2025-2026学年九年级寒假中考专题：三角函数专题综合练习

三角函数专题综合练习 一、 核心问题定位与特征 题型定位：中考数学解答题中的实际应用题，常为第23题。 问题背景：以测量、航海、工程、坡度、方位等现实生活为背景。 数学核心：将实际问题抽象为几何图形，并转化为解直角三角形的问题。 核心难点：图形复杂，涉及多个直角三角形的叠加与关联，需要通过作辅助线（通常是作高）来构造可解的直角三角形。 二、 解题步骤 第一步：审题画图，标注已知 审题：逐句阅读，提取所有数据（角度、长度、速度、时间）和关键词（方位角、仰角、俯角、坡度）。 画图：根据题意画出清晰的示意图。如果原题有图，在其基础上补充辅助线和标记。 标注：在图上明确标出所有已知数据和待求量。 判断模型：初步判断属于“背靠背”、“母子”还是其他组合模型。 第二步：作辅助线，构造Rt△ 第三步：解三角形，逐步计算 第四步：回归问题，检验作答 写答案：将数学结果还原为实际问题答案，并带上单位。 验合理性：检查答案是否符合常识（如长度、时间为正，高度合理等）。 三、习题精选 1．如图，是某公园平面图，景点在入口的正东方向1400米处，景点在入口的东北方向1200米处，景点在景点正北方向，景点在景点北偏东方向，在景点的正东方向，且景点在景点的北偏东方向．（参考数据：，） (1)求景点到的距离（结果保留根号）； (2)小希与小福同时从出发，小希选择路线游玩，小福选择路线游玩，但当小福到时接到通知处有施工无法通行（接通知的时间忽略不计），于是小福选择的小路继续到，若在整个过程中，小希与小福的速度均相同且保持不变，请通过计算说明小希与小福谁先到达处？ 2．为了加强海上巡航检查能力，某海警船甲、乙在如图所示的海域进行航行检查训练．为同一平面内的四座小岛．岛位于岛正西方向，岛位于岛北偏西方向海里处，岛位于岛的正北方向，岛位于岛北偏西方向（参考数据：，）． (1)求小岛间的距离（结果精确到海里）； (2)甲、乙两海警船同时从岛出发前往岛进行巡航检查训练，甲海警船沿航行，乙海警船沿航行，甲海警船的速度与乙海警船的速度之比为．两海警船同时到达岛处，求小岛间的距离（结果保留小数点后一位）． 3．今年元旦节小希和小福约好一起去游览博物馆，如图A，B，C，D在同一平面内，已知小希家A位于小福家B的东南方向，位于学校D的正西方5千米处；小福家B位于学校D的北偏西方向；博物馆C位于小福家B的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求小福家B与学校D的距离（结果保留一位小数）； (2)小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C，已知小希和小福的速度之比为．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小希正好到了DC方向的超市E处，他们查阅地图发现从B到E正好有一条公路可以直达，公路与的夹角（），且的距离比的距离还少2千米，于是两人商定小希在E处等待小福．求博物馆C与小福家B的距离（结果保留一位小数） 4．某景区使用无人机对观光热气球进行航拍．如图，A，B，C，D位于同一平面，B在A的正东方向2千米处，C在B的南偏东方向，且在A的南偏东方向，D在C的正西方向，且在A的南偏西方向．某一时刻，位于A的航拍无人机需要沿着的路线前往C处进行拍摄．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)航拍无人机从A出发的同时，观光热气球从B出发沿着飞往C处继续游览，无人机的速度是热气球速度的3倍．无人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄．请问热气球飞离B处多少千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？ 5．如图，四边形是某湿地公园的环湖步道，点，，，在同一平面，经测量，点在点的正西方向，点在点的北偏东方向，点在点的西南方向，点在点的南偏西方向，且、两地相距400米，、长度小于300米（参考数据：，，） (1)求两地的距离（结果保留根号）； (2)小王和小李同时出发，小王从点出发沿慢跑，小李从出发沿步行，小王与小李的速度之比为，若他们在点相遇，求的距离（结果保留整数）． 6．某中学组织学生进行研学活动．如图，学生到达基地大门处后按组分两条线路进行参观体验，最后前往宣讲中心处集合．经勘测，处在处的正北方，手工制作区在处的南偏西方向且距离处400米处，农耕体验区在处的正西方，农耕体验区也在处的正南方600米处，户外拓展区在处的南偏东方向，户外拓展区也在处的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求户外拓展区与基地大门之间的距离．（结果精确到） (2)已知第一组学生沿线路①参观体验，在户外拓展区处的活动时间为40分钟，第二组学生沿线路②参观体验，在农耕体验区处的活动时间为25分钟，在手工制作区处的活动时间为20分钟，若两组学生步行的平均速度均为70米/分，请通过计算说明哪一组学生先到达宣讲中心处． 7．如图，处位于处正北方向7千米处，处位于处的正东方向，处位于处南偏东方向6千米处，处在处的东北方向．（参考数据：，） (1)求与之间的距离（结果保留小数点后一位）； (2)甲，乙两人相约跑步，甲从处出发，沿某方向匀速直线运动，乙从处出发，沿正南方向匀速直线运动．甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人同时出发，在上某处相遇．当两人相遇时，乙一共跑了多少千米？（结果保留小数点后一位） 8．因天气原因戏剧展演取消，戏剧学院学生小数和小学不用演了，于是他们打算从剧院A处返回到学校C处，如图，学校C在剧院A的正北方向，小数从剧院A出发，沿北偏西方向前进到达商店B购买雨伞（假设购买雨伞的时间不计），再从商店B出发，沿北偏东方向行走至学校C，小学从剧院A出发，沿北偏东方向行走至江湖菜馆D，再从江湖菜馆D出发，沿北偏西．方向到学校C．（参考数据：） (1)求商店B与学校C之间的距离（结果保留根号）； (2)已知小数的平均速度为，小学的平均速度为，请通过计算说明小数和小学谁先到达学校C．通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 试卷第1页，共3页 参考答案 1．(1)米 (2)小希先到达处 【分析】（1）过E作于F，延长交于H，根据题意得到是等腰直角三角形，，，进而利用等腰直角三角形的判定与性质求得，，利用含30度角的直角三角形的性质得到，由求解即可； （2）先由题意求得，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，，然后分别求得两人的路程，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：过E作于F，延长交于H，如图，则， 由题意，得，，，，，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴，， 由得， 解得， 即景点到的距离为米； （2）解：由题意，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，则， 由得， ∴， ∴小希走的路程为（米）， 小福走的路程为（米）， ∵在整个过程中，小希与小福的速度均相同且保持不变，， ∴小希先到达处． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的外角性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 2．(1)小岛间的距离为海里； (2)小岛间的距离为海里． 【分析】本题主要考查勾股定理中方位角的应用、所对的直角边等于斜边的一半、解一元二次方程等，能够理解方位角的角度进行应用时解决本题的关键． （1）先过点作交于点，通过方位角，得出各个角的角度，再用所对的直角边等于斜边的一半求出边的关系，最后用勾股定理求解即可． （2）过点作交于点，通过方位角，得出各个角的角度，再用所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理结合求出边，然后用速度比求出路程比，最后用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点作交于点， ∵岛位于岛正西方向，岛位于岛的正北方向， ∴． ∵岛位于岛北偏西方向海里处， ∴，． ∴， ∵， ∴． ∵中，，， ∴，， ∴． ∵岛位于岛北偏西方向， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵，，， ∴， 解得， ∴， 将，代入得： ． 答：小岛间的距离为海里． （2）解：过点作交于点， ∵岛位于岛正西方向，岛位于岛的正北方向， ∴． ∵岛位于岛北偏西方向海里处， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∴ ． ∵甲海警船的速度与乙海警船的速度之比为．两海警船同时到达岛处， 设甲海警船的速度为，乙海警船的速度为，时间， ∴甲海警船的路程为，乙海警船的路程为． ∵， ∴甲海警船的航行路程与乙海警船的航行路程之比也为， ∴设，， ∴，． ∵中，，，，， ∴根据勾股定理：， ， 解得（舍），． ∴． 答：小岛间的距离为海里． 3．(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，取交于点，不妨设，根据题意，可知，先求得，那么，接着利用等腰三角形的性质，得到，，然后利用外角求得，那么，然后在中应用勾股定理求得答案； （2）过点作于点，不妨设，那么，，，然后证明，那么， ，，最后在中利用勾股定理求得答案． 【详解】（1）解： 过点作于点，取交于点，不妨设，如图所示： 根据题意，可知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∵， ∴； 答：小福家B与学校D的距离为千米． （2）解：∵小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C，已知小希和小福的速度之比为．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小希正好到了DC方向的超市E处， ∴不妨设，那么， ∴，， ∵的距离比的距离还少2千米， ∴， 过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∵， ∴． 答：博物馆C与小福家B的距离为千米． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 4．