精品解析：内蒙古巴彦淖尔市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

巴彦淖尔市2025—2026学年第一学期高二期末考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 渐近线方程为的双曲线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，，则（ ） A. 7 B. C. 14 D. 5. 某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1900元.他们第1天只收到100元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多20元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ） A. 9 B. 10 C. 19 D. 20 6. 若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（ ） A. B. 4 C. D. 8. 如图，在边长为4的等边中，分别是的中点，分别为的中点，将分别沿折起，使得三点重合，此时（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若椭圆，则（ ） A. 的离心率为 B. 的离心率为 C. 的长轴长､短轴长､焦距成等比数列 D. 的长轴长､短轴长､焦距成等差数列 10. 已知点，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 点到直线的距离为 11. 已知曲线，直线经过点，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为 B. 存在过原点且倾斜角为钝角的直线与没有公共点 C. 若与有公共点，则的倾斜角的取值范围为 D. 若与仅有3个公共点，则的斜率为3或7 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则__________. 13. 已知等差数列的前项和为，公差，则当__________时，取得最大值，且最大值为__________. 14. 已知是双曲线的右焦点，关于原点对称的两点均在上，且，则的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，圆的直径为线段. （1）求圆的标准方程； （2）若过点且斜率为的直线与圆交于两点，求的面积. 16. 已知三棱柱､四棱柱､五棱柱的顶点数按从小到大的顺序排列，构成数列. （1）写出，并求的通项公式； （2）若，且数列的前项和为，求. 17. 如图，在八面体中，底面是正方形，在平面的两侧，且平面平面. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知是抛物线的焦点，是上的一点，且. （1）求的方程. （2）已知点均在上，且点与均不重合. （i）若直线经过点，且，求直线的方程. （ii）若直线与直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项积为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴彦淖尔市2025—2026学年第一学期高二期末考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线与直线平行，它们之间的距离为. 故选：C 2. 在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量基底的意义，结合正方体的构造特征判断即得. 【详解】在正方体中，向量，， 因此向量，，分别与向量共面，ABC不能； 而平面，即向量不共面，D能. 故选：D 3. 渐近线方程为的双曲线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的方程求出对应的渐近线方程逐一进行判断即可. 【详解】对于A，由，得双曲线的渐近线方程为，故A错误； 对于B，由，得双曲线的渐近线方程为，故B错误； 对于C，由，得双曲线的渐近线方程为，故C错误； 对于D，由，得双曲线的渐近线方程为，故D正确. 故选：D. 4. 在等比数列中，，则（ ） A. 7 B. C. 14 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列下标和性质计算得解. 【详解】在等比数列中，，而， 所以. 故选：A 5. 某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1900元.他们第1天只收到100元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多20元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ） A. 9 B. 10 C. 19 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据已知条件判断出每天收到的捐款数构成等差数列，再利用等差数列的前项和公式列方程求解. 【详解】设这次募捐活动一共进行的天数为天，第1天只收到100元，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多20元， 所以每天收到的捐款数构成一个首项，公差的等差数列， 根据等差数列前项和公式，代入可得： ， 化简得：， 解得：或（舍）. 故选：B. 6. 若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将圆化为标准方程，再利用动圆与两圆的外切、内切关系，得到动圆圆心到两定圆心的距离和，结合椭圆定义求轨迹方程. 【详解】依题意得，圆，圆心，半径为； 圆，化为标准方程为，圆心，半径为； 设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切， 因此，， 由此可得； 因此圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆； 所以，椭圆的短半轴长， 因此动圆圆心的轨迹方程为. 故选：A. 7. 一条光线从点射出，与直线相交于点，经反射后，经过点，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求点关于直线的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】设点关于直线的对称点，则中点在直线上， 且与直线垂直，的斜率为，则的斜率为. 根据垂直斜率关系，即. 将中点代入直线得， 将代入可得：，解得， 把代入得，所以， 所以. 故选：C. 8. 如图，在边长为4的等边中，分别是的中点，分别为的中点，将分别沿折起，使得三点重合，此时（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正三棱锥几何关系得出边长计算求解. 【详解】在边长为4的等边中，分别是的中点，分别为的中点， 将分别沿折起，使得三点重合记为，如图所示， 因为，所以，因为，所以， 所以是等腰三角形， 因为是中点，所以，所以，所以. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若椭圆，则（ ） A. 的离心率为 B. 的离心率为 C. 的长轴长､短轴长､焦距成等比数列 D. 的长轴长､短轴长､焦距成等差数列 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定的椭圆求出长短半轴长及半焦距，再结合等比数列、等差数列定义逐项判断. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于AB，椭圆的离心率，A正确，B错误； 对于C，椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，而， 因此椭圆的长轴长、短轴长、焦距不成等比数列，C错误； 对于D，因椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，满足，故的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，D正确. 故选：AD 10. 已知点，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算判断AB；求出投影向量坐标判断C；利用点到直线距离公式计算判断D. 【详解】由点，得， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，因此在上的投影向量为，C错误； 对于D，点到直线的距离为，D正确. 故选：ABD 11. 已知曲线，直线经过点，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为 B. 存在过原点且倾斜角为钝角的直线与没有公共点 C. 若与有公共点，则的倾斜角的取值范围为 D. 若与仅有3个公共点，则的斜率为3或7 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析给定方程可得曲线是相外切的两个圆组合而成，并作出两个圆，求出直线分别与圆相切时的方程，再结合图形逐项分析判断. 【详解】由，得或， 方程表示以为圆心，为半径的圆， 方程表示以为圆心，为半径的圆，而， 因此曲线是相外切的两个圆组合而成，令圆相切的切点为，如图： 对于A，圆的周长均为，因此的周长为，故A正确； 对于B，观察图形知，过原点且倾斜角为钝角的直线与曲线始终有公共点，故B错误； 对于C，当直线与圆或相切时，直线的斜率存在，设方程为， 由，解得，切线与的倾斜角分别为， 由，解得或，切线与， 曲线夹在直线与之间， 因此与有公共点，则的倾斜角的取值范围为，故C正确； 对于D，由，解得，即点，当直线过点时， 与仅有3个公共点，其斜率为3；观察图形知直线与仅有3个公共点， 因此当与仅有3个公共点时，的斜率为3或7，故D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系知，当时，直线的方向向量与平面的法向量平行，利用向量共线关系即可求得. 【详解】因为直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，所以，所以，解得. 故答案为：. 13. 已知等差数列的前项和为，公差，则当__________时，取得最大值，且最大值为__________. 【答案】 ①. 50 ②. 2500 【解析】 【分析】先根据等差数列通项公式得出，再根据数列的正负得出取最大值时的，最后应用等差数列求和公式计算求解. 【详解】因为等差数列，公差， 所以， 当时，，当时，， 则当时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：50；2500. 14. 已知是双曲线的右焦点，关于原点对称的两点均在上，且，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用双曲线的对称性及双曲线定义，结合余弦定理列式求出离心率. 【详解】令双曲线的左焦点为，半焦距为，连接， 由点关于原点对称，得四边形为平行四边形，则，不妨令点在第一象限， 由，得，而， 则，在中，由余弦定理得， 因此，解得， 所以的离心率为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，圆的直径为线段. （1）求圆的标准方程； （2）若过点且斜率为的直线与圆交于两点，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意求得，，即可得答案； （2）利用点到线的距离公式可得圆心到直线的距离，进而求得弦，最后利用三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，且为中点， 所以， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意可知直线的方程为：， 则圆心到直线的距离， 所以弦， 所以 16. 已知三棱柱､四棱柱､五棱柱的顶点数按从小到大的顺序排列，构成数列. （1）写出，并求的通项公式； （2）若，且数列的前项和为，求. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用棱柱的结构特征求出，进而求出数列通项公式. （2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 三棱柱的顶点数为，四棱柱的顶点数为，五棱柱的顶点数为， 因此，棱柱的顶点数为，数列的第项为棱柱的顶点数， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 因此， 所以. 17. 如图，在八面体中，底面是正方形，在平面的两侧，且平面平面. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设并写出相关点的坐标，利用空间向量法求出线线角大小. （2）求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量夹角公式求线面角的正弦值. 【小问1详解】 由正方形及平面，得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令， 由，平面， 得， 则， ， 而，因此， 所以异面直线与所成角的大小为. 【小问2详解】 由（1）得，令平面的法向量， 则，令，得， 因此， 所以直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知是抛物线的焦点，是上的一点，且. （1）求的方程. （2）已知点均在上，且点与均不重合. （i）若直线经过点，且，求直线的方程. （ii）若直线与直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）是定值，定值为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出值即可. （2）（i）由（1）求出点的坐标并设出直线方程，利用弦长公式求解；（ii）由（1）求出点的坐标，再设出点坐标，利用斜率坐标公式列式求解. 【小问1详解】 抛物线的焦点，点在抛物线上， 则，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）知，抛物线的方程，焦点， 直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去并整理得，设， 则， ，解得， 所以直线的方程为，即. （ii）由（1）得，设，， 直线的斜率， 由直线与直线的倾斜角互补，得，则， 因此，直线的斜率， 所以直线的斜率是定值，该定值为. 19. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项积为，证明：. 【答案】（1）； （2）； （3） 由（1）得，， 又，则， 因此，则 ，又， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用前项和公式求出通项，进而求出数列的通项公式. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求和即得. （3）由（1）得，再求出，利用作差法得，然后利用不等式的性质推理得证. 【小问1详解】 令，由，得，当时，， 则，满足上式，因此， 则，解得，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ，因此， 所以数列的前项和. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $