精品解析：天津市第二十中学2025-2026学年高三上学期调研检测(2)数学试题

2025-2026第一学期高三数学学科调研检测（2） 一、单选题： 1 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数定义域为，则“是偶函数”是“是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图， 下列说法中正确的是（ ） A. B. 评分的众数估值为70 C. 评分的第25百分位数估值为67.5 D. 评分的平均数估值为76 4. 已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式最可能是（ ） A y＝xcosx B. y＝sinx－x2 C. D. y＝sinx＋x 5. 设、是两个平面，m、n是两条直线，且.下列四个命题： ①若，则或 ②若，则， ③若，且，则 ④若n与和所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 6. 若展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则该二项式的展开式中常数项为（ ） A. 90 B. -90 C. 180 D. -180 7. 已知数列的前项和为，且满足，，则的值不可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 15 8. 已知函数，给出下列四个说法： ①； ②在上有5个零点 ③在区间上单调递增； ④的图象关于点中心对称 其中正确说法的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 设双曲线的左右焦点为，过的直线与双曲线右支交两点，设中点为，若，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 10. 已知是虚数单位，若复数满足，则______． 11. 已知直线是曲线与的公切线，则的方程为_____ 12. 已知抛物线的焦点为，圆，过的直线与交于两点，与 交于 两点，且在同一象限，则的最小值为_____． 13. 某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是__________；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为__________． 14. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则_____；若，则的最大值为_____. 15. 设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是__________. 三、解答题： 16. 在中，角、、的对边分别为、、，已知. （1）求的值； （2）若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 17. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，点关于轴的对称点为，求证：四边形为菱形. 19. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，. （1）求； （2）已知，求数列的前项和； （3）数列的前项和为，对于数列，，在和之间插入数列的前项，组成一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求. 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个不同的实数解，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第一学期高三数学学科调研检测（2） 一、单选题： 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集、补集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 又，， 所以，则. 故选：C 2. 已知函数的定义域为，则“是偶函数”是“是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的图像性质，结合充分，必要条件的定义进行判断 【详解】偶函数的图像关于轴对称，奇函数图像关于原点对称，根据这一特征，若是偶函数，则是偶函数，若是奇函数，也是偶函数，所以“是偶函数”是“是偶函数”的充分不必要条件 故选：A 3. 某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图， 下列说法中正确的是（ ） A. B. 评分的众数估值为70 C. 评分的第25百分位数估值为67.5 D. 评分的平均数估值为76 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出，再根据平均数、百分位数及众数的计算规则计算可得. 【详解】由题意：， 解得，A错误， 所以平均数为，故D错误； 众数为，故B错误； 因为，第百分位数估计为，故C正确； 故选：C 4. 已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式最可能是（ ） A. y＝xcosx B. y＝sinx－x2 C. D. y＝sinx＋x 【答案】A 【解析】 【分析】由图象判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，运用排除法可得结论. 【详解】由f（x）的图象关于原点对称，可得f（x）为奇函数， 对于选项B，f（x）＝sinx－x2，f（－x）＝－sinx－x2≠－f（x），f（x）不为奇函数，故排除B； 对于选项C，f（x）＝，f（－x）＝＝2x（1－cosx）≠－f（x），f（x）不为奇函数，故排除C； 对于选项D，f（x）＝x＋sinx，f（－x）＝－sinx－x＝－f（x），可得f（x）为奇函数， 由f（x）＝0，可得sinx＝－x，f（0）＝0，由y＝sinx和y＝－x的图象可知它们只有一个交点，故排除D； 对于选项A，f（x）＝xcosx，f（－x）＝－xcos（－x）＝－xcosx＝－f（x），可得f（x）为奇函数， 且f（x）＝0时，x＝0或x＝kπ＋（k∈Z），f（）＜0，f（π）＜0， 故选项A最可能正确. 故选：A. 5. 设、是两个平面，m、n是两条直线，且.下列四个命题： ①若，则或 ②若，则， ③若，且，则 ④若n与和所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】由线线、线面、面面位置关系逐项判断即可. 【详解】解析 对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当n既不在也不在内，因为，，，则且，故①正确； 对②，若，则n与，不一定垂直，（线面垂直，需n垂直于平面内两条相交直线），故②错误； 对③，过直线n分别作两平面与，分别相交于直线s和直线t， 因为，过直线n的平面与平面的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，当，，此时，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 6. 若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则该二项式的展开式中常数项为（ ） A. 90 B. -90 C. 180 D. -180 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式的展开式中系数的规律及二项式展开式的通项公式即可解出. 【详解】由题意可知，二项式的展开式中一共有11项，所以， 设展开式第项为常数项，则， ， ， 该二项式的展开式中常数项为， 故选：C. 7. 已知数列的前项和为，且满足，，则的值不可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】由与的关系，将式子化简，可得，当，即可得到是等差数列，排除D，当，即可得到是等比数列，排除A，然后由计算，即可排除C. 【详解】因为，且，则， 化简可得， 若，则，且， 则数列是以为首项，为公差的等差数列，则， 所以，则，排除D； 若，则，即，且， 则数列是以为首项，为公比的等比数列，则， 所以，则，排除A； 再由计算， ，即，解得或，取， ，即，解得或，取， ，即，解得或，取， ，即，解得或， 取，此时，排除C； 故选：B 8. 已知函数，给出下列四个说法： ①； ②在上有5个零点 ③在区间上单调递增； ④的图象关于点中心对称 其中正确说法的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，利用诱导公式求解；对于②，由得到或， 在内分别计算或即可得到答案；对于③，由范围得到，结合正弦函数的图像求出的单调性即可得解；对于④，求出和即可得解. 【详解】 对于①， ，故①正确； 对于②，， 或， 当时，，，， 当时，，，， 在上有5个零点，故②正确； 对于③，当时，，， ，在区间上单调递增，故③正确； 对于④， ， ， 则，所以的图象不关于点中心对称，故④错误. 故选：C. 9. 设双曲线的左右焦点为，过的直线与双曲线右支交两点，设中点为，若，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得 是等腰直角三角形，运用双曲线定义可得，，在 中，利用余弦定理即可解得离心率. 【详解】解：根据题意可知，过的直线斜率存在， 中点为， 又 又 在 中，由余弦定理 整理得：且 ，所以 是等腰直角三角形. 设，则， 在 中，由勾股定理得： 由双曲线定义可知： 由双曲线定义可知： 且 整理得： 中，，， 由余弦定理可得： 代入计算得： 离心率e＝ 故选：A. 二、填空题： 10. 已知是虚数单位，若复数满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数除法法则进行计算出答案.. 【详解】，故. 故答案为： 11. 已知直线是曲线与的公切线，则的方程为_____ 【答案】或 【解析】 【详解】根据切线的斜率相等求出切点坐标，从而求出切线方程. 【解答】因为，， 设与曲线相切于点，与曲线相切于点， 则， 消去，整理得，解得或. 当时，切线的斜率为，切点为，则的方程为； 当时，切线的斜率为1，切点为，则的方程为. 故答案为：或. 12. 已知抛物线的焦点为，圆，过的直线与交于两点，与 交于 两点，且在同一象限，则的最小值为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】设直线，联立抛物线方程可得到，利用焦半径公式化简，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】抛物线的焦点为以为圆心以3为半径， 由题意可知直线l不与y轴垂直，设直线，联立， 得，． 设，则， ∴， 当且仅当时，等号成立， 即最小值为12， 故答案为：12 13. 某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是__________；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①用全概率事件来求解即可；②用二项分布概率公式来求解即可. 【详解】①设事件表示使用已校正的气枪，事件表示射中10环， 则， 故任取一支气枪射中10环的概率是； ②4次射击中恰有2次射中10环的概率为：. 故答案为：①；②. 14. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则_____；若，则的最大值为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得，，进而结合平面向量的数量积的定义及运算律求解即可；以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，表示出，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】由题意，， ， ； 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， 由题意得的轨迹为以为圆心，1为半径的半圆，其轨迹方程为， 设，， 则，，， 因为， 所以， 所以， 所以当时，，此时的最大值为. 故答案为：；. 15. 设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】等价转化为的整数解唯一，再对分和讨论即可. 【详解】存在唯一使 的整数解唯一， 令，则有有解，而绝对值不等式知， 当且仅当同号时等号成立，故此时异号，，图象如下所示： ①当时，，即有唯一整数解， （i）若，知过定点，， 令与相切，切点为，其中，， 易得，即，解得， 时， 无解. 时，若使有唯一解，而，故该解只能为或， 若解为，则有，即，解得，如图2所示， 若解为，有，即，无解，故舍去. （ii）若，知整数解为，此时有，即，解得， ②当时，，即有唯一整数解，由图（1）中①知该整数解为， 此时有，即，解得，即. 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题： 16. 在中，角、、的对边分别为、、，已知. （1）求值； （2）若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简原式，直接利用余弦定理求的值即可； （2）（i）由（1）可得，再利用正弦定理求的值，利用同角三角函数的基本关系和两角和的正切公式即可求解； （ii）由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果． 【小问1详解】 在中，由正弦定理 可得：，整理得， 由余弦定理，可得； 【小问2详解】 （i）由（1）可得，又由正弦定理， 及已知，可得， 由已知，可得，故有， 为锐角，可得，， 则； （ii）由（i）可得，, . 17. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）连接BD，交AC于点O，根据中位线的性质及线面平行的判断定理即可判断BF//平面APC； （2）建立空间直角坐标系，写出坐标，求得平面BCF的法向量，根据线面角公式即可求得直线DE与平面BCF所成角的正弦值； （3）求得平面APC的法向量，利用点到平面的距离公式即可求得E到平面APC的距离． 【小问1详解】 连接BD，交AC于点O， 又P，O分别为DF和DB的中点， 所以BF//PO， 因为PO⊂平面APC，BF⊄平面APC， 所以BF//平面APC； 【小问2详解】 直线AF⊥平面，AB⊂平面ABCD， 所以AF⊥AB， 由（1）得AD⊥AF，AD⊥AB， 所以以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系， ， 所以，，， 设平面BCF的法向量，则 ， 令，则 设直线DE与平面BCF所成角的正弦值θ， 所以 ， 所以直线DE与平面BCF所成角的正弦值； 【小问3详解】 由（2）， 设平面APC的法向量为，则， 令，则 所以平面APC的法向量， 则点E到平面APC的距离， 所以E到平面APC的距离1． 18. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，，点关于轴的对称点为，求证：四边形为菱形. 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由右顶点及离心率可得a，c，然后可得椭圆方程. （2）设直线l，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可化简，得出四边形对角线垂直平分即可得答案. 【小问1详解】 因椭圆顶点为，离心率为， 则，所以，故椭圆方程为：； 【小问2详解】 由题，设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立， 可得. 即得 化简得 因直线与椭圆交于不同的两点，则. 设，由韦达定理. 又设，令得； 设，令得； 又因为 . 所以，，所以平分，所以四边形为菱形. 19. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，. （1）求； （2）已知，求数列的前项和； （3）数列前项和为，对于数列，，在和之间插入数列的前项，组成一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解即可； （2）当是奇数时，，利用错位相减法求出前项中的奇数项的和；当是偶数时，，利用裂项相消法求出前项中的偶数项的和； （3）由求出，分别计算的表达式以及数列的前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，得，所以， 由，，得， 所以，，故，所以. ，， ； 【小问2详解】 当是奇数时，， 当是偶数时，， 则① ② ①-②得： 即 化简得：. 所以. 【小问3详解】 ，， ，， 可得， 设， ， 相减可得， 则. 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个不同的实数解，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）导数研究函数的单调性，结合及不等式恒成立确定参数范围； （3）由有两个不同的实数解得，构造并研究其函数值符号得，由有两个不同的实数解，构造，并利用导数研究性质可得，令，则方程有两个不同的实数解，构造设，导数研究性质得，进而得到，即可证. 【小问1详解】 ，则切线的斜率为，又， 所以处的切线方程为，即． 【小问2详解】 ， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，则． 若在区间上恒成立，则的取值范围为． 【小问3详解】 由，得， 若有两个不同的实数解，则， 两式相减得，所以． 不妨设，则， 所以在上单调递增，此时，所以． 所以，即，所以①． 由，得有两个不同的实数解， 令， 当时单调递增，当时单调递减， 由，，所以． 令，则方程有两个不同的实数解． 由（2）知，则有． 设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，即，故，当且仅当时等号成立． 不妨设直线与直线交点的横坐标分别为， 则， 所以②． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $