ，则， ， 设，则，由勾股定理可得， 解得：， ，， 则，， 过点E作，如图所示： 在中，，则， ， ， ， 则 ； ②， 理由如下： 连接，连接，过点B作，如图所示： 由条件可知是等腰直角三角形，则，且， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·泰州） （共26小题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．计算：（　　） A． B．1 C． D． 2．在一个不透明的盒子中，装有1个黑球，2个红球和3个白球，它们除了颜色外其他都相同，从盒中任意摸出一个球，是黑球的概率是（    ） A． B． C． D． 3．一元二次方程配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径且，点C在圆上且，的平分线交于点D，连接并过点A作，垂足为E，则的周长为（   ） A． B． B． C． D． 5．已知抛物线（a，b，c为常数，）经过点，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：① ；②方程的一个根为1，另一个根为；③ ．其中，正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如图，是的角平分线，、分别是和的高，下列结论①②垂直平分  ③若，则  ④若，，则  ⑤若为中点，则为等腰三角形，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②③⑤ D．①③⑤ 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．近年来，我国航天事业发展迅猛，取得了惊艳世界的成绩．已知我国自主研发的第二代极轨气象卫星风云三号E星运转的轨道高度距离地表，则在比例尺是的大屏幕上显示为 ． 8．若一组数据7，3，5，，2，9的众数为7，则这组数据的中位数是 ． 9．如图，线段AB＝100cm，若点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），则线段PB＝ cm．（结果保留根号） 10．若x1，x2是一元二次方程x2＋2x－4＝0的两个实数根，则x12＋3x1＋x2＋x1x2＝ ． 11．若一个圆锥的母线长是4，底面直径是2，则它的侧面展开图的面积是 ． 12．如图,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A的俯角为40°,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1∶0.75,坡长BC=10米,则此时AB的长约为 米.(参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84) 13．将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中点O，E，F在直线l上，点B恰好落在边上，，，，则的度数是 ． 14．如图所示， 在中，，， 点P是线段上的一个动点(点 P可与点A重合)， 过点P作于点 R， 作的平分线交于点G， 在线段上截取， 过点D作交于点E， 过点P作交于点F，此时四边形恰好为正方形，在点P从点A开始的运动过程中，正方形面积的最小值为 ，最大值为 ． 15．等腰中，，，则重心G到底边的距离是 ． 16．如图，正方形中，点E是边上的动点（不与点C、D重合），以为边向右作正方形，连接，点H是的中点，连接、．下列结论：①；②平分；③若，，则； ④若，则．其中正确的有 .（填序号） 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1)； (2)． 18．小亮的妈妈到蛋糕店购买月饼，蛋糕店进行促销活动，月饼买二送一（买任意馅月饼两个，送任意馅月饼一个），已知月饼有豆沙馅、蛋黄馅、黑芝麻馅和五仁馅四种可选（每种被选到的可能性一样）． (1)若小亮的妈妈只打算买一个月饼，且随机挑选，则她选到豆沙馅月饼的概率是______； (2)若小亮的妈妈参加买二送一活动，但这时送的月饼只剩下蛋黄馅的，请用列表或画树状图的方法，求出小亮妈妈最后拿到的三个月饼中，蛋黄馅月饼不少于两个的概率． 19．观察和探究． (1)观察下列各组数据并填空 A、1、2、3、4、5，__________       ___________． B、11、12、13、14、15，___________  __________． C、10、20、30、40、50，___________ __________． D、3 、5、7、9、11，___________    ___________． (2)分别比较A与B、A与C、A与D的计算结果，你能发现什么规律？ 20．发现问题： 如图（1），在ΔABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°． 我们可以进行以下计算： 由题意可知：∠B=30°，∠C=90°， 可得到：c=2b，a=b， 所以a2－b2=(b)2－b2=2b2=b·c． 即a2－b2= bc． 提出猜想： 对于任意的ΔABC，当∠A=2∠B时，关系式a2－b2=bc都成立． 验证猜想： （1）（验证特殊三角形）如图（2），请你参照上述研究方法，对等腰直角三角形进行验证，判断猜想是否正确，并写出验证过程； 已知：ΔABC中，∠A=2∠B，∠A=90°求证：a2－b2=bc． （2）（验证一般三角形）如图（3）， 已知：ΔABC中，∠A=2∠B，求证：a2－b2= bc． 结论应用： 若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A=2∠B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由． 21．如图，在中，是的平分线，过D作分别交于点E、F．    (1)求证：四边形为菱形； (2)若，连接，求的长． 22．如图，这是某种磁力飞镖靶盘，小欣和小强各玩一局，每局投掷10次飞镖．若飞镖投到边界线上，则不计入次数，重新投掷飞镖．图1是小欣10次投掷飞镖的情况（黑点为飞镖被投掷的位置），且各区域计分如下表． 投中位置 区 区 脱靶 一次计分/分 3 1 -2 (1)请计算小欣的最终得分． (2)若小强投中区3次，区次． ①求小强的最终得分．（用含的代数式表示） ②请判断小强的分数有没有可能超过小欣的分数，并说明理由． 23．已知二次函数． (1)用配方法将此二次函数化为顶点式； (2)求出它的顶点坐标和对称轴； (3)求出二次函数的图像与x轴的两个交点坐标； (4)在所给的坐标系上，用描点法画出这个二次函数的图像； (5)观察图像填空，使 的x的取值范围是______________ (6)观察图像填空，使y随x的增大而减小的x的取值范围是___________． 24．已知，如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1,BC=，对角线AC，BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F． （1）求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； （2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数． 25．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，设抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式与顶点的坐标； (2)以、、为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？ (3)探究坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请指出符合条件的点的位置，并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．是的直径， ，垂足为O，点E是弧上一动点(不与B、C重合) ， 与交于点F． (1)的度数为 ； (2)设． ①若，分别计算 与 的值，并判断它们的大小关系； ②若x的值发生变化，请判断 与 的大小关系，并说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $