安徽省A20联盟2025-2026学年九年级上学期期末质量检测（二）数学试题

安 徽 省 A20 联 盟 期 末 质 量 检 测 （二） 数 学 试 题 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。“试题卷”共4页，“答题卷”共6页。 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并收回。 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．下列函数中，是二次函数的是 （   ） A． B． C． D． 2．若，且相似比为，则与的面积比为 （    ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则的 值 为 （    ） A． B．2 C． D． 4．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点、分别在边、上，连接，，若，则的长是 （     ） （第5题图） （第6题图） A．4 B．5 C．20 D．3.2 6．人行天桥的示意图如图所示，若斜道长为30米，，则高的长为 （     ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过点，且与y轴交于正半轴，其对称轴是直线．则下列结论中正确的是 （    ） A． B． C． D． 8．如图，四边形是矩形，延长至点，连接分别交边、对角线于点．若，则的值为 （   ） A． B． C． D． 9．如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （    ） A B C D 10．如图，函数的图象与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11．有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为米，那么这个斜坡的长度为 米． 12．如图，在直线上方的双曲线上有一个动点P，过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，连接，则面积的最大值是 ． （第12题图） （第14题图） 13．已知抛物线与轴的交点坐标分别为，．若，则的取值范围是 ． 14．如图，在中，，．是内部的一个角，和与分别交于点和点，已知 （1）图中与相似的三角形有 个； （2）若，，则的长为 ． 三．（本答题共2题，每小题8分，满分16分） 15．已知二次函数，若将该二次函数图象向上平移m个单位长度，平移后的抛物线经过点，求m的值． 16．计算： 四．（本答题共2题，每小题8分，满分16分） 17．如图，中，，，分别是边，上两点，交的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当时，求的值． 18．如图，在单位长度为1个单位的网格图中，与是位似图形，且点A的坐标为，点的坐标为． (1)将向上平移4个单位，再向左平移1个单位得，作出； (2)作出与的位似中心P，写出P的坐标． 五．（本答题共2题，每小题10分，满分20分） 19．如图，直线与反比例函数（k为常数，且，）的图象交于点，分别与x轴、y轴交于点C、B，连接OA． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P在反比例函数（k为常数，且，）的图象上，连接BP、OP，若，求点P的坐标． 20．如图，数学活动小组测量了某建筑物的高度（底部不可直接到达），小丽先在点C处用测角仪（高度忽略不计）测得建筑物的顶端N处的仰角；接着，她从点C处沿方向移动到达点B处，在点B处竖立一根长为的标杆，然后继续沿方向移动，当小丽到达点D处时，小丽的眼睛E、标杆的顶端A和该建筑物的顶端N恰好在同一条直线上．经测量，小丽的眼睛到地面的距离，，已知，，，点D、B、C、M在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求该建筑物的高度．（参考数据：，，） 六．（本大题满分12分） 21．如图，．平分是的中点，连接交于点． (1)求证：， (2)若，求的长． 七．（本大题满分12分） 22．某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于灾害救援、地形勘察等场景．将机器人看作一点，其起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上点O起跳，落在水平地面上的点M，以点O为原点，所在直线为x轴，过点O且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，其与机器人的运动路线在同一平面内的截面是矩形．机器人从障碍物上方越过，且与障碍物无接触，则视为顺利越过障碍物．实验测得，运动路线最高点距水平地面，，，． 若机器人从点处起跳，其他所有条件均不变． (1)当时，判断它能否跳跃一次顺利越过障碍物，并说明理由； (2)当它跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域内（不含点E，点F）时，，，直接写出p的取值范围． 八．（本大题满分14分） 23．【问题背景】 活动课上，张老师和同学们以正方形为背景，探究图形运动中的数学结论．如图1，在正方形中，延长至点是线段上的一个动点，连接，过点F作，交的平分线于点E，连接，交于点． 【探索发现】 （1）在点F运动的过程中，勤学小组发现与始终相等． 下面是两位组员的思考方法： 小李同学：在上取一点N，使得，连接，可以构造出一对全等三角形，即可证明． 小王同学：连接，过点F作交于点N，同样可以构造出一对全等三角形，即可证明． 请你借助任意一位同学的思考方法或运用其他方法，证明：； 【拓展延伸】 （2）张老师连接，分别交于点． ①如图2，善思小组连接，并画出了的情形，请协助他们计算出此时的长； ②如图3，笃行小组画出了的情形，求此时的长． 数学试题 * 第 页（共4页）1 数学试题 * 第 页（共4页）1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A B A D A A B 1．C 【详解】解： A、，最高次数为1，不是二次函数，不符合； B、，不是二次函数，不符合； C、，满足，符合二次函数定义； D、，含有分式项，不是二次函数，不符合； 故选：C 2．C 【详解】解：∵，相似比为， ∴ 面积比为， 故选：C． 3．D 【详解】解：如图： ∵在中，，，， ∴, 故选：D 4．A 【详解】解：∵向左平移2个单位， ∴x变为， 得； ∵向下平移2个单位， ∴整体减2， 得， 故选：A． 5．B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选B． 6．A 【详解】解：由题意，在直角三角形中， 根据正弦函数的定义， 米． 故选：． 7．D 【详解】解：∵对称轴为， ∴，即． ∵图象经过点， ∴． ∵与轴交于正半轴， ∴． A、∵图象与轴有交点（点）， ∴判别式，故A错误； B、（∵），故B错误； C、（∵），故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 8．A 【详解】解：在矩形中，，即， 所以， 因为， 所以， 所以， 设，则，， ， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以​， 所以， 故选：A． 9．A 【详解】解：A、二次函数开口向上，；一次函数过一、三象限，，一次函数与y轴的正半轴相交，二次函数的对称轴为，时对称轴应在轴右侧，符合，故A项可能． B、二次函数开口向上，；一次函数过二、四象限，，矛盾，故B项不可能． C、二次函数开口向上，；一次函数过二、四象限，，矛盾，故C项不可能． D、二次函数开口向下，；一次函数过二、四象限，，但二次函数的对称轴为，时对称轴应在轴左侧，而图中对称轴在轴右侧，矛盾，故D项不可能． 故选：A． 10．B 【详解】解：由题知， 如图所示，过点作轴的平行线交的延长线于点， 轴， ， ， ， 对于函数， 令，则有， 解得，， ，， ， 令，则有， ， 设直线的函数解析式为，则有： ，解得， 直线的函数解析式为， ， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值，最大值为， 即的最大值为． 故选：B． 11． 【详解】解：设这个斜坡的水平距离为米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，时，原式有意义， ∴这个斜坡的长度（米）， 答：这个斜坡的长度为米． 故答案为：． 12．3 【详解】解：设，则， 线段， ， ，二次函数开口向下，有最大值， 当时，有最大值，最大值：3． 故答案为：3． 13． 【详解】∵抛物线 与 轴的交点坐标分别为 ，， ∴方程 的两个根分别为 ， ， 根据根与系数的关系，有 ，即 ， ∵ ， ∴， 解得，， 故答案为：． 14． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， 故与相似的三角形有个． 故答案为：． （2）∵， ∴ 将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，， ∵ ∴ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ 在中，， 由勾股定理得： ∴ 故答案为：． 15．解：二次函数的解析式为， 将该二次函数图象向上平移个单位长度后，所得抛物线的函数解析式为， 平移后的抛物线经过点， ， 解得：． 16．解： ． 17．（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 18．（1）解：已知中的坐标为，将向上平移4个单位，再向左平移1个单位．根据点在平面直角坐标系中的平移规律“上加下减纵坐标，左减右加横坐标”，则点平移后的坐标为，即，同理求出平移后的坐标，然后顺次连接三点，得到．如图所示： （2）解：如图所示： 连接并延长，连接并延长，连接并延长，这三条线的交点即为位似中心．在网格图中根据坐标系，可得出位似中心的坐标为． 19．（1）解：点在直线上， ， 解得，， 在反比例函数（k为常数，且，）上， ， 解得，， 反比例函数的解析式为：； （2）解：直线与x轴、y轴交于点C、B， 令得，，解得， ， 令得，，，， 由（1）得，， ， 设点的坐标为， 则， ， ， ， 的坐标为． 20．解：如图，过点E作于点F，交于点H， 由题意，得四边形、四边形为矩形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：该建筑物的高度为． 21．（1）证明：平分， ， 又， ， ， ； （2）解：平分， ， ，为中点， ， ∵， ， ， ∵， ， ，且，， ， ∴（负值已舍去）， ∵， ， ， ∴， ∵． ． 22．（1）解：不能，理由如下： ∵机器人运动路线最高点距水平地面，且， ∴机器人运动路线的最高点为， ∴可设二次函数的解析式为：， 又∵函数过原点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 若机器人从起跳，相当于抛物线上移2个单位，此时机器人运动轨迹的新抛物线解析式为：， 当时，此时， ∴当时，它跳跃一次不能越过障碍物； （2）解：机器人从点处起跳，此时机器人运动轨迹的新抛物线解析式为：， 当跳跃一次顺利越过障碍物时，此时代入解析式得到，解得， ∵要求当它跳跃一次顺利越过障碍物， ∴； ∵机器人要落在水平地面上的区域内（不含点E，点F），，， ∴， 当机器人落在点时，代入解析式得到，解得； 当机器人落在点时，代入解析式得到，解得； ∴综上，当机器人跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域EF内（不含点E，点F）时，的取值范围为． 23．解：（1）∵在正方形中，， ∴，， 小李同学的方法：在上取一点N，使得，连接， 则， ∴， ∴， ∵过点F作，交的平分线于点E， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 小王同学方法：连接，过点F作交于点N， 由正方形可得， ∵， ∴，， ∴，， ∵过点F作，交的平分线于点E， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）①如图2，把逆时针旋转得到，连接， ∵， ∴， ∴，即， 由正方形可得，，， ∴， ∴， ∵把逆时针旋转得到， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； ②如图3，过作于，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 把逆时针旋转得到，连接，由①可得，，， ∴，， ∴， 解得． 答 案 * 第 页（共10页）1 答 案 * 第 页（共10页）1 学科网（北京）股份有限公司 $