专题四第3讲 随机变量及其分布 专项训练-2026届高三数学二轮复习

专题四 概率与统计 第3讲 随机变量及其分布 一、考点透析 考点1 分布列性质与应用 1.（2025·厦门市·质检）已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（ ） A. -1 B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】【详解】由题意知随机变量X服从正态分布，， 如图所示，结合，得， 可知关于对称，所以，解得， 故选：C． 2.(2025·云南省昭通市·模拟)已知随机变量X~N(4,).若P(X<3)=0.3,则P(3< X<5)=          ,若Y=2X+1,则Y的方差为          . 【答案】0.4 ； 64  【解析】解：∵随机变量X~N(4,)， ∴正态分布曲线关于x=4对称，且D（X）=16, 又∵P（X＜3）=P（X＞5）=0.3， ∴P（3< X＜5）=1-0.3-0.3=0.4． 若Y=2X+1,则D(Y)=4D(X)=64. 考点2 二项分布 1.(2025·湖北省宜昌市·模拟)已知随机变量，均服从两点分布，若，，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为随机变量，均服从两点分布，且，， 所以，， 所以， 又因为，所以，所以， 故， 所以． 故答案为：． 2.(2025·福建省龙岩市·模拟)已知函数f(x)=随机变量~B(n,p)(0< p<1),随机变量K=f(), K的期望为g(p). (1)当n=3时,求g(); (2)当n=10时,求g(p)的表达式. 【答案】(1)g()=. (2)g(p)=-+p.  【解析】解:(1)当n=3,p=时,的可能取值为0,1,2,3. 当=0时,K=f(0)=0,P(=0)==; 当=1时,K=f()=,P(K=)=P(=1)==; 当=2时,K=f()=,P(K=)=P(=2)==; 当=3时,K=f(1)=0,P(=3)==. 故g()=E(K)=0+++0=. (2)当n=10时,的可能取值为0,1,2,,10. 当8时,K=f()=; 当=9时,K=f()=;当=10时,K=f(1)=0. 因为P(=i)=,i=0,1,2,,10, 所以E(K)=+(1-p)+0=+- 又因为E()=i=10p, 所以=i=[10p-9(1-p)-] =-+p， 所以g(p)=E(K)=-+p.  考点3 超几何分布 1.(2025·辽宁省沈阳市·模拟)一个盒子中有个白色乒乓球和个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取个乒乓球，记取出的个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：盒中有两种颜色的球，任取个，橘黄色的可能有个，个，个，个，属于超几何分布， 取出的个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则． 故选：． 2.(2025·云南省曲靖市·模拟)自“机器人扭秧歌”这一节目在年春晚舞台大放异彩后，宇树科技这家专注于四足机器人研发的中国科技公司在全球范围内倍受瞩目旗下一款机器人在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛现统计出机器人在某地区年月至月的销售量如下表所示： 月份 销售量台 经计算样本的相关系数，故变量，线性相关性很强，求关于的经验回归方程 用中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于时，称该对数据为一对“次数据”，现从这对数据中任取对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数的分布列和数学期望． 附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】 ．  【解析】解：由所给数据得， ，， ， ，， 关于的经验回归方程为 这对数据的残差的绝对值分别为，，，，， 故对数据中有对“次数据”，所以的所有可能取值为，，． 且，，， 的分布列为 的数学期望为．  考点4 正态分布 1.(2025·云南省·模拟)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】BCD  【解析】解：因为，所以，故A错误； 由图象知，故B正确； 因为， 所以，故C正确； 因为， 所以，故 D正确． 故选：． 2.(2025·四川省乐山市·月考)下列说法正确的为(    ) A. 在回归模型的残差分析中，决定系数越接近，意味着模型的拟合效果越好 B. 数据的标准差为，则数据的标准差为 C. 已知随机变量，若，则 D. 在装有个黑球，个红球的袋子中随机摸出两个球，则摸出的两个球“均为黑球”与“均为红球”是对立事件 【答案】ABC  【解析】对于，决定系数的值越大，残差平方和越小，拟合的效果越好，故 A正确 对于：设数据的平均数，则的平均数为， 标准差为，故 B正确； 对于：因为随机变量，所以， 又因为，所以， 所以，故 C正确； 对于：在装有个黑球，个红球的袋子中随机摸出两个球， 则摸出的两个球“均为黑球”的对立事件为“摸出的两个球“不全为黑球”，故D错误． 故选：． 3.(2025·河北省秦皇岛市·模拟)为了解某种疫苗注射后血样指标的变化情况，将该疫苗给实验小猴注射，已知实验小猴的血样指标服从正态分布，则若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】BC  【解析】解：由题意有， ，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误． 故选：． 4.(2025·福建省福州市·模拟)脂肪含量单位：指的是脂肪重量占人体总重量的比例，某运动生理学家对某项健身活动参与人群的脂肪含量采用分层随机抽样的方式进行了调查已知调查中所抽取的位男性的调查数据的平均数和方差分别为和，所抽取的位女性的调查数据的平均数和方差分别为和． 计算这次调查总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计结果保留整数 假设该健身活动的全体参与者的脂肪含量为随机变量，且，其中近似为中计算所得的总样本方差现从全体参与者中随机抽取位，求位参与者的脂肪含量均小于的概率． 附：若随机变量服从正态分布，则，，，． 【答案】平均数为，方差为； 位参与者的脂肪含量均小于的概率为．  【解析】解：根据题意，把男性样本记为，，，其平均数记为，方差记为， 把女性样本记为，，，其平均数记为，方差记为， ，，，， 记总样本数据的平均数为，方差为， 则， ， 总样本数据的平均数为，方差为； 根据题意，由知，，所以， 所以， ， 设抽取的位参与者中，脂肪含量均小于的人数为， 易得， 故， 故位参与者的脂肪含量均小于的概率为．  二、跟踪练习 1.(2025·陕西省西安市·模拟)盲盒中有大小相同的个红球，个黑球，随机有放回的摸两次球，记为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记为摸到黑球的个数，则(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  【解析】解：由题意可知：，则， 且的可能取值为，，， 则， 可得， ， 所以，． 故选：． 2.(2025·安徽省安庆市·模拟)下列结论正确的是(    ) A. 若随机变量，则 B. 测量重力加速度大小实验中所测的值服从正态分布，则越大时，测得的在间的概率越低 C. 某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为 D. 已知某个数据的平均值为，方差为，则加入一个数据后方差变为 【答案】BD  【解析】解：已知，则，可知，故A错误； 对于正态分布，则越大时，密度曲线越分散，更加矮胖，在间的概率越低，故B正确； 小黄同学做对题数服从二项分布，设作对题数为，服从，则，故C错误； 设个数据为，原来平均值为，加一个数据后，均值不变， 原来方差为，则加入一个数据后， 方差为，故D正确． 故选：． 3.(2025·江西省九江市·模拟)已知随机变量，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. C. D. 【答案】AD  【解析】解：， 由，等式化简为：， 故A正确； 二项分布方差为：， 当时，，此时， 对于其他，， 故B错误； 由题可得，均值，因此， 故C错误； 由正态分布的对称性，和关于对称， 根据对称性，， 故D正确． 故选：． 4.(2025·江苏省南京市·模拟)在年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，为了调查学生对本次活动的满意度，从该校学生中随机抽取一个容量为的样本进行调查，调查结果如下表： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 完成上面的列联表，若有不少于的把握认为“性别与满意度有关系”，求样本容量的最小值； 本次知识竞赛的晋级环节设置道必答题目，至少答对道题目则晋级，否则被淘汰．某年级有名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这道题目答对的概率分别为，且道题目答对与否互不影响． 设表示这人中晋级的人数，求； 记这人中人晋级的概率为，求取得最大值时的取值． 附：，其中． 【答案】的最小值为； ；取最大值时的取值为． 【解析】解：列联表如下： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 先提出统计假设为：性别与满意度没有关系， 根据上表可知，， 因为性别与满意度有关系，所以，解得， 由题意可知，为的整数倍，故的最小值为； 设分别表示道题目答对事件， 令该年级的名同学中人晋级的事件为， 则 ， 由题意可知，，则； ，，，，，，， 最大，则 解得，， 所以，即取最大值时的取值为．   学科网（北京）股份有限公司 $ 专题四 概率与统计 第3讲 随机变量及其分布 一、考点透析 考点1 分布列性质与应用 1.（2025·厦门市·质检）已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（ ） A. -1 B. C. 0 D. 2.(2025·云南省昭通市·模拟)已知随机变量X~N(4,).若P(X<3)=0.3,则P(3< X<5)=          ,若Y=2X+1,则Y的方差为          . 考点2 二项分布 1.(2025·湖北省宜昌市·模拟)已知随机变量，均服从两点分布，若，，且，则(    ) A. B. C. D. 2.(2025·福建省龙岩市·模拟)已知函数f(x)=随机变量~B(n,p)(0< p<1),随机变量K=f(), K的期望为g(p). (1)当n=3时,求g(); (2)当n=10时,求g(p)的表达式. 考点3 超几何分布 1.(2025·辽宁省沈阳市·模拟)一个盒子中有个白色乒乓球和个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取个乒乓球，记取出的个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则(    ) A. B. C. D. 2.(2025·云南省曲靖市·模拟)自“机器人扭秧歌”这一节目在年春晚舞台大放异彩后，宇树科技这家专注于四足机器人研发的中国科技公司在全球范围内倍受瞩目旗下一款机器人在巡检与监控、安防与救援、科研与影视等方面应用广泛现统计出机器人在某地区年月至月的销售量如下表所示： 月份 销售量台 经计算样本的相关系数，故变量，线性相关性很强，求关于的经验回归方程 用中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于时，称该对数据为一对“次数据”，现从这对数据中任取对做残差分析，求取到的数据中“次数据”对数的分布列和数学期望． 附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 考点4 正态分布 1.(2025·云南省·模拟)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是(   ) A. B. C. D. 2.(2025·四川省乐山市·月考)下列说法正确的为(    ) A. 在回归模型的残差分析中，决定系数越接近，意味着模型的拟合效果越好 B. 数据的标准差为，则数据的标准差为 C. 已知随机变量，若，则 D. 在装有个黑球，个红球的袋子中随机摸出两个球，则摸出的两个球“均为黑球”与“均为红球”是对立事件 3.(2025·河北省秦皇岛市·模拟)为了解某种疫苗注射后血样指标的变化情况，将该疫苗给实验小猴注射，已知实验小猴的血样指标服从正态分布，则若，则(    ) A. B. C. D. 4.(2025·福建省福州市·模拟)脂肪含量单位：指的是脂肪重量占人体总重量的比例，某运动生理学家对某项健身活动参与人群的脂肪含量采用分层随机抽样的方式进行了调查已知调查中所抽取的位男性的调查数据的平均数和方差分别为和，所抽取的位女性的调查数据的平均数和方差分别为和． 计算这次调查总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计结果保留整数 假设该健身活动的全体参与者的脂肪含量为随机变量，且，其中近似为中计算所得的总样本方差现从全体参与者中随机抽取位，求位参与者的脂肪含量均小于的概率． 附：若随机变量服从正态分布，则，，，． 二、跟踪练习 1.(2025·陕西省西安市·模拟)盲盒中有大小相同的个红球，个黑球，随机有放回的摸两次球，记为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记为摸到黑球的个数，则(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.(2025·安徽省安庆市·模拟)下列结论正确的是(    ) A. 若随机变量，则 B. 测量重力加速度大小实验中所测的值服从正态分布，则越大时，测得的在间的概率越低 C. 某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为 D. 已知某个数据的平均值为，方差为，则加入一个数据后方差变为 3.(2025·江西省九江市·模拟)已知随机变量，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. C. D. 4.(2025·江苏省南京市·模拟)在年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，为了调查学生对本次活动的满意度，从该校学生中随机抽取一个容量为的样本进行调查，调查结果如下表： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 完成上面的列联表，若有不少于的把握认为“性别与满意度有关系”，求样本容量的最小值； 本次知识竞赛的晋级环节设置道必答题目，至少答对道题目则晋级，否则被淘汰．某年级有名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这道题目答对的概率分别为，且道题目答对与否互不影响． 设表示这人中晋级的人数，求； 记这人中人晋级的概率为，求取得最大值时的取值． 附：，其中． 学科网（北京）股份有限公司 $