精品解析：湖北省随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

曾都一中2025级高一上学期1月月考数学试卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知，若，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则的大小关系为（ ） A B. C. D. 4. 已知角的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 心理学家用函数测定在时间（单位：）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设某个学生需要记忆的量为个成语，此时表示在时间内该生能够记忆的成语个数.假设该生在内能够记忆个成语，则的值大约为（ ）（，） A. B. C. D. 6 已知，且，则（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若，则（   ） A. B. C. D. 8. 已知，那么下列命题中成立的是（ ）． A. 若α、β是第一象限角，则； B. 若α、β是第二象限角，则； C. 若α、β是第三象限角，则； D. 若α、β是第四象限角，则． 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列说法中正确的有（   ） A. 函数在定义域内不是减函数 B. 与是同一个函数 C. 函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 关于x的方程有两个不等的正实数根的充要条件是 10. 设，，则（ ） A. B. C. D. 11. 若函数为奇函数,为偶函数,且当时，,则（    ） A. B. 周期为4 C. 当时， D. 为偶函数 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知，，则的取值范围为______. 13. 函数的定义域是______． 14. 已知函数，若在区间上恰有3个零点，则取值范围是_________. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若且，求的最小值． 16. 已知． （1）若的始边为x轴的非负半轴，终边过点，求的值； （2）若，且，求的值． 17. 已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称. （1）求的解析式. （2）求在上的单调递减区间. （3）求在上的值域. 18. 已知定义在上的函数，且满足，，函数． （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数a取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得，求实数m取值范围． 19. 定义在上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界. （1）判断函数，是否是有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曾都一中2025级高一上学期1月月考数学试卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中的定义求解即可. 【详解】且，因为， 对于，所以；对于，所以； 则， 故选：C. 2. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据弧长公式及扇形面积公式计算求解. 【详解】弧所对的圆心角为，设扇形所在圆的半径为，则弧长为，所以 该弧所在的扇形面积为. 故选：A. 3. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“”分段法，以及指数函数、对数函数的性质确定的大小关系. 【详解】因函数在上为增函数，则， 又因在上为减函数，则， 函数在上为减函数，则， 所以. 故选：A 4. 已知角的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用诱导公式和同角三角函数基本关系化简表达式，再根据任意角三角函数的定义求值． 【详解】因为， 又点在角的终边上，则， 所以的值为. 故选 ：A. 5. 心理学家用函数测定在时间（单位：）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设某个学生需要记忆的量为个成语，此时表示在时间内该生能够记忆的成语个数.假设该生在内能够记忆个成语，则的值大约为（ ）（，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，结合可得出的值. 【详解】由题意可知，，可得， 所以，故， 故选：A. 6. 已知，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】令，求出，代入解出即可. 【详解】， 且， 令，解得， 则. 故选：A. 7. 若，则（   ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式求解. 【详解】因为， 所以， ， 故选：C 8. 已知，那么下列命题中成立的是（ ）． A. 若α、β是第一象限角，则； B. 若α、β是第二象限角，则； C. 若α、β是第三象限角，则； D. 若α、β是第四象限角，则． 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的定义，单位圆及三角函数线比较即可. 【详解】A项，若α、β是第一象限角，由， 如下图，正弦线， 则，. 则由余弦线，得．故A不正确． B项，若α、β是第二象限角，， 如下图，正弦线， 则，． 则由正切线，得．故B不正确． C项，若α、β是第三象限角，由， 如下图，正弦线， 则，， 则由余弦线，得．故C不正确． D项，若α、β是第四象限角， 如下图，正弦线， 则，， 则由正切线，得.故D正确． 故选：D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列说法中正确的有（   ） A. 函数在定义域内不减函数 B. 与是同一个函数 C. 函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 关于x的方程有两个不等的正实数根的充要条件是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用幂函数的性质可判定A，利用函数三要素可判定B，根据抽象函数的定义域求法可判定C，根据一元二次方程根的分布及充要条件的定义可判定D. 【详解】对于A，函数的定义域为， 函数在和上为减函数， 所以在定义域内不是减函数，故A正确； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，在函数中，，则， 因此函数的定义域为，故C正确； 对于D，若方程有两个正实数根，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 10. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合两角差的余弦公式，两角和的余弦公式，同角三角函数关系，两角差的正切公式依次判断每个选项的正误即可. 详解】对于A，由，，得，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：BD. 11. 若函数为奇函数,为偶函数,且当时，,则（    ） A. B. 周期为4 C. 当时， D. 为偶函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】解法一：已知为奇函数，为偶函数，由函数奇偶性赋值可得为奇函数，周期为4，余下的各选项分别根据相应区间内的解析式进行判断.解法二：由对称性作图，数形结合可得. 【详解】解法一：因为为奇函数，所以， 因为为偶函数，所以， 所以，即， 又，所以且，所以为奇函数，且周期为4，所以B正确，D错误； 对于A，因为为奇函数且， 所以，又， 所以，所以所以A正确； 对于D，当时，则，因为 所以，所以C正确， 故选：ABC 解法二(数形结合)： 由题知的对称中心为，对称轴为，所以周期， 由已知条件可画出对应函数图像： 由图像可知为奇函数，在区间范围内图像关于对称，则关于对称的函数解析式为，又，由图像可知，. 故选：ABC 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知，，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】用待定系数法求出的表示形式，再根据和的取值范围求出的范围即可. 【详解】设，即，解得. 所以. 因为，. 所以，. 所以. 故答案为：. 13. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】考虑根式有意义，结合对数的真数大于零列不等式即可得结果. 【详解】要使函数有意义， 则，解得 即函数的定义域为， 故答案为：. 14. 已知函数，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦型函数的零点性质，分析相位的范围，即可得到参数取值范围. 【详解】因为，所以, 由函数零点等价于函数的零点， 再结合正弦函数在区间上恰有3个零点， 则，解得， 故答案为： 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若且，求的最小值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）当时，根据分式不等式及一元二次不等式的解法，分别求出集合A和B，根据交集运算的定义，即可得答案. （2）根据a的范围，先求得集合A，分别讨论、和三种情况，求出集合B，根据条件，可得a的范围，根据基本不等式，即可得答案. 【小问1详解】 当时，由，得，解得，即， 由，解得，即， 所以. 【小问2详解】 由，得，因为，所以，即， 由，得， 当时，解得，即，此时，不符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，解得，即，此时，符合题意， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为5. 16. 已知． （1）若的始边为x轴的非负半轴，终边过点，求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据终边上点得，由齐次式化弦为切即可求值； （2）由平方关系及已知求得、，即可求值. 【小问1详解】 由题设，，则， 所以； 【小问2详解】 由题设，则， 所以，，则， 所以， 所以 17. 已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称. （1）求的解析式. （2）求在上的单调递减区间. （3）求在上的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数最小正周期和对称轴求解即可. （2）根据正弦函数的单调性求解计算即可. （3）根据正弦函数的值域求解即可. 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为， 所以，解得，所以. 由于函数关于对称， 所以，解得 又，所以令，得. 所以. 【小问2详解】 由（1）知，. 当时，函数单调递减， 此时. 当时，；当时，； 所以在上的单调递减区间为. 【小问3详解】 由（1）知，. 因为，所以. 所以，所以. 所以在上的值域为. 18. 已知定义在上的函数，且满足，，函数． （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数a取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由及对数的基本运算性质，解得，即可得； （2）由题意得，根据一次函数、指数函数、对数函数及复合函数的单调性可得在R上均单调递增，从而将原不等式转化恒成立，利用换元法及基本不等式求出的最小值，即可得； （3）由题意得，根据的单调性可知，从而得，根据二次函数的性质，分、和分别求解即可. 【小问1详解】 因为，且， 所以， 即，解得， 所以； 【小问2详解】 因为， 又因为在R上均单调递增， 所以在R上均单调递增， 所以不等式恒成立， 即为不等式恒成立， 即不等式恒成立， 所以恒成立， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即实数的取值范围为； 【小问3详解】 由（2）可知在R上均单调递增， 所以当时，， 又因为对任意的，存在，使得， 所以，即， 又因为，开口向上，对称轴为，， 当时，在上单调递减， 所以， 由，解得， 又因为，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，解得， 又因为，所以； 当时，在上单调递增， 所以， 由，解得， 又因为，所以； 综上，，实数的取值范围为. 19. 定义在上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界. （1）判断函数，是否是有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由. 【答案】（1）是有界函数，理由见解析 （2） （3）存在，当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）结合定义，借助对勾函数性质计算即可得； （2）由题意可将原问题转化为对任意恒成立，在分类讨论并计算即可得； （3）结合换元法可得，再结合定义，分类讨论与的大小关系即可得. 【小问1详解】 是有界函数，理由如下： ，由，则， 当且仅当时，等号成立，则， 故恒成立，即该函数是有界函数； 【小问2详解】 由题意可得对任意恒成立， 令，则，即有对任意恒成立， 即对任意恒成立， 当时，有， 由对勾函数性质可得在上单调递减，故有； 当，有， 由在上单调递增，故； 综上所述：； 【小问3详解】 ，令，则， 令，由，则在上单调递减， 则，故， 故函数在区间上存在上界， 当，即，整理得， 又，即时，； 当，即，整理得， 又，即时，； 故存在，且当时，； 当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $