北京市西城区2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

北京市西城区2025—2026学年度第一学期期末试卷 高一数学答案及评分参考 2026.1 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） （1）D （2）B （3）A （4）C （5）A （6）C （7）B （8）D （9）C （10）B 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）（0，2] （12） （13）（答案不唯一） （14） （15）① ② ④ 注：（14）题第一空3分，第二空2分；（15）题少解给3分，有错解不给分。 三、解答题（共6小题，共75分） （16）（共10分） 解：（Ⅰ）． ………2分 当时，． ………3分 所以． ………5分 （Ⅱ）“，使得”为真命题，等价于“”． ………7分 ① 当时，有， 解得． ………8分 ② 在时，“”等价于． ………9分 综上的取值范围是． ………10分 （17）（共13分） 解：（Ⅰ）设事件为“甲在决赛中获得优胜奖”． 根据题中数据，甲在次比赛中，有次成绩在以上． 所以估计为． ………4分 （Ⅱ）设事件为“乙在决赛中获得优胜奖”，事件为“丙在决赛中获得优胜奖”，事件 为“乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖”． 根据题中数据，估计为，估计为． ………6分 根据题意，． 所以估计为． ………10分 （Ⅲ）丙夺冠的概率最大． ………13分 （18）（共13分） 解：（Ⅰ）因为的定义域为，所以时，． ………1分 又因为， 所以是偶函数． ………4分 （Ⅱ）在区间上单调递增，证明如下： ………5分 因为，所以． ………6分 任取，且， 则． ………8分 因为， 所以，． 从而． 所以在区间上单调递增． ………10分 （Ⅲ）由（Ⅰ）及（Ⅱ）可得在上单调递减． ………11分 所以在区间上的最大值为；最小值为． …13分 （19）（共13分） 解：依题意元件的采购费为元， ………1分 手续费为元， ………2分 仓储费为元． ………3分 因为，所以，仓储费为元． ………5分 该公司一年元件的采购费、手续费与仓储费之和记为， ………6分 则，其中为正整数． ………9分 因为， ………11分 当且仅当，即时，最小． 所以每年分次采购，可使元件采购费、手续费与仓储费之和最小． ………13分 （20）（共13分） 解：（Ⅰ）根据题意，即． 解得． ………3分 （Ⅱ）即为． 整理得． ………4分 设，则上述不等式转化为． （*） 注意到，所以． ………5分 当时，（*）化为，解得． ………6分 当时，（*）化为，解得． ………7分 所以或，解得或． 所以不等式的解集为或． ………8分 （Ⅲ）因为，， 所以在区间上存在零点，即存在零点． ………9分 下面确定的零点个数．的零点即为方程的解． 在同一坐标系中，画函数和的示意图： 由图知，函数和的图象有且只有两个交点． 所以有且只有两个零点，且． ………11分 当时，由，， 得． 又，所以． ………13分 （21）（共13分） 解：（Ⅰ），． ………2分 （Ⅱ）当时，． 所以或． …3分 假设数对和中的两数均奇偶性不同，则和均为奇数． 因为，所以，且． 所以不具有性质． ………5分 又，所以一定具有性质． 所以，． 所以，与已知矛盾． 所以数对和中至少有一对中的两数奇偶性相同． ………8分 （Ⅲ）不妨设． 若具有性质，则． 不妨设，则，所以． 故，． ………10分 对于任意的，有，． 所以确定时，满足条件的的个数至多为． 所以． ………12分 当时，． 所以的最大值是． ………13分 北京市西城区2025—2026学年度第一学期期末试卷 高一数学答案及评分参考 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年度第一学期期末试卷 高一数学 2026.1 本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷 上作答无效。 第一部分（选择题共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 (1)已知全集U=R,集合A={x0≤x<1),则CuA= (A)(0,1] (B)[0,1) (C)(-m,0]U(1,+o) (D)(-o,0)U[1,+∞) (2)下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是 (A)f(x)=-2x (B)f(x)=√E (C)f)=-x2 (D)f(x)=x (3)若a,beR,且a>b,则下列不等式中不恒成立的是 a日号 (B)a>b (c)a+b>0 (D)a2>b2 (4)A,B两个小组各有6名同学，他们一周的课外阅读时长（单位：小时）如下： A组：5 6789 8 B组：9 6 > 9 10 设A,B两组同学课外阅读时长的平均数依次为，云，方差依次为以，，则 (A)x<,< (B)>买>弱 (C)x<,暖=6 (D)>,头=哈 2025-2026学年度第一学期期末试卷高一数学 第1页（共5页） (5)已知一元二次方程x2-3x+1=0的两根分别为x和x,! (A)√5 (B)5 (C)5 (D)3 (6)为了得到函数y=g二的图象，只需把函数y=gx的图象上所有的点 10 (A)向左平移1个单位长度 (B)向右平移1个单位长度 (C)向下平移1个单位长度 (D)向上平移1个单位长度 (7)向量，b在正方形网格中的位置如图所示.若网格中 每个小正方形的边长为1，则1a+2b1= (A)5 (B)√0 (c)5 (D)52 (8)已知a>b>1.若1og。b+l1ogba= 则 (A)b=2a (B)a=2b (C b=a2 (D)a=b2 (9)设函数f(x)= 24-l,x≥a,则“a≥0”是“f问在(-0，+)上单调递减”的 (x-a)2,x<a. (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (10)已知a≥0,1=1,2,3,45，且24=1.记A=max(4+a,4+4,4+a,a+43, 其中max{,2,,}表示，2，…，这k个数中最大的数，则A的最小值是 a) ®) (C) 1-2 (D) 2-5 第二部分（非选择题 共100分) 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （1)高数/网=2的定义城是一 (12)已知命题r:“3xe(0,+∞)，x2<1”,则r的否定为：一 (13)设平面向量td=(-1,2).b=(-2,1),c=(,0.则使得向量d与6-共线的一组实数 x,y的值为x=一，y=一 (14)若非空集合A满足：Va∈A,都有6-aeA,则称集合A具有“对称特征”.已知集合 S={1,2,3,4,5},则S的非空子集的个数为一：从S的所有非空子集中随机选取一 个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为一 (15)已知函数f=一2.给出下列四个结论 1+2 ①若片+为=0，则f:)+f(:)=0: ②若，>为，则f)-f(:)<0 ③3xeRf)=2; @xeR,-1<fG-≤号 其中所有正确结论的序号是一·_ 三、解答题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题10分) 已知集合 $$A = \left\{ x | x ^ { 2 } - 4 x < 0 \right. \right\} ， B = \left\{ x | a < x < 2 a - 1 \right\} ，$$ 其中 a∈R. (I)当a=3时，求 A∪B； (Ⅱ)若 “∃x∈A， x∈B 为真命题，求 a 的取值范围. (17)(本小题13分) 运动会上，甲、乙、丙三名运动员最终进入跳高决赛，决赛成绩达到175cm以上(含175cm) 的运动员将获得优胜奖.为预测获得优胜奖的情况及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛 成绩，并整理得到如下数据(单位：cm)： 甲：181 180 179 178 173 172 170 168 乙：180 179 175 171 170 169 丙：183 176 165 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (I)估计甲在决赛中获得优胜奖的概率； (Ⅱ)估计乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率； (Ⅲ)甲、乙、丙三人中谁夺冠的概率最大?(结论不要求证明) (18)(本小题13分) 已知函数 $$f \left( x \right) = \frac { x ^ { 2 } - 1 } { \left( | x | + 1 \right) ^ { 2 } } .$$ (I)证明 f(x) 是偶函数； (Ⅱ)判断f(x)在区间 (0，+∞) 上的单调性，并加以证明； (Ⅲ)求 f(x) 在区间[-2，-1]上的最大值和最小值. (19)(本小题13分) 某公司一年需采购某种元件18000件，每件元件的采购价为25元，公司对该元件每年分n 次采购，每次采购的数量均为m件，每次采购的手续费为5000元，已购入未使用的元件要放 入库房仓储备用，经统计，每年元件的平均仓储量为”件，每个元件每年的仓储费为20元，为 使该公司一年元件的采购费、手续费与仓储费之和最小，则每年采购的次数是多少？ (20)(本小题13分) 已知函数f(x)=log2x+x+c的图象经过点(2,1). (i)求c的值； (Ⅱ)解不等式：f(2x)<2f(x): (Ⅲ)证明：f(x)存在零点，且所有零点之积小于1. (21)（本小题13分) 已知集合A={a,a2,,a}(n≥3)，其中a。eZ(m=1,2,n).若A的子集T={a,马1，a4} 满足2a4=a+a1,则称T具有性质P.A的所有具有性质P的子集T的个数记为card,(们 (I)当A={4,-1,-2,1,-5}时，写出A的所有具有性质P的子集T: (Ⅱ)当n=4时，若a<a<马<a,且card(T=2,证明：数对a,4和a,a,中至少有 一对中的两数奇偶性相同： (Ⅲ)当n=9时，求card,(I)的最大值.