精品解析：河南省南阳市多校2026-2027高二上学期阶段性素养评价（一）数学试题

2026年秋期阶段性素养评价（一） 高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知圆：与圆：，则与的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 4. 已知双曲线：（）的实轴长为2，且两条渐近线夹角为，则该双曲线的焦距为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知直线过点且和以，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆：与直线：（），则圆的圆心到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 25 8. 椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选错的得0分） 9. 下列命题说法正确的有（ ） A. 已知直线：与直线：，若，则 B. 直线的一个方向向量 C. 直线：，：，若，则 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 10. 下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率越大，则椭圆的形状越扁 B. 圆：与圆：有且仅有一条公切线，则 C. 若圆：（）上恰有两点到点的距离为，则的取值范围为 D. 过直线：上任意一点作圆：的切线，切点为，，则直线必过定点 11. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点，如图所示．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．若右焦点到一条渐近线的距离为，且双曲线的渐近线为，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的方程为 B. 的最小值为 C. 若，则的面积为 D. 当过点时，光由所经过的路程为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线与直线平行，则两平行线间的距离是__________． 13. 已知关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围为______． 14. 在平面直角坐标系中，若椭圆：（）上存在两点，，使得，且，则的离心率的取值范围是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点的坐标为，，．求： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）边垂直平分线所在直线方程及点关于的对称点的坐标． 16. 已知直线经过点，：． （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若该直线与圆相交于，两点，且面积为2，求直线的方程． 17. 在直角坐标系中，动圆与圆：外切，同时与圆：内切． （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）若由（1）所得点的轨迹曲线上有一点，当的面积最大时，求的正切值． 18. 已知圆过点和点，圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）是否存在斜率为2的直线与圆交于，两点，且以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 19. 已知双曲线：（，）过点，且离心率为． （1）求双曲线的方程； （2）已知，分别是双曲线的左、右顶点，，分别是其左、右焦点． ①点在双曲线右支上运动，点在圆：上运动，求的最小值； ②若是双曲线上异于，的一点，且，求证：的面积小于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期阶段性素养评价（一） 高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由直线方程，得，所以直线的斜率为． 设直线的倾斜角为，则，且，故． 2. 已知椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】由椭圆，得， 而椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6， 则点到另一个焦点的距离为. 3. 已知圆：与圆：，则与的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【详解】由圆，可得圆心，半径， 由圆，可得圆心，半径， 根据两点间距离公式得，且，，， 所以与的位置关系为相交. 4. 已知双曲线：（）的实轴长为2，且两条渐近线夹角为，则该双曲线的焦距为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】由实轴长为2，得，所以． 双曲线的渐近线方程为． 两条渐近线的锐角夹角为， 所以渐近线方程为的倾斜角为， 所以，所以． 由双曲线关系，得，从而． 双曲线的焦距为． 5. 已知直线过点且和以，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，， 由斜率公式， ， ， 过点的直线与线段相交，直线绕点旋转，当直线斜率小于等于或大于等于时，直线与线段相交， 故斜率的取值范围为. 6. 已知圆：与直线：（），则圆的圆心到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标，再利用点到直线的距离公式写出距离表达式，结合参数的取值范围求最大值. 【详解】对进行配方，得， 因此圆C的圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离为  ， 由于，故，因此，当且仅当时等号成立， 因此，即圆心到直线l的距离的最大值为. 7. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 25 【答案】D 【解析】 【详解】由椭圆方程，可知焦点在轴上， ，即， 根据椭圆的定义，点在椭圆上，有， 设，则，， 由基本不等式，代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 8. 椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，推出点在轴的右侧，由角平分线定理得，推出，，再在中，由余弦定理得出的关系， 【详解】如图所示； 是内心，是的角平分线，. 又，. 在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，，. ，，. 由椭圆的定义得，，，. 在中，由余弦定理得, ，化简得. 该椭圆的离心率为. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选错的得0分） 9. 下列命题说法正确的有（ ） A. 已知直线：与直线：，若，则 B. 直线的一个方向向量 C. 直线：，：，若，则 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查直线的位置关系（平行、垂直）、直线方向向量、截距的相关概念，需结合对应判定规则逐一分析选项. 【详解】选项A，由得，即，解得或，当时与重合，需舍去，当时，A正确； 选项B，直线的斜率为，因为，故不是该直线的方向向量，B错误； 选项C，由得，解得，C正确； 选项D，截距相等包含截距均为0的情况，此时直线过原点，设，又过点，得，所以，方程为，即，还有截距不为0的，共2条符合条件的直线，D错误. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率越大，则椭圆的形状越扁 B. 圆：与圆：有且仅有一条公切线，则 C. 若圆：（）上恰有两点到点的距离为，则的取值范围为 D. 过直线：上任意一点作圆：的切线，切点为，，则直线必过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据椭圆离心率的性质即可判断；对于B，先根据题意判断圆与圆内切，进而根据圆与圆的位置关系求出即可判断；对于C，先根据几何意义得到到点的距离为的点的轨迹方程为圆，再根据条件得到圆与圆相交，进而根据圆与圆的位置关系求出即可判断；对于D，先依题意设，从而得到以为直径的圆的方程，进而得到直线的方程，进而求出所过定点即可判断． 【详解】对于A，由椭圆的离心率为，则， 若越大，则越小，即椭圆的短轴相对于长轴更短，即形状越扁，故A正确； 对于B，将圆方程化为标准方程，则圆：，圆：， 则圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 又圆与圆有且仅有一条公切线，则圆与圆内切， 则，即，解得，故B错误； 对于C，由到点的距离为的点的轨迹方程为圆：， 又圆上恰有两点到点的距离为，即圆与圆相交， 又，且，则，解得， 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，由点在直线上，则设， 又圆：的圆心为， 则以为直径的圆的方程为， 整理得， 则与相减得， 所以直线的方程为，即， 令，解得，所以直线必过定点，故D正确． 11. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点，如图所示．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．若右焦点到一条渐近线的距离为，且双曲线的渐近线为，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的方程为 B. 的最小值为 C. 若，则的面积为 D. 当过点时，光由所经过的路程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由又双曲线C的渐近线方程为得，解出即可判断；对于B，利用的最小值为即可判断；对于C，在中，，由勾股定理及双曲线的定义得即可判断；对于D，利用双曲线的定义得，最后利用两点间的距离公式即可判断. 【详解】对于A，因为右焦点到一条渐近线的距离为，所以因为双曲线C的渐近线方程为，所以，解得，所以C的方程为，故A正确； 对于B，由，，得，所以的最小值为，故B不正确； 对于C，在中，，由勾股定理及双曲线的定义知，， 即，所以，则，故C正确； 对于D，由题意可知，，当过点时，由双曲线定义可得光由所经过的路程为，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线与直线平行，则两平行线间的距离是__________． 【答案】 【解析】 【详解】把化简得， 根据平行直线的距离公式得，. 13. 已知关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】问题转换成直线与半圆的交点个数，结合直线斜率变化规律，数形结合即可求解. 【详解】不妨令， 则由得， 直线经过定点， 如图，当直线与半圆相切时，此时， 则， 当直线与半圆恰有两个公共点时符合题意， 数形结合可知，的取值范围为． 14. 在平面直角坐标系中，若椭圆：（）上存在两点，，使得，且，则的离心率的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆性质得到范围，再根据得到范围即可求离心率范围. 【详解】由椭圆的性质可知，椭圆上点到原点的最大距离为，最小距离为，所以； 因为若椭圆上存在两点，，使得，且， 所以有解，即，所以，即； 所以离心率，当为椭圆左右顶点，为椭圆上下顶点时取等； 又因为，所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点的坐标为，，．求： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）边垂直平分线所在直线方程及点关于的对称点的坐标． 【答案】（1） （2）的方程为；点的坐标为 【解析】 【小问1详解】 由，，， 设的中点为，则， 所以直线的方程为，即． 【小问2详解】 由，，， 设的中点为，则， 又边所在的直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即； 设关于的对称点的坐标为， 则的中点在上，且， 即，解得， 所以对称点的坐标为． 16. 已知直线经过点，：． （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若该直线与圆相交于，两点，且面积为2，求直线的方程． 【答案】（1）直线的方程为或. （2）和， 【解析】 【分析】（1）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，结合即可求解； （2）由题意可求得，设直线的方程为，利用点到直线的距离即可求解. 【小问1详解】 由题可得的圆心为，半径. 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离，直线与圆相切，符合条件. 当直线斜率存在时，设直线方程为，即. 直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即，解得. 代入得直线方程. 故切线方程为或. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为， 因为，所以， 所以， 所以， 结合（1）可知所求直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 则，整理得，解得：， 所以直线方程是和， 整理得和. 17. 在直角坐标系中，动圆与圆：外切，同时与圆：内切． （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）若由（1）所得点的轨迹曲线上有一点，当的面积最大时，求的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将两定圆化为标准方程得圆心与半径，结合动圆与两定圆的切接关系得动圆圆心到两定点距离之和为定值，由椭圆的定义求解轨迹方程. （2）由底边长固定，面积最大对应点纵坐标绝对值最大，得点坐标后解三角形求角的正切值. 【小问1详解】 如图所示； 由题知，圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为， 设动圆圆心的坐标为，半径为， 动圆与圆外切，同时与圆内切． ，，. 由椭圆的定义可知动圆圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，. ，，， 动圆圆心的轨迹方程为. 【小问2详解】 如图所示； 由题知，当的面积最大时，点为椭圆短轴端点，不妨设点的坐标为， 此时为等腰三角形，为直角三角形，设, 又，. 的正切值为. 18. 已知圆过点和点，圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）是否存在斜率为2的直线与圆交于，两点，且以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，的方程为或 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，由题设建立方程组求解即可； （2）设直线，，联立直线与圆的方程，由题意可得，进而结合韦达定理求解即可. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 由题意得，，解得，，， 则圆的标准方程为. 【小问2详解】 假设存在斜率为2的直线，设， 联立方程组，消去得； 因为直线与圆有两个交点， 所以，解得， 由韦达定理得， 所以， 因为以为直径的圆过原点，所以， 则， 解得或，均满足， 故存在这样的直线，方程为或. 19. 已知双曲线：（，）过点，且离心率为． （1）求双曲线的方程； （2）已知，分别是双曲线的左、右顶点，，分别是其左、右焦点． ①点在双曲线右支上运动，点在圆：上运动，求的最小值； ②若是双曲线上异于，的一点，且，求证：的面积小于． 【答案】（1） （2）① ②由（1）知，，故. 在中，由余弦定理可得， 即； 由题意可得，所以上式不能取等号， 所以， 所以； 设的高为，所以，因此； 又因为与的高相等， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列关于的方程组，解方程组即可. （2）①根据双曲线定义和圆的性质将进行转化，再利用三角不等式求最值； ②在中由余弦定理和基本不等式先求得的范围，利用两种面积公式表示， 进而得到三角形高的范围，表示的面积即可证得. 【小问1详解】 由题意得，解得，所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，. ①点在双曲线右支上运动，由双曲线定义得，即. 圆：圆心为，半径，点在圆上，则（当且仅当在线段上时取等号）. 所以 又（当且仅当在线段上时取等号）， ， 所以（当且仅当在线段上，在线段上时取等号）， 所以的最小值为. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $