2025-2026学年九年级中考数学一轮专题复习八：二次函数系数含参数问题综合训练

2026学年九年级中考数学一轮专题复习八：二次函数系数含参数问题综合训练 1．已知二次函数，其中． (1)若二次函数经过 ①求二次函数解析式． ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，求t的取值范围． (2)若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标． (3)在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求a的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的图象经过原点和点． (1)求的值及二次函数图象的对称轴； (2)过点作轴的平行线，交二次函数的图象于点，交直线于点． ①若，，且为线段的中点，求的值； ②当时，在点的运动过程中，的最大值为10，求的值． 3．已知抛物线（b 是常数）经过点． (1)求该抛物线的解析式和顶点坐标； (2)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为． ①当点落在该抛物线上时，求m的值； ②当点落在第二象限内，取得最小值时，求m 的值及这个最小值． 4．在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）． (1)若抛物线经过点． ①求的值； ②当时，函数的最大值与最小值的差是，求的取值范围． (2)已知，，若二次函数的图像与线段有且只有一个交点，求的取值范围． 5．已知抛物线经过点 (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，且对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，求t的取值范围； (3)点和分别在抛物线和上（A，B都不与原点重合）．当时，若是一个与无关的定值p，求p的值． 6．已知二次函数（a为常数，且）， (1)若函数图像经过点，则a的值为 ，当时，x的取值范围是 ． (2)当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求a的值． (3)若点A和B的坐标分别为和，抛物线（为常数，且）与线段（含两端点）只有一个公共点，求a的取值范围． 7．设二次函数（是实数）． (1)甲求得当时，；当时，；乙求得当时，若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗说明理由． (2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含，的代数式表示）． (3)已知二次函数的图象经过和两点（是实数），当时，求证：． 8．已知函数，，直线与抛物线的对称轴的交点在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)若时，的取值范围：，且，求a的值； (3)若，分别是函数，上的点，其中，求证：． 9．已知抛物线（为常数）． (1)若该抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长． 10．已知二次函数（m为常数） (1)当时，求二次函数图象与坐标轴的交点坐标； (2)当时，y的最大值是5，求m的值； (3)当时，如果点，点，点都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围． 11．已知二次函数（a，b为常数，）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移4个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求n的取值范围． 12．已知二次函数（为常数）图象经过点． (1)求二次函数表达式． (2)过点（其中）与轴平行的直线交抛物线于，两点，若，求的值． (3)设，二次函数图象在这一段夹在直线和直线之间，求的最大值． 13．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)为抛物线上两点，若对于 ，，都有 ，求c的取值范围． 14．在平面直角坐标系中，点在抛物线（k为常数）上． (1)当时，求的值； (2)若点也在该抛物线上，且，均为负数，求的取值范围； (3)当时，若该抛物线对应的函数最大值是，求的值． 15．已知，二次函数． (1)若该图象过点，求函数的顶点坐标； (2)当时， y的最大值是，求a的值； (3)当时，若在函数图象上，且，求m的取值范围． 参考答案 1．【解】（1）解：①二次函数经过， ， ， 二次函数的解析式是； ②由①得该二次函数对称轴为，， ∴该二次函数开口向上， 当时， ； 当时， ； 由题意得，最大值与最小值的差为，而． 当时， 解得， ∴当时，最小值为；当时，的函数值不超过， ∴的取值范围：； （2）解：抛物线开口方向向上， ， ， 这个抛物线的顶点为， 当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， 最低点， ， 当时，， 最高点， ， 解得：， 点和点坐标为：，； （3）解：①当时，如图所示： 则有当时，随增大而减小； 当时，随增大而增大， 又当时，总有，此时， ； ②当时，如图所示： 则有当时，随增大而增大； 当时，随增大而减小， 又当时，总有， ∴此时， 综上，当时，；当时，． 2．【解】（1）解：把原点代入，得 ， ∴二次函数， 二次函数的图象经过点， ， 即． 对称轴为直线． （2）解：①， ， 经过点且平行轴， ， 为线段的中点， ． 解得（舍去）或． ． ②，， ，． 又， 当时，有最大值，最大值为． ， 解得． 3．【解】（1）解：将代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：①关于原点的对称点为， ， 将点P和的坐标分别代入， 得， 解得或， 或 ； ②为抛物线上的一个动点， ， ， 点落在第二象限内， ，， ，， 抛物线的顶点坐标为， ， ，， ，当时，有最小值， 此时， 解得或， ， ． 4．【解】（1）解：①∵抛物线经过点， ∴， 整理得，， 解得； ②∵， ∴抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵时，， ∴由对称性可得，当时，， ∵当时，函数的最大值与最小值的差是，且， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 解得：或； 当时，， 解得：或； ∵，， 如图，当抛物线过点时，或； 当抛物线过点时，或； 根据图象可得，当二次函数的图像与线段有且只有一个交点时，或， 综上，当或时，二次函数的图像与线段有且只有一个交点． 5．【解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴对称轴为直线； （2）解：当时，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵对于该抛物线上的两点，，且当，时，均满足， ∴点P到对称轴的距离小于或等于点Q到对称轴的距离， ∴， 解得； （3）解：∵点和分别在抛物线和上（，都不与原点重合）， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，都不与原点重合， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是一个与无关的定值p， ∴， ∴， ∴． 6．【解】（1）解：将代入， 得：， 解得，， ∴， 令，即， 解得，，， 又， ∴抛物线开口向下， ∴时，的取值范围为或； 故答案为：；或； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， ∵， ∴当时，取最大值，即， 当时，取最小值，即， ∵， ∴， 解：； 当时，抛物线开口向下， ∵， ∴当时，取最小值，即， 当时，取最大值，即， ∵， ∴， 解：； 综上，的值为或； （3）解：①当时，抛物线与直线只有一个公共点时，符合条件，则顶点在直线上， ∴ ∴， ②当时，抛物线过点B ，且与只有一个交点， 将点代入，得， 解得，； 将代入得：， 解得，， 如图，此时抛物线与线段有两个交点， 综上，抛物线与只有一个交点时，或． 7．【解】（1）解：当时，；当时，； 二次函数经过点，， ，， ， 当时，， 乙求得的结果不对； （2）解：对称轴为直线， 当时，是函数的最小值； （3）解：二次函数的图象经过和两点， ，， ， ， ，，且和不可以同时等于， ． 8．【解】（1）解：令，则， 变形得，， 当时，的值恒等于0，即直线与x轴重合，此时抛物线有无数种可能，与题意不符； ∴，此时， ∴直线交x轴于点， ∵直线与抛物线的对称轴的交点在x轴上， ∴抛物线的对称轴为直线， 由抛物线对称轴公式可得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线，其开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大． ①当时，由函数的增减性可知， 当时，y取最大值，即， ∵， ∴，这与矛盾，不满足题意； ②当时，由函数的增减性可知， 当时，取最小值，即， ∵， ∴不是该范围内二次函数的最大值， ∴当时，取最大值，即， ∵， ∴， 解得，，， ∵， ∴； （3）证明：由题意可知，，， ∴， 令，即，则该函数可以看作关于的二次函数，其图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，则对称轴， ∴在上，随的增大而增大， 当时，则， ∴当时，，即， ②当时，则， ∴当时，则取最小值， 此时， ∵， ∴， ∴，即； ③当时，由（1）可知，此时抛物线不固定，故舍去． 综上所述，． 9．【解】（1）解：①把代入得： ，解得， ∴； ②抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小，右侧随增大而增大， ∴关于对称轴的对称点为， ∵对于，都有， ∴或， 解得或； （2）解：∵对于任意实数，都有， ∴对于任意实数都成立， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得，， ∴交点、横坐标分别是和， ∴． 10．【解】（1）解：当时，， 当时，， ∴与y轴交点， 当时，， 解得：， ∴与x轴交点和； （2）解：， ∴对称轴为，最大值为， ∵当时，最大值5， ∴当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，最大值在处取得， ， 解得：，符合题意； 当时，最大值在处取得， ， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上，或； （3）∵点和点在函数上， ∴对称轴为， ∴， ∵点在函数上， ∴， ∵， ∴， 解得：． 11．【解】（1）解：二次函数的图象经过点，对称轴为直线， 解得． 二次函数的表达式． （2）解：点向上平移4个单位长度，向左平移个单位长度， 平移后的点为，即． 点两次平移后落在的图象上， ． 整理得． 解得，． ， ． （3）解：， 抛物线开口向上，顶点坐标为． 对称轴为直线， 当，y随x的增大而减小；当，y随x的增大而增大． 当时，． 分三种情况： 当时， y随x的增大而减小； 当时，y的值最大，即最大值为； 当时，y的值最小，即最小值为． 二次函数的最大值与最小值的差为4， ，解得． 当时，则时，y的值最大，即最大值为； 当时，y的值最小，即最小值为． 此时二次函数的最大值与最小值的差为，符合题意； 当时，则时，y的值最小，为， 当时，y的值最大，即最大值为， 二次函数的最大值与最小值的差为4， ． 解得，． ， 不符合题意，舍去． 综上，n的取值范围． 12．【解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴二次函数表达式为． （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 设点，则点， ∵， ∴ ∵ ∴, ∴， 当时，， 解得， ∴， ∵， ∴不合； 当时， 解得， ∴，符合． 综上，的值为． （3）解：∵， ∴二次函数在的图象端点分别位于对称轴的两侧， ∵二次函数图象开口向下，直线在直线的上方， ∴当直线和二次函数图象相切时， 直线和二次函数图象两交点间的水平距离最大， 的值最大， 设直线和这一段图象切点为， ∴， 化简得． ∴， 解得， ∴另一条直线为． ∴当端点在直线上时， 设端点为，， 端点满足， 解得． 又， 故为使最大， 取． 故的最大值为6． 13．【解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴对称轴为， ∵， ∴要么在对称轴上，要么在对称轴的右侧，且， ∴， 设关于对称轴的对称点为， ∴， ∴， ∴当时，其函数值与时相同， 当时，函数图象开口向上，当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，取得最小值， ∵对于 ，，都有 ， ∴， ∴， ∵， ∴矛盾； ∴当时不符合题意； 当时，函数图象开口向下，当时，随的增大而减小， 当在对称轴左侧，那么在对称轴右侧， ∴， ∴， ∵， ∴要么在对称轴上，要么在对称轴的右侧， ∵， ∴， ∴， 故； 当在对称轴右侧，那么在对称轴左侧， 同理，可得， 解得，矛盾， 综上，． 14．【解】（1）解：当时，， 当时，， 故的值为． （2）解：当时，， 当时，， ∵，均为负数， ∴， 解得； ∴， 解得； 故的取值范围为． （3）解：函数对称轴为直线， 结合以及对称轴为直线，进行分类讨论： 当，即时， ，函数取得最大值， 即， 解得，不满足，故舍去； 当，即时， ，函数取得最大值， 即， 解得或（不满足，故舍去）； 当，即时， ，函数取得最大值， 即， 解得； 综上，或． 15．【解】（1）解：把点代入中，得， 解得， ∴， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，， ∴把代入中，得， 当时， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，， ∴把代入中，得， ∴综上所述，a的值为或； （3）解：∵当时，，，在二次函数图象上， 此时抛物线开口向上，对称轴为直线， 故函数图象上的点离对称轴越近，函数值越小， ∵， ∴B点离对称轴的距离小于A点离对称轴的距离，A点离对称轴的距离小于C点离对称轴的距离， 即， 化简得， 由，两边平方得， 解得； 由，两边平方得， 解得， ∴m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $