精品解析：天津市第九中学2025-2026学年高二上学期阶段性质量检测（二）数学试题

2025－2026学年度第一学期阶段性质量检测试卷（二） 高二年级数学学科 班级：______姓名：______考号：______ 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1. 已知点在以、分别为左、右焦点的双曲线上，若，则（ ） A. 6 B. 10 C. 2 D. 6或10 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出、，再根据双曲线的定义求出，即可得解. 【详解】因为双曲线的方程为，所以，. 已知，由双曲线的定义可得，即， 所以或. 由于双曲线上的点到焦点距离的最小值为，故或. 故选：D 2. 已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的标准方程求焦距即可. 【详解】由双曲线的方程为，可得， 再由， 所以双曲线的焦距为， 故选：D. 3. 椭圆 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据椭圆、双曲线的方程，求出椭圆焦点和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】由可得椭圆焦点在轴上，且，根据对称性，可取焦点坐标为, 由可得其渐近线方程为，可取一条为， 则点到的距离为. 故选：A. 4. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心到渐近线的距离等于圆的半径求解即可. 【详解】双曲线的一条渐近线为，即， 又圆的圆心为，半径为， 故，即，解得，故. 故选：C 5. 椭圆的离心率为，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出椭圆的基本量的关系，从而可求双曲线的离心率. 【详解】因为椭圆的离心率为，故， 故，故双曲线的离心率为， 故选：B. 6. 与圆相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 6条 【答案】A 【解析】 【分析】过原点的直线不满足题意，当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为，根据圆心到直线的距离等于半径可得有两解，综合可得结果. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 由于原点在圆上，显然过原点的直线不满足题意； 当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为， 圆心到直线的距离，解得，此时满足条件的直线有两条， 综上可得：满足条件的直线有两条， 故选：A. 【点睛】本题主要考查圆的切线方程，截距相等问题，学生容易疏忽过原点的直线，属于中档题. 7. 已知方程 则下列说法中不正确的是 （ ） A. 当时，方程C表示焦点在x轴上的椭圆 B. 当时，方程C表示焦点在x轴上的双曲线 C. 当方程C表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 D. 方程C可表示圆 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的形式，结合圆，椭圆和双曲线的形式，即可求解. 【详解】对于A，方程表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得，故A正确; 对于B，方程表示焦点在轴上的双曲线， 则，解得，故B正确； 对于C，当方程表示双曲线时，则，解得， 则由B可知，，即焦距为， 当方程表示椭圆时，由A可知，，即焦距为，故C正确； 对于D，当方程表示圆时，则，无解，故D错误. 故选：D. 8. 已知分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，的内切圆与切于点，过点的直线与交于两点，则下列结论中 ①的最大值为；②的内切圆面积最大值为； ③为定值；④若为中点，则的方程为， 正确结论的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及两点之间线段最短结论判断命题①，结合椭圆的定义及内切圆的性质判断命题②③，利用点差法求直线的方程判断命题④，由此可得结论. 【详解】设椭圆的长半轴为。短半轴长为，半焦距为， 根据题意可得，，，，，， ∵， 当且仅当P，，Q三点共线时，等号成立， ∴的最大值为，∴命题①正确； 设的内切圆的半径为，则根据的等面积算法可得： ， ∴， 当且仅当为短轴顶点时，等号成立， ∴的内切圆面积最大值为，∴命题②错误； 根据的内切圆的性质易得：， ∴，∴，∴命题③正确； 若为中点，设，， 则，两式相减可得：， ∴，∴，∴， ∴的方程为，即， 又，故点在椭圆内，所以直线与椭圆相交， 所以直线满足条件，命题④正确. 故选：C. 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 9. 已知直线，则直线恒过定点______，与曲线仅有一个公共点，则实数的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】令含参数项为0求得直线定点，整理曲线方程，由数形结合分析，当直线与曲线相切，即直线经过端点时，从而得到答案. 【详解】直线，当时，，所以直线恒过定点， 曲线整理得，，又∵ 即曲线为以为圆心，半径的上半圆，端点 ①当直线与曲线相切时，∵，即为圆的切线， 但此时直线斜率不存在，舍去， 即圆心到直线的距离，即，则， ②当直线与曲线相切时，， 由下图可知，当直线与曲线有且只有一个交点时，斜率， ∴. 故答案为：； 10. 已知椭圆的焦距为2，则______． 【答案】5或7. 【解析】 【分析】讨论焦点在轴上或在轴上，分别计算即可得到结果. 【详解】当椭圆焦点在轴时，， 由焦距为得，，故，解得. 当椭圆焦点在轴时，， 由焦距为得，，故，解得. 故答案为：5或7. 11. 若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的标准方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】讨论焦点位置，设双曲线方程，由渐近线方程得到关系，代入点坐标，求得，即可求得双曲线标准方程. 【详解】当焦点在轴上时，设双曲线方程为， 双曲线渐近线方程为，即， ∴，即，（舍去）， 当焦点在轴上时，设双曲线方程为， 双曲线渐近线方程为，即， ∴，即，，∴ 即双曲线方程为. 12. 双曲线的离心率为2，则右焦点到其渐近线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线离心率结合方程求出，得到右焦点的坐标和双曲线渐近线方程，利用公式求点到直线的距离. 【详解】双曲线的离心率为2，由得，则， 右焦点，渐近线方程为，到渐近线的距离为. 故答案为： 13. 已知双曲线的右焦点为，离心率为，直线与双曲线交于A，B两点，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，连接，分析可知为矩形，则，设，可得，运算即可得结果. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，由对称性可知为平行四边形， 又，可知为矩形，又在直线上，可得， 设，则可得， 由题意可得：，即， 可得，整理可得， 所以，即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 三、解答题（本大题共5小题，共56分） 14. 设椭圆的左，右焦点是，离心率为，上顶点坐标为 （1）求椭圆的方程； （2）设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 【答案】（1）; （2）,. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的上顶点坐标求得由离心率及椭圆中的关系可求得，从而得椭圆的方程； （2）根据椭圆的定义得及焦距长可得，由平方及余弦定理解焦点三角形，得，再结合三角形面积公式求得. 【小问1详解】 由题意知，解得，. ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，∴ 又∵P为椭圆上一点，∴， ∴焦点三角形的周长. 在△中，由余弦定理，得 即 ① 由平方，得 ② ②-①，整理得， 所以三角形的面积. 15. （1）已知曲线，定点，为曲线上任一点，点在线段上且有，当在曲线上运动时，求点的轨迹方程. （2）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为，另一双曲线顶点在轴上，与椭圆有公共焦点，且椭圆的长半轴比双曲线的实半轴大4，椭圆的离心率与双曲线离心率之比为，求椭圆和双曲线的标准方程. 【答案】（1）；（2）椭圆方程为，双曲线方程为． 【解析】 【分析】（1）设，，由，求得，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程； （2）设出椭圆和双曲线的标准方程，利用已知条件建立方程组求出待定系数，即可得椭圆方程和双曲线方程． 【详解】（1）设，点在线段上且有，则， 因，则，可得（*）， 因点B为曲线上任一点，则， 将（*）代入上式，可得， 化简得． 故点P的轨迹方程为. （2）由题意，双曲线顶点在轴上，则焦点也在轴上，椭圆焦点在轴上， 设该椭圆的方程为（），双曲线的方程为（）， 由已知得，解得，，， 则，，，， 所以椭圆方程为，双曲线方程为． 16. 如图，平面平面ABCD，，，，，E为PD中点. （1）求证：平面PBC； （2）求平面ABE与平面PAB所成角的余弦值； （3）求点D到平面ABE的距离. 【答案】（1） 取PC的中点F，连接，BF， 因为E是PD的中点，则，， 又因为，，则，， 可知四边形是平行四边形，则， 且平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取PC的中点F，连接，BF，根据平行关系可证，进而可证线面平行； （2）建系标点，分别求平面ABE与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）由（2）可得，平面ABE的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内过点B作垂直于AB， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，可得，， 且，以B为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，， 设平面ABE的法向量为，则， 取，则，，可得， 又因为平面的一个法向量为， 设平面ABE与平面所成角为，且为锐角， 则， 故平面ABE与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）可知：，平面ABE的法向量为， 所以点D到平面ABE的距离. 17. 已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． （1）求的标准方程； （2）若的斜率为，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出、、的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，由求出的取值范围，列出韦达定理，由题意得出，结合平面向量数量积的坐标运算与韦达定理可求出的值. 【小问1详解】 由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设点、，由题意可知直线的方程为， 联立可得， ，解得， 由韦达定理可得，， 因为，所以 ，解得，合乎题意. 综上所述，. 18. 已知为椭圆上的点，为椭圆的左，右焦点，点，直线将的面积分为两部分. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，且，求实数的最小值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由为椭圆上的点，所以，又直线将的面积分为两部分，可得、值，即可求方程； （2）联立直线与椭圆方程，运用韦达定理和中点公式结合已知条件和根的判别式大于即可求解． 【小问1详解】 由直线将的面积分为两部分， 得，所以， 从而.① 由为椭圆上的点，得，② 由①②解得， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 设， 由，得 由，得，且， ， 由为的中点，且，得， 即，化简得， 代入（1）中有，，可得， 令， 有. 由函数单调递增， 故当时，为的最小值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期阶段性质量检测试卷（二） 高二年级数学学科 班级：______姓名：______考号：______ 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1. 已知点在以、分别为左、右焦点的双曲线上，若，则（ ） A. 6 B. 10 C. 2 D. 6或10 2. 已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6 3. 椭圆 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 4 4. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 5. 椭圆的离心率为，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 6. 与圆相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 6条 7. 已知方程 则下列说法中不正确的是 （ ） A. 当时，方程C表示焦点在x轴上的椭圆 B. 当时，方程C表示焦点在x轴上的双曲线 C. 当方程C表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 D. 方程C可表示圆 8. 已知分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点，的内切圆与切于点，过点的直线与交于两点，则下列结论中 ①的最大值为；②的内切圆面积最大值为； ③为定值；④若为中点，则的方程为， 正确结论的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 9. 已知直线，则直线恒过定点______，与曲线仅有一个公共点，则实数的取值范围是______. 10. 已知椭圆的焦距为2，则______． 11. 若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的标准方程是______. 12. 双曲线的离心率为2，则右焦点到其渐近线的距离为______． 13. 已知双曲线的右焦点为，离心率为，直线与双曲线交于A，B两点，且，则___________． 三、解答题（本大题共5小题，共56分） 14. 设椭圆的左，右焦点是，离心率为，上顶点坐标为 （1）求椭圆的方程； （2）设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 15. （1）已知曲线，定点，为曲线上任一点，点在线段上且有，当在曲线上运动时，求点的轨迹方程. （2）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为，另一双曲线顶点在轴上，与椭圆有公共焦点，且椭圆的长半轴比双曲线的实半轴大4，椭圆的离心率与双曲线离心率之比为，求椭圆和双曲线的标准方程. 16. 如图，平面平面ABCD，，，，，E为PD中点. （1）求证：平面PBC； （2）求平面ABE与平面PAB所成角的余弦值； （3）求点D到平面ABE的距离. 17. 已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． （1）求的标准方程； （2）若的斜率为，且，求的值． 18. 已知为椭圆上的点，为椭圆的左，右焦点，点，直线将的面积分为两部分. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，且，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $