山东省临沂第十八中学2025-2026学年高二上学期第4次月考数学试卷

2024级高二上学期第4次月考试卷 数 学 2026.1 一、单选题 1．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线，若，则（    ） A． B．2 C． D． 3．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知等比数列的前3项积为8，，，则等于（    ） A．4 B． C．16 D．2 5．（    ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 6．我国古代数学名著《九章算术》中， 将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马. 如图，四棱锥 为阳马， 平面 ，点 是 边上一点，且 ，若 ，则 （    ） A．1 B． C．2 D． 试卷第1页，共3页 高二数学试题第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 7．设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8． A． B． C．0 D．64 2、 多选题 9．已知曲线．（   ） A．若，则E是一条直线 B．若，则E是圆，其半径为 C．若，则E是双曲线，其焦点在y轴上 D．若E的离心率是，则 10．设首项为1的数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．数列不是等比数列 C． D．数列是递增数列 11．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．两个函数的图象在处的切线互相平行 B．函数在上单调递增 C． 存在实数，使得 D． 的图象与的图象关于对称. 3、 填空题 12．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 13．若函数在区间单调递增，则的取值范围是 . 14． ． 四、解答题 15．已知的三个顶点分别是，，． (1)求的外接圆M的方程； (2)一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射光线所在的直线方程． 16．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围． 17．已知单调递增等比数列(G.P.)满足，的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 18．如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，，，，． (1)求证：； (2)若四边形ACEF为矩形，且，求直线DF与平面DCE所成角的正弦值； (3)若四边形ACEF为正方形，在线段AF上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，请求出线段AP的长；若不存在，请说明理由． 19．已知双曲线：的焦距为，且左右顶点分别为,，过点的直线与双曲线的右支交于,两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为1，求弦长； (3)记直线,的斜率分别为,,证明是定值. 答案第1页，共2页 高二数学试题第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $nnn 临沂第十八中学数学 答题卡 班级 姓名 座号 条形码粘贴区域 考号 单选题 1 多选题 9 10 11 12. 13. 15. 数学第1页/共6页 门门门冂 16 数学 第2页/共6页 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17. 数学第3页/共6页 18. 数学第4页/共6页 ㄇ7ㄇ7ㄇ ! A B 冂门冂 19. 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 2024级高二上学期第4次月考试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B D A C C D D ABC AD ABD 12． 13． 14. 15．(1)(2)或． 【分析】（1）利用待定系数法或结合圆的几何性质求解； （2）由对称性确定点关于轴的对称点，进而设反射光线所在的直线方程为，由位置关系列出等式求解即可； 【详解】（1）设圆M的方程为，将A，B，C三点代入得： ，，所以圆的方程为. （2）由光的反射定律知，经y轴反射后的光线所在直线过点，点关于轴的对称点，由（1）知圆的标准方程为：. 直线与圆M不相切，设反射光线所在的直线方程为，即， 于是，解得或， 所以反射光线所在的直线方程为或． 16．(1)增区间是和，减区间是；(2) 【分析】（1）利用导数确定单调区间； （2）分离参数后，构造新函数，由导数求得新函数的最值后得结论. 【详解】（1）时，，， 或， 当或时，，当时，， 所以增区间是和，减区间是； （2）， 不等式为， 即在上恒成立，设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以，即取值范围是. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列基本量的计算可求解公差和首项，即可求解， （2）根据错位相减法以及等差求和公式分别求解，即可由分组求解. 【详解】（1）设等比数列的公差为q， 由可得，解得，故 （2） 由于 所以，故. 18．18．(1)见解析(2)(3)存在， 【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理经过计算可证得AC⊥CD,然后根据已知条件，利用面面垂直的性质定理可证得CD⊥平面ACEF,从而证得结论； （2）根据已知条件利用面面垂直的性质定理可证得AF,AB,AD两两垂直，以A为原点，以射线AB、AD、AF为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.然后利用空间向量运算求得； （3）与（2）同样建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解. 【详解】（1）∵，，∴四边形ABCD为直角梯形， 又∵，∴∠BAC=45°，AC=，∴∠CAD=45°， 又∵AD=2,∴CD=． ∴,∴, 又∵平面ACEF⊥平面ABCD, 平面ACEF∩平面ABCD=AC,CD⊂平面ABCD, ∴CD⊥平面ACEF,又∵AF⊂平面ACEF,∴CD⊥AF （2）∵四边形ACEF为矩形，∴AF⊥AC, 又∵平面ACEF⊥平面ABCD, 平面ACEF∩平面ABCD=AC,AF⊂平面ACEF, ∴AF⊥平面ABCD,CE⊥平面ABCD∴AF,AB,AD两两垂直， 以A为原点，以射线AB、AD、AF为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图所示. ∵AF⊥平面ABCD,AF//CE,∴CE⊥平面ABCD， 又∵，∴CE=CDtan30°=, ∴A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(2,0,0),F(0,0,),E(1,1,), ,由AC⊥CE,AC⊥CD,CE∩CD=C,∴AC⊥平面CDE, ∴平面CDE的法向量为, ∴直线DF与平面CDE所成的角的正弦值为 （3）若ACEF为正方形，则与（2）同理可得AF,AB,AD两两垂直，以A为原点，以射线AB、AD、AF为x,y,z轴，建立空间直角坐标系. ∴A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(2,0,0),F(0,0,),E(1,1,), 设,平面PBD的法向量为 ,则,令,则,, 平面ABD的法向量为,∴,解得， 在线段AF上存在点P，使得二面角的余弦值为，线段AP的长为1. 19．(1)(2)(3) 【分析】（1）根据双曲线的焦距和虚半轴长求出实半轴长，即得其标准方程； （2）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解； （3）设直线方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到，再由化简计算即得. 【详解】（1）因为双曲线：的焦距为， 所以，解得，由题意得，则， 所以双曲线的方程为； （2）依题意，可设直线MN的方程为，由，消去y得， 由韦达定理得，所以； （3）如图所示，设直线的方程为，， 由，消去x得， 则，且， 则，可得， 又，则，. 学科网（北京）股份有限公司 $