18.1 勾股定理 第1课时 勾股定理课件2025-2026学年沪科版数学八年级下册

18.1 勾股定理 第18章 勾股定理 沪科版 八年级下册 第1课时 勾股定理 情境导入 思考1 你见过这个图案吗？它由哪些我们学过的基本图形组成？ 　　国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议． 2002年，第24届国际数学家大会在北京召开．此次大会会徽 的图案就是以下图为原型设计的． 2 思考2 三个正方形A，B，C的面积有什么关系？ 　　毕达哥拉斯(约前580—约前500年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.有一次他在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了A，B，C三个正方形面积之间的数量关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系． A B C 情境引入 3 探究 如图，在行距、列距都是1个单位长度的方格网中，Rt△ABC的顶点都是格点，∠ACB=90°分别以△ABC的各边为正方形的一边，向形外作正方形，并用S1，S2与S3表示这三个正方形的面积. 知识讲解 知识点1 勾股定理的发现 4 1.观察图(1)，并填写： S1=_______个单位面积； S2=_______个单位面积； S3=_______个单位面积. 2. 观察图(2)，并填写： S1=_______个单位面积； S2=_______个单位面积；S3=_______个单位面积. 3.图(1)，(2）中三个正方形面积之间有怎样的关系？用它们的边长a，b，c表示： ——————————. 9 9 18 9 16 25 a²+b²=c² 知识讲解 5 思考2 三个正方形A，B，C的面积有什么关系？ 发现 两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积. SA+SB=SC A B C 知识讲解 6 探究4 通过前面的探究活动，在几何绘图软件中任意画一个Rt△ABC，其中∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，度量∠ABC的三边长a，b，c，猜想a，b，c有怎样的关系， 猜想 在Rt△中，∠=90°， ， 则a2+b2=c2. b a c 如何验证呢？ 知识点2 勾股定理的证明 知识讲解 7 证明：取4个与Rt△全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的边长为的正方形. 由题意，得====. 因为∠+∠=90°,∠=∠, 所以∠+∠=90°,∠=90°. 同理: ∠=∠=∠=90°. 则四边形是边长为的正方形. 分别记正方形和正方形的面积为正形和 正方形， 则正方形-4△=正方形 即²×.化简,得. 知识讲解 8 定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，因此，我们称上述定理为勾股定理，国外称之为毕达哥拉斯定理. 汉代数学家赵爽把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦. 知识讲解 9 a b b c a b c 证法2 赵爽利用弦图证明 a 知识讲解 10 a b c ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 赵爽弦图 b-a 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲. 知识讲解 11 证法3 毕达哥拉斯证法 a a a a b b b b c c c c ∴a2+b2+2ab=c2+2ab， ∴a2 +b2 =c2. 证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× ab+c2 =c2+2ab， 知识讲解 12 例1 如图，在Rt△ABC中，两直角边AC=5，BC=12.求 ： （1）AB的长； （2）斜边上的高CD的长. 教材例题 解：（1）在Rt△ABC中， AB² =AC² +BC² =5² + 12² =169. 则AB =13. （2）∵S△ABC=，∴CD= 13 例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的 对边分别是a，b，c. (1)已知a＝b＝6，求c； (2)已知c＝3，b＝2，求a； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b. 例题解读 14 (1)∵∠C＝90°，a＝b＝6， ∴由勾股定理，得 (2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2， ∴由勾股定理，得 (3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b. 又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52， 解得b＝ 解： 归纳 公式变形： 方程思想. 15 例2 求下列图中字母所表示的正方形的面积. 225 400 A 225 81 B A=225+400=625 B=225-81=144 知识讲解 16 练习　求下列直角三角形中未知边的长度．　　 A B C 4 6 x C B A 5 10 x 17 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理.为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票. 我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中. 趣味拓展 把一个正方形的面积分成若干个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一棵美丽的勾股树． 19 勾股定理的演示 20 课堂小结 内容 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 勾股定理 1. 直角三角形的两个直角边长分别为a，b，斜边长为c，则 下列关于a，b，c的关系式不正确的是（　C　） A. b2＝c2－a2 B. a2＝c2－b2 C. b2＝a2－c2 D. c2＝a2＋b2 C 随堂练习 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，则 BC的长为（　A　） A. B. C. D. [变式] （易错）已知直角三角形两边的长分别为6和8，则第三 边的长为 ⁠. A 10或2 　 3. 如图，正方形A和正方形C的面积分别为81，225，则正方 形B的面积是（　C　） A. 12 B. 15 C. 144 D. 306 C [变式] （2025·滁州期末改编）如图，在四边形ABCD中， ∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边向外作 四个正方形，面积分别为a，b，c，d，且c＜a＜d＜b.若a ＝2，b＋c＝12，则d＝ ⁠. 10　 4. （教材P56习题T1变式）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a， b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边. （1）若a＝8，b＝15，则c＝ ⁠； （2）若a＝40，c＝41，则b＝ ⁠； （3）若a∶b＝4∶3，c＝25，则a＝ ，b＝ ⁠； （4）若∠A＝45°，a＝2，则c＝ ⁠. 17　 9　 20　 15　 2 　 5. （2025·合肥四十五中期中）如图，在由边长为1的小正方形 组成的网格中，A，C，E均为格点（网格线的交点），连接 AC，AE，CE. （1）AE＝ 　 　，AC＝ 　 　； 　 　 （2）求△ACE的边AE上的高h. 解：（2）S△ACE＝2×4－ ×1×2－ ×1×3－ ×1×4＝ . ∵S△ACE＝ AE·h，AE＝ ， ∴ ·h＝ ，∴h＝ . 6. （2025·合肥庐江期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部 分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼成如图所 示的形状，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过 面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整. 证明：添加辅助线，如图所示. 方法一：边长为c的正方形的面积＋两个直角三角 形的面积，列式后化简，得 ⁠. c2＋ab　 方法二：边长为a和b的两个小正方形的面积＋两个直角三角 形的面积，列式后化简，得 ⁠. 根据面积相等，得到等式 ⁠. 化简这个等式，得 ⁠. 从而证明了勾股定理. a2＋b2＋ab　 a2＋b2＋ab＝c2＋ab　 a2＋b2＝c2　 7. （2025·合肥五十中期中）我国古代著名的“赵爽弦图”的 示意图如图1所示，它是由四个全等的直角三角形围成的.若 AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别 向外延长1倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的 外围周长是（　D　） A. 72 B. 52 C. 80 D. 76 D 8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为AC上一 点，连接BE交AD于点F. 若BF＝AC，FD＝CD，AB＝ 3 ，则AD的长为 ⁠. 3　 9. 【转化思想】如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点 O，且∠AOD＝90°. （1）求证：AD2＋BC2＝AB2＋CD2； 解：（1）证明：∵AC和BD相交于点O， ∠AOD＝90°， ∴AO2＋DO2＝AD2，BO2＋CO2＝BC2，AO2＋ BO2＝AB2，CO2＋DO2＝CD2， ∴AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2＝（AO2 ＋BO2）＋（CO2＋DO2）＝AB2＋CD2. （2）若BC＝2AD，AB＝12，CD＝9，求四边形ABCD的周 长. 解：（2）∵BC＝2AD，AB＝12，CD＝9， ∴AD2＋（2AD）2＝122＋92， 解得AD＝3 ，∴BC＝2AD＝6 ， ∴四边形ABCD的周长为AD＋BC＋AB＋CD＝ 3 ＋6 ＋12＋9＝21＋9 . 10. （2025·亳州期中）千百年来，人们对勾股定理的证明乐此 不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春发 现了一个新的证法：把两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA按如图 1所示的方式放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝ ∠DEA＝90°，显然BC⊥AD，连接BD，CD. （1）请你利用图1证明勾股定理； 解：（1）证明：根据题意，知AB＝DE＝a，AC＝AE＝b， BC＝AD＝c，BC⊥AD，∴S四边形ABDC＝S△ADB＋S△ADC＝ AD·BF＋ AD·CF＝ AD·BC＝ c2. 又∵S四边形ABDC＝S△BED＋S梯形ACDE ＝ DE·BE＋ （AC＋DE）·AE ＝ a（a－b）＋ （b＋a）×b＝ （a2＋b2）， ∴ c2＝ （a2＋b2），∴a2＋b2＝c2. （2）如图2，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且c ＞b＞a，当△ABC是钝角三角形时，猜想a2＋b2与c2之间的 关系，并说明理由； 解：（2）a2＋b2＜c2.理由如下： 如图2，过点A作AH⊥CB，交BC的延长线于点H. 设CH＝y.在Rt△AHC中，AH2＝b2－y2， 在Rt△AHB中，AH2＝c2－（a＋y）2， ∴b2－y2＝c2－（a＋y）2，化简，得a2＋b2－c2＝－2ay. ∵a＞0，y＞0，∴－2ay＜0， ∴a2＋b2－c2＜0，∴a2＋b2＜c2. （3）已知Rt△ABC的三边长为a，b，c（c为斜边长），其 中a，b满足（a2＋b2）（a2＋b2－4）＝5，求Rt△ABC的斜 边长. 　　 解：（3）∵在Rt△ABC中，c2＝a2＋b2，且（a2＋b2）（a2＋ b2－4）＝5，∴c2（c2－4）＝5， ∴c4－4c2－5＝0，解得c2＝5，c2＝－1. ∵c2＞0，∴c2＝5，∴c＝ （负值已舍去）， ∴Rt△ABC的斜边长为 . $