精品解析：陕西省榆林中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

榆林中学2025-2026学年度第一学期高一年级期末测试 数学试题 考试范围：必修一全部内容 试卷满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,,则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解集合中的不等式,将集合A表示成,再通过补集运算求出集合的补集,最后通过交集运算得到最终解. 【详解】由题知,解得,所以集合, 又,则,所以. 故选:B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题. 【详解】命题“，”的否定是 “，”. 故选：B. 3. 已知扇形的半径为，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的弧长和面积公式计算即可. 【详解】设扇形的弧长为弧度， 则，解得， 所以该扇形的面积为. 故选：C. 4. 若角的终边跟单位圆的交点是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可得，再利用诱导公式运算求解. 【详解】因为角的终边跟单位圆的交点是，所以， 所以. 故选：A. 5. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用零点存在性定理，通过端点值的正负加以判断. 【详解】由， 根据零点存在性定理，由函数在区间上是连续的,且， 所以函数在区间上一定存在零点，故B正确； 而，则在上不一定有零点，故A错误； 又，则在，上也不一定有零点，故CD错误； 故选：B 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】在定义域内，，函数为奇函数，排除A，B， 当时，，，则，排除D． 故选：C． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 7. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间（单位：），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设当取，，时，所需时间分别为，根据题意列方程求出，进而可求出. 【详解】设当取，，时，所需时间分别为， 由题意知，即， 解得，所以. 所以， 故选：C. 8. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”．则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义可将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式求解；当的情况同理可求，进而结合两种情况即可得答案.. 【详解】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，所以， 所以， 令，则，所以， 所以， 所以 因为，又， 所以函数的图象存在“隐对称点”等价于与在上有交点，或在上有交点. 即方程有零点，或方程有零点，显然不是其零点， 所以，或 又，当且仅当，即等号成立， ，当且仅当，即等号成立， 所以，即实数的取值范围是. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据指对幂函数的性质依次分析各选项即可得答案. 【详解】对于A，函数为奇函数，故错误； 对于B，函数为偶函数，且在上单调递增，故正确； 对于C，函数定义域为，满足，故为偶函数，且时，在上单调递增，故正确； 对于D，函数定义域为，满足，故为偶函数，且时，在上单调递增，故正确； 故选：BCD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象求得的表达式，结合对称性以及三角函数图象变换等知识确定正确答案. 【详解】由图可知，A选项正确. ，所以. ，B选项错误. ，C选项错误. 函数的图象向右平移个单位长度得到 ， 所以D选项正确. 故选：AD 11. 函数的定义域为，对任意实数x，y都有，当时，，且，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 关于x的不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法求出，即可判断选项A，B；利用函数单调性的定义证明的单调性，然后利用单调性求解不等式的解集即可判断选项C，D. 【详解】因为， 令，则，故A正确； 令，则，所以， 令，则，所以， 令，则，所以，故B错误； 任取，则，， 所以， 所以，所以在上单调递增，故C正确； 关于x的不等式，所以， 所以，由于在上单调递增，所以， 所以，关于x的不等式的解集为，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置. 12. 若，，，则的最小值为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】由基本不等式中“1”的妙用代入计算即可得出最小值为4. 【详解】易知， 当且仅当时，等号成立； 即的最小值为4； 故答案为：4 13. 已知是第一象限角，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】因为是第一象限角，所以，通过直接求解或，根据同角三角函数的基本关系及三角恒等变换，解方程组求解. 【详解】方法一：因为是第一象限角，即， 所以，所以. 因为，所以. 则. 故答案：. 方法二：因为是第一象限角，所以. 因为，所以， 所以，① 两边同时平方得， 所以， 所以， 所以.② 由①②解得. 故答案为：. 14. 高斯是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.用其名字命名的“高斯函数”为：，其中表示不超过的最大整数，如，，，则关于的不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式，结合高斯函数的定义即可得到结果. 【详解】因为，所以， 因为表示不超过的最大整数，所以， 解得，即 故不等式解集是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知都是锐角，且，， （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正切公式进行求解； （2）利用同角三角函数的基本关系式分别求出，，的值，再利用两角和的余弦公式进行求解即可. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 都是锐角，，， 又，，， ，，， ， ，. 16. 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色（如图1），该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米．摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后座舱距离地面的高度为H米，．已知游客在座舱转到距离地面最近的位置点P处（如图2）进舱，转一周大约需要18分钟． （1）当游客坐上摩天轮的座舱后，在摩天轮转动一周的过程中，求H关于t的函数解析式； （2）坐上摩天轮转动一周，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．请问游客能有多长时间感受这个过程？ 【答案】（1）， （2）游客坐上摩天轮能有6分钟感受这个过程. 【解析】 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果. 【小问1详解】 ， 由题可得，解得， 又，得，所以， 因为，所以，故， 所以，. 【小问2详解】 由（1），，， 令，则，即， 因为，所以，所以，解得， 所以游客坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程. 17. 已知函数． （1）判断奇偶性，并证明； （2）判断的单调性，并用单调性定义证明； （3）若不等式对一切恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）奇函数，证明见解析； （2）单调递减，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用恒等式可证明是奇函数； （2）利用定义法来证明函数单调性即可； （3）利用奇偶性和单调性转化不等式，即可利用一元二次不等式恒成立来求参数范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 由， 可得，所以是奇函数； 【小问2详解】 令，则， 因为，所以，即， 则当时，有，所以在上单调递减； 【小问3详解】 因为是奇函数，所以不等式， 又因为在上单调递减，所以， 由于不等式对一切恒成立， 所以，解得， 故实数k的取值范围是. 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围； （3）将函数的图像的横坐标缩小为原来的，再将其横坐标向右平移个单位，得到函数的图像．若，函数有且仅有5个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简得到， 结合最小正周期的求法，即可求解； （2）由时，结合三角函数的性质，求得取得最小值，根据题意，即可求得实数的取值范围； （3）由，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以的最小正周期. 【小问2详解】 解：当时，可得， 当，即时，取得最小值， 因为时，恒成立，所以， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：由题意，函数， 因为，所以， 又因为函数有且仅有5个零点，则满足，解得， 所以实数的取值范围． 19. 现定义一种新运算“”：对于任意实数x，y，都有（且）． （1）当时，计算； （2）求解关于x的不等式； （3）设，若在区间上的值域为，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用定义运算，结合对数运算即可求值； （2）利用定义运算，结合指数，对数运算即可求解； （3）利用定义运算，结合指数，对数运算，再利用复合函数来判断函数的单调性求值域，然后借助一元二次方程在区间内有两个根，结合零点存在性定理即可求解. 【小问1详解】 当时，； 【小问2详解】 由可得：， 所以由可得：， 则不等式的解集为； 【小问3详解】 由，则， 所以， 由二次函数， 根据二次函数性质，可知在区间上单调递减， 当时，由对数函数是减函数， 由复合函数的单调性可知，此时在区间上单调递增， 故此时函数的值域为：， 则根据题意可得：， 上两式相减可得：，因为，所以， 上两式相加可得：， 再配方可得：， 则根据韦达定理可知：是方程的两根， 令，若要满足， 则，解得， 求交集可得：，满足； 当时，由对数函数是增函数， 由复合函数的单调性可知，此时在区间上单调递减， 故此时函数的值域为：， 则根据题意可得：， 即是方程的两根， 令， 由于，， 则二次函数在区间上只有一个零点，即不满足区间内有两个根， 故不满足题意； 综上可得：实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林中学2025-2026学年度第一学期高一年级期末测试 数学试题 考试范围：必修一全部内容 试卷满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,,则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知扇形的半径为，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 若角的终边跟单位圆的交点是，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点区间是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间（单位：），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ） A B. C. D. 8. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”．则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 11. 函数的定义域为，对任意实数x，y都有，当时，，且，则下列判断正确的是（ ） A B C. 在上单调递增 D. 关于x的不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置. 12. 若，，，则的最小值为__________. 13. 已知第一象限角，且，则________． 14. 高斯是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.用其名字命名的“高斯函数”为：，其中表示不超过的最大整数，如，，，则关于的不等式的解集为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知都是锐角，且，， （1）求的值； （2）求的值. 16. 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色（如图1），该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米．摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后座舱距离地面的高度为H米，．已知游客在座舱转到距离地面最近的位置点P处（如图2）进舱，转一周大约需要18分钟． （1）当游客坐上摩天轮的座舱后，在摩天轮转动一周的过程中，求H关于t的函数解析式； （2）坐上摩天轮转动一周，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感．请问游客能有多长时间感受这个过程？ 17. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）判断的单调性，并用单调性定义证明； （3）若不等式对一切恒成立，求实数k的取值范围． 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围； （3）将函数的图像的横坐标缩小为原来的，再将其横坐标向右平移个单位，得到函数的图像．若，函数有且仅有5个零点，求实数的取值范围． 19. 现定义一种新运算“”：对于任意实数x，y，都有（且）． （1）当时，计算； （2）求解关于x的不等式； （3）设，若在区间上的值域为，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $