精品解析：广东湛江市吴川市第四中学2025-2026学年高一第二学期期中测试数学试卷

2025－2026学年度第二学期高一级期中测试数学试卷 考试时间：120分钟，满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B 2. 若，则复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义以及复数的几何意义即可求得结果. 【详解】因为，所以，其对应的点坐标为； 因此复数z对应的点位于第三象限． 故选：C 3. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式求解即可. 【详解】若， 则，即， 故选：A． 4. 若单位向量，的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积公式计算求解. 【详解】因为单位向量，的夹角为，则. 故选：C. 5. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，结合中间量法即可得解. 【详解】， ， ， 所以. 故选：A. 6. 若直线过点，则的最小值等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵直线（，）过点，∴．则，当且仅当时取等号．故答案为C． 考点：基本不等式. 7. 在中，，是线段上的一点，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设，再用基底表示，最后利用平面向量基本定理即可求解. 【详解】设， 由得， ， 又，则，， 解得，. 8. 一口古井的形状为正四棱台，下小上大，在枯水时节，其水面面积大约为，水深，丰水时节水面面积大约为，水深，则枯水时节的水量大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，作正四棱台的中截面，即可得到各边长，然后结合棱台的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 作正四棱台的中截面，如图所示，AB，DC，FE分别为丰水、枯水、井底的水面边长， 则． 因为，所以， 所以枯水时节的水量为． 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，则 C. 零向量没有方向 D. 模为0的向量与任意非零向量共线 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平面向量的定义及相关概念一一判定选项即可. 【详解】对于A，向量具有大小及方向，单位向量只是大小相等，而方向不一定相同，故A错误； 对于B，若，只说明其模长相同，但方向不一定相同，故B错误； 对于C，零向量的方向是任意的，故C错误； 对于D，模为0的向量即零向量与任意向量共线，故D正确. 故选：ABC 10. 已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知根据除法运算可得，根据复数模的运算可判断；根据共轭复数和虚部的概念可判断；由复数的四则运算可判断；由虚数不能比较大小可判断. 【详解】因为，所以， 所以，故正确； 因为，所以，所以的虚部为，故错误； ，故正确； 因为虚数不能比较大小，故错误. 故选：. 11. 如图，正三棱柱的侧面为边长为6的正方形，现以上、下底面的内切圆为底面挖掉一个圆柱，则下列说法正确的是（ ） A. 内切圆的半径为 B. 被挖掉的圆柱的侧面积为 C. 该几何体的表面积为 D. 该几何体的体积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，正三角形，其内切圆半径可根据边长通过特定关系求得；对于B，圆柱的侧面积、体积有相应的计算公式；对于C，组合体的表面积是正三棱柱表面积减去两个圆面积再加上圆柱侧面积，对于D，体积是正三棱柱体积减去圆柱体积.分别计算各选项中涉及的量，然后判断选项的正确性. 【详解】对于A，已知正三棱柱的侧面为边长为的正方形，则正三棱柱底面正三角形的边长. 设正三角形内切圆半径为，根据正三角形内切圆半径公式， 把代入，得，所以A选项错误. 对于B，由A可知圆柱底面半径，正三棱柱的高（即圆柱的高）. 根据圆柱侧面积公式（其中为底面半径，为高）. 把，代入公式，得，所以B选项正确. 对于C，先求正三棱柱两个底面正三角形的面积，把代入得. 正三棱柱三个侧面的面积，两个内切圆的面积，圆柱侧面积（已在B中求出）. 则该几何体的表面积，所以C选项错误. 对于D，正三棱柱的体积，把，代入得. 圆柱的体积，把，代入得. 该几何体的体积，所以D选项正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘除法运算法则计算 【详解】 . 13. 向量满足，则在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算求解. 【详解】在方向上的投影向量为． 故答案为：. 14. 已知正三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球O的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正三棱锥性质求得外接球半径后可得表面积． 【详解】如图，是的外心，是高，在上，设， ，， 所以由得，解得， 表面积为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，． （1）若复数在复平面上对应的点在第三象限，求实数的取值范围． （2）若，求的共轭复数及的模． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由题意求出，结合复数的几何意义和各象限的点的坐标特征即可． （2）利用复数的除法运算法则求出z，进而求出z的共轭复数和模． 【小问1详解】 因为，， 所以． 因为复数在复平面上对应的点在第三象限，所以 解得，即实数的取值范围为． 【小问2详解】 因为， 所以． ． 16. 已知向量满足． （1）设，求； （2）若，求实数k的值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标表示以及平行关系和模长公式计算可得结果， （2）利用垂直关系的数量积表示计算解方程可得结果. 【小问1详解】 因为， 所以，又，， 所以， 解得， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，所以， 解得． 17. 已知按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中. （1）画出的原图并求其面积； （2）若以的边BA为旋转轴旋转一周，求所得几何体的体积和表面积. 【答案】（1）图象见解析，8 （2） ， 【解析】 【分析】（1）利用斜二测画法画出的直观图对应的原平面图形，然后求解面积； （2）判断以的边为旋转轴旋转一周所得几何体的形状，然后求所得几何体的体积和表面积． 【小问1详解】 由斜二测画法知，原图中，， 的原图如下图所示： ； 【小问2详解】 以的边为旋转轴旋转一周所得几何体为：底面圆半径为4，高为4，母线长为的圆锥， 故所得几何体的体积为 ， 所得几何体的表面积为. 18. 已知的三内角所对的边分别是，向量，且． （1）求角的大小； （2）若，求三角形周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用以及正弦定理边化角，整理计算后可得答案； （2）利用余弦定理求得，在根据三角形边的关系可得的范围，进而可得周长范围. 【小问1详解】 由已知，且， ， 由正弦定理得， ， 即， ，； 【小问2详解】 由余弦定理，得 ， 当且仅当时取等号． ，故，又， ∴的取值范围是， 所以周长的取值范围是. 19. 如图，在棱长为的正方体内，球与球的球心均在线段AC上，这两个球外切并且球与该正方体的上底面相切，球与该正方体的下底面相切． （1）求这两个球的半径之和． （2）当这两个球的半径分别为多少时，这两个球的表面积之和最小？并求出这个最小值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）作出对角面及两球的截面，利用两球半径表示即可得解； （2）由面积公式及基本不等式的变形即可求出最值. 【小问1详解】 由题知ABCD为过球心和对棱AB，CD的截面，如图， 则． 设球的半径分别为r，R， 则． 由，解得． 【小问2详解】 设这两个球的表面积之和为S，则， 所以． 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期高一级期中测试数学试卷 考试时间：120分钟，满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 4. 若单位向量，的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若直线过点，则的最小值等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 在中，，是线段上的一点，若，则（    ） A. B. C. D. 8. 一口古井的形状为正四棱台，下小上大，在枯水时节，其水面面积大约为，水深，丰水时节水面面积大约为，水深，则枯水时节的水量大约为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，则 C. 零向量没有方向 D. 模为0的向量与任意非零向量共线 10. 已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 11. 如图，正三棱柱的侧面为边长为6的正方形，现以上、下底面的内切圆为底面挖掉一个圆柱，则下列说法正确的是（ ） A. 内切圆的半径为 B. 被挖掉的圆柱的侧面积为 C. 该几何体的表面积为 D. 该几何体的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数______. 13. 向量满足，则在方向上的投影向量的坐标为______． 14. 已知正三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球O的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，． （1）若复数在复平面上对应的点在第三象限，求实数的取值范围． （2）若，求的共轭复数及的模． 16. 已知向量满足． （1）设，求； （2）若，求实数k的值． 17. 已知按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中 . （1）画出的原图并求其面积； （2）若以的边BA为旋转轴旋转一周，求所得几何体的体积和表面积. 18. 已知的三内角所对的边分别是，向量，且． （1）求角的大小； （2）若，求三角形周长的取值范围． 19. 如图，在棱长为的正方体内，球与球的球心均在线段AC上，这两个球外切并且球与该正方体的上底面相切，球与该正方体的下底面相切． （1）求这两个球的半径之和． （2）当这两个球的半径分别为多少时，这两个球的表面积之和最小？并求出这个最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $