内蒙古自治区巴彦淖尔市杭锦后旗2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

2025-2026学年杭锦后旗九年级第一学期期末测试 数 学 2026．01 班级 姓名 审题人 一、选择题（本题共24分，每小题3分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．） 1．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是 A． B． C． D． 2．如图，在中，为中点，为中点，则与的面积比为 A．1:1 B．1:2 C．1:3 D．1:4 3．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 A． B． C． D． 4．如图，在中，．若，，则的值为 A． B． C． D． 5．已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ）． A． B． C． D． 6．一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是 A． B． C． D． 7．当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一组实验数据： V（单位：m3） 1 1.5 2 2.5 3 P（单位：kPa） 96 64 48 38.4 32 P与V的函数关系可能是 A． B． C． D． 8．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 若圆半径为1，当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是 A． B．当时， C．当时， D．当时， 二、填空题（共4小题．每小题3分，共12分） 9．在数学课上，教师设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别.在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复.下表是由试验得到的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 400 1000 1600 3000 摸到白球的次数 62 118 246 611 968 1776 摸到白球的频率 0.620 0.590 0.615 0.611 0.605 0.592 从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为 ．（结果精确到0.01） 10．已知，是一元二次方程的两根，则的值为_________； 11．如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为_________________（结果保留根号）． 12．点，在二次函数的图象上．若，则的取值范围是__________； 三、解答题（共6小题．共64分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 13．（10分）解下列一元二次方程： （1） （2） 14．（8分）不透明袋子中装有个红球，个绿球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出个球，摸出的球是黄球的概率为________； （2）从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率． 15．（10分）如图1，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个矩形活动区．设矩形活动区的宽． 图1 图2 （1）边的长为，矩形的面积为（均用含的代数式表示）； （2）矩形活动区的面积最大是多少？ 16．（12分）已知，如图2，在中，，以为直径作半圆⊙，交边于点，点在的延长线上，连接，交于点，． （1）求证：是⊙的切线； （2）若，，求⊙的半径． 17．（12分）如图，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点为线段上一点． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，请在图中画出点，作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 18．（12分）在中，以线段为斜边作等腰，使得，；连接，再以为直角边作等腰，使得，． （1）如图1 ，当时，用等式表示线段，之间的数量关系与位置关系； （2）如图1，以线段，为边构造□，连接．用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 图1 图2 九年级（数学） 第4页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $杭锦后旗九年级第一学期期末测试 数学 2026.01 学校 姓名 准考证号 1. 本试卷共8页，共三道大题，18道小题。满分100分。考试时间90分钟。 光 2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 须 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。 5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题（本题共24分，每小题3分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一 个) 1.下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是(B). A. B. C. D 2.如图，在△ABC中，D为AB中点，E为AC中点，则△ADE 与△ABC的面积比为(D). A.1:1 B.1:2 C.1:3 D.1:4 3.若关于x的一元二次方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值为(C). A.-4 B.-1 c.1 D.4 4.如图，在△ABC中，∠A=90°.若AB=8,AC=6,则C0sC的值为(A). A.3 4 B. 5 4 D. 3 5.己知x=m是方程2x2-x-6=0的一个根，则代数式41m2-2m-2的值为（B). A.4 B.10 c.12 D.22 九年级（数学参考答案）第1页 6.一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2,那么这个扇形的半径是(B). A.Icm B.3cm C.6cm D.9cm 7.当温度不变时，气球内气体的气压P(单位：kPa)是气体体积V(单位：)的函数， 下表记录了一组实验数据： V(单位：m) 1 1.5 2.5 3 P(单位：kPa) 96 644838.432 P与V的函数关系可能是(D). A.P=96V B.P=-16V+112 96 C.P=16/2-96V+176 D.P=7 8.计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比.下面是同一个 任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 25% 30% 50% 75% 若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段N的长度记为d(x).下列描述正 确的是(D). A.d(25%)=1 B.当x>50%时，d(x)>1 C.当x>x2时，d(x)>d(x2)D.当x+x2=l00%时，d(x)=d(x2) 二、填空题（共4小题.每小题3分，共12分） 9.在数学课上，教师设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形 状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一 个球，记下颜色，再把它放回，不断重复.下表是由试验得到的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 400 1000 1600 3000 摸到白球的次数m 62 118 246 611 968 1776 摸到白球的频率 0.620 0.590 0.615 0.611 0.605 0.592 n 从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为 0.60 (结果精确到0.01) 九年级（数学参考答案）第2页 2ab 10.已知a,b是一元二次方程x2-2x-6=0的两根，则- a+6的值为6一 11.如图，因地形原因，湖泊两端A,B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行 测量.他们将无人机上升并飞行至距湖面90的点C处.从C点测得A点的俯角为 45°，测得B点的俯角为30°（A,B,C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A,B 的距离为 90H905 _m(结果保留根号). 45°7 30 B 12.点A(m,),B(m+4,2)在二次函数y=x2+4x+c的图象上.若y<y,则 的取值范围是 M>-4 九年级（数学参考答案）第3页 三、解答题（共6小题.共64分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程， 13.(10分)解下列一元二次方程： (1)x2=4x+5 (2)y(y-4)=-1-2y 解：x2-4x-5=0(1分) 解：y2-4g=-1-2y(1分) (x-5)(x+1)=0 y2-2y+1=0 c1=5,x2=-1.(5分：每个解2分) (y-1)2=0(3分) y=1.(5分) 14.(8分)不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别. (Q)从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为2 (2分) (2)从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个.请利用列表或画 树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率. 解：记两个黄球分别为黄1，黄2 方法一：列表法 (表格4分) 第二次第一次 红 绿 黄1 黄2 红 (绿，红) (黄1，红) (黄2，红) 绿 (红，绿) (黄1，绿) (黄2，绿) 黄 (红，黄) (绿，黄) (黄2，黄) 黄2 (红，黄2) (绿，黄2) (黄1，黄2) 由表可知，共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的结果 有： (红，黄)，（红，黄2），（黄1，红），（黄2，红）共4种. (5分) .P(一红一黄)=2=3 (6分) 方法二：树状图法 (树状图4分) 开始 红 绿 黄 黄2 黄1 黄2 红 黄2 绿 黄2 绿 黄1 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的 结果有： (红，黄)，（红，黄2），（黄1，红），（黄2，红）共4种. (5分) P一红一黄)=2=3 (6分) 15.(10分)如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24长的围栏 围成一个矩形活动区.设矩形活动区的宽CD=x. 九年级（数学参考答案)第4页 15题图 (1)边BC的长为(24-2x)m,矩形ABCD的面积为(-2x2+24x)m2(均用含x的代数式 表示)： (每空2分，共4分) (2)矩形活动区ABCD的面积最大是多少？ 解：设矩形面积为S,由题意得S=-2ax2+24x. (1分) :二次函数中a=-2<0,抛物线开口向下，顶点处取得最大值， 24 =-2×(-2 =6, (3分) 将x=6代入得： S=-2×62+24×6 =-72+144 =72 (5分) ∴.矩形活动区ABCD的面积最大是72m. (6分) 16.(12分)己知，如图，在△ADC中，∠ADC=90°，以DC为直径作半圆⊙O,交边AC于 点F,点B在CD的延长线上，连接BF,交AD于点E,∠BED=2∠C. (1)求证：BF是⊙O的切线： (2)若BF=FC,AE=√，求⊙O的半径. 0 16题图 (1)证明：连接OF. (1分) ·.'∠OFB=180°-∠B-∠BOF=180°-∠B-2∠C=180°-∠B-∠BED=90°， ∴.OF⊥BF (3分) ∴.BF是⊙O的切线 (4分) (2)解：BF=FC, ∴.∠B=∠FCB, ,∠BED=2∠C, .∠BDE+∠B=3∠C=90°， (1分) ∴.∠B=∠C=30°， ∴.∠AFE=60°，∠BED=60°， ·.△AEF是等边三角形， (3分) 九年级（数学参考答案）第5页 ∴.AE=EF=V5 .∠ADC=90° ∴.AD是⊙O切线， 又，BF是⊙O切线， .EF=DE=V3. ∴.AD=2V3. (6分) 又.∠C=30°， ∴.CD=6, (7分) ∴.⊙0的半径是3 (8分) 17.(12分)如图，抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A,与直线y=-x交于点B(4,-4), 点C(0,-4)在y轴上.点P为线段BO上一点. (1)求抛物线y=-x2+bx的表达式： (2)当BP=2V2时，请在图中画出点P,作PD⊥OA交抛物线于点D,连接PC,OD, 判断四边形OCPD的形状，并说明理由. 17题图 解：(1)抛物线=-x2+bx过点B(4,-4), ∴.-16+46=-4， .b=3. (3分) .抛物线的表达式为则=-x2+3x. (4分) (2)四边形OCPD是平行四边形. (2分) 理由如下： 如图，作PD⊥OA交x轴于点H,交抛物线于点D,连接PC,OD,BC, (3分) .点P在=-x上， ∴.OH=PH,∠POH=45°， .OC=BC=4, ,∴.OB=4v2. .BP=22 ∴.OP=OB-BP=2W2, :.OH=PH=OP=x2v=2. (5分) 2 当xD=2时，DH=yD=二4+3×2=2， ..PD=DH+PH=2+2=4, (7分) .C(0,-4) .∴.0C=4, ..PD=OC, ·.·OC1x轴，PD⊥x轴 九年级（数学参考答案）第6页 .PD‖OC, .四边形OCPD是平行四边形. (8分) 18.(12分)在△ABC中，以线段AB为斜边作等腰Rt△ABD,使得AD=BD,∠ADB= 90°；连接DC,再以DC为直角边作等腰Rt△CDE,使得CD=DE,∠CDE=90°。 (1)如图1，当∠ABC=45时，用等式表示线段BC,AE之间的数量关系与位置关系： (2)如图2，以线段BC,CE为边构造口BCEF,连接AF。用等式表示线段BC,AF之间 的数量关系，并证明。 图1 图2 (1)线段BC与AE的数量关系：BC=AE:位置关系：BC⊥AE (1分) :△ABD是等腰直角三角形，AD=BD,∠ADB=90° ∴.∠ABD=45° 又.∠ABC=45° .点D在BC边上，AD⊥BC 同理可知，DE⊥BC ,∴.点A,D,E三点共线，即AE⊥BC (2分) .BC=BD+DC,AE=AD+DE 又.AD=BD,CD=DE .BC=AE (3分) (2)数量关系：AF=√2BC (2分) 证明：连接AE. (3分) ·,:△ABD和△CDE均为等腰直角三角形 .∴.AD=BD,CD=DE,∠ADB=∠CDE=90 .∴.∠ADB+∠ADC=∠CDE+∠ADC 即∠BDC=∠ADE BD=AD 在△BDC和△ADE中： ∠BDC=∠ADE CD=DE ∴.△BDC≌△ADE(SAS) (5分) ∴.BC=AE,∠DBC=∠DAE ,四边形BCEF是平行四边形 ∴.BC=EF,BC EF ∴.AE=EF 设AE与BD交于点H 九年级（数学参考答案）第7页 .∠ADB=90° ∴.∠DAE+∠AHD=90 又.∠DBC=∠DAE,∠AHD=∠BHE ,∴.∠DBC+∠BHE=90° ,∴.∠BEH=90°，即BC⊥AE (7分) BC‖EF ∴.AE⊥EF,即∠AEF=90° (8分) ∴.△AEF是等腰直角三角形 根据等腰直角三角形性质：斜边=√2×直角边 .∴，AF=V2AE 又.·AE=BC ∴.AF=V2BC (9分) 九年级（数学参考答案）第8页