精品解析：四川省广元市川师大万达中学2025-2026学年高二上学期期末模拟（1月）考试数学试卷

广元市川师大万达中学高2024级2025年秋期末模拟考试数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150；命题人：夏安 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 4.请同学们认真作答，适度紧张，全力应考，祝你好运! 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线AB的倾斜角的正切值即可得解. 【详解】因直线经过，两点，则直线AB的斜率为， 设直线AB倾斜角为，显然，于是得，而，则， 所以所求的直线的倾斜角为. 故选：D 2. 已知数列满足且，则的值为（ ） A. 32 B. 16 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可得数列是公比为的等比数列，再利用等比数列的性质即可得解. 【详解】根据题意，数列满足，， 则，即数列是公比为的等比数列， 又由，则， 则. 故选：D. 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【详解】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选：A. 4. “”是“两条直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件求出，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】因为两条直线平行， 所以直线斜率相等或斜率不存在， 当两直线斜率不存在时，即，两直线为，成立； 当两直线斜率存在时，即，解得，两直线为成立， 综上或. 所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】 5. 已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆方程相减可得答案. 【详解】，① ，② ①②得. 故选：B. 6. 已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设动圆半径为.根据圆与圆的位置关系可得，，再利用椭圆的定义得到该动圆圆心的轨迹为椭圆，进而可求得方程. 【详解】圆：和：的圆心和半径分别为， 由可知圆内含于圆内. 设动圆半径为， 由题意可得，， 两式相加可得， 故点P的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：C. 7. 已知双曲线，直线l过其左焦点，交双曲线左支于A、B两点，且，为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为 （ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】应用双曲线的定义和△ABF2的周长为20，解出半长轴，可求m的值． 【详解】解析：由已知，|AB|+|AF2|+|BF2|＝20，又|AB|＝4，则|AF2|+|BF2|＝16． 据双曲线定义，2a＝|AF2|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF1|， 所以4a＝|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）＝16﹣4＝12， 即a＝3，所以m＝a2＝9， 故选B． 【点睛】本小题主要考查双曲线的定义、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 8. 已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由条件推得，，则得，推出数列为递增数列，推出即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，由可得：，则，， 故数列为递增数列，又，， 故使得成立的正整数n的最大值为21. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列描述正确的是（ ） A. 若事件A，B满足，则A与B是对立事件 B. 若，，，则事件A与B相互独立 C. 掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是对立事件 D. 一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球第二次取到红球的概率是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对立事件、相互独立事件的定义，结合古典概型运算公式逐一判断即可. 【详解】A： 事件A：掷一枚硬币，正面朝上；事件B：掷一个质地均匀的骰子，出现奇数点， 显然，满足， 显然A与B不是对立事件，所以本选项不正确； B：因为，所以，因为， 所以事件A与B相互独立，所以本选项正确； C：抛掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点可以同时出现，故不是对立事件； D：因为采用不放回方式从中依次随机地取出两球， 所以第二次取到红球的概率是，因此本选项正确， 故选：BD 10. 已知直线l：和圆O：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在k使得直线l与直线：垂直 C. 直线l与圆O相交 D. 若，直线l被圆O截得的弦长为4 【答案】BC 【解析】 【分析】利用直线恒过定点可判断A,C，利用直线垂直时斜率的关系可判断B,根据勾股定理求弦长，可判断D. 【详解】整理可得，由可得， 所以直线恒过定点，A不正确； 直线的斜率为，直线的斜率为，若，则有，，B正确； 直线恒过定点，且在圆O内部，所以直线l与圆O相交，C正确； 若，直线l：，圆心O到直线的距离为， 所以直线l被圆O截得的弦长为，D不正确. 故选：BC 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列前项和的基本公式与幂运算即可求得. 【详解】设等比数列的首项为，公比为，若，则，所以. 由，得，即， 所以，解得， 则. 故答案为：. 13. 当点P在圆上运动时，连接点P与定点，则线段的中点M的轨迹方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】设点，利用相关点法求点的轨迹方程. 【详解】设点，因M是线段的中点，则点， 可得，即， 所以点M的轨迹方程为. 故答案为：. 14. 如图，在棱长为3的正方体中，，点是底面内（包括边界）的动点，且满足，则符合条件的点形成的轨迹的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用可得关于，的方程，进而求解. 【详解】 根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 则． 因为，所以，得， 所以点的轨迹是一条线段，当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 所以符合条件的点形成的轨迹的长度为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）若双曲线C与有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线，求双曲线C的标准方程. （2）求过点的抛物线标准方程. 【答案】（1）双曲线C的标准方程为； （2）抛物线标准方程为或. 【解析】 【分析】（1）由题意得，设双曲线的标准方程为，由平方关系即可得解. （2）设过点的抛物线标准方程为或，代入即可得解. 【详解】（1）由题意在椭圆中有，，焦点在轴上， 又双曲线C与双曲线有相同渐近线，故设双曲线C的标准方程为， ，解得， 故双曲线C的标准方程为. （2）设过点的抛物线标准方程为或， 或，解得或， 故过点的抛物线标准方程为或. 16. 为普及抗疫知识､弘扬抗疫精神，某校组织了防疫知识测试.测试共分为两轮，每位参与测试的同学均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中的测试成绩均合格，则视本次测试成绩为合格.甲､乙两名同学均参加了本次测试，已知在第一轮测试中，甲､乙测试成绩合格的概率分别为；在第二轮测试中，甲､乙测试成绩合格的概率分别为.甲､乙两人在每轮测试中的成绩是否合格互不影响. （1）甲､乙哪名同学在本次测试中成绩合格的概率更大？ （2）求甲､乙两人中至少有一人的成绩在本次测试中合格的概率. 【答案】（1）甲同学在本次测试中成绩合格的概率更大 （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式可求得甲､乙成绩合格的概率，由此得解； （2）利用对立事件及互斥事件的概率公式即可求解 【小问1详解】 设“甲在第一轮测试中的成绩合格”，“甲在第二轮测试中的成绩合格”， “乙在第一轮测试中的成绩合格”，“乙在第二轮测试中的成绩合格”， 则“甲同学在本次测试中成绩合格”，， “乙同学在本次测试中成绩合格”，. 因为，所以甲同学在本次测试中成绩合格的概率更大. 【小问2详解】 设“甲在本次测试中成绩合格”，“乙在本次测试中成绩合格”， 则， “甲､乙两人中至少有一人在本次测试中合格”， 17. 记为正项等比数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设正项等比数列的公比为，根据可构造方程求得，根据求得，进而求得的通项公式； （2）由（1）可得，采用错位相减法即可求得结果. 【小问1详解】 设正项等比数列的公比为， 因为，所以，所以． 又， 解得． 所以． 【小问2详解】 由题知， 所以， ， 两式相减得． 所以． 18. 椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆：相似. （1）求椭圆的离心率； （2）若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左､右顶点，的一点. ①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值； ②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值. 【答案】（1） （2）①由相似比可知，，解得，所以椭圆：， 设，则直线的方程为，即， 记，则的方程为， 将其代入椭圆的方程，消去，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 将代入上式，整理得， 同理可得， 所以为关于的方程的两根， 所以， 又点在椭圆上， 所以， 所以，为定值． ② 【解析】 【分析】（1）首先得到、的长轴长、短轴长、焦距、依题意可得，从而得到，再由离心率公式计算可得； （2）①设，则直线的方程为，进而与椭圆联立方程，并结合判别式得，同理得到，进而得，再根据即可求得答案； ②由题知椭圆的标准方程为，进而结合点在椭圆上得，故设直线的斜率为，则直线的斜率为，进而得其对应的方程，再与椭圆联立方程并结合韦达定理，弦长公式得、，进而得． 【小问1详解】 对于椭圆：，长轴长为，短轴长为，焦距为， 椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为， 依题意可得，所以， 则椭圆的离心率. 【小问2详解】 ①略 ②由相似比可知，，解得，所以椭圆：， 其左、右顶点分别为，，恰好为椭圆的左、右焦点， 设，易知直线、的斜率均存在且不为， 所以， 因为在椭圆上，所以，即， 所以． 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 由，得， 设，，则，， 所以 ， 同理可得， 所以． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； （3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广元市川师大万达中学高2024级2025年秋期末模拟考试数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150；命题人：夏安 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 4.请同学们认真作答，适度紧张，全力应考，祝你好运! 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足且，则的值为（ ） A. 32 B. 16 C. D. 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. “”是“两条直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆与圆相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线，直线l过其左焦点，交双曲线左支于A、B两点，且，为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为 （ ） A. 8 B. 9 C. 16 D. 20 8. 已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列描述正确的是（ ） A. 若事件A，B满足，则A与B是对立事件 B. 若，，，则事件A与B相互独立 C. 掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是对立事件 D. 一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球第二次取到红球的概率是 10. 已知直线l：和圆O：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在k使得直线l与直线：垂直 C. 直线l与圆O相交 D. 若，直线l被圆O截得的弦长为4 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和为，若，则__________. 13. 当点P在圆上运动时，连接点P与定点，则线段的中点M的轨迹方程为________. 14. 如图，在棱长为3的正方体中，，点是底面内（包括边界）的动点，且满足，则符合条件的点形成的轨迹的长度为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）若双曲线C与有相同的焦点，与双曲线有相同渐近线，求双曲线C的标准方程. （2）求过点的抛物线标准方程. 16. 为普及抗疫知识､弘扬抗疫精神，某校组织了防疫知识测试.测试共分为两轮，每位参与测试的同学均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中的测试成绩均合格，则视本次测试成绩为合格.甲､乙两名同学均参加了本次测试，已知在第一轮测试中，甲､乙测试成绩合格的概率分别为；在第二轮测试中，甲､乙测试成绩合格的概率分别为.甲､乙两人在每轮测试中的成绩是否合格互不影响. （1）甲､乙哪名同学在本次测试中成绩合格的概率更大？ （2）求甲､乙两人中至少有一人的成绩在本次测试中合格的概率. 17. 记为正项等比数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆：相似. （1）求椭圆的离心率； （2）若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左､右顶点，的一点. ①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值； ②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值. 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $