第1讲　三角函数的运算训练-2026届高三数学二轮复习.专题突破（新高考通用）

专题一 三角函数、解三角形与平面向量 第1讲　三角函数的运算 【探究真题.明确方向】 1.(2025·全国Ⅱ卷，T8)已知0<α<π，cos =，则sin等于(　　) A. B. C. D. 2.(2024·新课标Ⅰ卷，T4)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于(　　) A.-3m B.- C. D.3m 3.(2024·全国甲卷，理T8)已知=，则tan 等于(　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- 4.(2023·新课标Ⅰ卷，T8)已知sin(α-β)=，cos αsin β=，则cos(2α+2β)等于(　　) A. B. C.- D.- 5.(多选)(2025·全国Ⅰ卷，T11)已知△ABC的面积为，cos 2A+cos 2B+2sin C=2，cos Acos Bsin C=，则(　　) A.sin C=sin2A+sin2B B.AB= C.sin A+sin B= D.AC2+BC2=3 6.(2024·新课标Ⅱ卷，T13)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　　.  【命题预测】本讲是历年高考命题常考的内容，属于中等或偏下题目，主要是选择题或填空题，一般考查一道选择题或填空题，也有渗透在解答题中考查，分值约为5~6分. 【考向预测】一是考查三角函数的概念，主要考查根据给出的点或点所在直线求三角函数值；二是考查同角三角函数关系式、诱导公式，主要考查利用平方和关系进行正弦与余弦之间的转化、利用商数关系求解齐次式的值以及诱导公式的正用与逆用；三是考查三角恒等变换，两角和与差公式的正用、逆用以及倍角公式的灵活运用等. 　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　同角三角函数基本关系与诱导公式 【典例】1　(1)(2025·石家庄模拟)已知x∈，cos-cos(3π+x)=，则tan等于(　　) A.1 B.2 C. D.3 (2)(2025·东北三省部分高中联合调研)已知tan2βsin2β=3，则tan2β-2sin2β-等于(　　) A.1 B.2 C.3 D. 【考法归纳】应用同角三角函数的基本关系式、诱导公式的注意事项： (1)同角并不拘泥于角的形式，只要角“同”就可以. (2)含有sin α，cos α的齐次式，可用同角的商数关系进行转化，即化弦为切，整体代入. (3)涉及诱导公式时，要注意角所在的象限. 【变式训练】1　(1)(多选)已知sin α=，α∈，则(　　) A.sin(π-α)= B.tan(π+α)=- C.sin=- D.cos=- (2)(2025·安庆模拟)已知=，则sin4θ+cos4θ等于(　　) A. B. C. D. 考点二　三角恒等变换 考向1　公式的直接应用 【典例】2　(1)(2025·郴州模拟)已知cos α+sin=，则cos等于(　　) A. B. C.- D.- (2)(2025·昆明质检)若=，则(　　) A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1 考向2　角的配凑 【典例】3　(1)(2025·许平汝名校模拟)已知α，β∈(0，π)，且cos α=，sin(α+β)=，则cos β等于(　　) A. B.- C. D.- (2)(2025·济南模拟)若sin 2α=，sin(β-α)=，且α∈，β∈，则α+β等于(　　) A. B. C. D. 考向3　积化和差与和差化积 【典例】4　(1)(2025·南昌模拟)已知函数f(x)=sin(x+2θ)+cos(x+4θ)，θ∈是偶函数，则g(x)=sin xsin(x+4θ)的最大值为(　　) A.- B. C.1 D. (2)(2025·南昌模拟)已知α，β终边不重合，sin α-3cos β=sin β-3cos α，则tan(α+β)等于(　　) A. B. C. D. 【考法归纳】三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，即1=sin2θ+cos2θ=tan 45°. (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α，α=(α-β)+β，α=+，2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)等. (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次. (4)化一法：通过二倍角、降幂公式、两角和与差公式化简为辅助角形式，再利用辅助角化为正弦、余弦单一函数形式，最后借助函数性质求解计算. 【变式训练】2　(1)(2025·亳州模拟)已知sin α=，α∈，若=4，则tan(α+β)等于(　　) A.- B. - C. D. (2)(2025·长春模拟)已知cos=，cos=，α，β∈，则cos(α+β)等于(　　) A. B. C. D. (3)(2025·新余模拟)已知α，β∈，cos2α-cos2β=，cos(α+β)=，则tan 等于(　　) A.- B. C.3 D.-3 专题强化练 [分值：84分] 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.已知cos=，则sin(3π+α)等于(　　) A.- B. C.- D. 2.已知cos α+sin α=，则sin等于(　　) A. B. C.- D.- 3.(2025·惠州模拟)若tan α=，则sin等于(　　) A. B. C. D. 4.(2025·济宁模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A(m，3m)(m≠0)是角α终边上一点，则cos等于(　　) A.- B.- C. D. 5.(2025·张家口模拟)已知sin=-，则sin等于(　　) A. B.- C. D.- 6.(2025·南昌模拟)已知α，β都是锐角，sin(α+β)=，tan α=2tan β，则cos(α-β)等于(　　) A. B. C. D. 7.(2025·安徽皖北协作区模拟)如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端A，B，C，D，E，F，G，H恰好是一个正八边形的八个顶点，设∠ACG=α，∠EBH=β，则tan(α+β)等于(　　) A.-3 B.-2 C.-2+1 D.--1 8.(2025·南通模拟)已知x，y∈，cos(x+y)=-，sin 2x-sin 2y=-，则tan 2x等于(　　) A. B. C.- D.- 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.(2025·佛山模拟)已知角α的终边经过点A(-3，4)，则下列结论正确的是(　　) A.sin(α-π)= B.sin=- C.sin 2α=- D.cos 2α= 10.下列说法正确的有(　　) A.tan 200°+tan 40°+tan(-160°)tan 40°=- B.已知cos=，则sin=- C.sin 50°(1+tan 10°)=1 D.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan Atan B>1，则tan Atan Btan C>2 11.(2025·哈尔滨模拟)已知锐角α，β满足=，++=2，则(　　) A.α+2β=π B.tan(α+β)=-2 C.sin α= D.tan α∶tan β=2∶3 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.若coscos=-，则sin 2α=　　　　.  13.(2025·浙江Z20名校联盟联考)已知α，β∈，且满足sin αtan β=1-cos α，sin(α-β)=，则cos α=　　　　.  14.(2025·昆明模拟)已知α，β∈，sin(2α+β)=3sin β，则tan β的最大值为　　　　　.  【巩固必刷题】(15题6分，16题5分，共11分) 15.(多选)[正割、余割函数]一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆的交点P的横坐标x和纵坐标y都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.下面给出这些函数的定义： ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y=sin α； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x=cos α； ③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割函数，记作csc α，即=csc α； ④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割函数，记作sec α，即=sec α. 下列结论正确的有(　　) A.csc=- B.cos α·sec α=1 C.函数f(x)=sec x的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z} D.sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5 16.(5分)在正三角形ABC中，由e·=e·0=0(e为单位向量)可得到三角恒等式cos θ+cos+cos=0，其中θ=〈e，〉，以此类推，在正n(n≥3)边形中，可得到三角恒等式　　　　　　；通过上述推理，cos25°+sin225°+cos2125°=　　　　　　　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一 三角函数、解三角形与平面向量 第1讲　三角函数的运算 【探究真题.明确方向】 1.(2025·全国Ⅱ卷，T8)已知0<α<π，cos =，则sin等于(　　) A. B. C. D. 2.(2024·新课标Ⅰ卷，T4)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于(　　) A.-3m B.- C. D.3m 3.(2024·全国甲卷，理T8)已知=，则tan 等于(　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- 4.(2023·新课标Ⅰ卷，T8)已知sin(α-β)=，cos αsin β=，则cos(2α+2β)等于(　　) A. B. C.- D.- 5.(多选)(2025·全国Ⅰ卷，T11)已知△ABC的面积为，cos 2A+cos 2B+2sin C=2，cos Acos Bsin C=，则(　　) A.sin C=sin2A+sin2B B.AB= C.sin A+sin B= D.AC2+BC2=3 6.(2024·新课标Ⅱ卷，T13)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　　.  【命题预测】本讲是历年高考命题常考的内容，属于中等或偏下题目，主要是选择题或填空题，一般考查一道选择题或填空题，也有渗透在解答题中考查，分值约为5~6分. 【考向预测】一是考查三角函数的概念，主要考查根据给出的点或点所在直线求三角函数值；二是考查同角三角函数关系式、诱导公式，主要考查利用平方和关系进行正弦与余弦之间的转化、利用商数关系求解齐次式的值以及诱导公式的正用与逆用；三是考查三角恒等变换，两角和与差公式的正用、逆用以及倍角公式的灵活运用等. 1.【答案】D 【解析】由题意得cos α=2cos2-1 =2×-1=-， 因为0<α<π，则sin α===， 所以sin=sin αcos -cos αsin =×-×=. 2.【答案】A 【解析】由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m. ① 由tan αtan β=2得=2， ② 由①②得 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m. 3.【答案】B 【解析】因为=， 所以=⇒tan α=1-， 所以tan==2-1. 4.【答案】B 【解析】因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=， 而cos αsin β=， 因此sin αcos β=， 则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=， 所以cos(2α+2β)=cos 2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×=. 5.【答案】ABC 【解析】cos 2A+cos 2B+2sin C=2，由二倍角公式，得1-2sin2A+1-2sin2B+2sin C=2， 整理可得sin C=sin2A+sin2B，A选项正确； 方法一　由诱导公式得，sin(A+B)=sin(π-C)=sin C， 展开可得sin Acos B+sin Bcos A=sin2A+sin2B， 即sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)=0， 若A+B=，则sin A=cos B，sin B=cos A，可知等式成立； 若A+B<，即0<A<-B，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sin A<sin=cos B，同理sin B<cos A， 又sin A>0，sin B>0，于是sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)<0， 与条件不符，故A+B<不成立； 若A+B>，同理可得sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)>0，与条件不符，故A+B>不成立. 综上可知，A+B=，即C=. 则cos Acos Bsin C==cos Acos B，由A+B=，得cos B=sin A，即sin Acos A=， 则sin 2A=，同理sin 2B=，因为A，B∈，则2A，2B∈(0，π)， 不妨设A<B，则2A=，2B=， 即A=，B=， 由两角和与差的正弦公式可知sin A+sin B=sin +sin =+=，C选项正确； 由两角和的正切公式可得，tan =2+， 设BC=t(t>0)，AC=(2+)t， 则AB=(+)t， 由S△ABC=(2+)t2=，则t2==，则t=， 于是AB=(+)t=，B选项正确；由勾股定理可知，AC2+BC2=AB2=2，D选项错误. 方法二　sin C=sin2A+sin2B，由C∈(0，π)，则sin C∈(0，1]， 于是1×sin C=sin2A+sin2B≥sin2C， 设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理得a2+b2≥c2， 由余弦定理可知cos C≥0，则C∈， 若C∈，则A+B>，注意到cos Acos Bsin C=，则cos Acos B>0， 于是cos A>0，cos B>0(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是A，B∈， 结合A+B>⇔A>-B，而A，-B都是锐角，则sin A>sin=cos B>0， 于是sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，这和0<sin C≤1矛盾， 故C∈不成立，则C=.下同方法一. 方法三　cos 2A+cos 2B+2sin C=2⇒2sin C=1-cos 2A+1-cos 2B⇒2sin C=2sin2A+2sin2B， 所以sin C=sin2A+sin2B，故A正确；设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由正弦定理===2R， 可得a2+b2=c·2R≥c2，若a2+b2>c2， 则cos C>0，0<C<， 则A+B>⇒A>-B，则sin A>sin ，即sin A>cos B，代入sin C=sin2A+sin2B， 有sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，与C∈矛盾，故a2+b2=c2，则C=， 即cos C=cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=0⇒cos Acos B=sin Asin B，又cos Acos Bsin C=，则sin Asin B=， 因为S△ABC=absin C=⇒ab=， 所以=(2R)2=2⇒2R=，所以=2R=⇒c=，故B正确； (sin A+sin B)2=sin2A+sin2B+2sin Asin B=sin C+=⇒sin A+sin B=，故C正确； 因为C=，则AC2+BC2=AB2=c2=2，故D错误. 6.【答案】- 【解析】方法一　由题意得tan(α+β) ===-2， 因为α∈， β∈，k，m∈Z， 则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z， 又因为tan(α+β)=-2<0， 则α+β∈，k，m∈Z， 则sin(α+β)<0， 则=-2， 联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1， 解得sin(α+β)=-. 方法二　 因为α为第一象限角，β为第三象限角， 则cos α>0，cos β<0， cos α==， cos β==， 则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =cos αcos β(tan α+tan β) =4cos αcos β= = ==-. 　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　同角三角函数基本关系与诱导公式 【典例】1　(1)(2025·石家庄模拟)已知x∈，cos-cos(3π+x)=，则tan等于(　　) A.1 B.2 C. D.3 【答案】D 【解析】因为cos-cos=， 所以sin x+cos x=， 方法一　所以sin=， 所以sin=， 因为x∈， 则x+∈， 所以cos==， 所以tan=3， 所以tan=tan=tan=3. 方法二　与sin2x+cos2x=1联立得 或(舍去)， 所以tan x=， 所以tan=tan==3. (2)(2025·东北三省部分高中联合调研)已知tan2βsin2β=3，则tan2β-2sin2β-等于(　　) A.1 B.2 C.3 D. 【答案】B 【解析】因为tan2βsin2β=3， 所以(sin2β)2=3(1-sin2β)， 所以sin4β+3sin2β=3， 则tan2β-2sin2β-=-2sin2β- =-2sin2β- = = = = ===2. 【考法归纳】应用同角三角函数的基本关系式、诱导公式的注意事项： (1)同角并不拘泥于角的形式，只要角“同”就可以. (2)含有sin α，cos α的齐次式，可用同角的商数关系进行转化，即化弦为切，整体代入. (3)涉及诱导公式时，要注意角所在的象限. 【变式训练】1　(1)(多选)已知sin α=，α∈，则(　　) A.sin(π-α)= B.tan(π+α)=- C.sin=- D.cos=- 【答案】AC 【解析】因为sin α=，α∈， 所以cos α=-， 则tan α==-. 则sin(π-α)=sin α=， tan(π+α)=tan α=-， sin=cos α=-， cos=-sin α=-. (2)(2025·安庆模拟)已知=，则sin4θ+cos4θ等于(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为=， 所以=， 所以=， 所以=， 所以sin 2θ=-， 所以2sin θcos θ=-， 所以sin θcos θ=-， 所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×=. 考点二　三角恒等变换 考向1　公式的直接应用 【典例】2　(1)(2025·郴州模拟)已知cos α+sin=，则cos等于(　　) A. B. C.- D.- 【答案】B 【解析】由cos α+sin=， 得cos α+sin α-cos α=sin α+cos α=sin=， 所以cos=1-2sin2=1-2×=. (2)(2025·昆明质检)若=，则(　　) A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1 【答案】B 【解析】因为=， 则=， 则=，所以=tan β， 所以1-tan α=tan β+tan αtan β， 即得1-tan αtan β=tan β+tan α， 所以tan(α+β)==1. 考向2　角的配凑 【典例】3　(1)(2025·许平汝名校模拟)已知α，β∈(0，π)，且cos α=，sin(α+β)=，则cos β等于(　　) A. B.- C. D.- 【答案】B 【解析】由α∈(0，π)，0<cos α=<， 可得α∈， 则sin α===， 因为β∈(0，π)，所以α+β∈， 又因为0<sin(α+β)=<， 所以<α+β<π，cos(α+β)=-， cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=-. (2)(2025·济南模拟)若sin 2α=，sin(β-α)=，且α∈，β∈，则α+β等于(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为α∈，所以2α∈，则由sin 2α=>0， 得cos 2α=-=-=-，同时也能确定α∈， 因为sin(β-α)=>0，β∈，α∈，所以β-α∈， cos(β-α)=-=-=-， 所以cos(α+β)=cos[(β-α)+2α] =cos(β-α)cos 2α-sin(β-α)sin 2α =×-×=， 因为α∈，β∈，所以α+β∈， 故α+β=. 考向3　积化和差与和差化积 【典例】4　(1)(2025·南昌模拟)已知函数f(x)=sin(x+2θ)+cos(x+4θ)，θ∈是偶函数，则g(x)=sin xsin(x+4θ)的最大值为(　　) A.- B. C.1 D. 【答案】B 【解析】由f(x)是偶函数，得sin(x+2θ)+cos(x+4θ)=sin(-x+2θ)+cos(-x+4θ)， 展开并整理得cos 2θ=sin 4θ， 根据二倍角公式得cos 2θ=2sin 2θcos 2θ， 又θ∈，则2θ∈， 所以cos 2θ≠0，则sin 2θ=，θ=， 则g(x)=sin xsin， 利用积化和差公式得 sin xsin =， 化简得g(x)=-cos， 当cos=-1时，g(x)取得最大值. (2)(2025·南昌模拟)已知α，β终边不重合，sin α-3cos β=sin β-3cos α，则tan(α+β)等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为sin α-3cos β=sin β-3cos α， 所以sin α-sin β=3(cos β-cos α)， 又sin α-sin β=2cossin， cos β-cos α=2sinsin， 所以2cossin=6sinsin， 因为α，β的终边不重合，则α-β≠2kπ(k∈Z)，则≠kπ(k∈Z)， 所以sin≠0，则3sin=cos，所以tan=， 因此tan(α+β)===. 【考法归纳】三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，即1=sin2θ+cos2θ=tan 45°. (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α，α=(α-β)+β，α=+，2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)等. (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次. (4)化一法：通过二倍角、降幂公式、两角和与差公式化简为辅助角形式，再利用辅助角化为正弦、余弦单一函数形式，最后借助函数性质求解计算. 【变式训练】2　(1)(2025·亳州模拟)已知sin α=，α∈，若=4，则tan(α+β)等于(　　) A.- B. - C. D. 【答案】C 【解析】因为sin α=，α∈， 所以cos α=-=-， tan α==-， 因为= =sin α+cos αtan β=-tan β=4， 所以tan β=-， 所以tan(α+β)= ==. (2)(2025·长春模拟)已知cos=，cos=，α，β∈，则cos(α+β)等于(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵α，β∈， ∴α+∈，β-∈， 又∵cos=>0，cos=>0， ∴α+∈，β-∈， ∴sin>0，sin<0， ∴sin==， sin=-=-， 则cos(α+β)=cos =coscos-sinsin=×-×=. (3)(2025·新余模拟)已知α，β∈，cos2α-cos2β=，cos(α+β)=，则tan 等于(　　) A.- B. C.3 D.-3 【答案】A 【解析】因为cos2α-cos2β=(cos 2α-cos 2β) =-sin(α+β)sin(α-β)=， 又因为cos(α+β)=，且α，β∈，α+β∈(0，π)， 所以sin(α+β)=，故sin(α-β)=-， 又由于α，β∈， α-β∈， 所以cos(α-β)=， tan ==-. 专题强化练 [分值：84分] 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.已知cos=，则sin(3π+α)等于(　　) A.- B. C.- D. 【答案】A 【解析】由cos=cos=cos=sin α=， 得sin(3π+α)=-sin α=-. 2.已知cos α+sin α=，则sin等于(　　) A. B. C.- D.- 【答案】B 【解析】因为cos α+sin α =2=2sin=， 所以sin=. 3.(2025·惠州模拟)若tan α=，则sin等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】tan α==，化简得3sin α-sin2α=cos2α， 所以3sin α=sin2α+cos2α=1， 即sin α=， 所以sin=cos 2α=1-2sin2α=. 4.(2025·济宁模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A(m，3m)(m≠0)是角α终边上一点，则cos等于(　　) A.- B.- C. D. 【答案】A 【解析】由题意可得，tan α==3，所以sin 2α===， cos 2α===-， cos=(cos 2α+sin 2α)=×=-. 5.(2025·张家口模拟)已知sin=-，则sin等于(　　) A. B.- C. D.- 【答案】D 【解析】方法一　(整体代换法) 因为sin=-， 则sin=-sin=-sin=-cos 2 =-=2×-1=-. 方法二　(换元法) 令t=α+，则α=t-，sin t=-， 所以sin=sin =sin=-cos 2t=2sin2t-1 =2×-1=-. 6.(2025·南昌模拟)已知α，β都是锐角，sin(α+β)=，tan α=2tan β，则cos(α-β)等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由tan α=2tan β，得sin αcos β=2cos αsin β，由sin(α+β)=， 得sin αcos β+cos αsin β=， 则sin αcos β=，cos αsin β=， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-=， 由α，β都是锐角，得-<α-β<， 所以cos(α-β)==. 7.(2025·安徽皖北协作区模拟)如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端A，B，C，D，E，F，G，H恰好是一个正八边形的八个顶点，设∠ACG=α，∠EBH=β，则tan(α+β)等于(　　) A.-3 B.-2 C.-2+1 D.--1 【答案】D 【解析】如图，连接AE，BF，CG，DH，AC，BE，BH， 设线段AE与CG的交点为O，线段BH与线段AE的交点为M， 因为∠COB=∠AOB=， 所以∠AOC=，又OC=OA， 所以∠ACG=， 设OA=a，则OB=OE=a， 所以OM=BM=a， 所以tan∠EBH=====+1， 所以tan α=1，tan β=+1， 所以tan(α+β)===--1. 8.(2025·南通模拟)已知x，y∈，cos(x+y)=-，sin 2x-sin 2y=-，则tan 2x等于(　　) A. B. C.- D.- 【答案】C 【解析】由和差化积公式得sin 2x-sin 2y=2sin(x-y)cos(x+y)， 由题意可知sin 2x-sin 2y=-，cos(x+y)=-，所以sin(x-y)=， 因为x，y∈，sin(x-y)>0，cos(x+y)<0， 所以x-y∈，x+y∈， 所以cos(x-y)==，sin(x+y)==， 因为sin 2x=sin[(x+y)+(x-y)]=sin(x+y)cos(x-y)+cos(x+y)sin(x-y)=×+×=， cos 2x=cos[(x+y)+(x-y)]=cos(x+y)cos(x-y)-sin(x+y)sin(x-y)=×-×=-， 所以tan 2x==-. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.(2025·佛山模拟)已知角α的终边经过点A(-3，4)，则下列结论正确的是(　　) A.sin(α-π)= B.sin=- C.sin 2α=- D.cos 2α= 【答案】BC 【解析】由角α的终边经过点A(-3，4)， 可得sin α=，cos α=-， 对于A，sin(α-π)=-sin α=-≠，故A错误； 对于B，sin=cos α=-，故B正确； 对于C，sin 2α=2sin αcos α=2××=-，故C正确； 对于D，cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-≠，故D错误. 10.下列说法正确的有(　　) A.tan 200°+tan 40°+tan(-160°)tan 40°=- B.已知cos=，则sin=- C.sin 50°(1+tan 10°)=1 D.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan Atan B>1，则tan Atan Btan C>2 【答案】BCD 【解析】对于A，由诱导公式可知tan 200°=tan(-160°)=tan 20°， 又tan 60°=tan(20°+40°)= =， 即tan 20°+tan 40°=-tan 20°tan 40°， 所以tan 200°+tan 40°+tan(-160°)tan 40°=tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°=，A选项错误； 对于B，由cos=， 则sin=sin=cos 2=2cos2-1=-，B选项正确； 对于C，sin 50°(1+tan 10°)=sin 50°·=sin 50°·====1，C选项正确； 对于D，在△ABC中，tan C=tan [π-(A+B)]=-tan(A+B)=-， 设tan Atan B=k>1，则在△ABC中，tan A>0，tan B>0， 所以tan A+tan B≥2=2>2， tan Atan Btan C=tan Atan B·>·2=2>2，D选项正确. 11.(2025·哈尔滨模拟)已知锐角α，β满足=，++=2，则(　　) A.α+2β=π B.tan(α+β)=-2 C.sin α= D.tan α∶tan β=2∶3 【答案】ABD 【解析】对于A，由=， 得=， 即=， 所以sin αcos β=sin β-cos αsin β， 所以sin β=sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β)， 又α，β∈，所以α+β∈(0，π)， 所以β+α+β=α+2β=π或β=α+β(舍去)，故A正确； 对于B，由++=2， 得+=2， 即tan α+tan β=-2(1-tan αtan β)， 所以tan(α+β)==-2，故B正确； 对于C，由A项分析得tan β=tan [π-(α+β)]=-tan (α+β)=2， 所以tan α=tan [(α+β)-β]===， 即=，又sin2α+cos2α=1， 所以sin α=，故C错误； 对于D，由C项分析知，tan α∶tan β=∶2=2∶3，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.若coscos=-，则sin 2α=　　　　.  【答案】 【解析】因为coscos = = =(sin 2α-1)=-，所以sin 2α=. 13.(2025·浙江Z20名校联盟联考)已知α，β∈，且满足sin αtan β=1-cos α，sin(α-β)=，则cos α=　　　　.  【答案】 【解析】方法一　由sin αtan β=1-cos α， 则sin αsin β=cos β-cos αcos β， 因此cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=cos β， 又因为α，β∈，则α-β∈， 所以α-β=β，所以α=2β， 则sin(α-β)=sin β=，cos α=cos 2β=1-2sin2β=. 方法二　由sin αtan β=1-cos α， 则tan β==tan， 结合β∈，∈，则=β，α=2β， 则sin(α-β)=sin β=，cos α=cos 2β=1-2sin2β=. 14.(2025·昆明模拟)已知α，β∈，sin(2α+β)=3sin β，则tan β的最大值为　　　　　.  【答案】 【解析】因为sin(2α+β)=3sin β， 所以sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α]， 即sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=3[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α]， 即2cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α， 所以tan(α+β)=2tan α，又tan α>0， 所以tan β=tan[(α+β)-α]===≤ =， 当且仅当=2tan α，即tan α=时，等号成立，所以tan β的最大值为. 【巩固必刷题】(15题6分，16题5分，共11分) 15.(多选)[正割、余割函数]一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆的交点P的横坐标x和纵坐标y都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.下面给出这些函数的定义： ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y=sin α； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x=cos α； ③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割函数，记作csc α，即=csc α； ④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割函数，记作sec α，即=sec α. 下列结论正确的有(　　) A.csc=- B.cos α·sec α=1 C.函数f(x)=sec x的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z} D.sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5 【答案】ABD 【解析】csc==-，A正确； cos α·sec α=cos α·=1，B正确； 函数f(x)=sec x的定义域为 ，C错误； sec2α+sin2α+csc2α+cos2α=1++ =1+=1+≥5， 当且仅当sin 2α=±1时，等号成立，D正确. 16.(5分)在正三角形ABC中，由e·=e·0=0(e为单位向量)可得到三角恒等式cos θ+cos+cos=0，其中θ=〈e，〉，以此类推，在正n(n≥3)边形中，可得到三角恒等式　　　　　　；通过上述推理，cos25°+sin225°+cos2125°=　　　　　　　　　　　　.  【答案】cos θ+cos+cos+…+cos=0　 【解析】记单位向量为e，在边长为a的正n(n≥3)边形A1A2A3…An中，θ=〈e，〉， 因为e·(+++…+) =e·0=0， 所以e·+e·+e·+…+e· =a=0， 所以cos θ+cos+cos+…+cos=0， cos25°+sin225°+cos2125°=cos25°+cos265°+cos2125°=++ =+(cos 10°+cos 130°+cos 250°). 由恒等式cos θ+cos+cos=0，令θ=10°， 可知cos 10°+cos(10°+120°)+cos(10°+240°)=0， 即cos 10°+cos 130°+cos 250°=0， cos25°+sin225°+cos2125°=. 学科网（北京）股份有限公司 $