(1) (2)1.6千米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用等，熟练掌握相关知识点，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键． （1）过B作于点E，则，解求出，即可解答； （2）由题意可知，无人机在上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄，则令其距离恰好为1千米进行计算，设无人机在上的M处，距气球N刚好1千米，即，过N作于点K，设，则，利用解直角三角形和线段的和差，表示出，再利用勾股定理建立方程，即可得解． 【详解】（1）解：由题可知，千米，，， 则中，， ∴，千米， 如图，过B作于点E，则， 在中，（千米）， ∴（千米）， 答：的长度为千米； （2）解：由题意可知，无人机在上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄， 如图，设无人机在上的M处，距气球N刚好1千米，即，过N作于点K，则， 设， ∵无人机的速度是热气球速度的3倍 ∴， ∵B在A的正东方向，D在C的正西方向，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， 即 解得， ∵， ∴（千米）； 答：热气球飞离B处1.6千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球． 5．(1)米 (2)203 【分析】本题考查了解直角三角形中方向角的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，在中求出，，在中得到，从而得到结果； （2）过点作的平行线，交于点，过点作于点，过点作于点，依题意得，在中求出，在中得到，，在中，由勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， 依题意得：，， ． ． ． ，． ． ． 答：两地的距离为米． （2）解：∵小王与小李的速度之比为， ． 设，则， 如图，过点作的平行线，交于点，过点作于点，过点作于点， 依题意得，， ， ． ． ． ，． ． ． ， ． ． ． ． ． ． ，． 在中，， 即，解得， ， ． ． 答：的距离为203米． 6．(1)户外拓展区与基地大门之间的距离约为米 (2)第一组学生先到达宣讲中心处，计算见解析 【分析】此题考查了解直角三角形应用，矩形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点；求出．证明四边形为矩形，得到，． 则．，则，即可得到答案； （2）分别求出线路②和线路①的长度，得到答案后比较即可； 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点；    由题可知：，，，，， 在中，∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 在中，∵， ∴． 在中，∵， ∴，， ∴（米） 答：户外拓展区与基地大门之间的距离约为890.7米． （2）在中，∵， ∴． 由（1）可知：四边形为矩形， ∴， ∴线路②：． ∵，， ∴线路①：． ∴第一组学生共用时：（分钟） ∴第二组学生共用时：（分钟） ∵ ∴第一组学生先到达宣讲中心处． 7．(1)千米 (2)3.5千米 【分析】（1）如图所示，过点D作于点E，过点C作于点F，解直角三角形求出，，然后求出，证明出四边形是矩形，得到，证明出是等腰直角三角形，得到，进而求解即可； （2）如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇，根据题意得到，设，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点D作于点E，过点C作于点F， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴（千米）； （2）如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇， ∵甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人同时出发， ∴甲的路程是乙的路程的1.5倍， ∴ 设，则 由（1）得，， ∴， ∵ ∴ ∴， ，（舍去）． ∴当两人相遇时，乙一共跑了3.5千米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 8．(1)商店B与学校C之间的距离为 (2)小学先到达学校C 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点作于点，解直角三角形，求出的长，再解直角三角形，求出的长即可； （2）求出的长，根据时间等于路程除以速度，求出两人回到学校所用时间，进行比较即可． 【详解】（1）解：过点作于点，由题意，， 在中，，； 在中，，； 答：商店B与学校C之间的距离为； （2）解：由（1）可知：，， ∴，， 作于点，由题意，， 在中，， 在中，，， ∴， ∴小数回到学校所用时间为：； 小学回到学校所用时间为：； ∵， ∴小学先到达学校C． 学科网（北京）股份有限公司 $