江苏省镇江市2025-2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷

( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·镇江） （共26小题 考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第I卷 （选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1．若，则下列等式成立的是（　　） A．3x＝4y B． C． D． 2．对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴必有两个交点 C．当时，有最小值 D．当时， 3．已知的半径为5，若，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断 4．一元二次方程配方后化为（   ） A． B． C． D． 5．小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长，则以下这张正方形纸片的边长是（　　） A． B． C． D． 6．有100名学生参加两次科技知识测试，条形图显示两次测试的分数分布情况如图所示：根据条形图提供的信息，下列说法中，正确的是(       ) A．两次测试，最低分在第二次测试中 B．第一次测试和第二次测试的平均分相同 C．第一次分数的中位数在20～39分数段 D．第二次分数的中位数在60～79分数段 7．阅读理解：如图 所示，在平面内选一定点 ，引一条有方向的射线 ，再选定一个单位长度，那么平面上任一点 的位置可由 的长度 与 的度数 确定，有序数对 称为 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”． 应用：在图 的极坐标系下，如果正六边形的边长为 ，有一边 在射线 上，则正六边形的顶点 的极坐标应记为（     ） A． B． C． D． 8．如图，与是位似图形，位似比为，已知，则的长等于（      ） A． B． C． D． 9．抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（    ） A．向上、y轴、 B．向下、y轴、 C．向上、y轴、 D．向下、直线、 10．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数 ． 12．如图，顺次连接等边三角形三边中点得到四个全等等边三角形．任意给其中两个涂色，涂色部分正好是菱形的概率是 ． 13．国际数学大会是全世界数学家的大聚会．如图是某次大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，充分肯定了我国在数学方面的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．如图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形中较小的锐角为θ，那么的值等于 ．    14．在中，，则弦所对的圆周角的度数为 ． 15．如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知，米，米，该宣传栏后处共有 棵树．（不计宣传栏的厚度）． 16．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．抛物线与轴正半轴交于点，点的坐标为，是该抛物线第一象限图像上的一点，三点均在某一个正方形的边上，且该正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，设点的横坐标为．若这个正方形的面积最小，则的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： 18．解方程：． 19．随着我国基建经验愈发成熟，如今人们的出行方式也呈现出多样化趋势，其中网约车因其耗时短而深受群众喜欢．小王和小李准备五一期间乘坐高铁回老家省亲，去高铁站有公交、地铁、网约车三种出行方式．他们将这三种出行方式分别写在三张完全相同的卡片上，背面向上，通过随机抽取卡片选择出行方式． (1)小王随机抽取一张卡片，选择“公交”出行的概率为______________； (2)小王随机抽取一张卡片，记录出行方式后放回，再由小李抽取一次．请用画树状图或列表的方式，求两人同时抽到网约车的概率． 20．争创全国文明城市，从我做起．汕头某中学开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校组织七、八年级学生进行文明礼仪知识测试．两个年级均有300名学生，从七、八年级各随机抽取了10名学生的测试成绩（单位：分），满分100分．整理分析如下： 七年级：99  98  98  98  95  93  91  90  89  79． 八年级：99  99  99  91  96  90  93  87  91  85． 整理分析上面的数据，得到如下表格： 平均数 中位数 众数 七年级 93 94 八年级 93 99 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：__________，__________． (2)如果在收集七年级数据的过程中将抽取的“89”误写成了“79”，那么七年级数据的平均数、中位数、众数中发生变化的是__________． (3)若成绩不低于98分的可以获奖，请估计两个年级获奖的人数． 21．如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为，点P沿运动．到点B停止，点Q沿运动，到点C停止．连接、、，设的面积为（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为． (1)当时，求x的值； (2)当时，求y与x之间的函数关系式； (3)直接写出在整个运动过程中，使的所有x的值． 22．抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点．    （1）求出m的值并画出这条抛物线； （2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标； （3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？ （4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？ 23．如图，的角平分线，，、所对的边记为、. （1）当时，求的值； （2）求的面积（用含，的式子表示即可）； （3）求证：，之和等于，之积. 24．一次课外实践活动中，某班数学小组测量旗杆的高度如图，测角仪高度米，在处用测角仪测得旗杆顶端的仰角，沿旗杆方向直走20米到达处，再次测得旗杆顶端的仰角．求旗杆的高度． 25．如图，中，    (1)在线段上找一点E．使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上，若，，，求的长． 26．如图，在中，，点D在边上，的外接圆交于点E，，过点C作于点G，延长交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·镇江） （共26小题 考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第I卷 （选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1．若，则下列等式成立的是（　　） A．3x＝4y B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴4x=3y， A、3x=4y，不符合题意； B、，∴4x+4y=7y，即4x=3y，符合题意； C、，∴5x=3y+3，不符合题意； D、，∴4x+4=3y+3，即4x+1=3y，不符合题意； 故选：B． 2．对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴必有两个交点 C．当时，有最小值 D．当时， 【答案】D 【分析】根据二次函数解析式可得抛物线开口方向，抛物线与轴交点个数以及二次函数的最值，从而判断选项A、B、C，再根据抛物线的增减性，判断D，即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线开口向上，顶点坐标为，抛物线与轴有2个交点，时，随增大而增大，当时，有最小值为， 选项正确，不符合题意， 当时，，故D错误，符合题意； 故选：D． 3．已知的半径为5，若，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．判断圆的半径与的大小即可解答． 【详解】解：圆的半径，点P到O的距离， ∴， ∴点P在内， 故选：A． 4．一元二次方程配方后化为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接对一元二次方程配方，然后把常数项移到等号右边即可． 【详解】解：根据题意， 把一元二次方程配方得，， ∴化成的形式为． 故选B． 5．小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长，则以下这张正方形纸片的边长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，圆锥的母线长，勾股定理，依题意，列式，得出圆锥的底面圆的半径是，再证明四边形是正方形，则，正方形的对角线的长，即可作答． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径是， 依题意，， 解得， 如图：过点分别作 ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∴正方形的对角线的长 则正方形的边长是， 故选：B 6．有100名学生参加两次科技知识测试，条形图显示两次测试的分数分布情况如图所示：根据条形图提供的信息，下列说法中，正确的是(       ) A．两次测试，最低分在第二次测试中 B．第一次测试和第二次测试的平均分相同 C．第一次分数的中位数在20～39分数段 D．第二次分数的中位数在60～79分数段 【答案】C 【详解】解：根据统计图各部分表示的意义，发现： A中，两次测试，最低分在第一次测试中，错误； B中，根据此条形统计图，显然第二次测试的分数明显高于第一次的分数，错误；C中，共有100名学生，所以中位数应是第50和51的平均数，显然第一次测试的中位数落在20～39段内，正确；D中，第二次测试的中位数应落在40～59段内，错误．故选C． 7．阅读理解：如图 所示，在平面内选一定点 ，引一条有方向的射线 ，再选定一个单位长度，那么平面上任一点 的位置可由 的长度 与 的度数 确定，有序数对 称为 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”． 应用：在图 的极坐标系下，如果正六边形的边长为 ，有一边 在射线 上，则正六边形的顶点 的极坐标应记为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正六边形的中心为D，连接AD，判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，再求出OC，然后根据“极坐标”的定义写出即可． 【详解】设正六边形的中心为D，连接AD， ，， 是等边三角形， ，， ， 正六边形的顶点C的极坐标记为， 故选：A． 8．如图，与是位似图形，位似比为，已知，则的长等于（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据位似是特殊的相似，位似比就是相似比，相似形对应边的比相等． 由△ABC与△DEF位似，且AB：DE=2：3，AB=4，所以DE=6 故选A． 9．抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（    ） A．向上、y轴、 B．向下、y轴、 C．向上、y轴、 D．向下、直线、 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象性质．根据型二次函数的图象性质即可求解． 【详解】解：对于抛物线， ∵， ∴其开口向下； ∵， ∴对称轴为y轴； 当时，，故顶点坐标为； 故选：B． 10．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得反比例函数图象和增减性，即可进行比较． 【详解】解：∵， ∴反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，y随着x增大而减小， 根据A，B，C点横坐标，可知点A，B在第三象限，C在第一象限， ， ∴； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数 ． 【答案】且 【分析】根据的图象与轴恰有两个公共点，可知有两个不同的实数根，再利用一元二次方程的根的判别式求解． 【详解】解：函数的图象与轴恰有两个公共点， 函数为二次函数，一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 为二次函数， ， 且． 故答案为：且． 12．如图，顺次连接等边三角形三边中点得到四个全等等边三角形．任意给其中两个涂色，涂色部分正好是菱形的概率是 ． 【答案】 【详解】解：任意两个涂色，总的涂色结果有6种，其中涂色部分正好是菱形的结果有3种，则 涂色部分正好是菱形的概率是； 故答案为：． 13．国际数学大会是全世界数学家的大聚会．如图是某次大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，充分肯定了我国在数学方面的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．如图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形中较小的锐角为θ，那么的值等于 ．    【答案】 【分析】根据已知可得大正方形的边长和小正方形的边长，再设三角形的长直角边为a,短直角边为b,从而可得a与b的关系式，进而可得a与b的长度，最后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1， ∴大正方形的边长是5，小正方形的边长是1， 设三角形的长直角边为a，短直角边为b， 由题意得： 解得： 故答案为：． 14．在中，，则弦所对的圆周角的度数为 ． 【答案】或 【分析】画出图形，可知弦所对的圆周角有两个，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，“圆的内接四边形对角互补”即可求解，本题考查圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是注意弦所对的圆周角有两个，且互补． 【详解】解：如图，和都是弦所对的圆周角， 弦所对的圆心角， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 故答案为：或． 15．如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知，米，米，该宣传栏后处共有 棵树．（不计宣传栏的厚度）． 【答案】26 【分析】根据，得到，根据相似三角形的相似比等于对应高的比即可求解线段的长度，根据“树的棵数=间隔数+1”，求得树的棵数． 本题主要考查了相似三角形性质的应用——植树问题．解题时关键是熟练掌握相似的三角形的判定和性质，树的棵数与间隔数的关系． 【详解】如图，设的延长线交于点G， ∵，， ∴，， ∴， 又，，， ∴， ∴， ∴， ∵（棵）， 即处共有26棵树， 故答案为：26． 16．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．抛物线与轴正半轴交于点，点的坐标为，是该抛物线第一象限图像上的一点，三点均在某一个正方形的边上，且该正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，设点的横坐标为．若这个正方形的面积最小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线与x轴正半轴交于点A，得点A坐标为（2，0），点B的坐标为（0，3），可得最小正方形的边长为3，最小正方形的面积为9，根据题意可得A、B、C中任意两个点不能重合，故此可以确定点C的横坐标的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴正半轴交于点A， ∴点A的坐标为（2，0）， 如图所示： 当A，B，C三点均在某一个正方形的边上， 且该正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行， ∵点B的坐标为（0，3）， 正方形的面积最小时， 此时正方形的边长为3， ∴过点A、B、C的正方形的面积最小值为9， ∴S≥9． 当y=3时，  解得 ∴当2＜m≤3，时， 正方形面积有最小值； 当m=-1时， 正方形最小边长也为3， 正方形面积也有最小值， ∵C在第一象限，m＞0， 综上所述：点C的横坐标m的取值范围是： 2＜m≤3． 故答案为：2＜m≤3． 三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： 【答案】． 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． 【详解】解： 18．解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法． 移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：移项得：， ， ，， ， 19．随着我国基建经验愈发成熟，如今人们的出行方式也呈现出多样化趋势，其中网约车因其耗时短而深受群众喜欢．小王和小李准备五一期间乘坐高铁回老家省亲，去高铁站有公交、地铁、网约车三种出行方式．他们将这三种出行方式分别写在三张完全相同的卡片上，背面向上，通过随机抽取卡片选择出行方式． (1)小王随机抽取一张卡片，选择“公交”出行的概率为______________； (2)小王随机抽取一张卡片，记录出行方式后放回，再由小李抽取一次．请用画树状图或列表的方式，求两人同时抽到网约车的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单概率的计算，利用树状图或者列表的方式求概率，解题的关键是熟练掌握简单的概率公式． （1）利用概率公式进行计算即可； （2）利用树状图得出所有等可能情况，找出符合题意的情况即可求出概率． 【详解】（1）解：公交、地铁、网约车三种出行方式中选中公交的概率为， 故答案为：； （2）解：根据题意画树状图如下， 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两人同时抽到网约车的结果有1种， ∴两人同时抽到网约车的概率为． 20．争创全国文明城市，从我做起．汕头某中学开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校组织七、八年级学生进行文明礼仪知识测试．两个年级均有300名学生，从七、八年级各随机抽取了10名学生的测试成绩（单位：分），满分100分．整理分析如下： 七年级：99  98  98  98  95  93  91  90  89  79． 八年级：99  99  99  91  96  90  93  87  91  85． 整理分析上面的数据，得到如下表格： 平均数 中位数 众数 七年级 93 94 八年级 93 99 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：__________，__________． (2)如果在收集七年级数据的过程中将抽取的“89”误写成了“79”，那么七年级数据的平均数、中位数、众数中发生变化的是__________． (3)若成绩不低于98分的可以获奖，请估计两个年级获奖的人数． 【答案】(1)98,92 (2)平均数 (3)210人 【分析】（1）根据数组中出现次数最多的数据是众数，有序数据中，中间一个数据或中间两个数据的平均数，计算即可． （2）数据写错，不影响数据的总个数，只是影响数据的和值，故而判断一定影响数据的平均数． （3）根据样本根据总体的思想计算即可． 【详解】（1）∵99  98  98  98  95  93  91  90  89  79中98出现了3次，次数最多，∴众数是98， 故； ∵85,87,90,91,91,93,96,99,99，99  ， ∴中位数是， 故答案为：98,92． （2）∵数据写错，不影响数据的总个数，只是影响数据的和值，不会影响众数和中位数， 故而判断一定影响数据的平均数， 故答案为：平均数． （3）根据题意，得（人）， 答：两个年级获奖的人数为210人． 21．如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为，点P沿运动．到点B停止，点Q沿运动，到点C停止．连接、、，设的面积为（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为． (1)当时，求x的值； (2)当时，求y与x之间的函数关系式； (3)直接写出在整个运动过程中，使的所有x的值． 【答案】(1) (2) (3)时， 【分析】（1）根据平行线可证， 利用相似三角形的对应边成比例，可得 ， 即得，求出x值即可； （2）运动过程分三个阶段，①如图2，当 时 ，过点P作，垂足为点E；②如图3，当时，过点P作，垂足为点F，延长交于点G， 可得；③如图4，当时，过点Q作，垂足为点H，则．分别根据相似三角形的判定与性质进行解答即可； （3）分三种情况讨论，①当点P在上时，如图5 ，②当Q与D重合时，如图6， ③ 当点P停止运动，Q运动到的中点时，如图7， 分别求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴，， 如图1： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，当时，过点P作，垂足为点E， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图3，当时，过点P作，垂足为点F，延长交于点G， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴； 如图4，当时，过点Q作，垂足为点H，则， ∴， ∴， 综上所述； （3）解：， 当点P在上时，如图5，作于H， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，； 当Q与D重合时，如图6， ，， ∴时，； 当点P停止运动，Q运动到的中点时，如图7， ， 又， ∴， ∴， ∴， 此时，， ∴时，． 22．抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点．    （1）求出m的值并画出这条抛物线； （2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标； （3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？ （4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？ 【答案】（1）；（2），；（3）；（4） 【详解】解：（1）由抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）得：m=3． ∴抛物线为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4． 列表得： X ﹣1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 图象如下．    （2）由﹣x2+2x+3=0，得：x1=﹣1，x2=3． ∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）． ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4 ∴抛物线顶点坐标为（1，4）． （3）由图象可知： 当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方． （4）由图象可知： 当x＞1时，y的值随x值的增大而减小 23．如图，的角平分线，，、所对的边记为、. （1）当时，求的值； （2）求的面积（用含，的式子表示即可）； （3）求证：，之和等于，之积. 【答案】（1）2；（2）；（3）详见解析. 【分析】（1）过点作于点，利用直角三角形30度角的性质可知BE长，得，即点E、点D重合，中线与高线重合，可知AB=AC，即； （2）表示方法有两种，可能情形1：过点作于点，过点作延长线于点，解直角三角形可得，，利用三角形面积公式可得 和的面积相加即可；可能情形2：过点作于点，解直角三角形可得，直接利用三角形面积公式求解即可； （3）由（2）中面积的两种表示方法可直接证得结论. 【详解】解：（1）过点作于点 ∵平分，∴. 在中，，. ∵，∴点与点重合，∴. ∴. （2）答案不唯一. 可能情形1：过点作于点，过点作延长线于点 ∵平分，∴. ∵在中，，， 在中，， ∴ . 可能情形2：过点作于点，用含的式子表示出， 于是. （3）从上面两种面积表示方法，，可得，化简得，即，之和等于，之积. 24．一次课外实践活动中，某班数学小组测量旗杆的高度如图，测角仪高度米，在处用测角仪测得旗杆顶端的仰角，沿旗杆方向直走20米到达处，再次测得旗杆顶端的仰角．求旗杆的高度． 【答案】11.2米 【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用在Rt△DEF中，由，得出EF的长度，进而可求出答案． 【详解】解：，， ， ， 米， 在中，，即(米)， 又∵米， 则(米)， 答：旗杆的高度为11.2米． 25．如图，中，    (1)在线段上找一点E．使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上，若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）作的垂直平分线交于点E，问题得解； （2）过A点作于点F，先求出，进而可得，即，，根据，可得，即有，可得，，，再根据， ，可得，问题随之得解． 【详解】（1）作图如下：    点E即为所求； （2）过A点作于点F，如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 26．如图，在中，，点D在边上，的外接圆交于点E，，过点C作于点G，延长交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是圆与三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，由圆周角定理可得，即可求解； （2）通过证明，可得； （3）由勾股定理可求的长，通过证明，可得，可求的长，即可求解． 【详解】（1）证明：是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $