17.5 一元二次方程的应用 第4课时 可化为一元二次方程的分式方程 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

17.5 一元二次方程的应用 第17章 一元二次方程及其应用 沪科版 八年级下册 第4课时 可化为一元二次方程的分式方程 例 一组学生组织春游，预计共需费用 1 200 元. 后来又有 2 人参加进来，总费用不变，这样平均每人可少分摊 30 元. 原来这组学生的人数是多少? 分析：设原来这组学生有人 ，把题中信息整理成下表： 总费用/元 人数 每人费用/元 原来 现在 1 200 1 200 可利用“原来这组学生每人分摊的费用-增加人数后该组学生每人分摊的费用=30元”列方程. 知识点 可化为一元二次方程的分式方程及其应用 知识讲解 解：设原来这组学生有x人 ，那么每人分摊的费用是元，增加2人后这组学生每人分摊的费用是元. 根据题意，得 方程两边同乘以 x(x + 2)，整理，得x2 + 2x - 80 = 0. 解方程，得x1=-10，x2=8. 经检验,x1=-10,x2=8 都是原方程的根,但 x1=-10 不合题意,所以 x=8. 答：原来这组学生是 8 人. 解分式方程应用题时，所得根不仅要检验是否为增根，还要考虑它是否符合题意. 方法点拨 1. 将分式方程2－ ＝ 去分母，整理后可得 （　D　） A. 5x－1＝0 B. 5x＋3＝0 C. 2x2＋3x＋1＝0 D. 2x2－3x－1＝0 [变式] 用换元法解方程 － ＝5，设 ＝y，则得到关 于y的整式方程为 ⁠. D y2－5y－3＝0　 随堂练习 2. 当x＝ 时，分式 与 的值相等. 2　 4 3．某路段需要铺轨，先由甲工程队单独做2天后，再由乙工程队单独做3天，刚好完成这项任务，已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，则甲工程队单独完成这项任务需要________天． 6 4. 解方程：x＋ ＝ . 解：原方程变形，得x＋ ＝ . 去分母，得x（x－2）＋x＝2. 去括号，得x2－2x＋x＝2. 移项、合并同类项，得x2－x－2＝0. 分解因式，得（x－2）（x＋1）＝0，解得x1＝2，x2＝－1. 检验：当x＝2时，x－2＝0，则x＝2是原分式方程的增根，当 x＝－1时，x－2≠0，则x＝－1是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝－1. 5. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购 进一批篮球和足球.已知每个篮球的价格比每个足球的价格多 20元，用1 500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5 个.如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程（　A　） A. － ＝5 B. － ＝5 C. － ＝5 D. － ＝5 A 6. 甲、乙两辆货车分别从A，B两地同时匀速沿高速公路向C 地运送货物.已知A，C两地相距450千米，B，C两地相距440 千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，且甲车比乙车早半小时 到达C地.求两车的速度. 解：设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x＋10）千 米/时. 根据题意，得 ＋ ＝ ，解得x1＝80，x2＝－110. 经检验，x1＝80，x2＝－110都是原方程的根，但x2＝－110不 合题意，舍去，∴x＝80，∴x＋10＝90. 答：甲车的速度为90千米/时，乙车的速度为80千米/时. 7. （2025·上海）解方程： － ＝ . 解：去分母，得（x－3）（x－1）－2＝2（x－2）. 去括号，得x2－x－3x＋3－2＝2x－4. 移项、合并同类项，得x2－6x＋5＝0. 分解因式，得（x－1）（x－5）＝0，解得x1＝1，x2＝5. 检验：当x＝1时，x－1＝0，则x＝1是原分式方程的增根， 当x＝5时，（x－2）（x－1）＝12≠0，则x＝5是原分式方程 的解，∴原分式方程的解为x＝5. 8. （教材P42例5变式）某校组织八年级一班的学生春游，预计 需要车费540元，后来5名二班的学生也加入进来，车费不变， 这样每人可以少分摊1.5元.问：一班有多少名学生？每人实际 分摊的车费为多少元？ 解：设一班有x名学生.由题意，得 －1.5＝ . 整理，得x2＋5x－1 800＝0，解得x1＝－45，x2＝40. 经检验，x1＝－45，x2＝40都是原分式方程的根，但x1＝－45 不符合题意，所以x＝40，即一班有40名学生.每人实际分摊的 车费为 ＝ ＝12（元）. 答：一班有40名学生，每人实际分摊的车费为12元. 9．A，B两地间的距离为15 km，甲从A地出发步行前往B地，20 min后，乙从 B地出发骑车前往A地，且乙骑车比甲步行每小时多走10 km.乙到达A地后停留40 min，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地．求甲从A地到B地步行所用时间． 12 10．一天，小明的爸爸先去水果批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多购进10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.5元，然后到零售市场，都按每千克2.8元零售，结果乙种水果很快售完， 14 课堂小结 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 在列一元二次方程解应用题时，所得的根一般有两个，但一般只有一个根符合实际问题的要求，所以解方程后要检验看哪个根是符合实际问题的解。 审清题意 设未知数 列方程 解方程 作 答 验根 【解】20 min＋40 min＝1 h. 设甲从A地到B地步行所用时间为x h， 由题意得＝＋10，化简得2x2－5x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－(不合题意，舍去)， 经检验，x＝3是原分式方程的解． ∴甲从A地到B地步行所用时间为3 h. 甲种水果售出时，出现滞销，他便按原售价的五折售完剩下的水果，请你帮小明的爸爸算一算，这天卖水果是赔钱了还是赚钱了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 【解】设甲种水果的批发价为 x 元/千克，则乙种水果的批发价为(x＋0.5)元/千克， 由题意，得＋10＝， 化为整式方程，得x2－4.5x＋5＝0 ， 解得x1＝2.5 ，x2＝2. 经检验，x1＝2.5，x2＝2都是原分式方程的根． 当x＝2.5时，乙种水果的批发价为2.5＋0.5＝3(元)，高于零售价，故不合题意，舍去， ∴x＝2. 甲：2.8××＋2.8×0.5××－100＝26(元), 乙：×2.8－150＝18(元)， 26＋18＝44(元) .∴这天卖水果赚钱了，赚了44元． $