河北省唐县第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

**基本信息** 高中数学期中试卷，涵盖复数、向量、立体几何、解三角形等核心知识，通过空间几何证明、动态问题探究等设计，考查空间观念、运算能力与推理意识，适配阶段性综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、向量投影、正四棱台体积等|第4题结合棱台结构与体积公式，考查空间想象与运算能力| |多选题|3/18|复数几何意义、正方体截面与空间角|第10题正方体动点问题，融合截面判断与最短路径，体现分层设计| |填空题|3/15|斜二测画法面积、解三角形两解范围|第13题通过边与角关系探究多解条件，发展数学思维| |解答题|5/77|向量夹角、正四棱柱证明、四棱锥存在性|第19题综合线面平行与垂直证明，设置存在性探究，契合高考命题趋势|

数学试题 试卷满分150分，考试用时120分钟 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1．已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知不共线，，若三点共线，则（    ） A． B． C． D． 4．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 5．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（   ） A．E、F、G、H四点共面 B．与是异面直线 C．、、三线共点 D． 7．如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，则的长为（   ）   A．1 B．2 C． D． 8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰直角三角形 二、多选题(本题共3小题，每题6分，共18分。每题全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9．设复数在复平面内对应的点为为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A． B．若点坐标为，且是关于的实系数方程的一个根，则 C．若，则或 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 10．如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B．三棱锥的体积为4 C．若P在线段上，则跟面所成角的正弦值最大为 D．一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 11．已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则点的轨迹经过的内心. D．若，则为的垂心 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分。） 12．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形.已知，，则四边形的面积是__________. 13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________. 14．如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。） 15．（本小题满分13分） 向量是同一平面内的两个向量，其中. (1)若，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围； (2)若，与共线且，求. 16．（本小题满分15分） 如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 17．（本小题满分15分） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求角B； (2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长； 18．（本小题满分17分） 记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. (1)求； (2)若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A D C D A C BD AD ABD 12. 13. 14. 15【详解】（1）由向量， 因为与的夹角为钝角，可得，即，解得； 当与共线时，可得，解得， 当时，与方向相反，夹角为，不符合题意； 综上可得且，即实数的取值范围为 （2）由向量，可得， 因为向量与共线，可设， 又因为，可得，解得， 当时，；当时，. 16． 【详解】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 17．(1)(2)(3) 【详解】（1）已知，由余弦定理可得， 因为，代入中，得，化简得， 则，因为，所以． （2），，由余弦定理得， 即，又因为，所以， 由面积关系可得， ， 所以，即. （3）因为E是AC的中点，所以， 则， 由正弦定理得，， 即， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，即边AC上的中线BE的取值范围为． 18．(1)；(2)，；(3) 【详解】（1），即， 由正弦定理得， 因为，所以，故，即， 因为，所以； （2）， ，则， 即，解得， 由基本不等式可得， 即，解得，当且仅当时，等号成立， ， （3）由正弦定理得， 所以， 故 为锐角三角形，故， 解得，故 19． 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. （2）因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. （3）如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 学科网（北京）股份有限公司 $