专项：三角形全等 解答题专练（寒假巩固培优）2025--2026学年人教版八年级数学上册

专项：三角形全等解答题专练（寒假巩固培优） 【人教版2024八年级上册】 题型二 证明题 1．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D. 求证：△ABC≌△DFE. 2．（2023八上·武汉月考）已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足AE=CF． 求证：DE=BF； 3．（2023八上·大化期中）如图，过△ABC的顶点A作AF⊥AB，且AF=AB，再作AH⊥AC，且AH=AC，BH交AC于E，CF交AB于D，BH与CF相交于点O． 求证： （1）HB＝CF； （2）HB⊥CF． 4．（2024八上·长岭期末）如图，是的角平分线，点H，G分别在，上，且． （1）求证：与互补； （2）若，请探究线段与线段，之间满足的等量关系，并加以证明． 5．（2024八上·双牌期末） [阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，在中，若，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使，连结BE，请根据小明的方法思考： 图1 图2 图3 （1）由已知和作图能得到，其理由是什么？ （2）求AD的取值范围． （3）如图3，AD是的中线，BE交AC于点F，且，试说明． 6．（2023八上·河东期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． （1）【阅读理解】如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的；延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：　 　；中线BD的取值范围是　 　． （2）【理解与应用】如图2，在△ABC中，∠B＝90°，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN．试猜想线段AM、CN、MN三者之间的数量关系，并证明你的结论． （3）【问题解决】如图3，在△ABC中，点D是AC的中点，AB＝MB，BC＝BN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由． 7．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． （1）【问题解决】直接写出图1中的取值范围：　 　 （2）猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 8． 阅读：探究线段的和、差、倍、分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以证明. 请完成下面的证明： （1）如图①，在△ABC 中，∠B=2∠C，AD 平分∠BAC.求证：AB+BD=AC； （2）如图②，AD∥BC，AE，BE 分别平分∠DAB，∠CBA，点E在CD 上.求证：AB=AD+BC. 9．（2024八上·博罗期末） 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图9-①，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C，求证：AC=AB+BD； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图9-②，在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图9-③，延长AB到点E，使得BE=BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题. （1）根据以上材料，任选一种方法证明：AC=AB+BD； （2）如图9-④，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA=ED， ∠C=2∠B，∠DAE+∠B=90°，探究DC，CE，BE之间的数量关系，并证明. 10．（2025·宿迁）实验活动：仅用一把圆规作图． （1）【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上． 小明的作法如下： 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，， 又因为， 所以　 　． 所以， 所以平分， 即点为所求点； （2）【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） 11．（1）如图①，平分，，若，则____________． （2）探究：如图②，四边形ABCD，AC平分，，求证：． （3）应用：如图③，点D、F分别在EC、AD上，若，且，求证：D为CE的中点． 题型二 直角模型 1．在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF= （1）如图①，当∠BAD=90°时，求证：EF=BE+DF. （2）如图②，当∠BAD≠90°时，(1)中得出的结论还成立吗?若成立，请证明；若不成立，说明理由. 2．（2023八上·天津市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由． 3．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，cm，cm，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，为等腰直角三角形，，，求B点坐标． 4．（2023八上·东安月考）中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点． （1）如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系． （2）如图2，当点在线段上不与，重合，请探究线段，，之间的数量关系(要求：写出发现的结论，并说明理由)． （3）如图3，当点在线段延长线上，请探究线段，，之间的数量关系(要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由)． （4）当点在线段延长线上，请直接写出线段，，之间的数量关系． 5．（2023八上·麻阳期中） （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E.证明：DE＝BD+CE. （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由. （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点. 6．（2023八上·三水期中）综合与实践． （1）积累经验 我们在《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在△ABC中，，，线段DE经过点C，且于点D，于点E．求证：，只要证明，即可得到解决； （2）类比应用 如图2，在平面直角坐标系中，中，∠ACB=90°，，点A的坐标为点C的坐标为，求点B的坐标． （3）拓展提升 如图3，在平面直角坐标系中，，AC=BC，点A的坐标为，点C的坐标为，则点B坐标为　 　． 7.探究：（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE之间的数量关系是 ． 拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，请直接写出△DEF的形状是 ． 8.【问题解决】 （1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如图①，当∠BAC=90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为：______________； 【类比探究】 （2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式； 【拓展应用】 （3）如图③，AC=BC，∠ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐标． 9.在中，，，直线MN经过点C且于D，于E． (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①≌； ②； (2)当直线MN烧点C旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项：三角形全等解答题专练（寒假巩固培优） 【人教版2024八年级上册】 题型一 证明题 1．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D. 求证：△ABC≌△DFE. 【答案】证明：∵BE＝CF， ∴BC+CE＝CF+CE，即BC＝FE， ∵AC∥DE， ∴∠ACB＝∠DEF， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（AAS）. 【解析】【分析】先根据题意得到BC＝FE，进而运用平行线的性质得到∠ACB＝∠DEF，再结合三角形全等的判定（AAS）即可求解。 2．（2023八上·武汉月考）已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足AE=CF． 求证：DE=BF； 【答案】证明：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， ∴AF=CE. ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEC=∠BFA=90°. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)， ∴DE=BF. 【解析】【分析】先由AE=CF根据等式的性质就可以得出AF=CE，根据HL证明Rt△ABF≌Rt△CDE，继而得解． 3．（2023八上·大化期中）如图，过△ABC的顶点A作AF⊥AB，且AF=AB，再作AH⊥AC，且AH=AC，BH交AC于E，CF交AB于D，BH与CF相交于点O． 求证： （1）HB＝CF； （2）HB⊥CF． 【答案】（1）证明：∵AF⊥AB，AH⊥AC， ∴∠HAC＝∠BAF＝90°， ∴∠HAC+∠BAC＝∠BAF+∠BAC， 即∠BAH＝∠CAF． 在△HAB和△CAF中， ∴△HAB≌△CAF（SAS）， ∴HB＝CF，∠B＝∠F． （2）证明：在△AFD和△BOD中， ∠B＝∠F，∠ODB＝∠ADF， ∴∠DOB＝∠FAD，即HB⊥CF． 【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到：进而利用"SAS"证明即可求解； （2）根据全等的性质得到：根据对顶角相等得到：易知：即可求证. 4．（2024八上·长岭期末）如图，是的角平分线，点H，G分别在，上，且． （1）求证：与互补； （2）若，请探究线段与线段，之间满足的等量关系，并加以证明． 【答案】（1）证明：如图，在上取一点M，使得，连接． 是的角平分线，． 又，，，． ，，． ．，即与互补． （2）解：．证明如下： 由（1）知，，． ，． 又，， ，． ，． 【解析】【分析】（1）在上取一点M，使得，连接，先证出，可得，，再利用等边对等角的性质可得，再结合可得，从而可证出与互补； （2）利用（1）可得，，再结合，可得，再利用等角对等边及等量代换可得，再利用线段的和差及等量代换可得. 5．（2024八上·双牌期末） [阅读理解]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，在中，若，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使，连结BE，请根据小明的方法思考： 图1 图2 图3 （1）由已知和作图能得到，其理由是什么？ （2）求AD的取值范围． （3）如图3，AD是的中线，BE交AC于点F，且，试说明． 5．【答案】（1）解：由已知和作图能得到，因为： AD是BC边上的中线，所以D为BC的中点，因此 所以， （2）解：因为，所以， 在三角形ABE中，根据三边关系可知 ，因此：， 所以，AD的取值范围为：． （3）解：延长AD到M点，使得， 由题意可知 所以， 所以， 又因为 所以， 所以，． 【解析】【分析】 （1）利用“SAS”证出即可； （2）利用三角形三边的关系可得，再将数据代入求出即可； （3）延长AD到M点，使得，先利用“SAS”证出，可得，再利用等角对等边的性质可得. 6．（2023八上·河东期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． （1）【阅读理解】如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的；延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：　 　；中线BD的取值范围是　 　． （2）【理解与应用】如图2，在△ABC中，∠B＝90°，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN．试猜想线段AM、CN、MN三者之间的数量关系，并证明你的结论． （3）【问题解决】如图3，在△ABC中，点D是AC的中点，AB＝MB，BC＝BN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由． 【答案】（1）SAS；1<BD<9 （2）解：AM+CN＞MN，证明如下： 延长ND至点F，使FD＝ND，连接AF、MF，如图2所示： 同（1）可证：△AFD≌△CND（SAS）， ∴AF＝CN， ∵DM⊥DN，FD＝ND， ∴MD是线段NF的垂直平分线， ∴MF＝MN， 在△AFM中，由三角形的三边关系得：AM+AF＞MF， ∴AM+CN＞MN； （3）解：2BD＝MN，理由如下： 延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，如图3所示： 同（1）得：△ABD≌△CED， ∴∠ABD＝∠E，AB＝CE， ∵∠ABM＝∠NBC＝90°， ∴∠ABC+∠MBN＝180°，即∠ABD+∠CBD+∠MBN＝180°， ∵∠E+∠CBD+∠BCE＝180°， ∴∠BCE＝∠MBN， ∵AB＝MB， ∴CE＝MB， 在△BCE和△NBM中， ， ∴△BCE≌△NBM（SAS）， ∴BE＝MN， ∴2BD＝MN． 【解析】【解答】解：（1）∵BD是△ABC的中线， ∴AD=CD， 在△ABD和△CED中， ， ∴△ABD≌△CED（SAS）， ∴AB=CE=10， 在△CBE中，CE-BC<BE<CE+BC， ∴10-8<BE<10+8， ∴2<BE<18， ∴1<BD<9， 故答案为：SAS；1<BD<9. 【分析】（1）利用“SAS”证出△ABD≌△CED，可得AB=CE=10，再利用三角形三边的关系可得2<BE<18，再利用线段中线的性质可得1<BD<9，从而得解； （2）延长ND至点F，使FD＝ND，连接AF、MF，利用“SAS”证出△AFD≌△CND，可得AF=CN，利用线段垂直平分线的性质可得MF＝MN，最后利用三角形三边的关系及等量代换求出AM+CN＞MN即可； （3）延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，先利用“SAS”证出△BCE≌△NBM，可得BE=MN，再利用等量代换可得2BD＝MN． 7．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． （1）【问题解决】直接写出图1中的取值范围：　 　 （2）猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 【答案】（1） （2）解：； 由（1）得：， ∴，， ∴； （3）解：； 延长使得，连接，如图， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 【解析】【解答】（1）根据题干可得：， ∴AD=DM，BM=AC=4， 在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM， ∴6-4<2AD<6+4， ∴2<2AD<10， ∴， 故答案为：. 【分析】（1）利用农“倍长中线”的方法证出可得AD=DM，BM=AC=4，再利用三角形三边的关系求出即可； （2）利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，再证出即可； （3）延长使得，连接，先利用，再利用全等三角形的性质及等量代换可得，再利用“SAS”证出，可得，再结合，，即可得到. 8． 阅读：探究线段的和、差、倍、分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以证明. 请完成下面的证明： （1）如图①，在△ABC 中，∠B=2∠C，AD 平分∠BAC.求证：AB+BD=AC； （2）如图②，AD∥BC，AE，BE 分别平分∠DAB，∠CBA，点E在CD 上.求证：AB=AD+BC. 【答案】（1）在AC上截取AE=AB，连结 DE，如图①. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC. 在△ABD和△AED中， ∴△ABD≌△AED(SAS)， ∴∠B=∠AED，BD=ED. 又∠B=2∠C，∴∠AED=2∠C. ∵∠AED=∠C+∠EDC， ∴∠C=∠EDC，∴ED=EC， ∴AB+BD=AE+EC=AC （2）延长AE，BC交于点F，如图②. ∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE. ∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F， ∴∠BAE=∠F，∴AB=BF. 又∵BE 平分∠ABF， ∴AE=EF. 在△ADE 和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE(ASA)，∴AD=FC， ∴AB=BF=BC+FC=BC+AD. 【解析】【分析】(1)在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，再证明ED=EC即可； (2)由等腰三角形的性质知AE=FE，再证明△ADE≌△FCE即可解决本题. 9．（2024八上·博罗期末） 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图9-①，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C，求证：AC=AB+BD； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图9-②，在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图9-③，延长AB到点E，使得BE=BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题. （1）根据以上材料，任选一种方法证明：AC=AB+BD； （2）如图9-④，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA=ED， ∠C=2∠B，∠DAE+∠B=90°，探究DC，CE，BE之间的数量关系，并证明. 【答案】（1）证明： 如方法一： ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD. 在△BAD和△EAD中， AD=AD，∠BAD=∠EAD，AB=AE， ∴△BAD≌△EAD（SAS）. ∴BD=ED，∠AED=∠B=2∠C. ∵∠AED=∠C+∠EDC， ∴∠EDC=∠C. ∴ED=EC. ∴BD=EC. ∴AC=AE+EC=AB+BD. 如方法二： ∵BE = BD， ∴∠E = ∠BDE. ∴∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E. ∵∠ABC=2∠C， ∴∠E=∠C. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD. 在△AED和△ACD中， ∠E=∠C，∠EAD=∠CAD，AD=AD， ∴△AED≌△ACD（AAS）. ∴AC=AE=AB+BE=AB+BD. （2）解：BE=DC+CE.证明如下： 如图，在EB上截取EF，使得EF=DC， 连接AF. ∵EA=ED， ∴∠EAD=∠EDA. ∴2∠DAE+∠AED=180°. ∵∠DAE+∠B=90°， ∴2∠DAE+2∠B=180°. ∴∠AED=2∠B. ∵∠C=2∠B， ∴∠AED=∠C. ∵∠BED=∠AEB+∠AED=∠CDE+∠C， ∴∠AEB=∠CDE. 在△AEF和△EDC中， EF=DC，∠AEF=∠EDC，AE=ED， ∴△AEF≌△EDC（SAS）. ∴AF=EC，∠AFE=∠C=2∠B. ∵∠AFE=∠B+∠BAF， ∴∠B=∠BAF. ∴ BF=AF. ∴BF=CE. 又∵BE=BF+EF ∴BE=DC+CE 【解析】【分析】（1）方法一：根据角平分线的定义及辅助线得到，再根据角的大小关系得到∠EDC=∠C，进而得到边之间的关系即可. 方法二：根据角平分线的定义及辅助线得到，即可得到AC=AE=AB+BE=AB+BD即可. （2）在AB的延长线AF上取EF=DC，进而证出，再根据全等三角形的性质证明即可. 10．（2025·宿迁）实验活动：仅用一把圆规作图． （1）【任务阅读】如图，仅用一把圆规在内部画一点，使点在的平分线上． 小明的作法如下： 如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则点为所求点．理由：如图3，连接，由作图可知，， 又因为， 所以　 　． 所以， 所以平分， 即点为所求点； （2）【实践操作】如图，已知直线及其外一点，只用一把圆规画一点，使点所在直线与直线平行，并给出证明．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） （2）解：如图，作即可， 理由，由作图可知，， ∴， ∴点为所求． 【解析】【解答】解：（1）理由：如图，连接，由作图可知，， 又因为， 所以， 所以， 所以平分， 即点为所求点， 故答案为：； 【分析】 （1）由基本尺规作图过程知，应用SSS可证明，则其对应角相等； （2）利用尺规作图作，则有对应角相等，即，则同位角相等两直线平行. 11．（1）如图①，平分，，若，则____________． （2）探究：如图②，四边形ABCD，AC平分，，求证：． （3）应用：如图③，点D、F分别在EC、AD上，若，且，求证：D为CE的中点． 【答案】（1）5 （2）如下图：过C作于E，过C作延长线于F； ∵， ∴ 由（1）可得： 又∵， ∴∠CEB=∠CFD=90° ∴ ∴． （3）过点作于M，过点作交AD的延长线于N ∴ 在和中， ， ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴D为CE的中点． 【解析】【解答】（1），∵AC平分， ∴ 故答案为：5． ​​​​​​​【分析】（1）根据已知条件，AC平分，得到. 由角平分线找出两三角形满足全等的条件AAS. （2）过C作于E，过C作延长线于F，根据（1）的结论得出：，又因为：，，因此∠CEB=∠CFD=90°，再根据同角的补角相等，得出：，因此即可得到解答. （3）先通过AAS证明可得，再根据AAS证明得出ED=CD. 题型二 直角模型 1．在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF= （1）如图①，当∠BAD=90°时，求证：EF=BE+DF. （2）如图②，当∠BAD≠90°时，(1)中得出的结论还成立吗?若成立，请证明；若不成立，说明理由. 【答案】（1）证明：延长CD至点G，使得DG=BE，连结AG， ∵∠B=∠D=90°，AB=AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=，∠BAD=90°， ∴∠BAE+∠DAF=45°，∠EAF=45°. ∴∠DAG+∠DAF=45°， ∴∠FAG=45°. ∴∠FAG=∠EAF， 又AF=AF， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴GF=EF， ∴EF=BE+DF. （2）证明：延长CD至点G，使得DG=BE，连结AG， ∵∠EAF=， ∴∠BAE+∠FAD=. ∵∠ADF=90°， ∴∠ADG=90°， ∵∠B=90°， ∴∠ADG=∠B. ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE=∠DAG，AE=AG， ∴∠DAG+∠FAD=. ∴∠FAG=. ∴∠EAF=∠FAG. 又AF=AF， ∴△AEF≌△AGF， ∴GF=EF， ∴EF=BE+DF. 【解析】【分析】（1）延长CD至点G，使得DG=BE，连结AG，先利用SAS证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，从而可得∠FAG=∠EAF，再利用SAS证明△AEF≌△AGF，可得GF=EF，从而有EF=BE+DF； （2）延长CD至点G，使得DG=BE，连结AG，先利用SAS证明△ABE≌△ADG，可得∠BAE=∠DAG，AE=AG，从而可得∠EAF=∠FAG，再利用SAS证明△AEF≌△AGF，可得GF=EF，从而有EF=BE+DF. 2．（2023八上·天津市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由． 【答案】解：MN＝BN-AM， 理由如下：∵AM⊥MN，BN⊥MN， ∴∠AMC＝∠CNB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠MAC+∠ACM＝90°，∠NCB+∠ACM＝90°， ∴∠MAC＝∠NCB， 在△AMC和△CNB中， ， ∴△AMC≌△CNB（AAS）， ∴AM＝CN，MC＝NB， ∵MN＝CM-CN， ∴MN＝BN-AM． 【解析】【分析】所求的线段因为不在一个三角形内也不在一条直线上，因此数量关系难以判定，故首先想办法把线段进行等量移动。根据已知条件，两线段所在三角形易证得全等，因此可以通过证明全等实现线段等量代换，即把AM和BN都移动到线段CM上，从而找到它们间的数量关系。 3．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，cm，cm，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，为等腰直角三角形，，，求B点坐标． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴cm，， ∴(cm)， 即的长为0.8cm； （3）解：如图3，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴B点坐标为（4，1）． 【解析】【分析】（1）先利用垂线的定义证得∠ADC=∠CEB=90°，再由同角的余角相等可得∠DAC=∠ECB，进而通过AAS判定△ADC≌△CEB； （2）先利用垂线的定义证得得∠ADC=∠CEB=90°，再由同角的余角相等可得∠ACD=∠CBE，进而通过AAS判定△ADC≌△CEB，得AD=CE=2.5cm，CD=BE，的长度，然后根据线段的和差可求得BE的长； （3）过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，由由同角的余角相等可得∠EAC=∠FCB，再通过AAS判定△AEC≌△CFB，得到AE=CF=3，BF=CE=2，然后根据线段的和差算出FG、BH的长，进而求得点B坐标. 4．（2023八上·东安月考）中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点． （1）如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系． （2）如图2，当点在线段上不与，重合，请探究线段，，之间的数量关系(要求：写出发现的结论，并说明理由)． （3）如图3，当点在线段延长线上，请探究线段，，之间的数量关系(要求：画出图形，写出发现的结论，并说明理由)． （4）当点在线段延长线上，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1） （2）解：结论：； 理由如下：， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：图形如图所示： 结论：； 理由如下：由可知： ， ， 又， ， ， ； （4） 【解析】【解答】解：（1）； 理由如下：， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 为的中点，， ； （4）结论：； 理由如下：由可知：， ， ； 即：． 【分析】（1）根据ASA可证明△ACD≌△CBF，然后根据对应边相等可得出BF=CD，故而得出BF=； （2）根据ASA可证明△ACD≌△CBF，然后根据对应边相等可得出BF=CD，故而得出AC=BC=CD+BD=BF+BD，即AC=BF+BD； （3）根据ASA可证明△ACD≌△CBF，然后根据对应边相等可得出BF=CD，故而得出BF=CD=BC+BD=AC+BD，即BF=AC+BD； （4）根据ASA可证明△ACD≌△CBF，然后根据对应边相等可得出BF=CD，故而得出BD=BC+CD=AC+BF，即BD=AC+BF。 5．（2023八上·麻阳期中） （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E.证明：DE＝BD+CE. （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由. （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点. 【答案】（1）证明：如图1， ∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90° ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）解：DE＝BD+CE. 如图2， 证明如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠CAE， 在△ADB和△CEA中. . ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE （3）解：如图3， 过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N. ∴∠EMI＝GNI＝90° 由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN ∴EM＝GN 在△EMI和△GNI中， ， ∴△EMI≌△GNI（AAS）， ∴EI＝GI， ∴I是EG的中点. 【解析】【分析】（1）先根据垂直得到∠BDA＝∠CEA＝90°，进而结合题意得到∠CAE＝∠ABD，再根据三角形全等的判定（AAS）与性质即可得到AE＝BD，AD＝CE，进而即可求解； （2）先根据题意得到∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∠DBA＝∠CAE，进而根据三角形全等的判定与性质即可求解； （3）过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N，由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN，进而得到EM＝GN，再运用三角形全等的判定与性质即可求解。 6．（2023八上·三水期中）综合与实践． （1）积累经验 我们在《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在△ABC中，，，线段DE经过点C，且于点D，于点E．求证：，只要证明，即可得到解决； （2）类比应用 如图2，在平面直角坐标系中，中，∠ACB=90°，，点A的坐标为点C的坐标为，求点B的坐标． （3）拓展提升 如图3，在平面直角坐标系中，，AC=BC，点A的坐标为，点C的坐标为，则点B坐标为　 　． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵于D，BE⊥DE于点E， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：过B作BD⊥x轴于D，如图2所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； （3）． 【解析】【解答】解：（3）如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥CD于点E，过点A作AF⊥CD于点F， ∵A（2，1），C（4，2）， ∴AF=2，CF=1， ∵BE⊥CD，AF⊥CD， ∴∠E=∠F=90°， ∴∠CAF+∠ACF=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠ACF=90°， ∴∠BCE=∠CAF， 在△ACF与△CBE中， ∵∠E=∠F，∠BCE=∠CAF，AC=BC， ∴△ACF≌△CBE（AAS）， ∴CF=BE=1，CE=AF=2， ∴点B的纵坐标为4，横坐标为3， ∴B（3，4）. 故答案为：（3，4）. 【分析】（1）首先利用平角及直角三角形的量锐角互余求出∠ACD=∠CBE，从而用AAS判断出△ADC≌△CEB，由全等三角形的对应边相等得AD=CE； （2）过B作BD⊥x轴于D，首先由A、C两点的坐标得出OA及OC的长，利用平角及直角三角形的量锐角互余求出∠CAO=∠BCD，从而用AAS判断出△AOC≌△CDB，由全等三角形的对应边相等得DB=OC=1，CD=AO=2，进而由OD=OC+CD算出OD的长，从而可求出点B的坐标； （3）过C作CD⊥x轴于D，过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥CD于F，首先由A、C两点的坐标得出AF及CF的长，利用平角及直角三角形的量锐角互余求出∠BCE=∠CAF，从而用AAS判断出△ACF≌△CBE，由全等三角形的对应边相等得CF=BE=1，CE=AF=2，进而求得点B的纵坐标为4，横坐标为3，从而可求出点B的坐标. 7.探究：（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE之间的数量关系是 ． 拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，请直接写出△DEF的形状是 ． 【答案】探究：（1）DE=BD+CE；拓展：（1）成立，见解析；应用：（3）△DEF是等边三角形 【解析】（1）解：如图1， ∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90° ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； 故答案为：DE＝BD+CE （2）解：如图2， ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠CAE， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）证明：如图3， 由（2）可知，△ADB≌△CEA， ∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF， ∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF＝∠FAE， ∵在△DBF和△EAF中， ， ∴△DBF≌△EAF（SAS）， ∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE， ∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°， ∴△DEF为等边三角形． 8.【问题解决】 （1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如图①，当∠BAC=90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为：______________； 【类比探究】 （2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式； 【拓展应用】 （3）如图③，AC=BC，∠ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐标． 【答案】（1）DE＝BD+CE；（2）DE＝BD+CE的数量关系不变，理由见解析；（3）（﹣4，3） 【解析】解：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠CAE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE； （2）DE＝BD+CE的数量关系不变，理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角， ∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD， ∵∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE； （3）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N， ∵点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，2）， ∴OC＝2，ON＝1，BN＝2，∴CN＝3， 由（1）可知，△ACM≌△CBN， ∴AM＝CN＝3，CM＝BN＝2， ∴OM＝OC+CM＝4， ∴点A的坐标为（﹣4，3）． 9.在中，，，直线MN经过点C且于D，于E． (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①≌； ②； (2)当直线MN烧点C旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)证明见解析 (3)（或者对其恒等变形得到，），证明见解析 【解析】(1)解：①，，， ，，， 在和中，； ②，，，； (2)证明：，，，， 在和中，；，， ； (3)证明：当旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：或或． 理由如下：，， ， ， 在和中， ， ，， （或者对其恒等变形得到或）． 学科网（北京）股份有限公司 $