精品解析：辽宁省县级重点高中协作体2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

高一期末质量监测 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 样本数据210，224，201，244的第50百分位数为（ ） A. 210 B. 217 C. 222 D. 224 【答案】B 【解析】 【分析】由百分位数的计算可得. 【详解】由题意可知第50百分位数即中位数，将样本数据从小到大排序为201，210，224，244， 则样本数据的中位数为. 故选：B. 2. 已知平面向量，，设甲：；乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行坐标运算可得或，再由充分条件和必要条件定义判断即可. 【详解】若，则，解得或， 因为能推出，但不一定能得， 所以甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件. 故选：A. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分式不等式的运算和二次根式的取值再结合集合的运算可得. 【详解】不等式即，即，由知， 而，故. 故选：C. 4. 设正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用1的代换及基本不等式计算即可. 【详解】由题意可得， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 5. 已知函数的定义域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的定义域可知不等式在上恒成立，令判别式小于解出的范围即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立， 所以，解得， 故选：A 6. 定义在上的函数满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件，将选项中涉及的自变量值代入分析即可. 【详解】对于A，B选项：将10和0分别代入和得：，即， 因为，所以，故A，B错误. 对于C，D选项：将20和0分别代入和得：，即， 因，所以，故C错误，D正确. 故选：D. 7. 某地开展志愿服务，小蓝，小黄等人充当志愿者，现将他们均分成三组，则小蓝和小黄不在同一组的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列组合的方法求出事件发生的个数，然后根据古典概型概率公式直接求解即可. 【详解】将他们人均分成三组的方法种数有， 小蓝和小黄不在同一组方法种数有， 故小蓝和小黄不在同一组的概率. 故选：D 8. 已知函数，当时，，当时，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过对分段函数的讨论，求解不等式即可. 【详解】由题可知：当时，，故在时单调递减； 当时，，，则函数在时只可能为常函数， 且常数等于，所以分段函数为：， 解不等式： 需分类讨论： （1）且，即， 此时：，， 不等式变为：两边都是指数函数，底数，单调递增， 故可比较指数：， 所以； （2）且，即无解； （3）且，即, ,, 不等式：，即， 所以； （4）且，即， 此时，，函数值相等不符合题意； 综上可得：解集为. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C 和 D. 和 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 10. 设函数，则（ ） A. 函数为奇函数 B. ， C. ，， D. 区间上存在的零点 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A判断函数是否为奇函数，只需判断是否成立；选项B判断函数的单调性，确定函数；选项C当，， 所以函数无下界，故不存在；选项D根据零点存在性定理判断即可. 【详解】已知，则， 所以为偶函数，故A错误； 当时，，在单调递减， 在单调递增，所以单调递减， 故，故B正确； 可得在上单调递减， 当，，，故， 则函数无下界， 故不存在，使得对任意的，都满足，故C错误； 因为，，所以， 由零点存在定理可知，区间上存在的零点，故D正确. 故选：BD. 11. 已知样本数据，，的方差为6，则（ ） A. 该组样本数据的平均数无最值 B. 数据，，的方差为9 C. 该组样本数据极差的最大值为6 D. 该组样本数据极差的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由方差的性质可得A；举反例可得B；由基本不等式可得CD. 【详解】设样本的平均数为，方差为， 选项A ：由方差的性质可得数据，，的方差和的方差相同，由具有任意性可知该组样本数据的平均数无最值，故A正确； 选项B：特值验证：取（方差为）， 新数据为， 新数据方差为.所以B错误； 选项C ：不妨设 ，所以极差为， 由不等式可得， ， 则，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D ：又时，有， 由可得， 所以，即，当或时取等号，故D正确. 故选： ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设A，B为平面直角坐标系xOy内两点，若，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】本题首先运用向量的加法求出向量的坐标，根据向量模的公式求解. 【详解】由题意可得，故. 故答案为：. 13. 已知函数，则的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定自身的定义域，再确定外层函数对的要求，联立两个条件，解出的最终取值范围. 【详解】的定义域为，对于函数，其外层，内层函数均需符合定义域，故，且， 解得的定义域为. 故答案为：. 14. 梯形两顶点是直线与曲线的交点，顶点在曲线上，是一条垂直于轴的梯形底边，轴，则梯形的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过对数性质建立等式求出交点坐标，再确定各点坐标，最后利用梯形面积公式求解. 【详解】因为，轴，设，，，， 因为，在直线上，所以， 因为轴，所以， 解得，， 故，，，， 所以梯形的面积为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 12月2日是全国交通安全日.为了增强学生交通安全意识，某中学有600名学生参加了交通安全知识测评.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了200名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图. （1）从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； （2）若样本中有一半男生的分数不小于60，且样本中分数不小于60的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 【答案】（1）0.4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图确定样本中分数小于60的频率，从而得分数小于60的概率； （2）根据频率分布直方图确定样本中分数不小于60的学生人数，结合分层抽样与样本估计总体，从而可得总体中男生和女生人数的比例. 【小问1详解】 根据频率分布直方图可知， 样本中分数小于60的频率为， 所以从总体的600名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.4. 小问2详解】 由题意可知，样本中分数不小于60的学生人数为， 所以样本中分数不小于60的男生人数为， 因为样本中有一半男生的分数不小于60， 所以样本中男生为120人，女生为， 所以样本中男生和女生人数的比例为， 所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为. 16. 已知幂函数的定义域为. （1）求； （2）解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用幂函数的定义求解即可； （2）利用函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，定义域为，符合题意， 当时，定义域为，不符合题意， 故. 【小问2详解】 由（1）得，所以在上单调递增， 所以由可得， 所以， 所以，解得. 17. 设函数. （1）证明：曲线为中心对称图形； （2）若当且仅当，求a的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，先证明为奇函数，再由得证； （2）根据函数的连续性可得，求解后检验即可. 【小问1详解】 令，则，， 则，为奇函数. 即， 故曲线为关于点对称的中心对称图形. 【小问2详解】 由题意及函数的连续性可知， ，即， 检验，当时，， 满足当且仅当， 故. 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按或这两个方向进行，且每次只能走一步，若某点可以表示为（、为自然数），则称为鸿蒙点 （1）通过鸿蒙点中、满足的关系，判断是否为鸿蒙点，并说明理由； （2）证明：若是鸿蒙点，则也是鸿蒙点； （3）若某些鸿蒙点满足，求在所有满足条件的鸿蒙点中，最小的点及此时的值. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2）证明见解析 （3），的最小值为50. 【解析】 【分析】（1）用向量的加法和向量的数乘运算可求得鸿蒙点满足可以被5整除，代入点计算即可判断； （2）构造，计算可得，即可证明结论； （3）利用向量的坐标运算可得，设，可得，计算即可求解. 【小问1详解】 不是鸿蒙点，理由如下： 由， 得，即，. 即，所有鸿蒙点满足可以被5整除， 代入点，有不能被5整除，故不是鸿蒙点； 【小问2详解】 由为鸿蒙点可知，， 构造：， 将表达为的形式，有，解得， 故，即仍为鸿蒙点； 【小问3详解】 由（1）可知， 故，令，即， 由是整数可知，可以被3整除，即被3整除余2， 不妨设，，则有， 即， 为使尽可能小，即要求尽可能大，且， 解不等式有，时， ，.此时点坐标为，的最小值为. 19. 已知函数，. （1）当时； （i）求的单调区间； （ii）正数m，n满足，，证明：. （2）若有2个零点，证明：. 【答案】（1）（i）的单调递增区间为，的单调递减区间为；（ii）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（i）根据对数运算化简，再由函数单调的定义求函数单调区间（ii）利用基本不等式及函数单调性证明即可； （2）有2个零点转化为有两正解，即有两正解，可得，再由基本不等式证明即可. 【小问1详解】 （i）此时， 显然其单调性与相同，而，令，则且， 所以对应的函数为， 当时，取，， 故在上单调递减，在上单调递减，即的单调递减区间为， 当时，取，， 故在上单调递增，在上单调递增，即的单调递增区间为. （ii）注意到， 于是，可知， 由知， 而，得，当且仅当，时取等号. 于是结合单调性有. 【小问2详解】 设，原题等价于有两正解，即有两正解， 注意到，由韦达定理知，即， 而，可得， 而，当且仅当时取等号， 故，可得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一期末质量监测 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 样本数据210，224，201，244的第50百分位数为（ ） A 210 B. 217 C. 222 D. 224 2. 已知平面向量，，设甲：；乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的函数满足，若，则（ ） A B. C. D. 7. 某地开展志愿服务，小蓝，小黄等人充当志愿者，现将他们均分成三组，则小蓝和小黄不在同一组的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，当时，，当时，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 设函数，则（ ） A. 函数为奇函数 B. ， C. ，， D. 区间上存在的零点 11. 已知样本数据，，的方差为6，则（ ） A. 该组样本数据的平均数无最值 B. 数据，，的方差为9 C. 该组样本数据极差的最大值为6 D. 该组样本数据极差的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设A，B为平面直角坐标系xOy内两点，若，，则________. 13. 已知函数，则的定义域为________. 14. 梯形的两顶点是直线与曲线的交点，顶点在曲线上，是一条垂直于轴的梯形底边，轴，则梯形的面积为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 12月2日是全国交通安全日.为了增强学生交通安全意识，某中学有600名学生参加了交通安全知识测评.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了200名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图. （1）从总体600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； （2）若样本中有一半男生的分数不小于60，且样本中分数不小于60的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 16. 已知幂函数的定义域为. （1）求； （2）解不等式. 17. 设函数. （1）证明：曲线中心对称图形； （2）若当且仅当，求a的值. 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按或这两个方向进行，且每次只能走一步，若某点可以表示为（、为自然数），则称为鸿蒙点 （1）通过鸿蒙点中、满足的关系，判断是否为鸿蒙点，并说明理由； （2）证明：若是鸿蒙点，则也是鸿蒙点； （3）若某些鸿蒙点满足，求在所有满足条件的鸿蒙点中，最小的点及此时的值. 19. 已知函数，. （1）当时； （i）求的单调区间； （ii）正数m，n满足，，证明：. （2）若有2个零点，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $